A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό, του οποίου η αρχή µπορεί να είναι ένα οποιοδήποτε σηµείο του στερεού, κατά προτίµηση το κέντρο µάζας του. Mια απειροστή (στοιχειώδης) µετατόπιση του στερεού σώµατος µπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την σύνθεση δύο απειρο στών κινήσεων και συγκεκριµένα µιας απειροστής µεταφορικής κίνησης κατά την οποία όλα τα σηµεία του στερεού υφίστανται την µετατόπιση του κέντρου µάζας, ενώ οι άξονες του κινητού συστήµατος δεν αλλάζουν προ Σχήµα 1 Σχήµα σανατολισµό και µιας απειροστής περιστροφικής κίνησης περί άξονα διερχό µενο από το κέντρο µάζας κατά την οποία οι άξονες του κινητού συστήµατος περιστρέφονται αλλάζοντας προσανατολισµό. Αν λοιπόν θεωρήρουµε ένα οποιοδήποτε σηµείο Μ του στερεού, του οποίου η επιβατική ακτίνα ως προς το ΟXYZ κάποια στιγµή t είναι r M, τότε σύµφωνα µε τα παραπάνω η µετατό πισή του d r M µεταξύ των xρονικών στιγµών t και t+dt θα είναι: d r M = d r + d r (1) όπου d r η αντίστοιχη µετατόπιση του κέντρου µάζας και d r η αντίστοι χη µετατόπιση του σηµείου η οφειλόµενη στην στοιχειώδη περιστροφή του στερεού περί το κέντρο. Εάν είναι η γωνιακή ταχύτητα του στερεού κατά την στιγµή t και dφ η γωνία στροφής του στον χρόνο dt, τότε θα ισχύ ει: dr = (KM)d = r"µ#d$ dr = rµ" #dt ()
όπου r η επιβατική ακτίνα του Μ ως προς το κέντρο µάζας και θ η γωνία των διανυσµάτων r και κατά τη στιγµή t (σχήµα ). Η σχέση () συνδυα ζόµενη µε το γεγονός ότι το διάνυσµα d r είναι κάθετο στο επίπεδο των διανυσµάτων r και, µας επιτρέπει να γράψουµε τη διανυσµατική σχέση; d r = ( dt " r ) = ( " r )dt (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: d r M = d r + ( " r )dt d r M dt = d r dt + ( " r ) v = v + ( " r ) (4) H σχέση (4) µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την εξής σπουδαία πρόταση: H ταχύτητα v ένος σηµείου στερεού σώµατος θεωρούµενη ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, είναι το διανυσµατικό άθροισµα της ταχύτητας v του κέντρου µάζας του ως προς το σύστηµα αυτό και της ταχύτητας ( " r ) του σηµείου, της οφειλόµενης στην περιστ ροφή του σώµατος περί το κέντρο µάζας του. Παρατήρηση 1η: Εάν η αρχή του κινητού συστήµατος αναφοράς δεν ληφ θεί το κέντρο µάζας του σώµατος, αλλά ένα οποιοδήποτε σηµείο αυτού του οποίου η επιβατική ακτίνα ως προς το είναι, τότε η (4) θα γράφεται: v = v + [ " ( r '+# )] = v + ( " # ) + ( " r ') (5) όπου r ' η επιβατική ακτίνα του σηµείου Μ ως προς την νέα αρχή. Όµως η ταχύτητα v µπορεί να εκφρασθεί και ως συνάρτηση της µεταφορικής ταχύ τητας v της νέας αρχής και της νέας γωνιακής ταχύτητας περιστροφής ' περί την αρχή, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: v = v + ( '" r ') (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε: v = v + ( " # ) και '= δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής είναι ανεξάρτητη από την εκλογή του κινητού συστήµατος συντεταγµένων. Παρατήρηση η: Είναι δυνατόν να επιλέξουµε µία αρχή της οποίας η ταχύτητα v ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ να είναι µηδενική, οπότε σύµφωνα µε την (6) θα έχουµε για την ταχύτητα v oποιου δήποτε σηµείου του στερεού θα ισχύει: v = ( '" r ') δηλαδή η κίνηση του στερεού θα είναι γνήσια περιστροφή περί άξονα διερ
χόµενο από την αρχή. Ο άξονας αυτός ονοµάζεται στιγµιαίος άξονας περιστροφής του στερεού. Ας αναφερθούµε τώρα στην επιτάχυνση a του σηµείου Μ, ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Αυτή θα προ κύψει από τη σχέση (4) µε παραγώγιση ως προς τον χρόνο t, δηλαδή θα έχουµε: a = d v dt = d [ dt v + ( " r )] = d v dt + d dt ( " r ) a = d v dt + d # dt " r & # % ( + " d r & % ( a = # a $ ' $ dt + d ' dt " r & # % ( + " d r & % ( (7) $ ' $ dt' Η σχέση (7) µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την εξής σπουδαία πρόταση: H επιτάχυνση a ένος σηµείου στερεού σώµατος, θεωρούµενη ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, είναι το διανυσµατικό άθροισµα της επιτάχυνσης a του κέντρου µάζας του ως προς το σύστηµα αυτό, της επιτρόχιας επιτάχυνσης [(d / dt) " r ] του σηµείου λόγω της περι στροφής του στερεού περί το κέντρο µάζας του και της αντίστοιχης κεντροµόλου επιτάχυνσής του [ " (d r / dt)]. B Δυναµική άποψη Ορµή στερεού-νόµος µεταβολής της ορµής Oρίζεται ως ορµή στερεού σώµατος ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα ανα φοράς ΟXYZ, το διανυσµατικό άθροισµα των ορµών των υλικών του σηµεί ων ως προς το σύστηµα αυτό, δηλαδή για την ορµή του σώµατος ισχύει: = (m v ) = [m ( v + (" # r = v (m ) + " # (m r ] = (m ) [ )] v ) + [m (" # r )] = m v + ( " 0 ) = m v (1) όπου m η µάζα του σώµατος. Η σχέση (1) εκφράζει ότι η ορµή του στερεού είναι ίση µε την ορµή του κέντρου µάζας του, στο οποίο θεωρούµε συγκεν τρωµένη την µάζα m του σώµατος. Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε τη σχέση: d dt = m d v dt = m a d dt = F " () H σχέση () εκφράζει ότι, το κέντρο µάζας του στερεού κινείται ως προς το θεωρούµενο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ως υλικό σηµείο µάζας m στο οποίο ενεργεί η συνισταµένη F " των εξωτερικών δυνάµεων που προκύπτει από την αναγωγή τους στο κέντρο µάζας. Είναι προφανές ότι για ένα στερεό που είναι µηχανικά αδιατάρακτο, δηλαδή δεν δέχεται εξωτερικές δυνάµεις ή δέχεται εξωτερικές δυνάµεις που η συνισταµένη τους είναι µηδενική, η ορµή του διατηρείται σταθερή.
Στροφορµή στερεού-νόµος µεταβολής της στροφορµής Oρίζεται ως στροφορµή στερεού σώµατος περί µια αρχή, η οποία κινείται ή όχι σε σχέση µε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς OXYZ, το διανυσµατικό άθροισµα των στροφορµών των υλικών του σηµείων περί την αρχή αυτή, δηλαδή για την εν λόγω στροφορµή L του σώµατος ισχύει η σχέση: L = ( r " ' m v ) (1) όπου r ' η επιβατική ακτίνα του υλικού σηµείου µάζας m ως προς την αρχή και v η ταχύτητα του υλικού σηµείου ως προς το θεωρούµενο σύστηµα αναφοράς. Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε τη σχέ ση: d L dt = d ( dt r ' m v ) # d r [" ] ' = dt m & # d v " % v ( + r ' m & " % ( $ ' $ dt ' d L dt = ( " dr ' dt m % $ v ' + ( ( r ' F ) () # & όπου F η συνισταµένη δύναµη που δέχεται το υλικό σηµείο µάζας m. Eξάλλου εάν r, r είναι τα διανύσµατα θέσεως του υλικού σηµείου µάζας Σχήµα 3 m και της αρχής αντιστοίχως ως προς την αρχή O του αδρανειακού συστή µατος αναφοράς, θα ισχύει η διανυσµατική σχέση: r = r p + r ' d r dt = d r dt + d r ' dt v = v + d r ' dt d r ' dt = v - v (3) όπου v η ταχύτητα της αρχής ως προς το αδρανειακό σύστηµα. Συν δυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: d L dt = v m " ( ) -" ( ) + v v m v ( ) " r ' F
d L dt = 0 - v m " ( ) + v ( ) " r ' F = - v m " ( ) + v ( ) " r ' F (4) Aν λάβουµε υπ όψη ότι η συνισταµένη δύναµη F επί κάθε υλικού σηµείου προκύπτει ως διανυσµάτικό άθροισµα των εξωτερικών δυνάµεων που δέχε ται αλλά και των εσωτερικών δυνάµεων, οι οποίες ανά δύο υπακούουν για το σύνολο των υλικών σηµείων στον τρίτο νόµο του Νεύτωνα, τότε αποδει κνύεται ότι άθροισµα Σ( r ' F ) αποτελεί την συνισταµένη ροπή "# των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σώµα, περί την αρχή, όποτε η (4) παίρνει την µορφή: d L dt = - v m " ( ) + v # $% [ % ( v ) ] d L dt = "# - v $ m d L dt = "# - m( v $ v ) (5) Εάν η αρχή συµπίπτει µε το κέντρο µάζας του σώµατος ( v = v ), ή εάν η αρχή ηρεµεί ως προς το θεωρούµενο αδρανειακό σύστηµα ( v = 0), τότε η σχέση (4) γράφεται: d L /dt = "# (6) H (6) αποτελεί την µαθηµατική έκφραση του νόµου µεταβολής της στροφορ µής στερεού σώµατος, ο οποίος έχει την εξής διατύπωση: Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής στερεού, θεωρούµενης περί το κέντρο µάζας του ή περί ένα ακίνητο σηµείο, είναι κάθε στιγµή ίσος µε την συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σώµα, περί το κέντρο µάζας του ή περί το ακίνητο σηµείο. Είναι προφανές ότι, εάν "# = 0 η στροφορµή L διατηρείται σταθερή. Θεώρηµα της στροφορµής Για ένα στερεό σώµα ισχύει η εξής σπουδαία πρόταση: Η στροφορµή στερεού σώµατος περί την αρχή Ο ενός αδρανειακού συστήµατος αναφοράς είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της στροφορµής του κέντρου µάζας του σώµατος περί την αρχή Ο, θεωρώντας συγκεντρωµένη σ αυτό τη µάζα του σώµατος και της στροφορµής του σώµατος περί το κέντρο µάζας του, θεωρούµενης στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας. Απόδειξη: H στροφορµή του σώµατος περί την αρχή Ο του αδρανεια κού συστήµατος αναφοράς ΟΧYZ εξ ορισµου είναι: = ( r " m v ) = " { r m [ v + (# r )]}
= ( r " m v ) + " ( r m ( # r ) = " (m r ) [ v ] + ( r [ ] " [ m ( # r )] (1) Στο πρώτο άθροισµα του δεύτερου µέλους της (1) το διάνυσµα v είναι κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους του, οπότε το αθροισµα αυτό παίρ νει την µορφή: [ v ] = (m ( r " m v ) = " (m r ) r v ) () Tο δεύτερο άθροισµα του δεύτερου µέλους της (1) γράφεται: # [( r m ( " r )] = # [( r + r ) m ( " r )] = [ ] [ ] = r m (" " # r ) + # r m (" r ) = [ ] = # m r ( " r ) + r " " # (m r ) [ ] = [ m r ( " r )] # (3) Σχήµα 4 διότι το άθροισµα Σ (m r ) είναι µηδενικό. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), () και (3) παίρνουµε: = ( r m v ) + # m r ( " r ) [ ] = ( r m v ) + L () (4) όπου L () η στροφορµή του στερεού περί το κέντρο µάζας του, όπως την υπολογίζει ένας παρατηρητής που µετέχει της κίνησης του κέντρου µάζας, δηλαδή στον υπολογισµό της λαµβάνονται υπό όψη οι σχετικές ταχύτητες των υλικών σηµείων του στερεού ως προς το κέντρο µάζας του. Η σχέση (4) αποτελεί την µαθηµατική εκφραση της πρότασης που διατυπώθηκε στην αρχή της παραγράφου. Ας δούµε όπως πως µπορεί να εκφρασθεί η L () µε όρους του κινητού συστήµατος αναφοράς xyz το οποίο είναι ακλόνητα συνδεδεµένο µε το σώµα αλλά στρέφεται περί το κέντρο µάζας και ως εκ
τούτου είναι µη αδρανειακό σύστηµα. Θα χρησιµοποιήσουµε τη διανυσµα τική ταυτότητα: [ " (# " $ )] = ( % $ )# - ( %# ) $ oπότε η στροφορµή L () γράφεται L () = m [( r " r ) # -( r " # ) r ] = m (r # ) - m ( r " # ) r (5) Εξάλλου εάν e x, e y, e z είναι τα µοναδιαία* διανύσµατα των αξόνων x, y, z αντιστοίχως και ω x, ω y, ω z οι προβολές της στους άξονες αυτούς, θα ισχύουν οι σχέσεις: = x + y + z και r = x + y + z όπου x, y, z οι συντεταγµένες του υλικού σηµείου µάζας m στο Οxyz. Έτσι η σχέση (5) παίρνει την µορφή: L () = m (x + y + z )(" x + " y + " z ) - - m (x " x + y " y + z " z )(x + y + z ) L () = [ x " m (y + z )- y " m y x - z " m z x ] e x + + [ y " m (z + x ) - z " m z y - x " m x y ] e y + + [ z " m (x + z ) - x " m x z - y " m y z ] e z L () = ( x I xx + y I xy + z I xz ) +( x I yx + y I yy + z I yz ) + + ( x I zx + y I zy + z I zz ) (6) όπου Ι xx, I yy, I zz oι ροπές αδράνειας του σώµατος ως προς τους άξονες Οx, Οy, Oz αντιστοίχως και Ι xy, I yz, I zx τα λεγόµενα γινόµενα αδράνειας του σώµατος ως προς τα επίπεδα Οxy, Οyz, Οzx αντιστοίχως, τα οποία ορίζονται µέσω των σχέσεων: I xy = - m x y, I yz = - m y z, I zx = - m z x Έχει αποδειχθεί ότι για κάθε σηµείο του στερεού µπορούµε να επιλέξουµε τους άξονες του xyz. έτσι που τα γινόµενα αδράνειας να µηδενίζονται. Τοτε οι άξονες αυτοί αποτελούν τους λεγόµενους κύριους άξονες αδρά νειας του σώµατος και η σχέση (6) στην περίπτωση αυτή παίρνει την µορφή: ----------------------------------- * Tα µοναδιαία διανύσµατα e x, e y, µεταβάλλονται χρονικά, διότι το Οxyz στρέφεται σε σχέση µε το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟΧΥΖ.
L () = I xx x + I yy y + I zz z (7) Aπό την (7) παρατηρούµε ότι τα διανύσµατα L () και εν γένει δεν είναι συγγραµµικά. Αν όµως ο στιγµιαίος άξονας περιστροφής συµπίπτει µε ένα κύριο άξονα αδράνειας, λογουχάρη τον Οx, τότε ω y =ω z =0, ω x =ω 0 και η () στην περίπτωση αυτή γράφεται: L () = I xx = I xx που σηµαίνει ότι τα διανύσµατα L () και είναι συγγραµµικά και οµόρρο πα. Πρέπει να τονισθεί ότι κάθε άξονας συµµετρίας του σώµατος αποτελεί κύριο άξονα αδράνειας αυτού. Χρησιµοποιόντας τη σχέση (7) η (4) γράφεται: = ( r m v ) + I xx " x + I yy " y + I zz " z (8) Κινητική ενέργεια στερεού στην γενική του κίνηση Η κινητική ενέργεια Κ του στερεού σώµατος ως προς το αδρανειακό σύστη µα αναφοράς ΟΧYZ είναι κάθε στιγµή ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των αντίστοιχων κινητικών ενεργειών των υλικών του σηµείων, δηλαδή ισχύει: K = (m v / ) = 1 m ( v + v, ) K = v (m ) + v " (m v, )+ 1 (m v,) = 1 m (v + v " v, + v, ) K = mv + v " (m v, )+ 1 " (m v,) (1) όπου v η ταχύτητα του τυχαίου υλικού σηµείου µάζας m ως προς το αδρα νειακό σύστηµα, v η αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου µάζας του σώµατος και v, η ταχύτητα του υλικού σηµείου στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας. Όµως το άθροισµα Σ( m v, ) απότελεί την ορµή του σώµατος στο συ στηµα αναφοράς του κέντρου µάζας, η οποία είναι µηδενική, οπότε η (1) γράφεται: K = mv + 1 (m v, ) () Όµως για την ταχύτητα v, ισxύει και η σχέση: v, = ( " r ) οπότε θα έχουµε:
1 (m v, ) = 1 (m ( " # r ) (3) Εξάλλου για το εσωτερικό γίνοµενο ( " r ) ισχύει: " r ) = x y z = ( y z - z y ) x y z + +( z x - x z ) + ( x y - y x ) (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) βρίσκουµε µετά από αρκετές πράξεις την σχέση: 1 (m v, )= 1 [ m (y + z )" x + m (z + x )" y + m (x + y )" z - - x y " m x y - y z " m y z - z x " m z x ] (5) Εάν να επιλέξουµε τους άξονες του xyz. έτσι που τα γινόµενα αδράνειας να µηδενίζονται, τοτε οι άξονες αυτοί αποτελούν τους κύριους άξονες αδρά νειας του σώµατος και η σχέση (5) στην περίπτωση αυτή παίρνει την µορφή: 1 (m v, ) = I " xx x + I " yy y + I " zz z Έτσι η κινητική ενέργεια Κ του στερεού στην περίπτωση της γενικής του κίνησης παίρνει την µορφή: K = mv + I xx x + I yy y + I zz z (6) Παρατηρούµε από την (6) ότι η κινητική ενέργεια του σώµατος είναι άθροι σµα της κινητικής ενέργειας που οφείλεται µόνο στην µεταφορική του κίνη ση και εκφράζεται µε τον πρώτο όρο του αθροίσµατος του δευτέρου µέρους και της κινητικής ενέργειας που οφείλεται µόνο στην περίστροφή του περί το κέντρο µάζας, η οποία εκφράζεται από τους τρείς τελευταίους όρους του αθροίσµατος..m. fyskos