B1. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

B1. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 1.Συναρτήσεις δύο µεταβλητών.μερικές παράγωγοι 3.Γραφήµατα-Επιφάνειες 4.Ειδικές συναρτήσεις 5.Μερικές ελαστικότητες 6.Γραµµική προσέγγιση-εφαπτόµενο επίπεδο 7.Μονοτονία 8.Περισσότερες µεταβλητές 9.Απλός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης 10.Βασικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης Ι 11. Βασικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης ΙΙ 1. Γενικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης 13. ιαφορικά. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Εισροές-Εκροές ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Συναρτήσεις δύο µεταβλητών Αν έχουµε τρεις µεταβλητές {,,}, όπου η τιµή της µιας έστω καθορίζεται από τις τιµές των άλλων δύο {,}, τότε λέµε ότι έχουµε συνάρτηση δύο µεταβλητών: (, ), f(,),... µε ανεξάρτητες τις {,} και εξαρτηµένη την. Έτσι τα {,} µπορούν να πάρουν τιµές ανεξάρτητα µεταξύ τους και σχηµατίζουν την περιοχή ορισµού D στο επίπεδο O. Παράδειγµα 1. +, D R, όλο το επίπεδο. +, 3. 1/ 1/ D R + : { 0, 0}, θετική περιοχή +, D R : {> 0, > 0}, γνήσια θετική περιοχή 4. Οι συναρτήσεις ++ {f(,),f() } µοιάζουν στην εµφάνιση αλλά είναι τελείως διαφορετικές, διότι έχουν διαφορετικό πεδίο ορισµού. Η πρώτη το επίπεδο O, η δεύτερη τον άξονα. Για την µελέτη συναρτήσεων δύο ανεξάρτητων µεταβλητών εξετάζουµε κάθε φορά την εξάρτηση από την µια µεταβλητή κρατώντας την άλλη σταθερή (ceteris paribus).. Μερικές παράγωγοι της f(, ). Με σταθερή τη µια ανεξάρτητη µεταβλητή, ορίζουµε: f ή f : µερική παράγωγος ως προς, µε σταθερό f ή f : µερική παράγωγος ως προς, µε σταθερό Μετρούν την οριακή µεταβολή στην εξαρτηµένη µεταβλητή δηλαδή στην τιµή της συνάρτησης, όταν µεταβάλλεται µόνο η µία ανεξάρτητη κατά µία µονάδα, κρατώντας την άλλη σταθερή. Παράδειγµα 1. f(, ) + f +, f. 3. f(, ) ln( + ) f(, ) + {f }, {f 0} f ( + ) / ( + ) (+ ) / ( + ) f ( + ) / ( + ) / ( + ) 3. Γραφήµατα-Επιφάνειες: f(,) Αν παραστήσουµε τις τιµές ως ύψη πάνω από τα αντίστοιχα σηµεία (,) του επιπέδου, σχηµατίζεται µια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο O την οποία θεωρούµε ως το γράφηµα της συνάρτησης. Όσον αφορά την γεωµετρική ερµηνεία των µερικών παραγώγων παρατηρούµε τα εξής. Σταθερό α. Αντιστοιχεί σε τοµή της επιφάνειας µε κατακόρυφο επίπεδο κάθετο στον άξονα. ίνει µια καµπύλη στον χώρο που εκφράζεται ως συνάρτηση του, όπως στο γράφηµα: { α, f(α, )}, την µελετούµε µε την παράγωγο. f(,β) f(α,) Σταθερό β. Αντιστοιχεί σε τοµή της επιφάνειας µε κατακόρυφο επίπεδο κάθετο στον άξονα. ίνει µια καµπύλη στον χώρο που εκφράζεται ως συνάρτηση του, όπως στο γράφηµα: { β, f(,β)}, την µελετούµε µε την παράγωγο. β α 1

4. Ειδικές συναρτήσεις Γραµµική: α+ β+ γ. Ειδικότερα: γραµµική οµογενής: α+ β, σταθερή γ Το γράφηµα µιας γραµµικής συνάρτησης είναι επίπεδο στο χώρο, οριζόντιο αν είναι σταθερή. Οι µερικές παράγωγοι είναι σταθερές και µας δίνουν τις κλίσεις του επιπέδου στις κατευθύνσεις των {,} αξόνων αντίστοιχα: α, β Τετραγωνική ή παραβολική: α + β+ γ + δ+ ε+ ζ Ειδικότερα: τετραγωνική οµογενής ή τετραγωνική µορφή: α + β+ γ α β Cobb-Douglas (C-D): f(,) µε D R { 0, 0) και συνήθως: α> 0, β> 0 Leontιef: ma ή min γραµµικών, π.χ. α αν α β f(, ) ma{α,β}, β αν β α 5. Μερικές ελαστικότητες + α αν α β f(, ) min{α,β} β αν β α ορίζονται για συναρτήσεις δύο µεταβλητών, σε αντιστοιχία µε τις µερικές παραγώγους, ως εξής: f f f(, ) ως προς : ε E, ως προς : ε E f f Η ερµηνεία τους είναι όπως και στις συναρτήσεις µιας µεταβλητής. α β Παράδειγµα. f(,) {E f α, E f β}, σταθερές ελαστικότητες. ηλαδή, αύξηση µόνο του κατά 1% προκαλεί µεταβολή στη τιµή της συνάρτησης κατά α%, οριακά. Αντίστοιχα για το. Έτσι: στις συναρτήσεις C-D οι εκθέτες ερµηνεύονται ως αντίστοιχες ελαστικότητες 6. Γραµµική προσέγγιση-εφαπτόµενο επίπεδο Οι γραµµικές συναρτήσεις ορίζουν επίπεδες επιφάνειες. Μια επίπεδη επιφάνεια ορίζεται από 3 σηµεία της, ή εναλλακτικά από ένα σηµείο της και τις δύο κλίσεις της: {(,, ),α,β } + ( ) + ( ) 0 0 0 0 0 0 Γενικά, καλούµε γραµµική προσέγγιση ή γραµµική επέκταση µιας συνάρτησης f(,) σε κάποιο σηµείο ( 0, 0 ), την γραµµική συνάρτηση που έχει την ίδια τιµή και τις ίδιες µερικές παραγώγους µε την συνάρτηση, στο σηµείο, δηλαδή την γραµµική συνάρτηση του εφαπτόµενου επιπέδου στο αντίστοιχο σηµείο της επιφάνειας. Σύµφωνα µε τα παραπάνω θα έχει την παράσταση: f(,) f0 + f ( 0) + f ( 0), όπου: f 0 f( 0, 0 ), f f ( 0, 0 ), f f ( 0, 0 ) Παράδειγµα1. 3 f + + στο ( 1, 0) {f 1, f 3 + 3, f + 1}. 0 0 0 Γραµµική προσέγγιση: 1+ 3( 1) + + + Παρατήρηση. Στα πολυώνυµα, µπορούµε να βρούµε την γραµµική προσέγγιση αναπτύσσοντας σε δυνάµεις των { 0, 0}, και κρατώντας µόνο τις δυνάµεις µέχρι 1ης τάξης. 7. Μονοτονία Για συναρτήσεις δύο µεταβλητών η µονοτονία χαρακτηρίζεται ως προς κάθε µεταβλητή χωριστά. Έτσι σε κάποια περιοχή του επιπέδου, µια συνάρτηση δύο µεταβλητών: f(,), χαρακτηρίζεται ως εξής: ως προς : { αύξουσα αν f 0}, { φθίνουσα αν f 0 } ως προς : { αύξουσα αν f 0}, { φθίνουσα αν f 0 } Αν αµφότερες οι µερικές παράγωγοι έχουν το ίδιο πρόσηµο, τότε λέµε ότι η συνάρτηση είναι µονότονη. Ειδικότερα λέµε ότι είναι: αύξουσα αν είναι θετικές: {f 0, f 0}, φθίνουσα αν είναι αρνητικές: {f 0, f 0} Μάλιστα αν σε µια µονότονη συνάρτηση αµφότερες οι ανισότητες είναι γνήσιες, τότε λέµε ότι η συνάρτηση είναι ισχυρά µονότονη. Στάσιµα καλούνται τα σηµεία στα οποία µηδενίζονται αµφότερες οι µερικές παράγωγοι: {f 0, f 0} Συνήθως είναι σηµεία ακρότατης τιµής, και το εφαπτόµενο επίπεδο είναι οριζόντιο.

Οι γραµµικές συναρτήσεις: f α+ β+ γ δεν έχουν στάσιµα σηµεία εκτός αν {α 0,β 0} οπότε το αντίστοιχο επίπεδο είναι οριζόντιο και όλα τα σηµεία είναι στάσιµα. Παράδειγµα. f(, ) + 1 {f > 0, f 1> 0}, Παντού αύξουσα, αύξουσα, και µάλιστα γνήσια f 0 f 0 Παράδειγµα. f(, ) + f (,) (f,f ) (4,) Η µονοτονία είναι διαφορετική στο κάθε τεταρτηµόριο, όπως φαίνεται στο γράφηµα παραπλεύρως. Στους άξονες η µία µερική παράγωγος είναι µηδενική. Το σηµείο (0,0) είναι στάσιµο. 8.Περισσότερες µεταβλητές. Τα παραπάνω γενικεύονται άµεσα σε συναρτήσεις περισσότερων µεταβλητών, όπου σε κάθε τέτοια µεταβλητή αντιστοιχεί και µια µερική παράγωγος Παράδειγµα. (,, ) e +, συνάρτηση τριών µεταβλητών (e ) + ( ) (e + e ) + ( ) (1+ )e + + +, (e ) ( ) e 0 e (e ) + ( ) (e ) + () e + Αντίστοιχα ορίζονται οι µερικές ελαστικότητες, η γραµµική προσέγγιση, η µονοτονία. Για συναρτήσεις µιας µεταβλητής η γνωστή παράγωγος καλείται και συνήθης παράγωγος για διάκριση από την παραπάνω µερική. Παριστάνεται µε: d () ή ή d Στη συνέχεια θα εξετάσουµε κανόνες αλυσωτής παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. 9. Απλός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης {u u() µε (, )} u u(, ) u : εξαρτηµένη, {,} : ανεξάρτητες, : ενδιάµεση u du u du, d d ή { uu, uu} ή { u, u} Όπως σε κάθε κανόνα αλυσωτής παραγώγισης, η έννοια της παραπάνω ισότητας είναι ότι: στο αριστερό µέρος πρώτα αντικαθιστούµε τις δοθείσες συναρτήσεις και µετά παραγωγίζουµε, ενώ στο δεξιό µέρος πρώτα παραγωγίζουµε τις δοθείσες συναρτήσεις και µετά αντικαθιστούµε. Είναι άµεση συνέπεια του γνωστού κανόνα αλυσωτής παραγώγισης, όπου παραγωγίζουµε κάθε φορά ως προς την µια ανεξάρτητη µεταβλητή {,} θεωρώντας την άλλη σταθερή. Παράδειγµα. Θα επαληθεύσουµε τον κανόνα αλυσωτής παραγώγισης υπολογίζοντας τα δεξιά µέρη: {u e µε } u e, 10. Βασικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης Ι u u u u du u du e e, e e d d { (, ) µε (t), (t)} (t) : εξαρτηµένη, t : ανεξάρτητη {,} : ενδιάµεσες f 0 f 0 d d d + ή t t + t ή + dt dt dt Λέµε ότι, η ανεξάρτητη µεταβλητή t επηρεάζει την µέσω του και µέσω του, t t όπου οριακά: t t 1. οι δύο επιρροές δρουν προσθετικά, δίνοντας τους δύο όρους στο δεξιό µέρος.. στη κάθε διαδροµή η επιρροή συντελείται µέσω σύνθεσης σε δύο στάδια δίνοντας το γινόµενο των αντίστοιχων παραγώγων στον κάθε όρο στο δεξιό µέρος. Παράδειγµα. Θα επαληθεύσουµε τον κανόνα αλυσωτής παραγώγισης για την σύνθεση: { + µε lnt, t } (lnt) + (lnt)t f 0 f 0 f 0 f 0 3

1 1 1 αριστερό µέρος: lnt + t + lnt t lnt + t+ t lnt t t t 1 1 δεξιό µέρος: + ln t + t + ln t t t t 11. Βασικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης ΙΙ { (, ) µε (s,t), (s,t) } (s,t) : εξαρτηµένη, {s,t} : ανεξάρτητες, {,} : ενδιάµεσες + s s s s s + s t s t s ή + t t + t t t t Είναι άµεση συνέπεια του προηγούµενου βασικού κανόνα Ι, όπου παραγωγίζουµε κάθε φορά ως προς την µια ανεξάρτητη µεταβλητή {s,t} θεωρώντας την άλλη σταθερή. Παράδειγµα. Θα επαληθεύσουµε τους παραπάνω κανόνες αλυσωτής παραγώγισης: { µε tlns, t+ s } (t lns)(t+ s ) t lns+ ts lns αριστερό µέρος: t / s+ tslns+ ts s δεξιό µέρος: + t / s+ s (t+ s )t / s + (tlns)s t / s+ st+ stlns s s αριστερό µέρος: tlns+ s lns t δεξιό µέρος: + lns+ 1 (t+ s )lns+ tlns tlns+ s lns t t 1. Γενικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. Οι παραπάνω κανόνες αλυσωτής παραγώγισης γενικεύονται σε περισσότερες µεταβλητές µε περισσότερα στάδια σύνθεσης, ως εξής: Θεωρούµε ένα δένδρο σύνθεσης µε µια κορυφή που παριστά την αρχικά εξαρτηµένη µεταβλητή. Σε κάθε τελική ανεξάρτητη µεταβλητή αντιστοιχεί και ένας τύπος αλυσωτής παραγώγισης, ο οποίος: 1. Έχει τόσους προσθετικούς όρους όσες είναι οι διαδροµές που καταλήγουν σ αυτή την τελική ανεξάρτητη µεταβλητή, αρχίζοντας από την κορυφή.. Ο κάθε προσθετικός όρος αποτελείται από το γινόµενο των παραγώγων που αντιστοιχούν στους κλάδους της διαδροµής. Παράδειγµα. { (,,), (s), (s, t), (s, v)} ((s), (s, t), (s,v) (s, t,v) s s : εξαρτηµένη, {,,} : ενδιάµεσες, {s,t,v} : ανεξάρτητες d + + s ds s s t t, v v, τρεις διαδροµές: s, από µια διαδροµή: t, d d Παράδειγµα. { (, ), ()} (, ()) (), µε + ή + d d Εδώ η µεταβλητή είναι και ενδιάµεση και ανεξάρτητη. Έχουµε δύο παραγώγους του ως προς που διακρίνονται µεταξύ τους από τον διαφορετικό συµβολισµό d : ολική παράγωγος. Καθώς το µεταβάλλεται, το () επίσης µεταβάλλεται d : µερική παράγωγος. Καθώς το µεταβάλλεται, το παραµένει σταθερό. Παράδειγµα. Θα επαληθεύσουµε τους τύπους αλυσωτής παραγώγισης για την σύνθεση: { µε + } (+ ) + Έχουµε: { (,,), (, ) } (, ) αριστερό: αριστερό: t s v (,) 4+, δεξιό: (,,) + (,,) (,) + 4+ (, ) +, δεξιό: (,,) + (,,) (,) + 1 + v 4

Παράδειγµα. { (, ), () } (,,(, )) (, ), µε: +,, 5, +,, Εδώ τα {,}είναι και ενδιάµεσες και ανεξάρτητες. Αλλά τώρα κάνουµε διάκριση µεταξύ των διαφορετικών µερικών παραγώγων χρησιµοποιώντας επιπλέον συµβολισµό, όπου εκτός από την µεταβαλλόµενη µεταβλητή εµφανίζονται και οι αµετάβλητες που µπορεί να είναι διαφορετικές στην κάθε περίπτωση: (,), (,,) 13. ιαφορικά. Στις αποδείξεις των βασικών κανόνων αλυσωτής παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών χρησιµοποιείται ένα γενικευµένο θεώρηµα µέσης τιµής που καλείται και θεµελιώδης σχέση. Εναλλακτικά µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις ιδιότητες των διαφορικών, δηλαδή των οριακών µεταβολών. Παρατηρούµε σχετικά ότι αν σε µια συνάρτηση (, ) µεταβάλλουµε µόνο τη µια από τις δύο µεταβλητές {,}, τότε σύµφωνα µε την γνωστή θεωρία των διαφορικών για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, η τιµή της συνάρτησης θα µεταβληθεί οριακά κατά: { d}, { d} αντίστοιχα. Προκύπτει από τους κανόνες αλυσωτής παραγώγισης ότι στη γενικότερη περίπτωση που µεταβάλλονται αµφότερες οι µεταβλητές οι παραπάνω οριακές µεταβολές προστίθενται, οπότε έχουµε την εξίσωση διαφορικών: (,) d d+ d Παρατηρούµε ότι σε κάθε σηµείο (,) : οι µεταβολές αντιστοιχούν σε µετατοπίσεις πάνω στην επιφάνεια και ικανοποιούν πολύπλοκες σχέσεις, αντίστοιχες µε την αρχική συνάρτηση: f(+, + ) f(, ) τα διαφορικά αντιστοιχούν σε µετατοπίσεις πάνω στο εφαπτόµενο επίπεδο και συνδέονται µε τις παραπάνω απλές γραµµικές σχέσεις. Σχετικά µε την παραπάνω σχέση ισχύουν τα εξής: 1. Αν τα {, } είναι ανεξάρτητα τότε τα διαφορικά συµπίπτουν µε τις µεταβολές: {d,d }. Αν τα {,} είναι εξαρτηµένα από άλλες µεταβλητές τότε τα {d,d} είναι τα αντίστοιχα διαφορικά. Παρατήρηση. Οι σχέσεις µεταξύ των διαφορικών είναι ισοδύναµες µε τους κανόνες αλυσωτής παραγώγισης. Π.χ. αν πάρουµε την σύνθεση: { (, ), (t), (t)} (t) και τις αντίστοιχες σχέσεις διαφορικών: {d d+ d, d dt, d dt} τότε, αντικαθιστώντας τα {d, d}βρίσκουµε την σχέση: d d ( + )dt + dt που είναι ακριβώς ο βασικός κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. Ισχύει και το αντίστροφο. Με αντίστοιχο τρόπο συνδέονται οριακά οι ποσοστιαίες µεταβολές χρησιµοποιώντας ελαστικότητες. Έτσι ως άµεση συνέπεια των παραπάνω, βρίσκουµε την εξίσωση σχετικών ή ποσοστιαίων διαφορικών: (,) %d E (%d) + E (%d) Απόδειξη. Έχουµε: d d d d d d { d d+ d} + E + E Τα παραπάνω γενικεύονται άµεσα σε περισσότερες µεταβλητές. Π.χ. για συναρτήσεις τριών µεταβλητών: d d+ d+ d (,,) %d E(%d) + E(%d) + E(%d),

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η θεωρία για τις παρακάτω εφαρµογές βρίσκεται κυρίως στο επόµενο κεφάλαιο Β που αφορά ισοσταθµικές. Εισροές-Εκροές. Σε µια παραγωγική διαδικασία διακρίνουµε τις εισροές: {C,K,L,...} που είναι οι συντελεστές παραγωγής, και τις εκροές: {Q, X,Y,...}που είναι τα παραγόµενα προϊόντα. Θα ασχοληθούµε µε απλές παραγωγικές διαδικασίες όπου έχουµε µόνο µια εκροή ή µόνο µία εισροή. 1. ύο εισροές {K,L}, µια εκροή Q, και συνάρτηση παραγωγής Q Q(K,L). Συνήθως οι συναρτήσεις παραγωγής έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: α) Είναι αύξουσες, µε γνήσια θετικά οριακά προιόντα: QK > 0,QL > 0 β) Ορίζουν σταθερό ή φθίνοντα ρυθµό υποκατάστασης, δηλαδή, για σταθερή παραγωγή, κάθε αύξηση στη συµµετοχή του ενός συντελεστή υποκαθιστά κάθε φορά την ίδια ή όλο και µικρότερη ποσότητα στη συµµετοχή του άλλου. Οι ισοσταθµικές καλούνται τώρα εξισώσεις ή καµπύλες ισοπαραγωγής: Q(K,L) q γ) Είναι οιονεί κοίλες µε τις πάνω σταθµικές κυρτές, δηλαδή ενδιάµεσοι συνδυασµοί συντελεστών είναι το ίδιο ή περισσότερο παραγωγικοί από αντίστοιχους ακραίους, κατά µέσο όρο. Παρατήρηση. Η παραγωγή δεν αφορά απαραίτητα κάποιο υλικό προιόν. Π.χ. µπορεί να αφορά την παραγωγή χρησιµότητας λόγω κατανάλωσης κάποιων αγαθών στα πλαίσια της θεωρίας κατανάλωσης. Αναφέρουµε ειδικά τις συναρτήσεις παραγωγής των παρακάτω τριών τύπων: Γραµµική: Q κk+ λl Π.χ. ενέργεια: Q, παράγεται µε πετρέλαιο: K ή µε λιγνίτη: L. Αν µια µονάδα πετρελαίου παράγει κ µονάδες ενέργειας και µια µονάδα λιγνίτη παράγει λ µονάδες ενέργειας, τότε µε {K,L} µονάδες αντίστοιχα θα παράγονται Q κk+ λl µονάδες ενέργειας. Λέµε ότι οι εισροές είναι πλήρως υποκατάστατες, µε καµπύλες ισοπαραγωγής ευθείες και ρυθµό υποκατάστασης σταθερό: dl κ 1/ λ Q κk+ λl q κdk+ λdl 0, παράγωγος στην υποκατάσταση dk λ 1/ κ ηλαδή: 1 επιπλέον µονάδα πετρελαίου K είναι ισοδύναµη µε (υποκαθιστούν) κ/λ µονάδες λιγνίτη L. Πράγµατι: λεπιπλέον µονάδες πετρελαίου K είναι ισοδύναµες µε (υποκαθιστούν) κ µονάδες λιγνίτη L, διότι αµφότερες δίνουν την ίδια αύξηση, κλ µονάδες, στην παραγόµενη ενέργεια. 1/ κ επιπλέον µονάδες πετρελαίου K είναι ισοδύναµες µε (υποκαθιστούν) 1/λµονάδες λιγνίτη L, διότι αµφότερες δίνουν την ίδια αύξηση, 1 µονάδα, στην παραγόµενη ενέργεια. κ λ Cobb-Douglas (C-D): Q K L Τώρα {κ,λ} είναι οι ελαστικότητες του κεφαλαίου K και της εργασίας L στην παραγωγή. ηλαδή οριακά, 1% αύξηση του κεφαλαίου K προκαλεί αύξηση της παραγωγής κατά κ%, και 1% αύξηση της εργασίας L προκαλεί αύξηση της παραγωγής κατά λ%. Για τον ρυθµό υποκατάστασης των συντελεστών βρίσκουµε: κ λ %dl κ 1/ λ Q K L q κ(%dk) + λ(%dl) 0, ελαστικότητα στην υποκατάσταση %dk λ 1/ κ Εναλλακτικά: κ λ EKQ κ Q K L q EKL E Q λ ηλαδή αρχίζοντας µε ποσότητες {K,L} : L 1% επιπλέον µονάδες κεφαλαίου K είναι ισοδύναµες µε (υποκαθιστούν) (κ /λ)% µονάδες εργασίας L. Πράγµατι: λ% επιπλέον µονάδες κεφαλαίου K είναι ισοδύναµες µε (υποκαθιστούν) κ% µονάδες εργασίας L, διότι αµφότερες δίνουν την ίδια, (κλ)% αύξηση, στην παραγόµενη ενέργεια. (1/κ)% επιπλέον µονάδες κεφαλαίου K είναι ισοδύναµες µε (υποκαθιστούν) (1/λ)% µονάδες εργασίας L, διότι αµφότερες δίνουν την ίδια, 1% αύξηση, στην παραγόµενη ενέργεια. 6

Leontief min: Q min{k / κ, L / λ} Π.χ. αν για την παραγωγή µιας µονάδας χάλυβα απαιτούνται κ µονάδες σιδήρου και λ µονάδες άνθρακα, τότε µε {K,L} µονάδες σιδήρου και άνθρακα θα παράγονται Q min{k / κ,l / λ} µονάδες χάλυβα. Λέµε ότι οι δύο εισροές είναι πλήρως συµπληρωµατικές, µε την έννοια ότι χρησιµοποιούνται σε σταθερή αναλογία: Κ /κ L /λ Κ/L κ/λ Έχουµε ρυθµό υποκατάστασης µηδενικό ή άπειρο, δηλαδή χωρίς δυνατότητα υποκατάστασης: K L K / καν K / κ L / λ dl αν K / κ L / λ Q min, κ λ L / λαν L / κ K / λ dk 0αν L / λ K / κ Παραδείγµατα. ίνουµε τις καµπύλες ισοπαραγωγής κάποιων βασικών συναρτήσεων παραγωγής: Leontief-min Cobb-Douglas Γραµµική ρ ρ 1 min{k / κ,l / λ} ( κk + λl ) :ρ< 0 7 κ λ K L ρ ρ κk + λl,0< ρ< 1 κk+ λl Παρατήρηση. Είναι όλες οµογενείς και ανήκουν στην ειδική κατηγορία των συναρτήσεων Σταθερής Ελαστικότητας Υποκατάστασης (CES). Μία εισροή C, δύο εκροές {X, Y} και συνάρτηση κόστους C C(X, Y) Συνήθως οι συναρτήσεις κόστους έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: α) Είναι αύξουσες, µε γνήσια θετικά οριακά κόστη: CX > 0, CY > 0. β) Ορίζουν σταθερό ή αύξοντα ρυθµό υποκατάστασης στην παραγωγή προιόντων, δηλαδή, για σταθερό κόστος, κάθε αύξηση στην παραγωγή ενός προιόντος απαιτεί την ίδια κάθε φορά ή όλο και µεγαλύτερη µείωση στην παραγωγή του άλλου. Οι ισοσταθµικές καλούνται τώρα εξισώσεις ή καµπύλες ισοκόστους: C(X, Y) c γ) Είναι οιονεί κυρτές µε τις κάτω σταθµικές κυρτές, δηλαδή η παραγωγή ενδιάµεσων ποσοτήτων προιόντων κοστίζει το ίδιο ή λιγότερο απότι οι αντίστοιχοι ακραίοι συνδυασµοί, κατά µέσο όρο. Παρατήρηση. Το κόστος δεν αφορά απαραίτητα χρηµατικό κόστος. Μπορεί να αφορά γενικότερα την χρήση κάποιου πόρου ή κάποιου συντελεστή παραγωγής, όπως στα παρακάτω παραδείγµατα: Γραµµική: C αx+ βy Π.χ. µια έκταση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για παραγωγή γεωργικού προιόντος X ή κτηνοτροφικού προιόντος Y. Αν µια µονάδα γεωργικού προιόντος χρειάζεται α έκταση και µια µονάδα κτηνοτροφικού προιόντος χρειάζεται β έκταση, τότε για παραγωγή {X,Y} µονάδων αντίστοιχα χρειάζεται έκταση: C αx+ βy. Λέµε ότι οι δύο εκροές είναι πλήρως υποκατάστατες, µε καµπύλες ισοκόστους ευθείες και ρυθµό υποκατάστασης σταθερό: dy α C αx + βy c αdx + βdy 0 dx β ηλαδή: 1 επιπλέον µονάδες κτηνοτροφίας K είναι ισοδύναµες µε (υποκαθιστούν) α /β µονάδες γεωργίας L. Πράγµατι: 1/α επιπλέον µονάδες κτηνοτροφίας K είναι ισοδύναµες µε (υποκαθιστούν) 1/β µονάδες γεωργίας L, διότι απαιτούν την ίδια 1 µονάδα επιπλέον έκταση. β επιπλέον µονάδες κτηνοτροφίας K είναι ισοδύναµες µε (υποκαθιστούν) α µονάδες γεωργίας L, διότι απαιτούν την ίδια αβ µονάδα επιπλέον έκταση. Ισοδύναµες σηµαίνει ότι απαιτούν την ίδια έκταση. Leontief ma:c ma{x /α, Y /β} Π.χ. αν µια µονάδα κάποιας τροφής παρέχει α µονάδες θερµίδων και β µονάδες βιταµινών, τότε για την πρόσληψη {X, Y} µονάδων θερµίδων και βιταµινών αντίστοιχα απαιτούνται C ma{x / α, Y / β} µονάδες της τροφής.

Λέµε ότι οι δύο εκροές είναι πλήρως συµπληρωµατικές, µε την έννοια ότι παράγονται σε σταθερή αναλογία: X Y Y β α β X α Έχουν ρυθµό υποκατάστασης µηδενικό ή άπειρο, δηλαδή χωρίς δυνατότητα υποκατάστασης: X Y X /ααν X /α L /β dy αν X /α Y /β Q ma, α β Y /βαν Y /β X /α dx 0αν Y /β X /α Παραδείγµατα. ίνουµε παρακάτω τις καµπύλες ισοκόστους κάποιων βασικών συναρτήσεων κόστους: γραµµική τετραγωνική Leontief-ma Leontief αx+ βy ρ ρ αx + βy,1< ρ< X + Y ρ ρ αx βy,ρ + > ma{x /α,y /β} Παρατήρηση. Είναι όλες οµογενείς και ανήκουν στην ειδική κατηγορία των συναρτήσεων Σταθερής Ελαστικότητας Υποκατάστασης (CES) 8

Β1. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΑΛΥΣΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ασκήσεις 1. Να βρεθούν και να σκιαγραφηθούν τα πεδία ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ln( 1) + ln(+ ),,, 1 1 1 + + e 1. Να υπολογιστούν οι µερικές παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων. + 5+ 1, + + 4 + 1, ma{+, 3}, min{,3}, ln, α β, ep( + ), α 1 α, + 4,, +, 1/ ( + ), 1/ 4 1/ 4 1/ 1 1 1 ( + ), 3. Για κάθε µία από τις παρακάτω συνθέσεις να δοθεί το δέντρο εξάρτησης και να επαληθευτεί ο κανόνας αλυσωτής παραγώγισης: t 3 4 1 4 { : e, t }, { + + : st, t }, { : 4 3}, 4. Να επαληθευτούν οι παρακάτω γραµµικές προσεγγίσεις στο (0,0) : + (1 )e 1 + +, α β (1+ ) (1+ ) 1+ α+ β 5. Να χαρακτηριστούν ως προς την {,} µονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις f(,), στις διάφορες περιοχές του επιπέδου. 1/ 3/ 1 3, 3,, +, ( ), + 3 6. Να διατυπωθούν οι τύποι αλυσωτής παραγώγισης για τις παρακάτω συνθέσεις, χρησιµοποιώντας: α) τα δένδρα σύνθεσης β) διαφορικά { (,), (, ), ()}, { (, ), (, t)}, 9