(g 1, h 1 ), (g 2, h 2 ) G 1 G 2, τότε (g 1, h 1 ) (g 2, h 2 ) = (g 1 g 2, h 1 h 2 ).

Κεφάλαιο 7 Ομάδες Lie Σύνοψη Μια ομάδα Lie είναι μια λεία πολλαπλότητα και ταυτόχρονα ομάδα, τέτοια ώστε οι πράξεις της ομάδας να είναι λείες απεικονίσεις. Η δομή της ομάδας προσδίδει ιδιαίτερα πλούσια χαρακτηριστικά στις πολλαπλότητες αυτές. Για παράδειγμα, η μελέτη του εφαπτόμενου χώρου αρκεί να γίνει μόνο στο ουδέτερο στοιχείο της ομάδας. Τα πιο σημαντικά παραδείγματα ομάδων Lie είναι οι ομάδες πινάκων, δηλαδή κλειστές υποομάδες της γενικής γραμμικής ομάδας. Μια ιδιαίτερα σημαντική κλάση διανυσματικών πεδίων σε μια ομάδα Lie είναι τα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία. Μέσω αυτών ορίζεται ένα αλγεβρικό αντικείμενο, η άλγεβρα Lie μιας ομάδας Lie. Ετσι ορίζεται ένα γινόμενο Lie στο εφαπτόμενο χώρο της στο ουδέτερο στοιχείο. Ιδιαίτερα χρήσιμες καμπύλες σε μια ομάδα Lie είναι οι μονοπαραμετρικές υποομάδες και μέσω αυτών ορίζεται η εκθετική απεικόνιση. Για την περίπτωση των ομάδων πινάκων, αυτή είναι η συνηθισμένη εκθετική απεικόνιση πινάκων. Οι αναφορές μας είναι τα βιβλία [1], [2], [6], [8] και [11]. Το βιβλίο [12] είναι πιο προχωρημένο. Προαπαιτούμενη γνώση Διαφορικός λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, εισαγωγή στις πολλαπλότητες, γραμμική άλγεβρα. Μια ομάδα Lie είναι μια λεία πολλαπλότητα G, η οποία είναι ταυτόχρονα και ομάδα (υπό τη γνωστή αλγεβρική έννοια), έτσι ώστε οι πράξη της ομάδας, καθώς και η απεικόνιση αντιστροφής να είναι λείες απεικονίσεις. Αποτελούν μια εξαιρετικά σημαντική κλάση πολλαπλοτήτων με μεγάλο εύρος εφαρμογών στη γεωμετρία, στη φυσική, στην αρμονική ανάλυση, στις διαφορικές εξισώσεις, αλλά και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών όπως στατιστική, θεωρία ελέγχου κ.ά. Οι ομάδες Lie χρησιμοποιήθηκαν από τον Felix Klein για τη θεμελίωση της γεωμετρίας στο πρόγραμμα του Erlangen, θέμα το οποίο θα συζητήσουμε στο Κεφάλαιο 10. Για τους λόγους αυτούς, ένα μεγάλο τμήμα του βιβλίου αυτού ασχολείται με τις ομάδες Lie και τη γεωμετρία τους. Ο σπόρος της θεωρίας των ομάδων Lie βρίσκεται στις προσπάθειες του Sophus Lie περί το 1870 να αναπτύξει μια θεωρία συμμετριών για την επίλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Η αρχική ονομασία που έδωσε ο Lie στις συμμετρίες αυτές ήταν συνεχείς ομάδες. Ο όρος ομάδα Lie δόθηκε το 1893 από τον

2 Ομάδες Lie μαθητή του Lie, Arthur Tresse ([10]), αλλά η πιο ευρεία χρήση του οφείλεται στον Henri Cartan περί το 1930. Για διάφορα ιστορικά θέματα σχετικά με ομάδες Lie παραπέμπουμε στο βιβλίο [5]. Ο στόχος του Lie ήταν η ανάπτυξη μια θεωρίας ανάλογης αυτής της θεωρίας του Évariste Galois, σύμφωνα με την οποία τη θέση της λύσης μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ριζικά, θα έπαιρνε μια πεπερασμένη ομάδα συμμετριών μιας διαφορικής εξίσωσης. Οι διαφορικές εξισώσεις που μελετούσε τότε ο Lie είναι γνωστές ως εξισώσεις τύπου Lie, τυπικό παράδειγμα των οποίων είναι η εξίσωση Riccati. Τα απλούστερα παραδείγματα ομάδων Lie είναι οι ομάδες ισομετρικών των R n, C n και H n (H είναι το σύνολο των υπερμιγαδικών αριθμών), απ όπου προκύπτουν η ορθογώνια ομάδα O(n), η μοναδιαία ομάδα U(n) και η συμπλεκτική ομάδα Sp(n). 7.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 7.1. Εστω G μια λεία πολλαπλότητα. Τότε η G ονομάζεται ομάδα Lie, εάν (i) Η G είναι ομάδα. (ii) Οι απεικονίσεις µ : G G G, (x, y) xy και i : G G, x x 1 να είναι λείες. Επειδή σε κάθε ομάδα Lie οι πράξεις της ομάδας είναι λείες απεικονίσεις, τότε θα είναι και συνεχείς, οπότε οι ομάδες Lie είναι τοπολογικές ομάδες. 1 Η διάσταση μιας ομάδας Lie G είναι η διάσταση της G ως λεία πολλαπλότητα. Παραδείγματα. 1. Τα σύνολα R n, C n και H n είναι ομάδες Lie με πράξη την πρόσθεση και αν εξαιρέσουμε το μηδενικό στοιχείο γίνονται ομάδες Lie με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Εδώ με H συμβολίζουμε το σύνολο των υπερμιγαδικών αριθμών (quaternions), δηλαδή αριθμών της μορφής q = t + xi + yj + zk, t, x, y, z R, όπου {1, i, j, k} είναι μια βάση του R 4. Ο πολλαπλασιασμός ορίζεται από τις σχέσεις i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = k, ji = k, ik = j, ki = j, kj = i, jk = i και στη συνέχεια με γραμμική επέκταση στο H. Ισχύει ότι H = R 4 = C 2. Θα αναφερθούμε εκτενέστερα στους υπερμιγαδικούς αριθμούς και στους ισομορφισμούς αυτούς, πιο κάτω. 2. Ο μοναδιαίος κύκλος S 1 είναι μια ομάδα Lie. Μπορούμε να ταυτίσουμε τον κύκλο S 1 με το σύνολο {z C : z = 1}, όλων των μιγαδικών αριθμών με μέτρο μονάδα, το οποίο είναι ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό στο C. Η ταύτιση αυτή γίνεται ως εξής: (cos θ, sin θ) e iθ, i = 1. Βλέπε περισσότερα στην υποπαράγραφο 7.1.1. 3. Αν G 1, G 2 είναι δύο ομάδες Lie, τότε το γινόμενο αυτών G 1 G 2 είναι λεία πολλαπλότητα και γίνεται ομάδα Lie με πράξη τον πολλαπλασιασμό στην ομάδα G 1 G 2, ο οποίος ορίζεται ως εξής: αν (g 1, h 1 ), (g 2, h 2 ) G 1 G 2, τότε (g 1, h 1 ) (g 2, h 2 ) = (g 1 g 2, h 1 h 2 ). Ο n-διάστατος δακτύλιος T n = S 1 S 1 είναι ένα τέτοιο παράδειγμα. 4. Η γενική γραμμική ομάδα (general linear group) GL n R είναι το πιο σημαντικό παράδειγμα ομάδας Lie. Το σύνολο GL n R αποτελείται από όλους τους n n αντιστρέψιμους πίνακες, δηλαδή GL n R = {A M n (R) : det A 0}, 1 Ενα σύνολο G ονομάζεται τοπολογική ομάδα, αν το G είναι τοπολογικός χώρος, ομάδα και οι πράξεις της ομάδας είναι συνεχείς συναρτήσεις.

Ορισμός και παραδείγματα 3 και αποτελεί ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Γνωρίζουμε από το Κεφάλαιο 2 ότι το σύνολο GL n R είναι μια πολλαπλότητα διάστασης n 2. Θα δείξουμε ότι οι πράξεις του γινομένου πινάκων και του αντιστρόφου ενός πίνακα, είναι λείες απεικονίσεις. Πράγματι, το γινόμενο δύο πινάκων A = (α ij ) και B = (β ij ) της γενικής γραμμικής ομάδας δίνεται ως AB = n k=1 α ikβ kj, δηλαδή τα στοιχεία του γινομένου είναι πολυώνυμα. Συνεπώς, ο πολλαπλασιασμός πινάκων, GL n R GL n R GL n R, (A, B) AB είναι λεία συνάρτηση. Επίσης, γνωρίζουμε ότι ο αντίστροφος πίνακας του A δίνεται από την σχέση A 1 = 1 deta adja, όπου adja είναι ο προσαρτημένος πίνακας του A, άρα τα στοιχεία του A 1 θα είναι πολυώνυμα, οπότε η απεικόνιση GL n R GL n R, A A 1 θα είναι λεία. Συνεπώς, η GL n R είναι μια ομάδα Lie. Με το ίδιο σκεπτικό οι ομάδες GL n C και GL n H είναι ομάδες Lie. Από τη γραμμική άλγεβρα γνωρίζουμε ότι η GL n R είναι ισόμορφη με την ομάδα όλων των αντιστρέψιμων γραμμικών απεικονίσεων f : R n R n (με πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων), δηλαδή το σύνολο των αυτομορφισμών του R n. Η ομάδα αυτή συμβολίζεται με Aut(R n ). Ανάλογα, αποδεικνύεται ότι η ειδική γραμμική ομάδα GL n C όλων των αντιστρέψιμων μιγαδικών πινάκων είναι ομάδα Lie. 5. Η ειδική γραμμική ομάδα (special linear group) SL n R είναι η υποομάδα της GL n R που αποτελείται από όλους τους πίνακες με ορίζουσα ίση με 1. Εχουμε αποδείξει στο Κεφάλαιο 3 ότι η SL n R είναι μια κανονική υποπολλαπλότητα της GL n R διάστασης n 2 1. Το ότι οι πράξεις του γινομένου και της αντιστροφής είναι λείες απεικονίσεις είναι κάπως πιο δύσκολο να αποδειχθεί και το παραλείπουμε. Ανάλογα προκύπτει ότι η ομάδα SL n C = {A GL n C : det A = 1} είναι ομάδα Lie. 6. Η ορθογώνια ομάδα (orthogonal group) ορίζεται ως O(n) = {A GL n R : AA t = I}, (όπου A t είναι ο ανάστροφος του πίνακα A). Θα αποδείξουμε ότι η ορθογώνια ομάδα είναι μια κανονική υποπολλαπλότητα της GL n R. Το ότι οι πράξεις της ομάδας είναι λείες απεικονίσεις, δεν είναι προφανές και το παραλείπουμε. Εστω Sym n R το σύνολο όλων των n n συμμετρικών πινάκων. Το σύνολο Sym n R είναι ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n(n + 1)/2 (άσκηση). Θεωρούμε την απεικόνιση f : GL n R Sym n R, f(a) = AA t. Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του κανονικού συνόλου στάθμης (Θεώρημα 3.2), συνεπώς πρέπει να αποδείξουμε ότι το διαφορικό df A : T A (GL n R) T f(a) (Sym n R) = Sym n R είναι επί, για κάθε A GL n R, n 2. Επειδή το σύνολο GL n R είναι ανοικτό υποσύνολο του M n (R) θα έχουμε ότι T A (GL n R) = T A (M n (R)) = M n (R), για κάθε A GL n R. Λόγω της Πρότασης 3.9, για κάθε πίνακα X M n (R) υπάρχει καμπύλη γ(s) στην GL n R, τέτοια ώστε γ(0) = A και γ (0) = X.

4 Ομάδες Lie Χρησιμοποιούμε την Πρόταση 3.11 και υπολογίζουμε: df A (X) = d ds f(γ(s)) s=0 = γ(s)γ(s) t s=0 = (γ (s)γ(s) t + γ(s)(γ (s)) t ) s=0 = XA t + AX t. Για να αποδείξουμε ότι η f είναι επί, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε A O(n) και για κάθε B Sym n R υπάρχει ένας n n πίνακας X τέτοιος ώστε XA t + AX t = B. Πράγματι, η παραπάνω εξίσωση έχει τη λύση X = 1 2 B(At ) 1 (άσκηση). Συνεπώς, από το θεώρημα του κανονικού συνόλου στάθμης το σύνολο O(n) = f 1 (I) είναι μια κανονική υποπολλαπλότητα της GL n R διάστασης dim O(n) = n 2 dim Sym n R = n 2 n2 + n 2 = n(n 1). 2 7. Η μοναδιαία ομάδα (unitary group) ορίζεται ως U(n) = {A GL n C : AĀt = I}. Με παρόμοιο τρόπο και ελαφρά προσαρμογή του Παραδείγματος 6 προκύτει ότι η U(n) είναι ομάδα Lie. Η διάστασή της είναι dimu(n) = dimgl n C dimskew n (C) = 2n 2 n 2 = n 2, όπου Skew n (C) είναι το σύνολο των αντιερμιτιανών πινάκων. 8. Η συμπλεκτική ομάδα (symplectic group) Sp(n) = {A GL n H : AĀt = I}. Ο συζυγής ενός υπερμιγαδικού q = t+ix+jy +kz ορίζεται ως q = t ix iy kz. Βλέπε περισσότερα στην υποπαράγραφο 7.1.1. Αποδεικνύεται ότι η συμπλεκτική ομάδα είναι ομάδα Lie διάστασης 2n 2 + n. Πολλές φορές αυτή εκφράζεται και ως ( Sp(n) = {A U(2n) : A t J = JA 1 0 In }, όπου J = I n 0 9. Η ειδική ορθογώνια ομάδα (special linear group) και η ειδική μοναδιαία ομάδα (special unitary group) ορίζονται αντίστοιχα ως SO(n) = {A O(n) : deta = 1} και SU(n) = {A U(n) : deta = 1}. Ισχύει ότι SO(n) = O(n) SL n R και SU(n) = U(n) SL n C. Η διάσταση αυτών είναι αντίστοιχα 1 2n(n 1) και n 2 1. 10. Η Ευκλείδεια ομάδα ορίζεται ως cos θ sin θ x E(2) = sin θ cos θ y. 0 0 1 Βρείτε τη διάστασή της. Για ποιό λόγο πιστεύετε ότι ονομάζεται έτσι; Οι παραπάνω διαστάσεις μπορούν να υπολογιστούν και μέσω της εύρεσης του εφαπτόμενου χώρου μιας ομάδας Lie, όπως θα δούμε στην παράγραφο 7.2. ).

Ορισμός και παραδείγματα 5 Οι ομάδες Lie O(n), U(n) και Sp(n) μπορούν να οριστούν και ως οι ομάδες ισομετριών του R n, C n και H n αντίστοιχα, ως εξής. Εστω K {R, C, H} και ορίζουμε στο K το εσωτερικό γινόμενο, με τιμή (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) = x 1 ȳ 1 +... + x n y n. Θεωρούμε το σύνολο O(n, K) = {A M n (K) : xa, ya = x, y για όλα τα x, y K n }. Τότε είναι εύκολο να δούμε ότι το σύνολο O(n, K) ισούται με τις ομάδες O(n), U(n) και Sp(n), όταν K = R, C και H αντίστοιχα. Οι ομάδες Lie GL n R, SL n R, SO(n), O(n), GL n C, U(n), κλπ είναι γνωστές και ως οι κλασικές ομάδες Lie (classical Lie groups). Ταυτόχρονα, είναι και παραδείγματα ομάδων πινάκων (matrix groups). Μια ομάδα πινάκων είναι μια κλειστή υποομάδα μιας γενικής γραμμικής ομάδας (GL n R, κλπ). Για εύληπτες εισαγωγές στις ομάδες πινάκων παραπέμπουμε στα βιβλία [3] και [9]. Θα αναφέρουμε παρακάτω ένα σημαντικό αποτέλεσμα για τις κλειστές υποομάδες μιας ομάδας Lie. Χρειαζόμαστε αρχικά τους εξής ορισμούς. Ορισμός 7.2. (α) Μια υποομάδα Lie H μιας ομάδας Lie G είναι μια υποομάδα της G υπό την αλγεβρική έννοια, η οποία είναι ταυτόχρονα μια εμβαπτισμένη υποπολλαπλότητα της G, ώστε οι πράξεις της ομάδας H να είναι λείες 2. (β) Μια κλειστή υποομάδα H μιας ομάδας Lie G είναι μια υποομάδα της G, η οποία είναι κλειστό υποσύνολο της G. Μια υποομάδα Lie H G δεν έχει απαραίτητα την επαγόμενη τοπολογία της G. Το παρακάτω θεώρημα είναι αρκετά δύσκολο στην απόδειξή του. Θεώρημα 7.1. (Θεώρημα της κλειστής υποομάδας). Μια κλειστή υποομάδα H μιας ομάδας Lie G είναι μια κανονική υποπολλαπλότητα της G, άρα και μια υποομάδα Lie της G. Ειδικότερα, η H έχει την επαγόμενη τοπολογία. Παράδειγμα. Οι ομάδες SL n R, O(n), SO(n) είναι κλειστές υποομάδες της GL n R, άρα σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα είναι υποομάδες Lie της GL n R. Παρατήρηση. Αν και η μελέτη των ομάδων πινάκων μας δίνει μια πολύ καλή πληροφόρηση για την όλη θεωρία των ομάδων Lie, δεν ισχύει ότι μια ομάδα Lie είναι ομάδα πινάκων. Ενα τέτοιο παράδειγμα είναι η oμάδα του Heisenberg 3 H, η ακριβής περιγραφή της οποίας απαιτεί κάποια στοιχεία άλγεβρας. Παρόλα αυτά, αναφέρουμε ότι αυτή είναι της μορφής H = Nil 3 /Z, όπου Nil 3 είναι το σύνολο των πινάκων της μορφής 1 a b 0 1 c, (a, b, c R) 0 0 1 2 Ο λόγος που μια υποομάδα Lie ορίζεται ως μια εμβαπτισμένη και όχι ως μια κανονική υποπολλαπλότητα της G, είναι ο εξής: Σύμφωνα με το Πόρισμα 7.1 και το Θεώρημα 7.2 που θα δούμε παρακάτω, υπάρχει μια 1 1 αντιστοιχία μεταξύ συνεκτικών υποομάδων Lie μιας ομάδας Lie G και υποαλγεβρών Lie της άλγεβρας Lie g της G. Επειδή όμως οι ευθείες με άρρητες κλίσεις του δακτυλίου T 2 (βλ. Άσκηση 12) είναι εμβαπτισμένες, αλλά όχι κανονικές, υποπολλαπλότητες του T 2, τότε η παραπάνω αντιστοιχία δεν θα ίσχυε, διότι θα έπρεπε τότε να τις εξαιρούσαμε από υποομάδες Lie του δακτυλίου (βλ. και [11] για περαιτέρω εξήγηση). 3 Werner Karl Heisenberg, θεμελιωτής της κβαντομηχανικής.

6 Ομάδες Lie και Z μια διακριτή κανονική υποομάδα της H. Αποδεικνύεται ότι η H είναι μια ομάδα Lie, αλλά δεν είναι δυνατόν να εκφραστεί ως κλειστή υποομάδα της GL n C. 7.1.1 Ομάδες Lie μικρής διάστασης Θα περιγράψουμε αναλυτικά κάποιες υποομάδες της O(n, K) για μικρές τιμές του n. Συγκεκριμένα, θα περιγράψουμε τους ισομορφισμούς SO(1) = SU(1) = {1}, O(1) = {1, 1} = S 0, SO(2) = U(1) = S 1, Sp(1) = SU(2) = S 3. Οι δύο πρώτοι είναι προφανείς, οπότε θα συζητήσουμε τις δύο τελευταίες ομάδες ισομορφισμών. Από την Άσκηση 2 έχουμε ότι {( ) } cos θ sin θ SO(2) = : θ [0, 2π] sin θ cos θ και επιπλέον είναι Επίσης, έχουμε ότι S 1 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} = {e iθ : θ [0, 2π]}. U(1) = {z = x + yi C : z z = 1} = {e iθ : θ [0, 2π]}. Οι πράξεις των ομάδων είναι, στην SO(2) ο πολλαπλασιασμός πινάκων και στον κύκλο S 1 ο πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών e iθ 1 e iθ 2 = e i(θ 1+θ 2 ), άρα U(1) = S 1 = SO(2) (ισομορφισμός ομάδων). Είναι μια ενδιαφέρουσα άσκηση ότι οι ισομορφισμοί αυτοί είναι και αμφιδιαφορίσεις λείων πολλαπλοτήτων. Ερχόμαστε τώρα στους επόμενους ισομορφισμούς. Από τον ορισμό της Sp(1) έχουμε ότι Sp(1) = { A = a + bi + cj + dk GL1 (H) : AĀt = I }. Κάνοντας πράξεις προκύπτει ότι Sp(1) = {a + bi + cj + dk H : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1} = {q H : q = 1} = S 3. Προκειμένου να δείξουμε ότι Sp(1) = S 3 ως ομάδες, χρειάζεται να ορίσουμε πράξη πολλαπλασιασμού στη σφαίρα S 3. Αυτό θα γίνει ορίζοντας έναν πολλαπλασιασμό στο σύνολο των υπερμιγαδικών αριθμών H, οπότε θα κάνουμε μια μικρή παρένθεση για το θέμα αυτό. Θεωρούμε μια βάση του R 4, έστω {1, i, j, k} και ορίζουμε έναν πολλαπλασιαστικό κανόνα για τα στοιχεία της με τον εξής τρόπο: i1 = 1i = i, j1 = 1j = j, k1 = 1k = k, i 2 = 1, j 2 = 1, k 2 = 1, ij = k, jk = i, ki = j, ik = j, kj = i, ji = k. Επεκτείνουμε τώρα το γινόμενο αυτό σε ένα γινόμενο δύο οποιωνδήποτε στοιχείων του R 4 ως εξής: Εστω q 1 = a + bi + cj + dk, q 2 = x + yi + zj + wk. Τότε q 1 q 2 = (ax dy cz dw) + (ay + bx + cw dz)i + (az + cx + dy bw)j + (aw + dx + bz cy)k.

Ο Εφαπτόμενος χώρος μιας ομάδας Lie 7 Η πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ορίζονται κατά συντεταγμένη ως q 1 + q 2 = (a + x, b + y, c + z, d + k), λq 1 = (λa, λb, λc, λd), (λ R). Ο διανυσματικός χώρος R 4 εφοδιασμένος με αυτές τις πράξεις γίνεται (μη μεταθετικό) σώμα, συμβολίζεται με H και καλείται σώμα των υπερμιγαδικών αριθμών (quaternions). Αναφέρονται και ως τετράνια ή κβατέρνια. Το σύνολο αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία στα μαθηματικά και τη φυσική 4. Το συζυγές ενός κβατερνίου q = a + bi + cj + dk ορίζεται ως q = a bi cj dk, το μέτρο του ως q = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = q q = qq και το αντίστροφο ως q 1 = 1 q 2 q. Με πράξη λοιπόν τον πολλαπλασιασμό κβατερνίων η σφαίρα S 3 = {q H : q = 1} εφοδιάζεται με δομή ομάδας και έτσι προκύπτει ο ισομορφισμός Sp(1) = S 3. Θα αποδείξουμε τώρα ότι Sp(1) = SU(2). Ταυτίζουμε τον υπερμιγαδικό αριθμό q με την τετράδα (a, b, c, d) R 4 και στη συνέχεια με το ζεύγος (u 1, u 2 ) C 2, όπου u 1 = a + ib και u 2 = c + id. Ορίζουμε την απεικόνιση ( ) u1 u 2 f : Sp(1) SU(2), (u 1, u 2 ). ū 2 ū 1 Η απεικόνιση αυτή παίρνει πράγματι τιμές στην SU(2). Για να το δείξουμε αυτό, υπολογίζουμε την ορίζουσα ( ) u 1 u 2 det = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = u 1 2 + u 2 2 = 1, ū 2 ū 1 συνεπώς λόγω της Άσκησης 2 προκύπτει ότι η f παίρνει τιμές στην SU(2). Για να δείξουμε το επί, έστω {( ) } z w B = : z 2 + w 2 = 1 SU(2). w z Τότε θέτοντας q = (z, w) = z + wj Sp(1) παίρνουμε ότι f(q) = B. Αξίζει να σημειώσουμε ότι οι S 0, S 1, S 3 είναι οι μόνες σφαίρες που επιδέχονται δομή ομάδας, άρα οι μόνες που είναι ομάδες Lie. 7.2 Ο Εφαπτόμενος χώρος μιας ομάδας Lie Οι ομάδες Lie ως μη γραμμικά αντικείμενα, είναι αρκετά δύσκολα στη μελέτη. Οπως και για μια οποιαδήποτε πολλαπλότητα ο εφαπτόμενος χώρος σε κάθε σημείο τους αποτελεί τη βέλτιστη γραμμική προσέγγιση στο σημείο αυτό. Ωστόσο, το σημαντικό με τη θεωρία των ομάδων Lie είναι ότι χρησιμοποιώντας απεικονίσεις μεταφοράς, (εδώ η δομή ομάδας παίζει σημαντικό ρόλο) αρκεί να μελετήσουμε τον εφαπτόμενο χώρο μόνο στο ουδέτερο σημείο. Επιπλέον, ο εφαπτόμενος χώρος στο ουδέτερο σημείο αποκτά δομή μιας άλγεβρας Lie (ένα καθαρά αλγεβρικό αντικείμενο) και το πιο συναρπαστικό σημείο της θεωρίας είναι ότι κάθε ομάδα Lie καθορίζεται τοπικά από την αντίστοιχη άλγεβρα Lie. Εστω G μια ομάδα Lie και a G. Οι απεικονίσεις L a, R a : G G, L a (g) = ag και R a (g) = ga 4 Οι υπερμιγαδικοί αριθμοί παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά το 1843 από τον William Rowan Hamilton στην προσπάθειά του να κατασκευάσει μια επέκταση του σώματος των μιγαδικών αριθμών.

8 Ομάδες Lie ονομάζονται αριστερή μεταφορά (left translation) και δεξιά μεταφορά (right translation) αντίστοιχα. Είναι και οι δύο αμφιδιαφορίσεις με αντιστρόφους (L a ) 1 = L a 1 και (R a ) 1 = R a 1 (άσκηση). Η αμφιδιαφόριση L a επάγει τον ισομορφισμό διανυσματικών χώρων (dl a ) e : T e G T a G, συνεπώς, αν περιγράψουμε τον εφαπτόμενο χώρο T e G στο ουδέτερο σημείο e G, τότε η εικόνα (dl a ) e (T e G) περιγράφει τον εφαπτόμενο χώρο T a G σε οποιοδήποτε σημείο a της ομάδας Lie G. Πιο γενικά, ορίζονται οι ισομορφισμοί (dl α ) g : T g G T αg G και (dr α ) g : T g G T gα G, (a, g G). Σχήμα 7.1: Η απεικόνιση αριστερής μεταφοράς L α : G G L α (g) = αg, α G σε μια ομάδα Lie G. Οι εφαπτόμενοι χώροι T e G και T α G είναι ισόμορφοι. Πριν προχωρήσουμε σε μερικά παραδείγματα υπολογισμών εφαπτόμενων χώρων κάποιων ομάδων Lie στο ουδέτερο σημείο τους, θα χρειαστούμε κάποιες ιδιότητες της εκθετικής απεικόνισης πινάκων. Για περισσότερες λεπτομέρειες παραπέμπουμε σε βιβλία γραμμικής άλγεβρας. Πρόταση 7.1. Εστω exp : M n (C) M n (C) η εκθετική απεικόνιση πινάκων, η οποία ορίζεται μέσω της συγκλίνουσας δυναμοσειράς exp(x) e X = I + X + 1 2! X2 + 1 3! X3 +, όπου I είναι ο n n ταυτοτικός πίνακας. 5 Τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες: (α) det(e X ) = e trx, (β) e X t = (e X ) t, (γ) Εάν XY = Y X τότε e X+Y = e X e Y. Η εκθετική απεικόνιση είναι μια πολύ σημαντική απεικόνιση, διότι μέσω αυτής μπορούμε να πάρουμε καμπύλες στην GL n C, οι οποίες να διέρχονται από δοθέν σημείο και να έχουν συγκεκριμένη αρχική ταχύτητα. Για παράδειγμα, η καμπύλη γ : R GL n C, γ(t) = e tx ικανοποιεί γ(0) = e 0 = I και γ (0) = d dt t=0 etx = Xe tx t=0 = X. 5 Η δυναμοσειρά συγκλίνει στον χώρο M n(c) ως προς τη νόρμα A = ( a ij 2) 1/2, όπου A = (a ij).

Ο Εφαπτόμενος χώρος μιας ομάδας Lie 9 Λήμμα 7.1. Εστω det : M n (C) C η απεικόνιση ορίζουσας. d(det) I (X) = trx. Τότε για κάθε X M n (C) ισχύει Απόδειξη. Θεωρούμε την καμπύλη γ(t) = e tx, η οποία ικανοποιεί γ(0) = I και γ (0) = X. Τότε έχουμε ότι d(det) I (X) = d dt det(etx ) = d t=0 dt t=0 et trx = (trx)e t trx t=0 = trx. Παραδείγματα. 1. Ο εφαπτόμενος χώρος της GL n R. Γνωρίζουμε από το Κεφάλαιο 3 ότι ο εφαπτόμενος χώρος της γενικής γραμμικής ομάδας GL n R σε ένα οποιοδήποτε σημείο της g ταυτίζεται με το σύνολο M n R όλων των n n πραγματικών πινάκων. Επιπλέον, ως εφαρμογή της Πρότασης 3.11 είχαμε υπολογίσει ότι ο ισομορφισμός (dl g ) I : T I (GL n R) T g (GL n R) = M n R είναι η αριστερή μεταφορά (dl g ) I (X) = gx (εδώ I είναι ο n n ταυτοτικός πίνακας). 2. Ο εφαπτόμενος χώρος της SL n R. Θυμίζουμε ότι ο εφαπτόμενος χώρος μιας λείας πολλαπλότητας M στο σημείο p M εκφράζεται ως T p M = {γ (0) : γ : ( ε, ε) M, λεία καμπύλη με γ(0) = p} (Πρόταση 3.9). Εστω X T I (SL n R). Τότε υπάρχει λεία καμπύλη γ : ( ε, ε) SL n R τέτοια ώστε γ(0) = I και γ (0) = X. Επειδή η καμπύλη αυτή ανήκει στην SL n R, ισχύει ότι det γ(t) = 1 για κάθε t ( ε, ε), συνεπώς παραγωγίζοντας τα δύο μέλη και υπολογίζοντας για t = 0, προκύτει ότι 0 = d ( ) d dt t=0 det(γ(t)) = d(det γ) 0 dt 0 = d(det) I (γ (0)) = d(det) I (X) = trx. = d(det) I ( dγ 0 ) d dt 0 Αν V είναι ο διανυσματικός χώρος όλων των πραγματικών n n πινάκων με ίχνος 0, αποδείξαμε ότι T I (SL n R) V. Επειδή dim V = n 2 1 = dim T I (SL n R) = dim SL n R, προκύπτει τελικά ότι T I (SL n R) = {X M n R : trx = 0}. 3. Ο εφαπτόμενος χώρος της O(n). Εστω X T I (O(n)). Επιλέγουμε μια λεία καμπύλη γ : ( ε, ε) O(n) τέτοια ώστε γ(0) = I και γ (0) = X. Επειδή η καμπύλη αυτή ανήκει στην O(n), ισχύει ότι γ(s)γ(s) t = I για κάθε t ( ε, ε). Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη χρησιμοποιώντας την Άσκηση 1 και παίρνουμε γ (s)γ(s) t + γ(s)γ (s) t = 0. Θέτοντας t = 0 παίρνουμε την ισότητα X + X t = 0, δηλαδή ο X είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας. Αν Skew n (R) είναι ο διανυσματικός χώρος όλων των n n αντισυμμετρικών πινάκων, τότε έχουμε αποδείξει ότι T I (O(n)) Skew n (R). Είναι μια απλή άσκηση γραμμικής άλγεβρας το να δείξει κάποιος ότι dim Skew n (R) = n(n 1) 2. Επιπλέον, επειδή είναι dim T I (O(n)) = dim O(n) = n(n 1) 2, καταλήξαμε στο ότι T I (O(n)) = {X M n (R) : X t = X}.

10 Ομάδες Lie Εναλλακτικά, μπορούμε να δείξουμε τον εγκλεισμό Skew n (R) T I (O(n)) ως εξής: Εστω X Skew n (R). Ορίζουμε την καμπύλη γ : R M n (R) γ(s) = e sx. Τότε έχουμε ότι γ(s)γ(s) t = (e sx ) t e sx = e sxt e sx = e s(xt +X) = e 0 = I. Αυτό σημαίνει ότι η καμπύλη γ ανήκει στην O(n) και ικανοποιεί τις σχέσεις γ(0) = I και γ (0) = X, άρα X T I (O(n)). 3. Ο εφαπτόμενος χώρος της SO(n). Γνωρίζουμε ότι SO(n) = O(n) SL n R. Επειδή κάθε αντισυμμετρικός πίνακας έχει ίχνος μηδέν, από τα Παραδείγματα 2 και 3 προκύπτει ότι T I (SO(n)) = T I (O(n)). 7.3 Η άλγεβρα Lie μιας ομάδας Lie Θα ορίσουμε αρχικά μια σημαντική κατηγορία διανυσματικών πεδίων σε μια ομάδα Lie και στη συνέχεια, σε κάθε ομάδα Lie G θα αντιστοιχίσουμε ένα αλγεβρικό αντικείμενο, την άλγεβρα Lie g της G. Ορισμός 7.3. Ενα διανυσματικό πεδίο X σε μια ομάδα Lie ονομάζεται αριστερά αναλλοίωτο (left invariant) εάν X L α = dl α (X) για κάθε α G, ή πιο αναλυτικά εάν X αg = (dl α ) g (X g ) για κάθε α, g G. Ισοδύναμα, ένα διανυσματικό πεδίο X στην ομάδα Lie G θα λέγεται αριστερά αναλλοίωτο, εάν το παρακάτω διάγραμμα είναι μεταθετικό. T G dla T G X X G L α Μια σημαντική ιδιότητα ενός αριστερά αναλλοίωτου διανυσματικού πεδίου είναι ότι αυτό καθορίζεται από την τιμή του στο ουδέτερο στοιχείο e G, αφού X α = (dl α ) e (X e ) για κάθε α G. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι κάθε αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο είναι λείο. G Σχήμα 7.2: Ενα αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο X σε μια ομάδα Lie G καθορίζεται από την τιμή του στο ουδέτερο στοιχείο, δηλαδή X α = (dl α ) e (X e ), α G. Συμβολίζουμε με g το σύνολο όλων των αριστερά αναλλοίωτων διανυσματικών πεδίων στην ομάδα Lie G. Τότε ο διανυσματικός χώρος g είναι υπόχωρος του διανυσματικού χώρου X (G), όλων των λείων διανυσματικών πεδίων της G.

Η άλγεβρα Lie μιας ομάδας Lie 11 Εάν X, Y g, τότε ισχύει ότι [X, Y ] g. Πράγματι, έστω α, p G και f F(G). Τότε dl α [X, Y ] p f = [X, Y ] p (f L α ) = X p (Y (f L α )) Y p (X(f L α )) = X p (dl α Y )f Y p (dl α X)f = X p Y f Y p Xf = (X p Y Y p X)f = [X, Y ] p f, όπου στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό του διαφορικού. Εναλλακτικά αυτό μπορεί να αποδειχθεί ως εξής: Ενα αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο είναι από τον ορισμό L a -συσχετισμένο με τον εαυτό του, για κάθε a G (Ορισμός 4.10). Τότε το αποτέλεσμα προκύπτει από την Πρόταση 4.4. Θυμίζουμε ότι μια άλγεβρα Lie είναι ένας διανυσματικός χώρος g εφοδιασμένος με μια πράξη [, ] : g g g (γινόμενο Lie) με τις εξής ιδιότητες: (1) [x, y] = [y, x], (2) [αx + βy, z] = α[x, z] + β[y, z], [z, αx + βy] = α[z, x] + β[z, y], (3) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0. Μια υποάλγεβρα Lie (Lie subalgebra) μιας άλγεβρας Lie g είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος h g, ο οποίος είναι κλειστός ως προς το γινόμενο Lie Συνεπώς, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το σύνολο όλων των αριστερά αναλλοίωτων διανυσματικών πεδίων μιας ομάδας Lie είναι μια άλγεβρα Lie, η οποία είναι υποάλγεβρα Lie της άλγεβρας Lie X (G), όλων των λείων διανυσματικών πεδίων της G. Ορισμός 7.4. Η άλγεβρα Lie μιας ομάδας Lie G είναι το σύνολο g όλων των αριστερά αναλλοίωτων διανυσματικών πεδίων της G. Οι άλγεβρες Lie των ομάδων πινάκων GL n R, SL n R, SO(n), GL n C, U(n) κ.λπ. συμβολίζονται αντίστοιχα με gl n R, sl n R, so(n) = o(n), gl n C, u(n). Στη συνέχεια, θα δούμε έναν πολύ σημαντικό ισομορφισμό. Πρόταση 7.2. Η απεικόνιση φ : g T e G, X X e είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων. Απόδειξη. Η φ είναι προφανώς γραμμική. Επίσης είναι 1 1. Πράγματι, αν X g με φ(x) = X e = 0, τότε για κάθε g G είναι X g = (dl g ) e (X e ) = 0, συνεπώς X = 0. Για να δείξουμε ότι η φ είναι επί, αρκεί να δειχθεί ότι για κάθε εφαπτόμενο διάνυσμα v T e G υπάρχει ένα αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο X v τέτοιο ώστε φ(x v ) = v. Πράγματι, αν v T e G, ορίζουμε το διανυσματικό πεδίο X v g ως Xg v = (dl g ) e (v), (g G), για το οποίο έχουμε φ(x v ) = Xe v = (dl e ) e (v) = v. Το πεδίο αυτό είναι αριστερά αναλλοίωτο. Πράγματι, αν α, g G τότε (dl α ) g (X v g ) = (dl α ) g ((dl g ) e (v)) = (dl α dl g ) e (v) = (dl αg ) e (v) = X v αg.

12 Ομάδες Lie Τέλος, το X v είναι ένα λείο διανυσματικό πεδίο. Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε f F(G) η απεικόνιση X v f : G R είναι λεία. Πράγματι, για κάθε g G είναι X v g f = (dl g ) e (v)f = v(f L g ). Η απεικόνιση f L g είναι λεία ως σύνθεση λείων απεικονίσεων, οπότε η v(f L g ) είναι λεία και κατ επέκταση η ζητούμενη απεικόνιση X v f είναι λεία, άρα το πεδίο X v είναι λείο. Μέσω του παραπάνω ισομορφισμού μπορούμε να ορίσουμε ένα γινόμενο Lie στον εφαπτόμενο χώρο T e G ως εξής: για κάθε u, v T e G θέτουμε Παρατηρείστε ότι [X u, X v ] e = φ 1 ([X u, X v ]). Παραδείγματα. [u, v] = [X u, X v ] e T e G. (7.1) 1. Θα αποδείξουμε ότι τα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία της ομάδας Lie G = (R, +) (με ουδέτερο στοιχείο το 0), είναι πολλαπλάσια του διανυσματικού πεδίου d dx X (R). Οι αριστερές μεταφορές είναι της μορφής L g (x) = g+x και υπολογίζουμε αρχικά την τιμή (dl g ) 0 ( d dx 0 ). Αυτή είναι ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο g R, άρα ένα πολλαπλάσιο του d dx g, δηλαδή της μορφής λ d dx g. Προκειμένου να βρούμε τον αριθμό λ, παίρνουμε τη συνάρτηση f(x) = x και υπολογίζουμε: λ = λ d ( ) d dx f = (dl g ) 0 g dx f = d 0 dx (f L g ) = d 0 dx (g + x) = 1, 0 συνεπώς ( ) d (dl g ) 0 dx = d 0 dx. g Άρα το d dx είναι ένα αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο της πολλαπλότητας R και κάθε άλλο αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο της R είναι πολλαπλάσιο αυτού. 2. Θα προσδιορίσουμε τα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία της γενικής γραμμικής ομάδας GL n R. Θυμίζουμε ότι για κάθε g GL n R ο εφαπτόμενος χώρος T g (GL n R) είναι ισόμορφος με τον διανυσματικό χώρο M n (R), μέσω του οποίου έχουμε την παρακάτω αντιστοιχία μεταξύ εφαπτόμενων διανυσμάτων και n n πινάκων: aij x ij (a ij ). (7.2) g Εστω B = I b ij x ij T I (GL n R) και έστω X B το αντίστοιχο αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο. Συμβολίζουμε επίσης με B = (b ij ) τον αντίστοιχο n n πίνακα. Χρησιμοποιώντας την Πρόταση 3.11 και λαμβάνοντας υπόψη την ταύτιση (7.2), προκύπτει ότι Xg B = (dl g ) I (B) = gb. Ως προς τη συνηθισμένη βάση { g x ij } του T g (GL n R) η τιμή του πεδίου X B στο σημείο g είναι X B g = i,j (gb) ij x ij = ( ) g ik b kj g i,j k x ij. g

Η σχέση μεταξύ ομάδων Lie και αλγεβρών Lie 13 3. Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος διάστασης n. Θεωρούμε το σύνολο των ενδομορφισμών (endomorphisms) του V, δηλαδή End(V ) = {f : V V, f γραμμική} και το σύνολο Aut(V ) όλων των αντιστρέψιμων ενδομορφισμών του V, δηλαδή τους αυτομορφισμούς (automorphisms) του V. Το σύνολο End(V ) είναι ισόμορφο με το σύνολο όλων των n n πραγματικών πινάκων M n R (ως προς κάποια επιλογή βάσης του V ) και είναι επιπλέον άλγεβρα Lie διάστασης n 2 με γινόμενο Lie [f, g] = f g g f. Επίσης, επειδή V = R n θα είναι Aut(V ) = GL n R. Ετσι το σύνολο Aut(V ) ως ανοικτό υποσύνολο του End(V ) είναι μια λεία πολλαπλότητα και εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων γίνεται ομάδα Lie. Επειδή είναι T e Aut(V ) = T I GL n R = M n R = End(V ), όπου e είναι ο ταυτοτικός ενδομορφισμός του V, η άλγεβρα Lie του Aut(V ) είναι το σύνολο των ενδομορφισμών End(V ). 4. Θα αποδείξουμε ότι το γινόμενο Lie στην GL n R δίνεται ως [A, B] = AB BA, όπου A, B T I (GL n R) = M n (R). Εστω X A, X B gl n R τα αντίστοιχα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία. Θεωρούμε μια λεία συνάρτηση f : U GL n R R ορισμένη σε μια περιοχή του ταυτοτικού πίνακα I και έστω g U (πίνακας). Τότε έχουμε ότι Xg A (f) = d ( f(ge ta ) ) = Df g (ga) = Df g (Xg dt t=0 A ). Επειδή το σύνολο GL n R είναι ανοικτό υποσύνολο του M n R = R n2, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κανόνες του απειροστικού λογισμού και υπολογίζουμε: B(X A (f)) = d dt ( X A e (f) ) t=0 = d ( tb Dfe tb(e tb A) ) = D dt t=0 2 f I (B, A) + Df I (BA), όπου D 2 f I είναι η δεύτερη παράγωγος f στον πίνακα I, την οποία θεωρούμε ως μια συμμετρική διγραμμική μορφή. 6 Παρόμοια, προκύπτει ότι A(X B (f)) = D 2 f I (A, B) + Df I (AB), συνεπώς, έχουμε ότι [X A, X B ] I (f) = A(X B (f)) B(X A (f)) = Df I (AB BA), απ όπου προκύπτει το ζητούμενο (επεξεργαστείτε τις λεπτομέρειες της απόδειξης). 6 Θα θέλαμε να δώσουμε κάποια εξήγηση για τον ορισμό της δεύτερης παραγώγου D 2 f I, η οποία δεν παρουσιάζεται τακτικά σε μαθήματα. Εστω f : U R n R m μια διαφορίσιμη συνάρτηση. Τότε το διαφορικό της f στο p U είναι η γραμμική απεικόνιση Df p : R n R m, δηλαδή Df p L(R n, R m ), άρα ορίζεται η απεικόνιση Df : U L(R n, R m ), p Df p. Η δεύτερη παράγωγος της f στο p ορίζεται από τον τύπο D 2 f p = D(Df) p L(R n, L(R n, R m )) (υπό την προϋπόθεση ότι τα απαραίτητα όρια υπάρχουν). Από τη γραμμική άλγεβρα γνωρίζουμε ότι, αν L 2 (R n, R m ) είναι ο διανυσματικός χώρος των διγραμμικών απεικονίσεων από τον R n R n στον R m, τότε οι διανυσματικοί χώροι L(R n, L(R n, R m )) και L 2 (R n, R m ) είναι ισόμορφοι. Ο ισομορφισμός αυτός δίνεται ως εξής: έστω X, Y R n. Τότε για κάθε B L(R n, L(R n, R m )) ορίζουμε B L 2 (R n, R m ) με B (X, Y ) = (B(X))(Y ). Ιδιαιτέρως, για τη διαφορίσιμη συνάρτηση f : U R για την οποία υποθέτουμε ότι υπάρχει η δεύτερη παράγωγος B = D 2 f p (p U), ορίζουμε F (p) = Df p L(R n, R m ). Τότε, για κάθε X, Y R n είναι D 2 f p(x, Y ) = (DF p(x))y. Αποδεικνύεται ότι ο πίνακας της διγραμμικής μορφής D 2 f p : R n R n R (ως προς τις κανονικές βάσεις) είναι ο Εσσιανός πίνακας της f.

14 Ομάδες Lie 7.4 Η σχέση μεταξύ ομάδων Lie και αλγεβρών Lie Μέχρι στιγμής σε κάθε ομάδα Lie G έχουμε αντιστοιχίσει μια άλγβερα Lie g, ως το σύνολο όλων των αριστερά αναλλοίωτων διανυσματικών πεδίων της G. Η g είναι ισόμορφη με τον εφαπτόμενο χώρο T e G και μέσω αυτού του ισομορφισμού το γινόμενο Lie διανυσματικών πεδίων στην g μεταφέρεται στον εφαπτόμενο χώρο T e G. Το φυσικό ερώτημα είναι, αν δοθεί μια τυχαία (πραγματική) άλγεβρα Lie g, κατά πόσον υπάρχει ομάδα Lie της οποίας η άλγεβρα Lie να ισούται με την g. Η τεκμηρίωση της απάντησης δεν είναι εύκολο να παρουσιαστεί στα πλαίσια του παρόντος βιβλίου, οπότε θα δώσουμε μια γενική περιγραφή της σχετικής θεωρίας, η κατάληξη της οποίας είναι τα θεωρήματα του Lie. Εστω G, H δύο ομάδες Lie. Μια απεικόνιση φ : G H καλείται ομομορφισμός ομάδων Lie, αν είναι λεία και ομομορφισμός ομάδων. Επιπλέον, αν η φ είναι ισομορφισμός και αμφιδιαφόριση, τότε λέγεται ισομορφισμός ομάδων Lie και οι ομάδες Lie G, H ισόμορφες. Αν g και h είναι δύο άλγεβρες Lie, τότε η απεικόνιση τ : g h θα λέγεται ομομορφισμός αλγεβρών Lie αν είναι γραμμική και ισχύει τ([x, Y ] g ) = [τ(x), τ(y )] h, για κάθε X, Y g. Στην περίπτωση που η απεικόνιση τ είναι ισομορφισμός, τότε οι δύο άλγεβρες είναι ισόμορφες. Θα ορίσουμε στη συνέχεια την έννοια της υποάλγεβρας Lie. Ορισμός 7.5. Εστω g μια άλγεβρα Lie και h ένας διανυσματικός υπόχωρος της g. (α) Ο h θα λέγεται υποάλγεβρα Lie (Lie subalgebra) της g, αν [X, Y ] h για κάθε X, Y h. (β) Ο h θα λέγεται ιδεώδες (ideal) της g, αν [A, X] h για κάθε A g και X h. Η επόμενη πρόταση μας δίνει μια πρώτη σχέση ανάμεσα στις ομάδες Lie και τις άλγεβρες Lie. Πρόταση 7.3. Εστω φ : G H ένας ομομορφισμός ομάδων Lie. Τότε η απεικόνιση dφ e : T e G T φ(e) H είναι ένας ομομορφισμός αλγεβρών Lie. Απόδειξη. Θα αποδείξουμε ότι η απεικόνιση dφ e : T e G T φ(e) H είναι ομομορφισμός αλγεβρών Lie, δηλαδή θα πρέπει για κάθε u, v T e G να ισχύει dφ e ([u, v]) = [dφ e u, dφ e v]. Τα εφαπτόμενα διανύσματα u, v μέσω της απεικόνισης dφ e απεικονίζονται στα διανύσματα x = dφ e (u) και y = dφ e (v) του εφαπτόμενου χώρου T φ(e) H. Θεωρούμε τα αντίστοιχα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία των προηγούμενων διανυσμάτων, Xg u = (dl g ) e (u), Xg v = (dl g ) e (v), Yφ(g) x = (dl φ(g)) φ(e) (x), Y y φ(g) = (dl φ(g)) φ(e) (y). Τότε θα έχουμε ότι [dφ e u, dφ e v] = [x, y] = [Y x, Y y ] φ(e). (7.3) Επειδή η φ είναι ομομορφισμός, το φ(e) είναι το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας H. Επιπλέον, τα διανυσματικά πεδία X u, X v g είναι φ-συσχετισμένα με τα πεδία Y x, Y y h. Πράγματι, είναι dφ g (Xg u ) = dφ g ((dl g ) e (u)) = d(φ L g ) e (u) = d(l φ(g) φ) e (u) = (dl φ(g) ) φ(e) (dφ e u)(dl φ(g) ) φ(e) (x) = Yφ(g) x.

Η σχέση μεταξύ ομάδων Lie και αλγεβρών Lie 15 Στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την υπόθεση ότι η απεικόνιση φ είναι ομομορφισμός ομάδων Lie, το οποίο είναι ισοδύναμο με την σχέση φ L g = L φ(g) φ. Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι το διανυσματικό πεδίο X v είναι φ-συσχετισμένο με το πεδίο Y y, άρα λόγω της Πρότασης 4.4 το πεδίο [X u, X v ] θα είναι φ-συσχετισμένο με το πεδίο [Y x, Y y ]. Αυτό σημαίνει ότι dφ e ([u, v]) = dφ e ([X u, X v ] e ) = [Y x, Y y ] φ(e). (7.4) Επομένως από τις σχέσεις (7.3) και (7.4) προκύπτει ότι dφ e ([u, v]) = [dφ e u, dφ e v], δηλαδή η φ είναι ομομορφισμός αλγεβρών Lie. Λόγω του ισομορφισμού g = T e G γράφουμε τον παραπάνω ομομορφισμό αλγεβρών Lie και ως dφ e : g h. Πόρισμα 7.1. Εστω G μια ομάδα Lie με άλγεβρα Lie g και H μια υποομάδα Lie της G. Τότε η ένθεση j : H G επάγει μια αντιστοιχία dj e : h g, μεταξύ της άλγεβρας Lie h της H και μιας υποάλγεβρας Lie dj e (h) της g. Η απόδειξη του πορίσματος είναι άμεση, αφού, όπως γνωρίζουμε, το διαφορικό της ένθεσης είναι απεικόνιση 1 1. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε υπό ποιές συνθήκες ισχύει το αντίστροφο. Δηλαδή, αν έχουμε μια υποάλγεβρα Lie h της g κατά πόσον υπάρχει υποομάδα Lie H της ομάδας Lie G με άλγεβρα Lie την h. Η απάντηση δίνεται στο ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 7.2. Εστω G μια ομάδα Lie με άλγεβρα Lie g και έστω h μια υποάλγεβρα Lie της g. Τότε υπάρχει μοναδική συνεκτική υποομάδα Lie H της G της οποίας η άλγεβρα Lie είναι η h. Η απόδειξη δεν είναι εύκολη και στηρίζεται στο θεώρημα κατανομών του Frobenius. Επίσης, αν δεν απαιτήσουμε η υποομάδα H να είναι συνεκτική, τότε αυτή δεν είναι μοναδική. Για παράδειγμα, οι ομάδες Lie O(n) (μη συνεκτική) και SO(n) (συνεκτική) έχουν την ίδια άλγεβρα Lie o(n). Ισχύει επίσης και το εξής: Θεώρημα 7.3. Εστω G και H δύο ομάδες Lie με την G απλά συνεκτική και έστω g και h οι άλγεβρες Lie αυτών. Τότε για κάθε ομομορφισμό ψ : g h υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός ομάδων Lie φ : G H τέτοιος ώστε dφ e = ψ. Το παρακάτω θεώρημα συνοψίζει τα αποτελέσματα του Lie και δίνει την ακριβή σχέση μεταξύ ομάδων Lie και αλγεβρών Lie. Θεώρημα 7.4. (1) Για κάθε άλγεβρα Lie g υπάρχει μια ομάδα Lie G, όχι απαραίτητα μοναδική, της οποίας η άλγεβρα Lie είναι η g. (2) Εστω G 1, G 2 δύο ομάδες Lie με αντίστοιχες άλγεβρες Lie g 1, g 2. Αν οι άλγεβρες Lie g 1 και g 2 είναι ισόμορφες, τότε οι ομάδες Lie G 1, G 2 είναι τοπικά ισομορφικές. Στην περίπτωση που οι G 1, G 2 είναι απλά συνεκτικές 7, τότε οι ομάδες Lie G 1, G 2 είναι ισόμορφες. 7 Ενας τοπολογικός χώρος ονομάζεται απλά συνεκτικός (simply connected), εάν η θεμελιώδης ομάδα του είναι τετριμμένη. Διαισθητικά αυτό σημαίνει ότι ο χώρος δεν έχει τρύπες.

16 Ομάδες Lie (3) Για κάθε άλγεβρα Lie V υπάρχει μια ομάδα Lie G της οποίας η άλγεβρα Lie g να είναι ισόμορφη με την V. Παρατηρήσεις. 1. Η απόδειξη του (1) του παραπάνω θεωρήματος στηρίζεται στο θεώρημα του Ado 8, στο οποίο αναφέρεται ότι κάθε πραγματική άλγεβρα Lie πεπερασμένης διάστασης είναι ισόμορφη με μια υποάλγεβρα Lie της άλγεβρας Lie M n (R) όλων των n n πραγματικών πινάκων. 2. Η συνθήκη της απλής συνεκτικότητα στο (3) του θεωρήματος είναι απαραίτητη. Για παράδειγμα, αν G 1 = S 1 και G 2 = R, τότε οι ομάδες αυτές έχουν την ίδια άλγεβρα Lie g = R, αλλά δεν είναι ισόμορφες. Η θεμελιώδης ομάδα της πρώτης είναι το σύνολο των ακεραίων, ενώ της δεύτερης είναι τετριμμένη. 7.5 Μονοπαραμετρικές υποομάδες και η εκθετική απεικόνιση Θα δώσουμε έναν δεύτερο χαρακτηρισμό του εφαπτόμενου χώρου μιας ομάδας Lie G, ως το σύνολο των μονοπαραμετρικών υποομάδων της. Στη συνέχεια, θα ορίσουμε την εκθετική απεικόνιση, η οποία είναι ιδιαίτερα σημαντική στην θεωρία των ομάδων Lie. Για την περίπτωση των ομάδων πινάκων αυτή είναι η συνηθισμένη εκθετική απεικόνιση πινάκων. Ορισμός 7.6. Ενα λείος ομομορφισμός φ : (R, +) G από την προσθετική ομάδα (R, +) σε μια ομάδα Lie G, καλείται μονοπαραμετρική υποομάδα (one-parametric subgroup) της G. Βλέπουμε ότι η μονοπαραμετρική υποομάδα φ είναι μια λεία καμπύλη της ομάδας Lie G, η οποία ως ομομορφισμός θα ικανοποιεί τις σχέσεις φ(s + t) = φ(s)φ(t), φ(0) = e και φ( t) = φ(t) 1. Παρατήρηση. Ο ορισμός είναι κάπως παραπλανητικός, αλλά έχει παραδοσιακά επικρατήσει. Γενικά δεν ισχύει ότι η εικόνα φ(r) G είναι μια υποομάδα της G, εκτός εάν η φ είναι 1 1. Στην περιπτωση αυτή, η εικόνα φ(r) είναι ισόμορφη με το R (ως προσθετική ομάδα). Παραδείγματα 1. Η απεικόνιση R S 1, με φ(t) = e it είναι μια μονοπαραμετρική υποομάδα του μοναδιαίου κύκλου S 1 = U(1). 2. Η απεικόνιση φ : R GL 3 (R), με φ(t) = της GL 3 (R). cos t sin t 0 sin t cos t 0 0 0 e t είναι μια μονοπαραμετρική υποομάδα 3. Η απεικόνιση φ : R SO(2), με φ(t) = ( cos t sin t sin t cos t ) είναι μια μονοπαραμετρική υποομάδα της 8 Igor Dmitrievich Ado.

Μονοπαραμετρικές υποομάδες και η εκθετικη απεικόνιση 17 SO(2). Πράγματι, η φ είναι λεία απεικόνιση. Θα δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός. Εχουμε, ( ) ( ) φ(t 1 )φ(t 2 ) = = (cos t 1 sin t 2 + sin t 1 cos t 2 ) sin t 1 sin t 2 + cos t 1 cos t 2 ( ) cos t 1 sin t 1 cos t 2 sin t 2 ( sin t 1 cos t 1 sin t 2 cos t 2 ) cos t 1 cos t 2 sin t 1 sin t 2 cos t 1 sin t 2 + sin t 1 cos t 2 = cos(t 1 + t 2 ) sin(t 1 + t 2 ) sin(t 1 + t 2 ) cos(t 1 + t 2 ) = φ(t 1 + t 2 ). Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύονται και τα άλλα παραδείγματα. Ερχόμαστε τώρα στο κεντρικό θεώρημα της ενότητας αυτής, το οποίο είναι η ταύτιση του εφαπτόμενου χώρου μιας ομάδας Lie G με το σύνολο των μονοπαραμετρικών υποομάδων της. σύνολο αυτό με S. Ας συμβολίσουμε το Θεώρημα 7.5. Η απεικόνιση µ : S T e G, φ dφ 0 (1) ορίζει μια 1 1 αντιστοιχία μεταξύ μονοπαραμετρικών υποομάδων της G και του εφαπτόμενου χώρου T e G. Απόδειξη. Εστω v T e G και έστω Xg v = (dl g ) e (v) το αντίστοιχο αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο (g G). Πρέπει να βρούμε μια μονοπαραμετρική υποομάδα φ v : R G της G. Από τα Θεωρήματα 4.3 και 4.4 υπάρχει μοναδική ολοκληρωτική καμπύλη φ : I G του πεδίου X v, τέτοια ώστε φ(0) = e και dφ(t) dt = Xφ(t) v. Η καμπύλη φ είναι ένας ομομορφισμός. Πράγματι, για σταθερό s I τέτοιο ώστε s + t I για κάθε t I, οι καμπύλες φ 1, φ 2 : I G με φ 1 (t) = φ(s + t), φ 2 (t) = φ(s)φ(t) ικανοποιούν φ 1 (0) = φ 2 (0) = φ(s) και dφ 1 (t) dt = dl φ(s) dφ(t) dt = dl φ(s) X φ(t), dφ 2 (t) dt = X φ(s+t). Επειδή το X είναι ένα αριστερά αναλλοίωτο θα ισχύει dl φ(s) X φ(t) = X φ(s)φ(t). Αυτό σημαίνει ότι οι καμπύλες φ 1 και φ 2 είναι και οι δύο ολοκληρωτικές καμπύλες του διανυσματικού πεδίου X, άρα λόγω της μοναδικότητας της λύσης θα πρέπει φ 1 (t) = φ 2 (t), δηλαδή φ(s + t) = φ(s)φ(t), (s, t I). Τέλος, για να είναι η φ μια μονοπαραμετρική υποομάδα της G πρέπει να την επεκτείνουμε σε όλο το R. Αυτό γίνεται ως εξής: Για κάθε t R υπάρχει n N τέτοιο ώστε t n I, οπότε ορίζουμε φ v (t) = φ(n t n ) = φ( t n )n. Συνεπώς η φ v είναι ένας ομομορφισμός που για t = 0 διέρχεται από το e G, άρα αποτελεί μια μονοπαραμετρική υποομάδα της G. Χρησιμοποιώντας την ταύτιση του εφαπτόμενου χώρου T e G με το σύνολο όλων των αριστερά αναλλοίωτων διανυσματικών πεδίων g της ομάδας Lie G παίρνουμε το παρακάτω συμπέρασμα. Πόρισμα 7.2. Για κάθε αριστερά αναλλοίωτο διανυσματικό πεδίο X g υπάρχει μοναδική μονοπαραμετρική υποομάδα φ X : R G τέτοια ώστε φ X (0) = X.

18 Ομάδες Lie Απόδειξη. Εστω X g. Θεωρούμε την απεικόνιση αλγεβρών Lie τ : R g με τιμή τ(t) = X. Επειδή το σύνολο των πραγματικών αριθμών R είναι απλά συνεκτικό, από το Θεώρημα 7.3 υπάρχει μοναδικός ομομορφισμός ομάδων Lie φ X : R G τέτοιος ώστε (dφ X ) 0 = τ, δηλαδή d dt φ X (t) = X. t=0 Μπορούμε τώρα να περιγράψουμε όλες τις μονοπαραμετρικές υποομάδες μιας ομάδας Lie G μέσω μιας απεικόνισης g G ως εξής: Ορισμός 7.7. Εστω G μια ομάδα Lie με αντίστοιχη άλγεβρα Lie g. Η εκθετική απεικόνιση (exponential map) exp : g G ορίζεται ως εξής: exp(x) = φ X (1), όπου φ X είναι η μοναδική μονοπαραμετρική υποομάδα του πεδίου X. Παρατηρήσεις. Σχήμα 7.3: Η εκθετική απεικόνιση σε μια ομάδα Lie G. 1. Στο Κεφάλαιο 5 είχαμε ορίσει την εκθετική απεικόνιση σε μια πολλαπλότητα Riemann. Οι έννοιες γενικά δεν σχετίζονται. Στην περίπτωση όμως που μια ομάδα Lie είναι εφοδιασμένη με μια αμφιαναλλοίωτη μετρική Riemann (βλ. Κεφάλαιο 9), οι δύο αυτές εκθετικές απεικονίσεις ταυτίζονται. 2. Το παρακάτω σχόλιο αφορά την ιστορική χρήση του όρου απειροστική ομάδα (infinitesimal group) την οποία είχε πρωτοχρησιμοποιήσει ο Lie για μια ομάδα Lie. Χρησιμοποιείται τακτικά και στη Φυσική. Αν φ(t) είναι μια μονοπαραμετρική ομάδα μιας ομάδας Lie G, τότε η παράγωγός της μπορεί να εκφραστεί ως φ (t) = lim h h 0 1 (φ(t + h) φ(t)) = lim h 0 1 (φ(h) e)φ(t)) = Aφ(t), h φ(h) e όπου A = lim h 0 h. Το όριο αυτό υπάρχει επειδή η ομάδα Lie είναι πολλαπλότητα της οποίας οι συναρτήσεις συντεταγμένων είναι λείες. Στην περίπτωση που το A είναι ένας πίνακας (π.χ. όταν η G είναι μια ομάδα πινάκων), τότε η καμπύλη φ(t) = e ta είναι η (μοναδική) λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης με την αρχική συνθήκη φ(0) = A. Ο πίνακας A ονομάζεται απειροστικός γεννήτορας (infinitesimal

Μονοπαραμετρικές υποομάδες και η εκθετικη απεικόνιση 19 generator) ( της μονοπαραμετρικής ) υποομάδας φ(t). Για παράδειγμα, για τη μονοπαραμετρική υποομάδα cos t sin t φ(t) = της SU(2) είναι sin t cos t ( ) ( ) ( ) φ sin t cos t 0 1 cos t sin t (t) = =. cos t sin t 1 0 sin t cos t Τότε ο απειροστικός γεννήτορας της φ(t) είναι ο πίνακας ( ) 0 1 A =, 1 0 επειδή πράγματι ισχύει φ(t) = e ta (εκθετική απεικόνιση πινάκων). Παράδειγμα. Εστω G = GL n R. Γνωρίζουμε ότι η άλγεβρα Lie gl n R είναι το σύνολο M n R. Θα δείξουμε ότι η εκθετική απεικόνιση exp : gl n R GL n R είναι απλά η συνήθης εκθετική απεικόνιση πινάκων, δηλαδή ότι exp(a) = e A. Εστω A gl n R. Τότε η απεικόνιση φ(t) = e ta = I + ta + t2 A 2 +... 2! είναι μια μονοπαραμετρική υποομάδα της GL n R με φ (0) = A (εύκολα έχουμε ότι φ(t + s) = φ(t)φ(s)). Τότε από το Πόρισμα 7.2 η εκθετική απεικόνιση θα δίνεται ως exp(a) = φ(1) = e A. Τα παραπάνω ισχύουν και στην περίπτωση, όπου G = GL n C ή G = GL n H. Θα αποδείξουμε στη συνέχεια την απλή σχέση φ X (st) = φ sx (t), s, t R. Πράγματι, έστω η μονοπαραμετρική υποομάδα h(t) = φ X (st) με h (t) = sφ X (st), οπότε h (0) = sφ X (0) = sx. Από το προηγούμενο πόρισμα είναι φ sx (0) = sx, άρα λόγω της μοναδικότητας θα πρέπει φ X(st) = φ sx (t). Εναλλάσσοντας τους ρόλους των s, t και θέτοντας s = 1, προκύπτει ότι exp(tx) = φ tx (1) = φ X (t). Η παραπάνω σχέση σημαίνει ότι η εκθετική απεικόνιση απεικονίζει τις ευθείες {tx : t R} του εφαπτόμενου χώρου T e G σε μονοπαραμετρικές υποομάδες {φ X (t) : t R} της ομάδας Lie G. Παρακάτω δίνουμε κάποιες βασικές ιδιότητες της εκθετικής απεικόνισης. Πρόταση 7.4. Εστω μια ομάδα Lie G με άλγεβρα Lie g. Τότε η εκθετική απεικόνιση exp : g G ικανοποιεί τα εξής: (1) Η καμπύλη φ X (t) = exp(tx) για κάθε X g είναι ο μοναδικός ομομορφισμός της G με φ X (0) = X και επειδή η φ X είναι ομομορφισμός θα έχουμε: (2) exp(s + t)x = exp(sx) exp(tx). (3) exp( tx) = (exp(tx)) 1.

20 Ομάδες Lie Η απόδειξη της πρότασης είναι άμεση συνέπεια των όσων έχουμε αναφέρει μέχρι στιγμής. Ενδεικτικά αποδεικνύουμε την ιδιότητα (2). Είναι exp(s + t)x = φ (s+t)x (1) = φ X (s + t) = φ X (s) φ X (t) = φ sx (1) φ tx (1) = exp(sx) exp(tx). Θα υπολογίσουμε τώρα το διαφορικό της εκθετικής απεικόνισης στο ουδέτερο στοιχείο 0 g. Πρόταση 7.5. Εστω G μια ομάδα Lie και g η άλγεβρα Lie αυτής. Τότε το διαφορικό (dexp) 0 : g g είναι η ταυτοτική απεικόνιση του χώρου g. Απόδειξη. Θεωρούμε την καμπύλη α : I g με α(t) = tx για την οποία είναι α(0) = 0 και α (0) = X g. Τότε (dexp) 0 (X) = d dt (exp α) t=0 = d dt (exp(α(t))) t=0 = d dt (exp(tx)) t=0 = φ X(0) = X. Επειδή το διαφορικό (dexp) 0 είναι η ταυτοτική απεικόνιση, αποτελεί έναν ισομορφισμό της g στο 0 g. Άρα από το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης η exp είναι τοπική αμφιδιαφόριση. Συγκεκριμένα, ισχύει το εξής: Πρόταση 7.6. Υπάρχει μια περιοχή Ũ του 0 g η οποία να απεικονίζεται αμφιδιαφορικά μέσω της exp σε μια περιοχή U του e G. Η ανοικτή περιοχή U = exp(ũ) ονομάζεται κανονική περιοχή του e (normal neighborhood) και χρησιμοπείται ως ένας βολικός τοπικός χάρτης στο ουδέτερο της G. Μέσω της εκθετικής απεικόνισης παίρνουμε μια σημαντική σχέση ανάμεσα στους ομομορφισμούς ομάδων Lie και τους ομομορφισμούς αλγεβρών Lie. Συγκεκριμένα, ισχύει το εξής θεώρημα, το οποίο είναι γνωστό ως η φυσιολογική συμπεριφορά (naturality) της εκθετικής απεικόνισης. Θεώρημα 7.6. Εστω G, H δύο ομάδες Lie με αντίστοιχες άλγεβρες Lie g, h. Εστω φ : H G ένας ομομορφισμός ομάδων Lie. Τότε το παρακάτω διάγραμμα είναι μεταθετικό: h dφe g exp H exp G H φ G Δηλαδή ισχύει ότι φ(exp H X) = exp G (dφ e X) για κάθε X h. Απόδειξη. Εστω X h. Θεωρούμε τις καμπύλες σ, τ : R G με σ(t) = φ(exp(tx)) τ(t) = exp(t(dφ e X)).

Μονοπαραμετρικές υποομάδες και η εκθετικη απεικόνιση 21 Αρκεί να αποδείξουμε ότι οι σ, τ είναι ίσες, οπότε για t = 1 θα έχουμε το ζητούμενο. Παρατηρούμε ότι η καμπύλη τ είναι η μονοπαραμετρική υποομάδα της G που αντιστοιχεί στο dφ e X g, άρα θα είναι ένας ομομορφισμός της G. Το ίδιο ισχύει και για την καμπύλη σ, αφού Επίσης, είναι σ(0) = τ(0) = e, οπότε θα έχουμε σ(t + s) = φ(exp(t + s)x) = φ(exp(tx)exp(sx)) = φ(exp(tx))φ(exp(sx)) = σ(t)σ(s). d dt σ(t) t=0 d = dφ σ(0) dt exp(tx) t=0 = dφ e X = d dt exp(tdφ ex) = d t=0 dt τ(t) t=0. Άρα για κάθε t R θα είναι σ(t) = τ(t), επομένως για t = 1 έχουμε ότι σ(1) = τ(1), δηλαδή φ(exp(x)) = exp(dφ e X) Παρακάτω, στην έκφραση exp G ο δείκτης G θα συμβολίζει την εκθετική απεικόνιση της ομάδας Lie G, δηλαδή exp G : g G. Πόρισμα 7.3. Εστω H μια υποομάδα Lie της ομάδας Lie G. Τότε για κάθε X h, ισχύει exp G (X) = exp H (X). Ειδικότερα, ισχύει ότι X h εάν και μόνο εάν exp(tx) H για κάθε t. Παρατήρηση. Χρησιμοποιώντας το παραπάνω πόρισμα, η υποομάδα H του Θεωρήματος 7.2, είναι αυτή που παράγεται από το σύνολο {exp(tx) : X h}. Το Πόρισμα 7.3 είναι ιδιαίτερα χρήσιμο στο υπολογισμό των αλγεβρών Lie των κλειστών υποομάδων της γενικής γραμμικής ομάδας. Πράγματι, αν G είναι μια κλειστή υποομάδα Lie της GL n K με K {R, C} και g η άλγεβρα Lie αυτής, τότε A g αν και μόνο αν e ta G, για κάθε t R. Παράδειγμα. Θα αποδείξουμε ότι η άλγεβρα Lie της SU(n) = U(n) SL n C είναι το σύνολο su(n) = { A GL n C : A + Āt = 0, tra = 0 }. Αρκεί να δείξουμε ότι T I SU(n) = su(n). Εστω A T I SU(n). Τότε η καμπύλη γ : I SU(n) με γ(s) = e sa ικανοποιεί γ(0) = I και γ (0) = A. Επειδή γ(s) SU(n) = U(n) SL n C θα έχουμε ότι γ(s) U(n), γ(s) SL n C. (7.5) Απο την πρώτη σχέση παίρνουμε ότι γ(s)γ(s) t = I και παραγωγίζοντας στο s = 0 παίρνουμε ότι γ (0)γ(0) t + γ(0) [ γ (0) ] t = 0 γ (0) + [ γ (0) ] t = 0 A + Ā t = 0. Επίσης, από τη δεύτερη σχέση (7.5) έχουμε ότι det(γ(s)) = 1 και παραγωγίζοντάς στο s = 0 παίρνουμε ότι 0 = d ds (det(γ(s))) = tra, s=0

22 Ομάδες Lie άρα, A su(n). Αντίστροφα, έστω A su(n), δηλαδή A + Āt = 0 και tra = 0. Θα δείξουμε ότι e sa SU(n) = U(n) SL n C. Πράγματι, είναι ( ) t e sa e sa = e sa e sāt = e s(a+āt ) = e s0 = I, δηλαδή e sa U(n) και det(e sa ) = e s tr(a) = e s0 = 1, άρα e sa SL n C. Επίσης ισχύει e 0A d = I και s=0 e sa = A, οπότε A T I SU(n). ds Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι ένας πίνακας A που ανήκει στην su(2) έχει τη μορφή ( ) {( ) ( ) ( )} ai b + ci i 0 0 1 0 i A = = span,,, (7.6) b + ci ai 0 i 1 0 i 0 απ όπου πράγματι βλέπουμε ότι dimsu(2) = dimsu(2) = 3. Οι πίνακες στην παραπάνω βάση της su(2) ονομάζονται πίνακες του Pauli 9 και έχουν εκτενή χρήση στην κβαντομηχανική. 7.6 Ασκήσεις 1. Θεωρούμε τις απεικονίσεις A : ( ε, ε) M m n (R) και B : ( ε, ε) M n p με την ιδιότητα τα στοιχεία των πινάκων A(t) και B(t) να είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις του t ( ε, ε). Αποδείξτε ότι για κάθε t ( ε, ε) ισχύει d dt (A(t)B(t)) = da(t) dt B(t) + A(t) db(t). dt 2. Αποδείξτε ότι η SO(2) εκφράζεται ως το σύνολο {( cos θ SO(2) = sin θ ) } sin θ : θ [0, 2π] cos θ και ότι η SU(2) ως το σύνολο {( z SU(2) = w ) } w : z 2 + w 2 = 1. z 3. Αποδείξτε αναλυτικά ότι οι ομάδες U(n) και SU(n) είναι ομάδες Lie διάστασης n 2 και n 2 1 αντίστοιχα. 4. Αποδείξτε ότι η ορθογώνια ομάδα O(n) είναι ένα κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του M n (R), άρα είναι μια συμπαγής ομάδα. 5. Εστω n περιττός. Αποδείξτε ότι η απεικόνιση f : O(n) SO(n) { 1, +1} με τύπο f(a) = ((det A)A, det A) είναι ισομορφισμός ομάδων. Αποδείξτε ότι η SO(2) δεν είναι ισόμορφη με την O(2) { 1, +1}. 9 Wolfgang Ernst Pauli, βραβείο Nobel το 1945 για τη συνεισφορά του στην κβαντομηχανική.

Ασκήσεις 23 6. Αποδείξτε ότι η απεικόνιση f : SU(n) S 1 U(n) με τύπο f(a, u) = Aσ(u), όπου σ(u) = είναι αμφιδιαφόριση. (Υπόδειξη. Για το επί υπολογίστε την ορίζουσα της εικόνας.) ( u 0 0 I n 1 7. Αναζητήστε στην εργασία [7] ή σε άλλες πηγές τον ορισμό και μερικές ιδιότητες της νηματοποίησης του Hopf (Hopf fibration). Η απεικόνιση αυτή ορίζεται ως h : S 3 S 2, h(z, w) = (2z w, z 2 w 2 ), (όπου S 3 R 4 = C 2 ). Ισχύει ότι h 1 (q) = S 1 για κάθε q S 2. Η πιο σημαντική της ιδιότητα είναι ότι μέσω της απεικόνισης αυτής η σφαίρα S 3 είναι δυνατόν να εκφραστεί ως ένωση κύκλων S 1, ξένων μεταξύ τους. 8. Αποδείξτε ότι για κάθε a G η απεικόνιση L a : G G, L a (g) = ag είναι αμφιδιαφόριση. 9. Εστω G μια ομάδα Lie και H μια υποομάδα της G η οποία είναι κανονική υποπολλαπλότητα της G. Αποδείξτε ότι η H είναι μια υποομάδα Lie της G. 10. Εστω G μια ομάδα πινάκων με άλγεβρα Lie g. Αποδείξτε ότι για κάθε g G T g G = {gb : B g} = {Bg : B g}. ), 11. Εστω λ ένας άρρητος αριθμός και έστω G = {e 2πiλt : t Z} U(1) GL 1 C. Αποδείξτε ότι η G είναι μια υποομάδα της GL 1 C, αλλά δεν είναι ομάδα πινάκων. (Υπόδειξη. Αποδείξτε ότι το G είναι πυκνό στην U(1).) 12. Εστω λ ένας άρρητος αριθμός και έστω η απεικόνιση f : R T 2 = S 1 S 1, f(t) = (e 2πit, 2 2πiλt ). Αποδείξτε ότι η f είναι ένας μονομορφισμός ομάδων Lie και ότι η εικόνα f(r) είναι ένα πυκνό υποσύνολο του δακτυλίου T 2. Είναι μια ευθεία με άρρητη κλίση στον T 2. (Το πρώτο ερώτημα είνα απλό, ενώ το δεύτερο δύσκολο. Αναζητήσε το στη βιβλιογραφία). Συνεπώς, η εικόνα f(g) ενός ομομορφισμού f : G H ομάδων Lie, δεν είναι γενικά μια κανονική υποπολλαπλότητα της H ([4]). 13. Αποδείξτε ότι T I (U(n)) = {X M n (C) : Xt = X}, το σύνολο όλων των n n αντιερμητιανών πινάκων. 14. Εστω Sp(n) = {A U(2n) : A t J = JA 1 }, όπου J = {X M 2n (C) : Xt = X, X t J + JX = 0}. ( 0 I n I n 0 ). Αποδείξτε ότι T I (Sp(n) = 15. Εστω u, v T e G με X u, X v τα αντίστοιχα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία. Αποδείξτε ότι [X u, X v ] = X [u,v]. 16. Βρείτε όλα τα αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία στον R n και στον μοναδιαίο κύκλο S 1.