Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 1 / 44 ύο Ϲητήµατα εγείρονται όταν συζητούµε για ισορροπία αγοράς. Το πρώτο έχει σχέση µε την ύπαρξη ισορροπίας. Υπάρχουν πάντοτε τιµές που ισορροπούν την αγορά; Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 2 / 44 Για να απαντήσουµε ας πάρουµε την απλή περίπτωση 2 καταναλωτών (, ) και δύο αγαθών (1, 2) σε µια απλή ανταλλακτική οικονοµία. Συµβολίζουµε µε i (J) την αρχική κατανοµή σε αγαθό i του καταναλωτή J και µε x(j, p) τη µαρσαλιανή Ϲήτηση του καταναλωτή J. Ορίζουµε ως υπερβάλλουσα Ϲήτηση για τον καταναλωτή J: z(j, p) x(j, p) (J) Από τις υποθέσεις του υποδείγµατός µας προκύπτουν: 1 z(j, p) είναι συνεχής συνάρτηση αφού η µαρσαλιανή Ϲήτηση είναι συνεχής. 2 z(j, p) είναι οµογενής ϐαθµού 0. 3 Οι καταναλωτές ϑα καταναλώνουν όλο τους το εισόδηµα (Νόµος του Walras). Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 3 / 44 1 Από την οµογένεια προκύπτει ότι µπορούµε να τυποποιήσουµε (normalis) τις τιµές σε + p 2 = 1. 2 Από το νόµο του Walras έπεται ότι: x 1 (J, p) + p 2 x 2 (J, p) = 1 (J) + p 2 2 (J) z 1 (J, p) + p 2 z 2 (J, p) = 0 z 1 (J, p) + (1 )z 2 (J, p) = 0 (1) Εποµένως αν z 1 = 0 (ισορροπεί η αγορά του αγαθού 1) z 2 = 0 (ϑα ισορροπεί και η αγορά του αγαθού 2). 3 Λόγω µονοτονικότητας των προτιµήσεων, όταν η τιµή ενός αγαθού τείνει στο 0, η υπερβάλλουσα Ϲήτηση για το αγαθό αυτό ϑα γίνεται αυθαίρετα µεγάλη. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 4 / 44
4 z(p) = z(, p) + z(, p) (η υπερβάλλουσα Ϲήτηση της οικονοµίας είναι το αθροισµα των υπερβαλλουσών Ϲητήσεων των µελών της. 5 Ας πάρουµε την αγορά του αγαθού 1. Οταν η τιµή 0 ή υπερβάλλουσα Ϲήτηση για αγαθό 1 ϑα γίνεται αυθαίρετα µεγάλη. 6 Οταν η τιµή 1 p 2 0 η υπερβάλλουσα Ϲήτηση για αγαθό 2 ϑα γίνεται αυθαίρετα µεγάλη. Αυτό σηµαίνει ότι p 2 z 2 (p) > 0 κοντά στο 1 ( = 1 ɛ). 7 Από το νόµο του Walras (p + pz 2 (p) = 0) όµως έπεται ότι για 1, < 0. 8 Αφού κοντά στο = 0, > 0 και κοντά στο = 1, < 0, και αφού η υπερβάλλουσα Ϲήτηση είναι συνεχής ϑα υπάρχει κάποιο p (0, 1) 1 µε z 1(p ) = 0 και η αγορά του αγαθού 1 ϑα ισορροπεί. Θα 1 ισορροπεί και η αγορά του αγαθού 2 (από το νόµο του Walras). Q.E.D. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 5 / 44 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 6 / 44 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 7 / 44 p Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 8 / 44
Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 9 / 44 p 1 p 2 p 3 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 10 / 44 Για να δούµε γραφικά την Βαλρασιανή ισορροπία στο κουτί του Edgworth µπορούµε να προχωρήσουµε και ως εξής: Θα κατασκευάσουµε την καµπύλη τιµής κατανάλωσης που έχουµε δει στον καταναλωτή (offr curv) για τους δύο καταναλωτές µέσα στο κουτί. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 11 / 44 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 12 / 44
Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 13 / 44 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 14 / 44 p 2 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 15 / 44 p 2 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 16 / 44
p 2 p 3 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 17 / 44 p 2 p 3 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 18 / 44 Καμπύλη τιμής κατανάλωσης Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 19 / 44 Ας κατασκευάσουµε και την καµπύλη τιµών-κατανάλωσης για τον καταναλωτή : Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 20 / 44
Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 21 / 44 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 22 / 44 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 23 / 44 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 24 / 44
Στο σηµείο που τέµνονται οι δύο καµπύλες έχουµε Βαλρασιανή ισορροπία. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 25 / 44 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 26 / 44 Καμπύλη τιμής κατανάλωσης Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 27 / 44 Καμπύλη τιμής κατανάλωσης Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 28 / 44
Μοναδικότητα ϐαλρασιανής ισορροπίας. Θα πρέπει να είναι προφανές ότι η Βαλρασιανή ισορροπία δεν είναι µοναδική. Οταν δείξαµε την ύπαρξη είδαµε ότι η υπερβάλλουσα Ϲήτηση τέµνει τον οριζόντιο άξονα τουλάχιστον για µία τιµή. Τίποτα δεν εγγυάται ότι δεν τον τέµνει περισσότερες από µία ϕορές όπως δείξαµε και στο σχήµα. Για την ακρίβεια ϑα µπορούσε να «ταυτίζεται» µε µε ένα κοµµάτι (υποσύνολο) του οριζόντιου άξονα, υποδηλώνοντας άπειρες ϐαλρασιανές ισορροπίες (στο παρακάτω διάγραµµα όλες οι τιµές µεταξύ p 1 και p 2 είναι τιµές ισορροπίας. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 29 / 44 p 1 p 2 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 30 / 44 Σχήµα : Αρχική κατανοµή. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 31 / 44 Σχήµα : Καµπύλη τιµών κατανάλωσης Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 32 / 44
Σχήµα : Καµπύλη τιµών κατανάλωσης Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 33 / 44 Σχήµα : Απειρες Βαλρασιανές ισορροπίες. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 34 / 44 Μοναδικότητα ϐαλρασιανής ισορροπίας. Εν γένει τέτοιες περιπτώσεις είναι παθολογικές και δεν συµβαίνουν συχνά. Για την ακρίβεια η «πιθανότητα» να συµβεί κάτι τέτοιο είναι 0. Οι ισορροπίες ωστόσο µπορεί να είναι πολλές. Θα είναι όµως: 1 Πεπερασµένες. 2 Αρα τοπικά αποµονωµένες (οι παραπάνω δεν ήταν. «ίπλα» σε κάθε ισορροπία υπήρχαν άλλες). 3 Περιττού αριθµού. Περίπτωση τυπικής πολλαπλής ισορροπίας στο κουτί του Edgworth, δίνεται από το παρακάτω διάγραµµα. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 35 / 44 Σχήµα : Αρχική κατανοµή. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 36 / 44
Σχήµα : Καµπύλη τιµών κατανάλωσης. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 37 / 44 Σχήµα : Καµπύλη τιµών κατανάλωσης. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 38 / 44 C Σχήµα : Πολλαπλές Βαλρασιανές ισορροπίες. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 39 / 44 C Σχήµα : Επαφή καµπυλών αδιαφορίας στην ισορροπία C. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 40 / 44
C Σχήµα : Επαφή καµπυλών αδιαφορίας στην ισορροπία. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 41 / 44 C Σχήµα : Επαφή καµπυλών αδιαφορίας στην ισορροπία. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 42 / 44 Κανονικές οικονοµίες. Ενας πλήρης ορισµός της κανονικής οικονοµίας είναι πέρα από προπτυχιακό µάθηµα. Για µας αρκεί να πούµε ότι µια οικονοµία είναι κανονική (rgular) όταν ο αριθµός των ϐαλρασιανών ισορροπιών της είναι πεπερασµένος. Θεώρηµα (Dbru (1970), Economtrica) Για σχεδόν όλες τις πιθανές αρχικές κατανοµές () η ανταλλακτική οικονοµία που περιγράψαµε µε n καταναλωτές είναι κανονική. Με άλλα λόγια ο αριθµός των οικονοµιών που δεν είναι κανονικές είναι πολύ µικρός σε σχέση µε τον αριθµό των κανονικών οικονοµιών. Αρα η πιθανότητα όταν επιλέγουµε µια οικονοµία στην τύχη να έχει περιορισµένο αριθµό ισορροπιών είναι 1. Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 43 / 44 Ολα είναι πιθανά. Απροσδιοριστία σε υποδείγµατα γενικής ισορροπίας. Εχουµε δει ότι εν γένει µια ανταλλακτική οικονοµία ϑα έχει πολλές ισορροπίες κάτω από τις υποθέσεις που έχουµε κάνει για τους καταναλωτές. Υπάρχει περίπτωση να περιορίσουµε τις οικονοµίες ώστε να κάνουµε κάποια πρόβλεψη; Η απάντηση είναι τελείως αρνητική. Θεώρηµα (Sonnnschin-Mantl-Dbru ) Για οποιαδήποτε οµογενή µηδενικού ϐαθµού συνάρτηση υπερβάλλουσας Ϲήτησης z(p) που ικανοποιεί το νόµο του Walras, µπορούµε να ϐρούµε µια οικονοµία n καταναλωτών των οποίων οι συναρτήσεις υπερβάλλουσας Ϲήτησης αθροίζονται σε z(p). Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 44 / 44