ΜΑΘΗΜΑ 10 Gradient if the Total Magnetic Field 20 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης 18 16 14 12 10 8 6 4 2 30 25 20 15 10 5 0-5 -10-15 -20-25 -30-35 -40-45 nt/m 0 0 2 4 6 8 10 m ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΡΟXΩΡΗΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΑΡΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟ
ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΒΑΡΥΤΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Τελικός σκοπός κάθε διασκόπησης είναι ο εντοπισμός του υπεδάφιου στόχου και η εξαγωγή συμπερασμάτων για το σχήμα, το βάθος ταφής και τη σύστασή του. Εντοπισμός του στόχου γίνεται από τη στιγμή που θα ανιχνεύσουμε τη διαταραχή που αυτός προκαλεί στο βαρυτικό ή το μαγνητικό πεδίο της Γης. Η εύρεση όμως των ιδιοτήτων του στόχου, οοποίοςείναιη πηγή των διαταραχών, συνιστά το τελικό στάδιο της διασκόπησης. Tο στάδιο αυτό ονομάζεται ερμηνεία (interpretation) των καταγραφών μας.
ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΒΑΡΥΤΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Κατά το στάδιο αυτό είναι δυνατόν να υπολογίσουμε μία ή περισσότερες παραμέτρους οι οποίες ποσοτικοποιούν τις ιδιότητες της πηγής. Σε κάθε περίπτωση όμως, πρέπει να λάβουμε υπ όψη και τα αποτελέσματα άλλων γεωφυσικών διασκοπήσεων στην περιοχή, τη γεωλογία της και οποιαδήποτε άλλη σχετική πληροφορία
ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΒΑΡΥΤΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Υπάρχει όμως μια άλλη κατηγορία μεθόδων οι οποίες αν και δεν μας οδηγούν σε παραμέτρους της πηγής βοηθούν σημαντικά την ερμηνεία. Οι μέθοδοι αυτές φανερώνουν διάφορα χαρακτηριστικά της πηγής και με τον τρόπο αυτό βοηθούν την ερμηνεία. Όλες στηρίζονται στον μετασχηματισμό των καταγραφών σε κάποια νέα μορφή. Για το λόγο αυτό ονομάστηκαν «μετασχηματισμοί πεδίου».
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΕΔΙΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Οι περισσότεροι μετασχηματισμοί πεδίου εφαρμόζονται αφού προηγουμένως τα δεδομένα έχουν απεικονιστεί ως συναρτήσεις των χωρικών κυματαρίθμων. Το μέσο γι αυτή την απεικόνιση είναι ο Mετασχηματισμός Fourier (MF). Οι ιδιότητες μάλιστα του μετασχηματισμού Fourier είναι αυτές που διευκολύνουν κατά πολύ την διεξαγωγή πράξεων μετασχηματισμού. Για το λόγο αυτό, η εξέλιξη του συγκεκριμένου πεδίου ήταν ραγδαία μετά την εισαγωγή του Ταχέως Μετασχηματισμού Fourier (FFT) και την εξέλιξη των υπολογιστών. Oι μετασχηματισμοί που γίνονται με την ανάλυση Fourier μπορούν να γίνουν και με διαφορετικό τρόπο. Π.χ., ο υπολογισμός της δεύτερης κατακόρυφης παραγώγου των πεδίων μπορεί να γίνει κάνοντας χρήση της εξίσωσης Laplace.
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Έστω η περιοδική συνάρτηση f(x) με περίοδο Χ. Αποδεικνύεται ότι κάτω από πολύ γενικές προϋποθέσεις αυτή μπορεί να παρασταθεί ως σειρά μιγαδικών αριθμών. Οι προϋποθέσεις αυτές αφορούν: το ορισμένο της συνάρτησης για κάποιο διάστημα, τη συνέχεια αυτής και της παραγώγου της την ύπαρξη πεπερασμένου αριθμού αλμάτων για το ίδιο διάστημα το ολοκληρώσιμο της f(x) για διάστημα μιας περιόδου. Οι συνθήκες αυτές πληρούνται από το σύνολο σχεδόν των συναρτήσεων που συναντάμε στη Φυσική και κατά συνέπεια και στη Γεωφυσική. Είναι δε περισσότερο γνωστές με το όνομα «συνθήκες Dirichlet»
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Η παράσταση της f(x) ως σειράς εκφράζεται με τη σχέση όπου f ( x) 2πn k n = X = n= F n e iknx και οι συντελεστές F n μπορούν να υπολογιστούν από τη σχέση x + X o 1 F n = f ( x) e X x o iknx dx
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Αν αντί περιοδικής συνάρτησης θεωρήσουμε οποιαδήποτε άλλη η οποία περιορίζεται σε κάποιο τμήμα του άξονα χ, απαιτώντας όμως αυτή να είναι πεπερασμένη, δηλαδή να ισχύει η συνθήκη fx ( ) dx< τότε έχουμε συμπεριλάβει το σύνολο των βαρυτικών και μαγνητικών ανωμαλιών.
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Αν επιπλέον θεωρήσουμε ότι η περίοδος Χ είναι πάρα πολύ μεγάλη τότε ο MF της μη περιοδικής συνάρτησης f(x) είναι F( K) ikx = f ( x) e dx όπου το k ονομάζεται κυματάριθμος και είναι k = 2π λ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Ο MF είναι μια μιγαδική συνάρτηση του κυματαρίθμου και μπορεί να γραφεί ως F(κ) ) = F(κ) e iθ(κ ) = F(κ) cosθ(κ) ) + i F(κ) sinθ(κ) ) = R(κ) ) + Ι(κ) Επομένως, η συνάρτηση πλάτους στην περιοχή των κυματαρίθμων είναι F(κ) = [R 2 (κ)) + Ι 2 (κ)] )] 1/2 και η συνάρτηση φάσης θ κ = arctan I ( κ ) R( κ )
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Η συνολική ενέργεια είναι ίδια στις δύο περιοχές πράγμα που είναι γνωστό ως θεώρημα Parceval και διατυπώνεται 2 2 E = f( x) dx= F( κ) dκ Η συνάρτηση F(κ) 2 ονομάζεται φασματική πυκνότητα ενέργειας. Η μορφή της μας δίνει χρήσιμες πληροφορίες για την πηγή και η κλίση της μας οδηγεί σε ποσοτική εκτίμηση του βάθους ταφής.
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Η μεταφορά στο πεδίο του χώρου γίνεται μέσω του αντιστρόφου MF ο οποίος δίνεται από τη σχέση 1 iκx fx ( ) = F( κ) e dκ 2π
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Δισδιάστατος MF F( Kx, Ky) y = f ( x, y) e dxdy i( k X + k Y x ) Δισδιάστατος Αντίστροφος MF f ( x, y) F( kx, k 2 y ) 1 i( kx x+ k y y) = e dxdy 4π όπου κ x, κ y είναι οι κυματάριθμοι κατά τη διεύθυνση x και y αντίστοιχα
ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΤΟΠΙΚΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΡΩΤΟ ΣΤΑΔΙΟ ΟΠΟΙΑΣΔΗΠΟΤΕ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ
ΚΙΜΩΛΟΣ ΑΝΩΜΑΛΙΑ BOUGUER Δg B (Τσόκας 1985) 11000 10000 9000 136 134 132 8000 130 128 7000 126 124 6000 5000 4000 122 120 118 116 114 112 3000 2000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 0 1000 2000 3000 4000 Τσόκας, Γ.Ν.,., Γεωφυσική διασκόπηση των νησιών Μήλος και Κίμωλος. Διδακτορική Διατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη,, 1985.
ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟ ΠΕΔΙΟ Δg R 10000 Το περιφερειακό πεδίο βαρύτητας αποδίδεται 8000 6000 4000 από ένα επίπεδο, αυτό περιγράφεται ως συνάρτηση των συντεταγμένων από την εξίσωση Δg R = Ax + By + C 2000 6000 8000 10000 12000 Τσόκας, Γ.Ν.,., Γεωφυσική διασκόπηση των νησιών Μήλος και Κίμωλος. Διδακτορική Διατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη,, 1985.
ΥΠΟΛΟΙΜΑΤΙΚΗ ΑΝΩΜΑΛΙΑ Δg r Το τοπικό πεδίο είναι Δg r = Δg B -Δg R N Τσόκας, Γ.Ν.,., Γεωφυσική διασκόπηση των νησιών Μήλος και Κίμωλος. Διδακτορική Διατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη,, 1985.
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΕΔΙΩΝ F[ U k ] = e Δz κ F[ U ] κ = κ r = 2 x k + k 2 y
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΕΔΙΩΝ Αν θεωρήσουμε το Δz θετικό και τη φορά του άξονα z προς κάτω, τότε η σχέση δηλώνει την προς τα επάνω συνέχεια του πεδίου. Το μετασχηματισμένο λοιπόν πεδίο στη νέα υψηλότερη στάθμη παρουσιάζεται εξασθενημένο ως προς την κατώτερη αρχική. Η εξασθένιση αυτή είναι πιο ισχυρή για τους μεγάλους κυματαρίθμους (μικράμικρά μήκη κύματος). Κατά συνέπεια η προς τα επάνω συνέχεια πεδίου λειτουργεί σαν φίλτρο διέλευσης μικρών κυματαρίθμων
ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΕΔΙΟΥ N F[ U c ] = e Δz κ F[ U ] 0 1000 2000 3000 4000 Tsokas,, G.N., Hansen, R.O., Fytikas,, M., Vassilelis,, G.D., Thanassoulas,, C. Geological and geophysical study of Kimolos (Greece) and geothermal implications. Geothermics,, 24, 5/6, 679-693, 693, 1995.
ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΕΔΙΟΥ 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 -2.5-3 -3.5-4 -4.5-5 -5.5 mgal F[ U κ ] = e Δz κ F[ U ] 3000 2000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 Tsokas,, G.N., Hansen, R.O., Fytikas,, M., Vassilelis,, G.D., Thanassoulas,, C. Geological and geophysical study of Kimolos (Greece) and geothermal implications. Geothermics,, 24, 5/6, 679-693, 693, 1995.
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΠΕΔΙΩΝ Έστω Φ(x,y) η ένταση του πεδίου βαρύτητας και το ολικό μαγνητικό πεδίο σε μια επίπεδη επιφάνεια z = z(x,y) = σταθερά. Τότε θα ισχύουν οι σχέσεις n d φ I n dx n d φ I n dy = = n ( ik ) I[ φ] x n ( ik ) I[ φ] y
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΠΕΔΙΩΝ Εφ όσον το μαγνητικού πεδίου δυναμικό U, το πεδίου ικανοποιούν πεδίου την εξίσωση βαρύτητας ή του εξίσωση Laplace τότε ικανοποιούν την και η ένταση των πεδίων αυτών κατά ορισμένη διεύθυνση ικανοποιεί την Επομένως ισχύει ίδια Φ i U = ϑ ϑi εξίσωση. 2 ϑφ ϑφ ϑφ = 2 2 2 ϑz ϑx ϑy και κάνοντας χρήση των προηγούμενων σχέσεων 2 ϑ φ I = 2 k ϑz 2 x 2 I[ Φ] + k 2 y 2 I[ Φ] = k 2 I[ Φ]
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΠΕΔΙΩΝ Είναι φανερό ότι η πρώτη και δεύτερη κατακόρυφη παράγωγος ενισχύουν τις μικρού μήκους κύματος ανωμαλίες εφ όσον τα πλάτη πολλαπλασιάζονται επί Κ και Κ 2 αντίστοιχα
ΠΡΩΤΗ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0-0.002-0.004-0.006-0.008-0.01 mgal/m 3000 2000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 Tsokas,, G.N., Hansen, R.O., Fytikas,, M., Vassilelis,, G.D., Thanassoulas,, C. Geological and geophysical study of Kimolos (Greece) and geothermal implications. Geothermics,, 24, 5/6, 679-693, 693, 1995.
ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) Ένα από τα παλαιότερα προβλήματα της Εφαρμοσμένης Γεωφυσικής είναι η εύρεση ενός μετασχηματισμού ο οποίος θα παρήγαγε μια προσομοίωση του γεωλογικού χάρτη από την ανωμαλία Bouguer ή το ολικό μαγνητικό πεδίο. Ο Grant (1973) εισήγαγε τον όρο «χαρτογράφηση της μαγνητικής επιδεκτικότητας» (susceptibility mapping) για να περιγράψει ένα γραμμικό μετασχηματισμό ο οποίος κατέληγε στη χαρτογράφηση της κατανομής της ιδιότητας αυτής
ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) Οι Cordell και McCafferty (1989) πρότειναν τη μέθοδο της επιπεδοποίησης η οποία στηρίζεται στο πρόσημο της τοπικής καμπυλότητας (δευτέρας παραγώγου). Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ισοκατανεμημένες τιμές της ανωμαλίας Bouguer με βήμα δειγματοληψίας, Δx, κατά μήκος μιας όδευσης κατά τον άξονα που ορίζουμε ως x. Έστω ότι Δg i-1, Δgi και Δg ι+1 είναι οι τιμές της ανωμαλίας σε τρία διαδοχικά σημεία. Τότε, αν θεωρήσουμε ότι μια παραβολή προσαρμόζεται στα τρία αυτά σημεία, η καμπυλότητα του πεδίου στο κεντρικό σημείο μπορεί να δωθεί από τη σχέση C i = Δg + Δg Δg i+ 1 i 1 2 i 2Δx
ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) Εφαρμόζοντας τη μέθοδο της επιπεδοποίησης ελέγχουμε αν πρόσημο της ποσότητας C i είναι θετικό ή αρνητικό και λαμβάνουμε ως νέα τιμή του πεδίου, Δg i, για το κεντρικό σημείο, Χ i, τη μικρότερη ή τη μεγαλύτερη αντίστοιχα τιμή των τριών τιμών. Στην περίπτωση που η ποσότητα C i είναι μηδέν τότε η τιμή Δgi δεν αλλοιώνεται.
ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) Αν θεωρήσουμε ότι οι τρεις τιμές συνιστούν ένα παράθυρο των δεδομένων με μήκος W, τότε ο μετασχηματισμός κωδικοποιείται d d d 2 dx Δg 2 dx 2 dx 2 Δg 2 i Δg 2 = C i i > 0 Δg = 0 Δg < 0 Δg i i i = min( Δg = Δg = max( Δg i i i W ) W )
ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-5 -6-7 -8-9 -10-11 3000 2000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 Tsokas,, G.N., Hansen, R.O., Fytikas,, M., Vassilelis,, G.D., Thanassoulas,, C. Geological and geophysical study of Kimolos (Greece) and geothermal implications. Geothermics,, 24, 5/6, 679-693, 693, 1995.
ΕΠΙΠΕΔΟΠΟΙΗΣΗ (TERRACING) mgal 0.00 98 106 114 122 130 ΜΗΛΟΣ -5000.00 mgal -10000.00 0-10000.00-5000.00 0.00 5000.00-17 -13-9 -5-1 3 7 11-5000 -10000 Tsokas, G.N. Interpretation of the Bouguer anomaly of Milos -10000 island -5000(Greece). 0 Journal 5000 of Volcanology and geothermal research, 72, 163-181, 1996.
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΒΟΡΕΙΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΟΛΟ Αν κάποια συγκεκριμένη δομή, η οποία προκαλεί μαγνητική ανωμαλία βρίσκεται στο βόρειο μαγνητικό πόλο, τότε η ανωμαλία δεν δείχνει την ίδια πολυπλοκότητα μ αυτή που θα έδειχνε σ οποιοδήποτε άλλο πλάτος
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΒΟΡΕΙΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΟΛΟ mˆ και fˆ είναι τα μοναδιαία διανύσματα στη διεύθυνση της μαγνήτισης και του Γήινου πεδίου αντίστοιχα και ( m ˆ = (mˆ, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ x m y m z ) (f x f y f z )) Θ m = mˆ z mˆ ˆ xκ x + m + i κ y Θ f = fˆ z + i fˆ κ x x + κ fˆ κ y y
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΒΟΡΕΙΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΟΛΟ Αν απαιτήσουμε το Γήινο πεδίο και η μαγνήτιση του υπεδάφιου σώματος να έχουν διεύθυνση κατακόρυφη και φορά προς το εσωτερικό της Γης, τότε ο MF του ανηγμένου στον πόλο πεδίου θα είναι I[ ΔT r ] = 1 Θ Θ m f I[ ΔT ] = α κ 1 2 x + α κ κ 2 x y 2 κ + i κ ( b κ 1 x I[ ΔT ] + b κ ) 2 y κ 0 όπου α 1 = m$ f$ m$ f$ z z α 2 = m$ f$ m$ f$ z z α 3 = m$ f$ m$ f$ y x x x y y x y b ˆ ˆ 1 = mx f z mˆ z fˆ b2 = m$ yf $ z m$ f$ x y y
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΒΟΡΕΙΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΟΛΟ ΛΑΥΡΙΟ nt nt -240-100 -50 100 200 300 500 700 850 4200000 4200000 100 500 900 1300 4190000 4190000 4180000 4180000 4170000 220000 230000 240000 250000 4170000 220000 230000 240000 250000 0 5000 10000 15000 20000 Tsokas,, G.N., Stambolidis,, A., Angeolopoulos,, A.A., and Kilias,, S. Analysis of potential field anomalies in Lavrion mining area, Greece. Geophysics, 63, 6, 1965-1970, 1970, 1998
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΒΟΡΕΙΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΟΛΟ ΝΕΚΡΟΠΟΛΙΣ ΣΑΒΒΙΝΩΝ (700-300 300 b.c.).) at Colle del Forno (Montelibretti,, Roma) Gradient if the Total Magnetic Field 20 20 Reduced to Pole data 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 m 30 25 20 15 10 5 0-5 -10-15 -20-25 -30-35 -40-45 18 16 14 12 10 8 6 4 20 15 10 5 0-5 -10-15 -20-25 -30-35 nt/m -40 nt/m 2 0 0 2 4 6 8 10 S. Piro, P.I.Tsourlos and G.N. Tsokas. Cavity detection employing advanced geophysical techniques: a case study. European Journal of Environmental and Engineering Geophysics, 6, 3-31, 2001.
Μετασχηματισμός Ψευδοβαρύτητας Η σχέση Poisson συνδέει το μαγνητικό δυναμικό V(P) με την ένταση του πεδίου βαρύτητας κατά τη διεύθυνση της μαγνήτισης g m, εφ όσον η πηγή και των δύο αυτών πεδίων έχει ομοιόμορφη μαγνήτιση και πυκνότητα. Η σχέση αυτή είναι V ( P) = C m M Gρ όπου Μ είναι το μέτρο της ομοιόμορφης μαγνήτισης και ρ είναι η ομοιόμορφη πυκνότητα. g m
Μετασχηματισμός Ψευδοβαρύτητας Ο Baranov (1957) χρησιμοποίησε πρώτος τη σχέση Poisson με σκοπό τον μετασχηματισμό των μαγνητικών ανωμαλιών σε μια μορφή όπου θα έχει αναιρεθεί μεγάλο ποσοστό της ασυμμετρίας λόγω της μαγνητικής έγκλισης. Ο ίδιος ερευνητής ονόμασε τον μετασχηματισμό αυτό ως «μετασχηματισμό ψευδοβαρύτητας» και το αποτέλεσμα ως «ψευδοβαρύτητα»
Μετασχηματισμός Ψευδοβαρύτητας Η υλοποίησή του γίνεται πιο εύκολα στην περιοχή των κυματαρίθμων και για το λόγο αυτό παίρνουμε τον ΜF της σχέσης Poisson Gρ I[ g m ] = I[ V ] C M Από τη σχέση αυτή μπορούμε να καταλήξουμε (Pedersen 1978, Blakely 1995) G e I[ ΔT psg ] = I[ ΔT ] C κ Θ Θ M m m m f
Μετασχηματισμός Ψευδοβαρύτητας 50000 40000 30000-16000 -8000 0 8000 16000 24000 Αερομαγνητικά δεδομένα Περιοχή Ξάνθης Φαίνεται η ακτογραμμή, η λιμνοθάλασσα του Πόρτο Λάγο και ο ποταμός Νέστος. Η κεντρική ανωμαλία οφείλεται στο γρανίτη της Ξάνθης. Οι ισανώμαλες είναι σε αυθαίρετες μονάδες. 20000 10000 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 Δεδομένα: Σκιάνης Γ. Α και Μέμου Γ. Αερομαγνητικός χάρτης Μακεδονίας-Θράκης Θράκης, ΙΓΜΕ 1989. Επεξεργασία και ερμηνεία: Tsokas,, G.N., Christofides G.C. and Papakonstantinou C. PAGEOPH, 146,2, 365-392, 392, 1996.
ΦΙΛΤΡΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ Total field anomaly Spatial distribution of magnetization After inverse filtering -10-8 -6-2 2 8 14 20 15 Prism buried at 1 grid unit Depth extent 1 grid unit Äk=0.0005 CGS 20 15 5 8 14 10 10 5 5 0 0 5 10 15 20 0 0 5 10 15 20 Tsokas,, G.N and Papazachos,, C.B. Two-dimensional inversion filters in magnetic prospecting: Application to the exploration for buried antiquities. Geophysics, 57, 1004-5013, 1992.
ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΒΑΡΥΤΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ N Tsokas,, G.N., Hansen, R.O., Fytikas,, M., Vassilelis,, G.D., Thanassoulas,, C. Geological and geophysical study of Kimolos (Greece) and geothermal implications. Geothermics,, 24, 5/6, 679-693, 693, 1995.
EXPLORATION AT THE SITE HOSTING THE RUINS OF ANCIENT EUROPOS NEAR KILKIS IN N. GREECE
SURVEY IN THE AREA OF THE WORKSHOPS G.N. Tsokas,, A. Giannopoulos, P.Tsourlos,, G. Vargemezis,, J.M. Tealby,, A. Sarris,, C.B. Papazachos,, T. Savopoulou. A large scale geophysical survey in the archaeological site of Europos (nothern Greece). Journal of Applied Geophysics,, 32, 85-98, 1994
MAGNETIC GRADIENT FOOTHILS OF AKROPOLIS AREA OF WORKSHOPS G.N. Tsokas,, A. Giannopoulos, P.Tsourlos,, G. Vargemezis,, J.M. Tealby,, A. Sarris,, C.B. Papazachos,, T. Savopoulou.. A large scale geophysical survey in the archaeological site of o Europos (nothern Greece). Journal of Applied Geophysics,, 32, 85-98, 1994
ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΗΣ ΒΕΡΓΙΝΑΣ 2xπxΔV/ΔI VERGHINA WALL DATA 1989 Total Field - 46000 nt 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0-20 -40-60 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 0 0 10 20 30 40 50 60 N N 40 30 20 10 0 5 10 15 20 0 40 45 50 55 60 420 410 400 390 380 370 360 350 340 330 320 310 300 290 280 270 260 250
ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΗΣ ΒΕΡΓΙΝΑΣ VERGHINA WALL DATA 1989 Reduced to Pole 60 0 10 20 30 40 nt 190 150 110 70 30-10 -50-90 -130-170 -210-250 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 N
ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΗΣ ΒΕΡΓΙΝΑΣ VERGHINA WALL DATA 1989 Terraced data 0 10 20 30 40 60 N 190 150 110 70 30-10 -50-90 -130-170 -210-250 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60
ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΗΣ ΒΕΡΓΙΝΑΣ VERGHINA WALL DATA 1989 Total Field - 46000 nt 60 0 10 20 30 40 N 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0-20 -40-60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60-14 -6 2 10 18 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Σχέση που συνδέει το δυναμικό f(p) σε σημείο P που προκαλεί μία κατανομή μάζας ή μαγνήτισης S(Q) f ( P) = S( Q) Ψ( P, Q) dv V (1) Blakely, 1995 Γραμμικό Αντίστροφο Πρόβλημα Επίλυση (1) ως προς την κατανομή S(Q) Μη Γραμμικό Αντίστροφο Πρόβλημα Επίλυση (1) ως προς ιδιότητες όγκου ΜΗ ΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗ ΛΥΣΗ ΣΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ
ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ EULER Εύρεση βάθους ταφής θέσης σχετικά απλής δομής Εφαρμογή σε οδεύσεις Εξίσωση Euler r. f = -nf f Συνάρτηση δυναμικού r Διάνυσμα θέσης n Δομικός δείκτης ή ρυθμός απόσβεσης Είδος Δομής n = 1 Γραμμική μάζα n = 2 Σημειακή μάζα n = 3 Σημειακό δίπολο
ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ EULER x ΔΤ i y ΔΤ i z ΔΤ i x y y x z z 0 0 0 = n ΔΤ i m 3 x 3 1 x m 1 x ΔΤi Ανωμαλία ολικού βαρυτικού ή μαγνητικού πεδίου x, y, z Συντεταγμένες i σημείου μέτρησης x 0, y 0, z 0 Συντεταγμένες του κέντρου της δομής ΜΕΤΑΛΛΕΥΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ WERNER WERNER 1 4 4 m 1 m b b a a x x 1 i x x x x 1 o 1 o i i i i 2 i ΔΤ ΔΤ = ΔΤ
ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ WERNER ΜΕ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΣΗΜΑ Αναλυτικό σήμα (Nabighian,, 1972) A( x, z) = T( x, z) + T( x, z) z x Αναλυτική συνάρτηση μιγαδικής μεταβλητής x + iz Μέτρο Α max πάνω από κορυφή υπεδάφιας κεκλιμένης δομή
ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ WERNER ΜΕ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΣΗΜΑ Μιγαδικές σταθερές α,b ώστε xa(x) ) + bα(x) b = -α Αναλυτικό σήμα πεδίου υπεδάφιας επαφής 1 A( x) = α x x1 iz 1 ή xa( x) ( x1+ iz 1) A( x) = α 1 α 1 Μιγαδική σταθερά Εξαρτάται: Δκ κατά μήκος επαφής - Γωνία κλίσης
Hansen & Simmonds (1993) Ν επαφές - 2D δομές των οποίων η τομή με το ΧΟΖ είναι πολυγωνική γραμμή Αναλυτικό σήμα ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ WERNER ΜΕ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΣΗΜΑ Βασίζεται στο ότι υπάρχουν α k, b k μιγαδικές σταθερές n 1 α k k= 0 x k ό n 1 + b xka( x) + x k= 0 k n A( x) = n που j= 1 w n j x x = x α j j j iz + iz n j A( x) = 0 n j
ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ WERNER ΜΕ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΣΗΜΑ Επίλυση με QR decomposition Καλή σταθερότητα ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΛΛΗΛΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΗΓΩΝ ΓΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΗ ΑΝΩΜΑΛΙΑ Εύρεση θέση και βάθος δομής n 1 k= 0 b k w k j + w = 0 Εύρεση γωνία κλίσης και επιδεκτικότητας α = j n 1 l= 1, l j α w k= 0 n k ( w j n j k j w ) l
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ MSWD Tsokas & Hansen (1997)
ΤΟΜΗ AEGEAN Tsokas & Hansen (1997)
ΤΟΜΗ IONIAN
Χάρτης της Ελλάδας που φαίνεται το βάθος της ασυνέχειας Moho Tsokas & Hansen (1997)