φ = ω Β=Γ Α= Β=Ε Γ=Ζ φ Ο

1 Η Π ΕΙΞΗ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ. ΩΝΙΕΣ ΙΣΕΣ ια να αποδίξουμ ότι δύο γωνίς ίναι ίσς πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι ίναι άθροισμα ή διαφορά γωνιών αντίστοια ίσων. α = β α+ γ = β + δ ν τότ γ = δ α γ = β δ. Ότι ίναι συμπληρωματικές ή παραπληρωματικές ίσων γωνιών. 0 θ+ α = 90 ν τότ θ = φ 0 φ+ α = 90 0 θ+ β = 180 ν τότ θ = φ 0 φ+ β = 180 3. Ότι ίναι κατακορυφήν γωνίς. 1 ψ 1 φ ω ψ φ = ω ψ = ψ 1 1 4. Ότι ίναι γωνίς που πρόσκινται στη βάση ισοσκλούς τριγώνου. = 5. Ότι ίναι ομόλογς γωνίς ίσων τριγώνων. Ε Ζ ν = ΕΖ τότ: = =Ε =Ζ

6. Ότι ίναι ντός ναλλάξ γωνίς, α = β κτός ναλλάξ γωνίς, γ = δ δ β ντός κτός και πί τα αυτά μέρη γωνίς, α = που σηματίζονται από δυο παράλληλς και μια α τέμνουσα. γ 7. Ότι ίναι γωνίς μ πλυρές παράλληλς που έουν την ίδια φορά ή αντίθτη φορά. ω β 1 O α φ O 1 Ίδια φορά ντίθτη φορά φ = ω α = β 8. Ότι ίναι οξίς ή αμβλίς γωνίς των οποίων οι πλυρές ίναι κάθτς. 1 1 9. Ότι ίναι συμμτρικές γωνίς ως προς κέντρο ή ως προς άξονα. ψ ' ' ψ 1 ψ ' ψ '

3 10. Ότι, κατά ένα γνικό τρόπο, ίναι τα άκρα μιας σιράς ίσων γωνιών. ν α = β β = γ γ = δ τότ: α δ = 11. Ότι ίναι γγγραμμένς γωνίς, οι οποίς βαίνουν στο ίδιο τόξο. = 1. Ότι η μία ίναι γωνία που σηματίζται από ορδή και φαπτομένη και η άλλη ίναι γγγραμμένη που βαίνι στο τόξο που πριέται μταξύ των πλυρών της πρώτης. = Χ 13. Ότι η μια ίναι γωνία νός ττραπλύρου γγγραμμένου σ κύκλο και η άλλη ίναι η ξωτρική γωνία της απέναντι κορυφής. =

4 14. Ότι η μια ίναι μια γωνία που σηματίζται από μια πλυρά και μια διαγώνιο νός γγγραμμένου ττραπλύρου και η άλλη ίναι η γωνία που σηματίζται από την απέναντι πλυρά και την άλλη διαγώνιο. = 15. Είναι οι ομόλογς γωνίς δύο ομοίων τριγώνων ή γνικά δύο ομοίων υθυγράμμων σημάτων. ΕΖ Ε Ζ = =Ε =Ζ

5. ΙΣ ΕΥΘΥΡΜΜ ΤΜΗΜΤ ια να αποδίξουμ, ότι δύο υθύγραμμα τμήματα ίναι ίσα, πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι ίναι άθροισμα ή διαφορά υθυγράμμων τμημάτων αντίστοια ίσων.. Ότι ίναι δύο ομόλογς πλυρές δύο ίσων τριγώνων. 3. Ότι ίναι οι απέναντι πλυρές παραλληλογράμμου. 4. Ότι ίναι οι διαγώνις νός ορθογωνίου. = 5. Ότι ίναι τμήματα παραλλήλων που πριέονται μταξύ παραλλήλων υθιών. = 6. Ότι ίναι δύο υθύγραμμα τμήματα συμμτρικά ως προς άξονα ή ως προς κέντρο. ' ' = = ' ' 7. Ότι ίναι οι δυο πλυρές νός ισοσκλούς τριγώνου. 8. Ότι ίναι τα δύο τμήματα της βάσης νός ισοσκλούς τριγώνου στα οποία ωρίζται η βάση από το ύψος του ισοσκλούς τριγώνου ή από τη διοτόμο της γωνίας της κορυφής του. =

6 9. Ότι, κατά ένα γνικό τρόπο, ίναι τα άκρα μιας σιράς ίσων υθυγράμμων τμημάτων. = ν =ΕΖ τότ =ΚΛ. ΕΖ=ΚΛ 10. Ότι ίναι δύο ακτίνς ή δύο διάμτροι του αυτού κύκλου ή δύο ίσων κύκλων. 11. Ότι ίναι ορδές του αυτού κύκλου ή ίσων κύκλων, οι οποίς απέουν από το κέντρο ίσς αποστάσις. Μ Ν ν Μ = Ν τότ = 1. Ότι ίναι ορδές ίσων τόξων. ν = τότ = 13. Ότι ίναι φαπτόμνς του αυτού κύκλου που άγονται από το ίδιο σημίο. =

7. ΙΣΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΩΝ ια να αποδίξουμ ότι ένα τρίγωνο ίναι ισοσκλές πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι έι δύο πλυρές ή δύο γωνίς ίσς.. Ότι έι ένα άξονα συμμτρίας. ' = 3. Ότι η διοτόμος μιας γωνίας του ίναι συγρόνως και ύψος του. 4. Η διοτόμος μιας γωνίας του ίναι και διάμσός του. 5. Η διοτόμος μιας γωνίας του ίναι και μσοκάθτη της απέναντι πλυράς. 6. Ένα ύψος του ίναι και διάμσός του. 7. Ένα ύψος του ίναι και μσοκάθτη της αντίστοιης πλυράς. 8. Μια διάμσος ίναι και μσοκάθτη της αντίστοιης πλυράς.

8. ΡΘΩΝΙ ΤΡΙΩΝ ια να αποδίξουμ ότι ένα τρίγωνο ίναι ορθογώνιο, πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι έι μια γωνία ορθή.. Ότι δύο γωνίς του ίναι συμπληρωματικές. 3. Ότι η διάμσος που άγται από μια κορυφή του ίναι ίση μ το μισό της αντίστοιης πλυράς. Μ ν AM B = τότ 0 = 90 4. Ότι ίναι γγγραμμένο σ ημικύκλιο. 5. Ότι έι μια γωνία 60 τέτοις ώστ η μία ίναι διπλάσια της άλλης. 0 και οι πλυρές που πριέουν τη γωνία αυτή ίναι ή ν 0 = 60 και ν 0 = 30 και = τότ 0 = 90 = τότ 0 = 90

9 6. Ότι το ττράγωνο μιας πλυράς του ίναι ίσο μ το άθροισμα των ττραγώνων των δύο άλλων πλυρών του. (Πυθαγόριο Θώρημα) 7. Ότι το ύψος που αντιστοιί σ μια πλυρά του ίναι μέσο ανάλογο των δύο τμημάτων τα οποία ορίζι στην πλυρά αυτή. ν δηλαδή = =. τότ 0 = 90 8. Ότι μια πλυρά του ίναι μέση ανάλογος μταξύ μιας άλλης πλυράς και της προβολής της πρώτης πάνω στη δύτρη. ν = δηλ. =. ή = δηλ. =. τότ 0 = 90 9. Το μβαδόν του ίναι ίσο μ το μισό του γινομένου δύο πλυρών του.

10 Ε. ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΘΕΤΕΣ ια να αποδίξουμ ότι δύο υθίς ίναι κάθτς μταξύ τους, πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι η μία από τις γωνίς που σηματίζουν ίναι ορθή (γι αυτό, αρκί να δίξουμ ότι ίναι 90 0 ή ότι ίναι ίση μ μία άλλη ορθή γωνία του σήματος ή ότι ίναι η τρίτη γωνία νός τριγώνου του οποίου οι δύο άλλς γωνίς ίναι συμπληρωματικές). Ότι ίναι διοτόμοι δύο φξής παραπληρωματικών γωνιών. ω φ ω φ 0 ω+ φ = 90 3. Ότι η μια υθία ίναι η βάση ισοσκλούς τριγώνου και η άλλη ίναι η μσοκάθτη της βάσης ή η διοτόμος της γωνίας της κορυφής του. 4. Ότι η μια υθία ίναι παράλληλη προς μια κάθτη προς την άλλη υθία. ζ ' ζ ν ζ τότ 5. Ότι ίναι δύο πλυρές ίσων γωνιών, που έουν τις δύο άλλς πλυρές τους αντίστοια κάθτς και οι γωνίς έουν την ίδια φορά προς τις τλυταίς πλυρές. ψ ψ ' ' ψ ' ' ψ '

11 6. Ότι η μια υθία συνδέι δύο σημία συμμτρικά προς την άλλη υθία. ' 7. Ότι ίναι διαγώνιοι νός ρόμβου ή ττραγώνου. 8. Ότι η μία ίναι μια πλυρά νός τριγώνου, νώ η άλλη ίναι η υθία που συνδέι την απέναντι κορυφή μ το σημίο τομής των υψών που άγονται από τις άλλς κορυφές του τριγώνου. Η 9. Ότι η μια ίναι φαπτομένη νός κύκλου και η άλλη ίναι ακτίνα που καταλήγι στο σημίο παφής.

1 10. Ότι η μία ίναι μια ορδή νός κύκλου και η άλλη ίναι: Η διάμτρος που διέρται από το μέσον της ορδής. Η διάμτρος που διέρται από το μέσον του αντίστοιου τόξου., όπου = Η υθία που συνδέι τα μέσα των δύο τόξων, που αντιστοιούν στη ορδή αυτή., όπου = και = Η υθία που συνδέι το μέσον της ορδής μ το μέσον νός από τα δύο τόξα που αντιστοιούν στη ορδή αυτή. Μ Μ 11. Ότι η μία ίναι υθία που συνδέι ένα σημίο κτός κύκλου μ το κέντρο του κύκλου και η άλλη ίναι η υθία που συνδέι τα σημία παφής των φαπτομένων, που άγονται από το σημίο προς τον κύκλο.

13 1. Ότι η μία ίναι ένα υθύγραμμο τμήμα και η άλλη η υθία που συνδέι δύο σημία που ισαπέουν από τα άκρα του τμήματος. = = 13. Ότι η μία ίναι η διάκντρος δύο κύκλων και η άλλη ο ριζικός άξονας των κύκλων. Σ Ε κ1 κ Κ Λ Ζ Σ.Σ = Σ.Σ = ΣΕ.ΣΖ

14 ΣΤ. ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΛΛΗΛΕΣ ια να αποδίξουμ ότι δυο υθίς ίναι παράλληλς πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι ίναι παράλληλς προς την ίδια υθία ν 1 τότ 1. Ότι ίναι κάθτς στην ίδια υθία. ν 1 τότ 1 3. Ότι σηματίζουν μ μια τέμνουσα: ύο ντός ναλλάξ γωνίς ίσς ή ύο ντός κτός και πί τα αυτά μέρη γωνίς ίσς ή ύο ντός και πί τα αυτά μέρη γωνίς παραπληρωματικές ή ύο κτός και πί τα αυτά μέρη γωνίς παραπληρωματικές. 4. Ότι ίναι δύο πλυρές δύο ίσων γωνιών οι οποίς έουν τις πλυρές τους παράλληλς και οι γωνίς έουν την ίδια φορά ως προς τις τλυταίς πλυρές. ψ ψ ' ' ' 5. Ότι η μία ίναι η βάση νός τριγώνου και η άλλη ίναι η υθία που συνδέι τα μέσα των δύο άλλων πλυρών. Μ Ν ΜΝ

15 6. Ότι ίναι υθίς που συνδέουν αντίστοια δυο ζύγη σημίων συμμτρικών ως προς τον ίδιο άξονα. ' ' 1 7. Ότι δύο σημία της μιας ισαπέουν από την άλλη. = ν τότ 1 8. Ότι ορίζουν σ δύο τμνόμνς υθίς- μ το σημίο της τομής τουςτμήματα ανάλογα, κίμνα κατά τον αυτό τρόπο. 1 ' ' ψ ν = τότ 1

16 Ζ. ΠΡΛΛΗΛΡΜΜ ια να αποδίξουμ ότι ένα ττράπλυρο ίναι παραλληλόγραμμο πρέπι να αποδίξουμ ότι: 1. ι απέναντι πλυρές του ίναι ανά δύο παράλληλς. B ν και τότ παραλληλόγραμμο. ι απέναντι γωνίς του ίναι ανά δύο ίσς. ν = και = τότ παραλληλόγραμμο 3. ι απέναντι πλυρές του ίναι ίσς ανά δύο. ν = και = τότ παραλληλόγραμμο 4. ύο απέναντι πλυρές του ίναι ίσς και παράλληλς. ν = τότ παραλληλόγραμμο 5. ι διαγώνιοί του διοτομούνται. B ν = και = τότ παραλληλόγραμμο Η. ΡΘΩΝΙ ια να αποδίξουμ ότι ένα ττράπλυρο ίναι ορθογώνιο πρέπι να αποδίξουμ ότι ίναι παραλληλόγραμμο και: 1. Ότι έι μια γωνία ορθή.. Ότι έι ίσς διαγώνις. ν παραλληλόγραμμο και = τότ παραλληλόγραμμο

17 3. Ότι ίναι γγγραμμένο σ κύκλο. 4. Επίσης μπορούμ να δίξουμ ότι ίναι ένα ττράπλυρο που έι τρις ορθές γωνίς. Θ. ΡΜΣ ια να αποδίξουμ ότι ένα ττράπλυρο ίναι ρόμβος πρέπι να αποδίξουμ ότι ίναι παραλληλόγραμμο και: 1. Ότι έι δύο διαδοικές πλυρές ίσς.. Ότι έι κάθτς διαγώνις. 3. Ότι μια διαγώνιός του ίναι διοτόμος μιας των γωνιών του. ν παραλληλόγραμμο και = τότ ρόμβος 4. Επίσης μπορούμ να δίξουμ ότι ίναι ένα ττράπλυρο που έι και τις τέσσρις πλυρές του ίσς. Ι. ΤΕΤΡΩΝ 1. ια να δίξουμ ότι ένα ττράπλυρο ίναι ττράγωνο, πρέπι να αποδίξουμ ότι ίναι ορθογώνιο και ρόμβος.

18 Ι. ΙΧΤΜΣ ΩΝΙΣ. ια να δίξουμ ότι μια ημιυθία ίναι διοτόμος μιας γωνίας, πρέπι να αποδίξουμ ότι: 1. Σηματίζι δύο γωνίς ίσς μ τις πλυρές της γωνίας.. Ένα σημίο της ισαπέι από τις πλυρές της γωνίας. ψ z ν = τότ Oz ίναι διοτόμος της xôψ. ια να αποδίξουμ ότι μια ημιυθία ίναι διοτόμος μιας γωνίας νός τριγώνου πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι συνδέι την κορυφή μιας γωνίας μ το σημίο τομής των σωτρικών διοτόμων των δύο άλλων γωνιών. Ε Ι. Ότι συνδέι την κορυφή μιας γωνίας μ το σημίο τομής των ξωτρικών διοτόμων των δύο άλλων γωνιών. Ι α

19 3. Ότι ωρίζι την απέναντι πλυρά σ δύο μέρη ανάλογα των πλυρών που πριέουν την ημιυθία αυτή. γ β ν γ = τότ διοτόμος της β Ι. ΣΗΜΕΙ ΚΕΙΜΕΝ ΕΠΙ ΕΥΘΕΙΣ ια να αποδίξουμ ότι τρία σημία,, κίνται π υθίας: 1. Συνδέουμ τα και μ το και δίνουμ ότι τα υθύγραμμα τμήματα και βρίσκονται στην ίδια υθία. ν τα και βρίσκονται κατέρωθν του αποδικνύουμ ότι 0 = 180 ή ότι αν xy μια υθία που διέρται από το, ότι x= y. y ν τα και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος του θωρούμ ημιυθία x και αποδικνύουμ ότι x= x. B

0 Μπορούμ να δίξουμ ότι τα τμήματα και ίναι παράλληλα ή κάθτα στην ίδια υθία. ν τότ,, συνυθιακά ν τότ,, συνυθιακά. Μπορούμ να δίξουμ ότι και τα τρία σημία κίνται στον ίδιο γωμτρικό τόπο, όταν ο τόπος αυτός ίναι μια υθία. π.. αν Κ = Λ, Κ = Λ και Κ= Λ τότ τα,, βρίσκονται πάνω στη μσοκάθτη του υθυγράμμου τμήματος ΚΛ 3. ν το σημίο βρίσκται σ μια γραμμή (), φέρνουμ την. Η τέμνι την () σ ένα σημίο. ν τα και συμπίπτουν, τότ τα,, ίναι συνυθιακά. 4. Μπορούμ να αποδίξουμ ότι δύο απ τα σημία ίναι συμμτρικά μιας συμμτρίας, της οποίας το τρίτο σημίο ίναι κέντρο συμμτρίας. 5. Μπορούμ να αποδίξουμ ότι δύο απ τα σημία αυτά ίναι ομοιόθτα μιας ομοιοθσίας, της οποίας το τρίτο σημίο ίναι το κέντρο ομοιοθσίας. 6. ια να δίξουμ ότι δυο σημία νός κύκλου και το κέντρο του κύκλου ίναι σημία συνυθιακά, πρέπι να αποδίξουμ ότι τα δύο σημία ίναι τα μέσα δύο τόξων, που αντιστοιούν σ μια ορδή ή ότι οι ορδές που συνδέουν τα σημία αυτά μ τυόν σημίο του κύκλου σηματίζουν ορθή γωνία. ν = και =, τότ,, συνυθιακά Η 7. ια να αποδίξουμ ότι τέσσρα σημία,,, ίναι συνυθιακά πρέπι να αποδίξουμ ότι τα τρία από τα σημία αυτά ίναι συνυθιακά και έπιτα ότι το τέταρτο σημίο και δύο από τα τρία πρώτα ίναι συνυθιακά. π.. αν,, συνυθιακά και,, συνυθιακά τότ,,, συνυθιακά

1 Ι. ΜΚΥΚΛΙΚ ΣΗΜΕΙ. ια να αποδίξουμ ότι τέσσρα σημία,,, ίναι ομοκυκλικά, μπορούμ να αποδίξουμ: 1. Ότι οι απέναντι γωνίς του ττραπλύρου ίναι παραπληρωματικές.. Ότι μια γωνία του ττραπλύρου ίναι ίση μ την ξωτρική γωνία της απέναντι κορυφής. 3. Ότι μια γωνία που σηματίζται από μια πλυρά και μια διαγώνιο του ττραπλύρου ίναι ίση μ τη γωνία που σηματίζται από την απέναντι πλυρά και την άλλη διαγώνιο. 4. Ότι το σημίο τομής Σ δύο απέναντι πλυρών π.. των και ορίζι τμήματα τέτοια ώστ: Σ. Σ=Σ.Σ Σ 5. Ότι το σημίο Σ της τομής των διαγωνίων του και διαιρί τις διαγωνίους σ τμήματα τέτοια ώστ Σ.Σ=Σ.Σ Σ 6. Τα τέσσρα σημία ισαπέουν από ένα άλλο σημίο. π.. ν = = = τότ,,, ομοκυκλικά 7. Ότι τα τέσσρα σημία ανήκουν σ ένα γωμτρικό τόπο ο οποίος ίναι κύκλος.. ν,,, ομοκυκλικά και,,, Ε πίσης ομοκυκλικά σημία, τότ οι δύο κύκλοι συμπίπτουν γιατί έουν κοινά τρία σημία,,. πότ και τα πέντ σημία,,,, Ε ίναι ομοκυκλικά.

Ι. ΤΕΜΝΜΕΝΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ια να αποδίξουμ ότι τρις υθίς τέμνονται στο ίδιο σημίο μπορούμ να αποδίξουμ: 1. Ότι δύο απ τις υθίς τέμνουν την τρίτη στο ίδιο σημίο.. Ότι δύο σημία της μιας και το σημίο τομής των δύο άλλων υθιών ίναι σημία συνυθιακά. 3. Ότι οι τρις αυτές υθίς ίναι: ι διάμσοι νός τριγώνου ή ι μσοκάθτς των πλυρών του ή ι διοτόμοι των γωνιών του ή Τα ύψη του. ΙΕ. ΕΦΠΤΜΕΝΙ ΚΥΚΛΙ ια να αποδίξουμ ότι δύο κύκλοι φάπτονται μπορούμ να αποδίξουμ: 1. Ότι η διάκντρός τους ίναι ίση μ το άθροισμα των ακτίνων τους. - ρ R = R+ρ. Ότι έουν ένα κοινό σημίο το οποίο βρίσκται στη διάκντρο. 3. Ότι έουν σ ένα σημίο κοινή φαπτομένη. ΙΣΤ. ΤΕΜΝΜΕΝΙ ΚΥΚΛΙ ια να αποδίξουμ ότι δύο κύκλοι τέμνονται μπορούμ να αποδίξουμ: 1. Ότι η διάκντρός τους ίναι μικρότρη από το άθροισμα των ακτίνων τους. R ρ Κ Λ R ρ< KΛ< R+ ρ

3. Ότι έουν ένα κοινό σημίο κτός της διακέντρου. ΙΖ. ΕΦΠΤΜΕΝΗ ΚΥΚΛΥ ια να αποδίξουμ ότι μια υθία ίναι φαπτομένη νός κύκλου μπορούμ να αποδίξουμ: 1. Ότι ίναι κάθτη στο άκρο μιας ακτίνας.. Ότι σηματίζι μ μια ορδή μια γωνία, η οποία έι μέτρο ίσο μ το μισό του μέτρου του τόξου που αντιστοιί στη ορδή. ( ) 1 ( x) = AB 3. Ότι ίναι μέση ανάλογος μταξύ μιας ολόκληρης τέμνουσας, η οποία άγται από ένα σημίο κτός του κύκλου και του κτός του κύκλου μέρους της τέμνουσας αυτής. Σ Κ ΣΚ =ΣΣ ή ΣΚ Σ = Σ ΣΚ.