Θέµα Α: Απολυτήριες Εξετάσεις Ηµερησίου Γενικού Λυκείου ευτέρα 0 Μαΐου 03 στα Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής Α. Σελ. 8 Σχολικού Βιβλίου. Α. Σελ. 4 Σχολικού Βιβλίου. (Το τοπικό ελάχιστο µόνο από το πλαίσιο) Α3. Σελ. 87 Σχολικού Βιβλίου Α4. f x - x α. Λάθος Σελ. 9 ( ) β. Σωστό Σελ. 95 γ. Λάθος Σελ. 67 Για ποιοτικές δ. Λάθος Σελ. 87 εν επηρεάζεται ε. Λάθος Σελ. 5 Ρ(Α) Ρ(Β) Θέµα Β: Β. Άρα x - x - x - x - x - x - x + x + - x + x 3 ( x + x + - ) ( x + x + +) 3 ( x + x ) ( x + x + + ) ( x + x + ) - 3 ( x + x ) ( x + x + + ) x + x + - ( ) ( ) x x + x + x + + x ( x + ) x ( x + ) ( x + x + + ) x ( x ) + x + + 4 Ρ(ω ) 4 Φροντιστήριο Νετρίνο Σελ.
f ( x) x lnx 3 x 3 lnx + x 3 ( ) lnx 3 lnx + x 3 x 3 lnx + 3 f ( ) 3 ln + 3 3 Ο ρυθµός µεταβολής της f(x) ως προς x όταν x, είναι ίσος µε την τιµή της παραγώγου της συνάρτησης στο Άρα Ρ(ω 3 ) 3 Β. Α {ω, ω 3 } Ρ(Α ) Ρ(ω ) + Ρ(ω 3 ) Ρ(Α ) Ρ(ω ) + 3 () Όµως Ρ(ω ) 0 Ρ(ω ) + 3 3 Ρ(Α ) 3 Ρ(Α) Ρ(ω ) + Ρ(ω 4 ) Ρ(Α) 4 + Ρ(ω 4) () Όµως Ρ(ω 4 ) 0 4 + Ρ(ω 4) 4 Ρ(Α) 4 Ρ(Α) - 4 Ρ(Α) - 4 Ρ(Α ) 3 4 και συνολικά: Β3. Ρ(Α ) 3 4 3 Ρ(Α ) 3 4 () Ρ(ω ) + 3 3 4 Ρ(ω ) 5 Ρ(Α) Ρ(Α ) Ρ(Α) 4 () 4 + Ρ(ω 4) 4 Ρ(ω 4 ) 0 Φροντιστήριο Νετρίνο Σελ.
Α Β {ω 4 } και Β Α {ω 3 } Ρ[(Α Β) (Β Α)] ασυµβίβαστα Ρ(Α Β) + Ρ(Β Α) Ρ(ω 4 ) + Ρ(ω 3 ) Α Β {ω 3 } Ρ[(Α Β) (Β Α)] 3 Ρ(Α Β ) 3 Θέµα Γ: Γ. Η απόσταση ανάµεσα στα άκρα µιας κλάσης είναι το πλάτος της κλάσης c, ενώ ανάµεσα στο άκρο της κλάσης και το κέντρο της είναι το µισό. Άρα αφού η µικρότερη παρατήρηση: [, + c) η πρώτη κλάση [ + c, + c) η δεύτερη κλάση [ + c, + 3c) η τρίτη κλάση [ + 3c, + 4c) η τέταρτη κλάση Άρα x 4 + 3c + + 4c 85 00+ 7c c 0 7c 70 00 Γ. Αφού c 0 οι κλάσεις θα είναι: [, 60) η πρώτη κλάση [60, 70) η δεύτερη κλάση [70, 80) η τρίτη κλάση [80, 90) η τέταρτη κλάση Η διάµεσος αποτελεί την τιµή που το πολύ το % των παρατηρήσεων είναι κάτω από αυτήν και το πολύ το % πάνω από αυτήν. Επειδή δ 75, δηλαδή ίση µε την κεντρική τιµή της τρίτης κλάσης, το % των παρατηρήσεων θα είναι πάνω από την τιµή 75. Θεωρώντας οµοιόµορφη κατανοµή µέσα στις κλάσεις, τότε: f 3 + f 4 00 f3 + f 3 0,5 f 3 0, Αφού f 4 f 3 και εποµένως: f 4 0, Φροντιστήριο Νετρίνο Σελ. 3
x f 4 0,4 Το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων όλων των κλάσεων είναι ίσο µε, άρα: f + f + f 3 + f 4 f + f 0,4 f 0,4 f Για τη µέση τιµή: 4 xif 74 55f i + 65f + 7, + 8,4 i 74 55f + 65(0,4 f ) + 5 + 34 f 0, και έτσι: f 0,3 Εποµένως ο πίνακας κατανοµής σχετικών συχνοτήτων γίνεται: Κλάσεις Κεντρική Τιµή x i Σχετική Συχνότητα f i [, 60) 55 0, [60, 70) 65 0,3 [70, 80) 75 0, [80, 90) 85 0,4 Σύνολο Γ3. Επειδή έχουµε τη µέση τιµή από ένα δείγµα µε διαφορετική συχνότητα σε κάθε κλάση, θα υπολογίσουµε τη µέση τιµή του δείγµατος, µε το σταθµικό µέσο, χρησιµοποιώντας τις σχετικές συχνότητες ως συντελεστές βαρύτητας x 4 i 4 i x f f i i i x 5, + 6,3 + 7, 0, + 0,3 + 0, x 40 0,6 x 00 3 Γ4. Στην κανονική κατανοµή, το 95% των παρατηρήσεων είναι στο διάστηµα από x - s έως x + s. Το υπόλοιπο 5 % µοιράζεται εξίσου λόγω συµµετρίας, στο διάστηµα κάτω από το x - s ή πάνω από το x + s. Εποµένως αφού το,5 % των παρατηρήσεων είναι τουλάχιστον 74, άρα x + s 74 Στην κανονική κατανοµή, το 68% των παρατηρήσεων είναι στο διάστηµα από x - s έως x + s. Το υπόλοιπο 3 % µοιράζεται εξίσου λόγω συµµετρίας, στο Φροντιστήριο Νετρίνο Σελ. 4
διάστηµα κάτω από το x - s ή πάνω από το x + s. Εποµένως αφού το 6 % των παρατηρήσεων είναι το πολύ 68, άρα x - s 68 Από το σύστηµα των δύο παραπάνω εξισώσεων: CV s x 70 35 0 s και x 70 Άρα το δείγµα είναι οµοιογενές Θέµα :. Υπολογίζουµε την παράγωγο της συνάρτησης f(x): f ( x) ( x lnx + κ ) f ( x) ( ) f ( x) ( x) lnx x ( ln x) f ( x) + lnx x x + f ( x) lnx + f ( x) ln + f ( ) x lnx + κ f() ln + k f() κ Έστω ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι : y λx + β Αφού το (, f()) είναι σηµείο της κ + β β κ - Άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: y x + k Τα σηµεία τοµής της µε τους άξονες είναι: o y 0 x κ < 0 άρα Α( κ, 0) o x 0 y κ > 0 άρα Β(0, κ ) Το εµβαδόν του τριγώνου (ΟΑΒ) (ΟΑ)(ΟΒ) κ κ E (κ ) Αφού Ε < (κ ) < (κ ) < 4 κ < k > κ < κ < 3 Και αφού κ > και ακέραιος: κ. α) Από τα προηγούµενα: (ε): y x + x y Φροντιστήριο Νετρίνο Σελ. 5
Άρα οι τετµηµένες των σηµείων προκύπτουν από τις τεταγµένες αφαιρώντας από κάθε µία από αυτές το. Με βάση την εφαρµογή 3 σελ. 99 του σχολικού: x y - x 3 β) x x 5 5 x i i x i i x i i 30 3 x 30 x i i 0 0 35 x + x + x i i i i i i 36 0 35 i i i i i i 36 x + 3 0+ x + x - λ 5 x i + 60 - λ 5 5 0 + 60-5λ 5λ 0 i λ 3 3. f(α) αlnα + f(β) βlnβ + f(γ) γlnγ + f(e) elne + e + f ln e + f -lne + f 0 Γενικά α α β β γ γ e 7 ln(α α β β γ γ ) lne 7 lnα α + lnβ β + lnγ γ 7 αlnα+ βlnβ + γlnγ 7 x αlnα + + βlnβ + + γlnγ + + e + + 0 5 7 + 8 + e 5 x 3 + e 5 f ( x) 0 lnx + 0 lnx - lnx ln e lnx x e Φροντιστήριο Νετρίνο Σελ. 6
e < α < β < γ < e f f e < f(α) < f(β) < f(γ) < f(e) 0 < - e f + < f(α) < f(β) < f(γ) < f(e) 0 < f(α) < f(β) < f(γ) < f(e) < f(α) < f(β) < f(γ) < f(e) Άρα: R f(e) - f R e + 0 R e + 4. Για να σχηµατίζει η εφαπτοµένη οξεία γωνία θα πρέπει εφω > 0 f ( t) > 0 lnt + > 0 lnt > - t > e Εποµένως: Α {t, t,, t 30 } και επειδή είναι ισοπίθανα τα απλά ενδεχόµενα: N( Α) 0 Ρ(Α) Ρ(Α) Ν Ω 30 ( ) Ρ(Α) 3 f(t) > f ( t) + tlnt + > lnt + + tlnt > lnt lnt(t ) > 0 o lnt > 0 lnt > ln lnx t > o t > 0 t > t - + lnt - + t - + t(lnt ) + + o Άρα t και έτσι Β {t, t,, t 9 } A B {t,..., t 9 } Έτσι: Ρ(Α B) ( ) N( Ω) N A B Ρ(Α B) 9 30 Φροντιστήριο Νετρίνο Σελ. 7