Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Σ Λ. * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε περισσότερα του ενός στοιχεία ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Σ Λ Στις παρακάτω ερωτήσεις όλες οι συναρτήσεις είναι πραγματικές συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα υποσύνολο του R., ρητός 3. * Η σχέση f, με τύπο f () =, είναι συνάρτηση., άρρητος Σ Λ 4. * Η σχέση + = όπου, R, είναι συνάρτηση. Σ Λ 5. * Η σχέση g με τύπο g () = είναι συνάρτηση. Σ Λ 6. * Η σχέση f με τύπο f () = είναι συνάρτηση. Σ Λ 7. * Η σχέση με τύπο (t) = ± t, t R +, είναι συνάρτηση. Σ Λ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 8. * Η σχέση f με τύπο f (t) = t, t R +, είναι συνάρτηση. Σ Λ 9. * Αν για μια συνάρτηση f, που έχει πεδίο ορισμού το Α R, ισχύει f () = f () για κάποια, A, τότε =. Σ Λ. * Aν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση S = f + g ορίζεται στο ίδιο σύνολο. Σ Λ. * Aν οι συναρτήσεις f, g ορίζονται και οι δύο σ ένα σύνολο Α, τότε και η συνάρτηση = g f ορίζεται πάντοτε στο ίδιο ακριβώς σύνολο. Σ Λ. * Μια συνάρτηση γνησίως μονότονη είναι πάντοτε γνησίως αύξουσα. Σ Λ 3. * Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής. Σ Λ 4. * Οι συναρτήσεις f () = ημ και g () = συν είναι συνεχείς. Σ Λ 5. * Η συνάρτηση f () =, >, είναι συνεχής. Σ Λ 6. * Η συνάρτηση f () =, <, είναι συνεχής. Σ Λ 7. * Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης αναφέρεται μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού της. Σ Λ 8. * Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το Α, λέγεται συνεχής, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του συνόλου Α. Σ Λ 9. * Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, Δ με > ισχύει f ( ) < f ( ). Σ Λ. * Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, Δ με < ισχύει f ( ) < f ( ). Σ Λ. * Η παράγωγος f ( ) μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι πραγματικός αριθμός.. * Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι η γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης Σ Λ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση συνάρτησης f, στο σημείο (, f( )) αυτής, είναι η παράγωγος της f στο. Σ Λ 3. * Η παράγωγος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της = f (), ως προς, όταν =. Σ Λ 4. * Η παράγωγος f ( ) μιας συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ισούται με το f ( + ) - f ( ), R,. Σ Λ 5. * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, όταν και μόνο όταν υπάρχει το f ( + ) - f ( ), R,. Σ Λ 6. * Η συνάρτηση f () = είναι παραγωγίσιμη στο σημείο =. Σ Λ 7. * Η συνάρτηση f () = είναι συνεχής στο σημείο =. Σ Λ 8. * Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε το όριο + f ( ) - f ( ),, ισούται με τον συντελε- στη διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο (, f ( )) αυτής. Σ Λ 9. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = είναι f () =. Σ Λ 3. * Η παράγωγος της συνάρτησης g (κ) = κ q, όπου q Q, είναι g (κ) = qκ q-. Σ Λ 3. * Οι παράγωγοι των συναρτήσεων f () = ημ και g () = συν είναι αντίστοιχα f () = (ημ) = συν και g () = (συν) = - ημ. Σ Λ 3. * Οι παράγωγοι των συναρτήσεων Ε () = e και L () = ln είναι αντίστοιχα Ε () = (e ) = e και L () = (ln) = Σ Λ. 33. * Αν η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης g είναι η σταθερή συνάρτηση l, τότε η g είναι της μορφής g () = c, c R - {}. Σ Λ 34. * Αν η πρώτη παράγωγος μιας πολυωνυμικής συνάρτησης 3

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση g είναι 4ου βαθμού, τότε η g είναι 5ου βαθμού. Σ Λ 35. * Αν η δεύτερη παράγωγος μιας πολυωνυμικής συνάρτησης g είναι σταθερή, τότε η g είναι το πολύ ου βαθμού. Σ Λ 36. * Η συνάρτηση f με f () = f ( + ) - f (),, όπου τα σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη, λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f. Σ Λ 37. * Η παράγωγος (αν υπάρχει) της συνάρτησης g λέγεται πρώτη παράγωγος της g. Σ Λ 38. * Η παράγωγος (αν υπάρχει) της συνάρτησης g λέγεται τρίτη παράγωγος της g. Σ Λ 39. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = 5 είναι f () = 5. Σ Λ 4. * Η παράγωγος της συνάρτησης s (t) = t είναι s (t) =. Σ Λ 4. ** Θέσεις πιθανών ακρότατων συνάρτησης f ορισμένης και συνεχούς σ ένα διάστημα Δ είναι μόνο τα σημεία στα οποία η f παραγωγίζεται. Σ Λ 4. ** Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της, και υπάρχει η παράγωγος f ( ), τότε f ( ) =. Σ Λ 43. ** Αν για συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχή σ ένα διάστημα Δ, υπάρχει η f ( ) και είναι f ( ), με ε- σωτερικό σημείο του Δ, τότε το είναι θέση τοπικού ακρότατου της f. Σ Λ 44. ** Έστω συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχής σ ένα διάστημα Δ. Τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος ισούται με μηδέν, είναι θέσεις πιθανών τοπικών ακροτάτων της. Σ Λ 45. ** Έστω συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχής σ ένα διάστημα Δ. Τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f παραγωγίζεται και η παράγωγος f () ισούται με μηδέν, αποτελούν πάντοτε θέσεις τοπικών ακροτάτων της. Σ Λ 46. ** Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σ ένα εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, f ( )) είναι παράλληλη στον άξονα. Σ Λ 4

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 47. ** Στο σχήμα παρουσιάζεται η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) ή (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: 3 4 5 6 7 i. Το πεδίο ορισμού της f είναι [-, 7]. ii. Το πεδίο ορισμού της f είναι (-, 7]. iii. Η συνάρτηση f παρουσιάζει στο διάστημα (, 4) τοπικό μέγιστο, για = 3. iv. Ισχύει ότι f (3). v. Ισχύει f () > για (, 3) και f () > για (3, 4). vi. Στο διάστημα (, 3) η συνάρτηση f είναι αύξουσα. vii. Ισχύει f (5). viii. Οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία (3, f (3)) και (5, f (5)) είναι παράλληλες μεταξύ τους. i. Στο διάστημα (, ) η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για =.. Ορίζεται το f (). Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; A. B. Γ. Δ. Ε. 5

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση. * Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; A. B. Γ. Δ. Ε. 3. * Το διπλανό διάγραμμα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης, Α. f () =, - < < Β. f () =,, - < < Γ. f () =,, e, Ε. f () =, - < < - < < Δ. f () =,, - < < 4. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, με γραφική παράσταση που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα, είναι Α. [, 3] Β. [, ) Γ. (, 3) Δ. (, + ) Ε. [, 4] 3 4 6

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 5. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, με γραφική παράσταση που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα, είναι Α. (-, ) Β. (-, 3] Γ. (-, + ) Δ. (-, 3] Ε. (, 3] 3 3 6. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () = - είναι Α. [-, ] Β. [-, ) Γ. (-, ) Δ. (-, ] Ε. (-, + ) 7. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f () = είναι - Α. [-, ] Β. [-, ) Γ. (-, ) Δ. (-, ] Ε. (-, + ) 8. * Το διάγραμμα που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης Α. f () = - Β. f () = Γ. f () = Δ. f () = - Ε. f () = - 9. * Το διάγραμμα που παρουσιάζεται στο διπλανό σχήμα είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης Α. f () = Β. f () = - Γ. f () = - Ε. f () = Δ. f () = f. * Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Α R, τότε η συνάρτηση = g έχει πεδίο ορισμού Α. το σύνολο R Β. τα A: f () Γ. τα A: g () Δ. τα A: f () =, g () Ε. τα A: f () = g () = 7

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση. * Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν Α. ισχύει f ( ) = Β. ισχύει f ( ) Γ. υπάρχει το Δ. ισχύει Ε. ισχύει f () f () = f ( ) f () f ( ). * f( ) σχ. f( ) σχ. f( ) σχ.3 f( ) f( ) σχ.4 σχ.5 Στα παραπάνω σχήματα παρουσιάζονται πέντε γραφικές παραστάσεις ισάριθμων συναρτήσεων. Στη θέση συνεχής είναι η συνάρτηση Α. του σχήματος Β. του σχήματος Γ. του σχήματος 3 Δ. του σχήματος 4 Ε. του σχήματος 5 3. * Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν Α. υπάρχει το Β. υπάρχει το Γ. υπάρχει το f ( + ) - f (), R, f ( ) - f ( ), R, + f ( ) - f ( ), R, και είναι πραγματικός αριθμός + 8

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση Δ. το Ε. το f ( + ) - f ( ) f ( + ) - f ( ) = +, R, = -, R, 4. * Η παράγωγος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f, σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, εκφράζει Α. την τιμή της συνάρτησης στη θέση f ( + ) - f ( ) Β. την τιμή του κλάσματος, Γ. το ρυθμό μεταβολής της f () ως προς, όταν = Δ. το ρυθμό μεταβολής της f () ως προς - Ε. κανένα από τα παραπάνω 5. * Παράγωγο f ( ) μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ονομάζουμε f ( + ) - f ( ) Α. το πηλίκον, R, Β. το ( f ( + ) - f ( ) ), R, f ( + ) - f ( ) Γ. το, R, f ( Δ. το + ), R, f ( ) Ε. το πηλίκον +, R, 6. * Εάν S (t) είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, που κινείται ευθύγραμμα, τότε S (t + ) - S (t ) το κλάσμα, R, εκφράζει Α. τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t = t B. τη μέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστημα [t, t + ] Γ. τη μέση τιμή της επιτάχυνσης στο χρονικό διάστημα [t, t + ] Δ. τη στιγμιαία τιμή της επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t = t E. τη διαφορά του διαστήματος που διήνυσε το κινητό από τη χρονική στιγμή t μέχρι τη χρονική στιγμή t + 7. * Εάν S (t) είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, που κινείται ευθύγραμμα, τότε η τιμή Α = S (t + ) - S (t ), R, εκφράζει Α. τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t = t 9

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση B. τη μέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστημα [t, t + ] Γ. τη μέση τιμή της επιτάχυνσης στο χρονικό διάστημα [t, t + ] Δ. τη στιγμιαία τιμή της επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t = t E. τη διαφορά του διαστήματος που διήνυσε το κινητό από τη χρονική στιγμή t μέχρι τη χρονική στιγμή t + 8. ** Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα Δ R και γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η f είναι αρνητική Α. μόνο σ ένα σημείο του Δ B. σε όλα τα εσωτερικά σημεία του Δ Γ. στο σημείο μηδέν Δ. μόνο στα σημεία που μηδενίζουν την f E. κανένα από τα παραπάνω 9. * Αν για συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ, ισχύουν f ( ) = και f ( ) <, με εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση f Α. παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = B. είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το διάστημα Δ Γ. παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για = Δ. δεν παρουσιάζει ακρότατο για = E. είναι σταθερή συνάρτηση. * Αν για συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ, ισχύουν f ( ) = και f ( ) >, με εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση f Α. παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = B. είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ Γ. παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για = Δ. δεν παρουσιάζει ακρότατο για = E. είναι σταθερή συνάρτηση. * H συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα ανοικτό διάστημα Δ, είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, αν ισχύει Α. f () =, για κάθε σημείο του Δ B. f () =, για κάθε σημείο του Δ Γ. f () >, για κάθε σημείο του Δ Δ. f () <, για κάθε σημείο του Δ E. κανένα από τα παραπάνω. * Η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα ανοικτό διάστημα Δ, είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, αν ισχύει Α. f () =, για κάθε σημείο του Δ B. f () =, για κάθε σημείο του Δ Γ. f () >, για κάθε σημείο του Δ Δ. f () <, για κάθε σημείο του Δ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση E. κανένα από τα παραπάνω 3. ** Έστω συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ και εσωτερικό σημείο του Δ για το οποίο υπάρχει f ( ). Το εσωτερικό σημείο, είναι σημείο ακροτάτου της f, αν ισχύει Α. f ( ) = B. f ( ) Γ. f ( ) = Δ. f ( ) = και f ( ) E. f ( ) > και f ( ) = 4. * Η παράγωγος της συνάρτησης f () = είναι (για ) Α. ( + ) B. ( + ) Γ. Δ. E. ( + ) - 5. * Αν ο μεγιστοβάθμιος όρος μιας πολυωνυμικής συνάρτησης είναι α α, όπου α, α, τότε η παράγωγός της είναι Α. σταθερή συνάρτηση B. τριγωνομετρική συνάρτηση Γ. πολυωνυμική συνάρτηση με μεγιστοβάθμιο όρο τον α α- Δ. πολυωνυμική συνάρτηση με μεγιστοβάθμιο όρο τον α α- E. δεν μπορούμε να το γνωρίζουμε χωρίς τον τύπο της συνάρτησης 6. * Η συνάρτηση () = είναι Α. σύνθεση των συναρτήσεων f () = και g () = B. σύνθεση των συναρτήσεων f () = και g () = Γ. άλλη μορφή της συνάρτησης f () = Δ. άλλη μορφή της συνάρτησης f () = E. κανένα από τα παραπάνω 7. * Η συνάρτηση f () = ημ3 είναι Α. άλλη μορφή της συνάρτησης f () = 3ημ B. η παράγωγος της συνάρτησης f () = συν3 Γ. σύνθεση των συναρτήσεων f () = ημ, g () = 3 συν3 Δ. η παράγωγος της συνάρτησης f () = 3 E. κανένα από τα παραπάνω 8. * Αν L () = f (g ()), όπου f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση Α. L () = f (g ()) B. L () = f () g () Γ. L () = f () + g () Δ. L () = f (g ()) f () Ε. L () = f (g ()) g () Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο συνάρτησης της στήλης Α με το διάστημα ή ένωση διαστημάτων της στήλης Β, που είναι το πεδίο ορισμού της. Στήλη Α Στήλη Β f () = f () = 3 - R (, ) (-, ) (, + ) f () = f () = - f () = + (-, - ) (-, + ) (-, ) (, + ) (, ) [, ). * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο συνάρτησης της στήλης Α με το διάστημα ή ένωση διαστημάτων της στήλης Β, που είναι το πεδίο ορισμού της. Στήλη Α Στήλη Β [, + ) f () = [-, + ) f () = + (-, ) (, + ) (-, - ] [, + )

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση f () = f () = + (, + ) (-, ) (, ) (-, + ) 3. * Αντιστοιχίστε τον κάθε τύπο της συνάρτησης της στήλης Α με τη γραφική της παράσταση στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) (Δ). f () = - 3 +. φ () = 6 (B) (Ε) 3. () = - + 5 (Γ) 5 (Ζ),5 -,5 5 3

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 4. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεμιά από αυτές με τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () =c (B) () φ ω = ω ω (3) = (Γ) (Δ) = φ ω 4

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 5. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεμιά από αυτές με τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () =e (B) () =ln (Γ) 5

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 6. * Στη στήλη Α παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων. Αντιστοιχίστε καθεμιά από αυτές με τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β (A) () π = ημ π π π 3π (Β) () π 3π =συν π (Γ) π π π π 6

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 7. * Αντιστοιχίστε κάθε τύπο συνάρτησης που είναι στη στήλη Α με τον τύπο της συνάρτησης της πρώτης παραγώγου της που είναι στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β f () f () 3 6-3 6 3 ( - ) 4 (3) 3-8 (3 - ) 6 (3 - ) 3-6 6-7

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 8. * Αντιστοιχίστε κάθε τύπο συνάρτησης που είναι στη στήλη Α με τον τύπο της συνάρτησης της πρώτης παραγώγου της που είναι στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη B f () f () α α α β β + α α + β α + β α β + γ β β α - β α - β α + β β + α - γ β + α α + β 8

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 9. * Στη στήλη Α του παρακάτω πίνακα υπάρχουν τα πρώτα μέλη ισοτήτων, οι οποίες εκφράζουν τους κανόνες παραγώγισης. Στη στήλη Β υπάρχουν τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων αυτών. Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης Α με εκείνα της στήλης Β ώστε να προκύψουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης. Στήλη Α Στήλη Β f () g () + f () g () (c f ()) = f () g () -f () g () g () (f () + g ()) = (f () g ()) = f () = g () f () + g () c f () f () g () [f (g ())] = f (g ()) g () f () g () Ερωτήσεις συμπλήρωσης - σύντομης απάντησης 9

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση. * Να συμπληρώσετε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: α) f () = β) f () = γ) f () = A =... + A =... A =... δ) f () = + A =... ε) f () = A =... +. * Αν α) g () = 3 f () - β) g () = - 4 f () f () = -, να βρείτε και να συμπληρώσετε τα γ) g () = ( f ()) f () - δ) g () = 5-3 f () g () =... g () =... g () =... g () =... g (), όταν: ε) g () = 3-8 f () + g () =... 3. * Να συμπληρώσετε τα παρακάτω όρια: α) ( + 6 - ) =... β) γ) δ) ε) στ) 3 + =... 3 (5 6 - ) =... - π [(3 + ) (5-3)] =... [ημ + 3συν] =... [ημ - 4συν] =... 4. * Να συμπληρώσετε τα παρακάτω όρια: α) β) - - 3 8 - =... 4-6 + =...

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση γ) + 5 + 3 - ( + ) =... δ) 3 + - - 4-5 =... 5. * Να συμπληρώσετε τις τιμές των παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία: α) f () = f () =... β) f () = + f () =... γ) f () = - 3 f (- ) =... δ) f () = ημ π f ( ) =... ε) f () = - f () =... 6. * Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία: α) f () = - A (, f ()) =... β) f () = - A (, f ()) =... γ) f () = 3 - A (-, f (- )) =...

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 7. * Για κάθε γραφική παράσταση της = f () χαράξτε την αντίστοιχη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 8. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συμπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α f () Στήλη Β f () - ( - ) ( - ) ( - ) 3 ( -) - 3 ( -) 3

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 9. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συμπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α Στήλη Β f () f () ημ ημ συν - ημ συν ημ ημ. * Στη στήλη Α δίνονται τύποι συναρτήσεων. Συμπληρώστε στη στήλη Β τους αντίστοιχους τύπους των πρώτων παραγώγων τους. Στήλη Α Στήλη Β f () f () - ln e e -3 + ln - 4

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση. * Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τύποι τεσσάρων συναρτήσεων. Να συμπληρώσετε τη στήλη Β με το αντίστοιχο πεδίο ορισμού τους, τη στήλη Γ με την πρώτη παράγωγό τους και τη στήλη Δ και τη δεύτερη παράγωγό τους. Στήλη Α Στήλη Β πεδίο ορισμού Στήλη Γ πρώτη παράγωγος Στήλη Δ δεύτερη παράγωγος () = φ () = - f () = g () = + - Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = - 3 +. Να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της, Α β) για ποιες τιμές του Α έχουμε f () = γ) το πεδίο ορισμού Β της συνάρτησης g () = - 3 +. ** Δίνεται η συνάρτηση g με g () = +. α) Για ποιες τιμές του R έχουμε g () = ; β) Να βρείτε: i) το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f () = + ii) το πεδίο ορισμού Β της συνάρτησης () = + 3. ** Δίνεται η συνάρτηση g με g () = -. α) Για ποιες τιμές του R έχουμε g () = ; β) Για ποιες τιμές του R η συνάρτηση g () είναι θετική; γ) Να βρείτε: i) το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f () = 5

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ii) το πεδίο ορισμού Β της συνάρτησης () = iii) το πεδίο ορισμού Γ της συνάρτησης φ () = 4. ** Δίνεται η συνάρτηση g με g () = - 4. α) Για ποιες τιμές του R έχουμε g () = ; β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f () = - - 4 5. ** Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με f () = - 4 - και g () = 3 -, R. Να βρείτε: α) τον τύπο της συνάρτησης f () + g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της, Α β) τον τύπο της συνάρτησης 3f () - g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της, Β γ) τον τύπο της συνάρτησης f () g () και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της, Γ f () δ) τον τύπο της συνάρτησης και να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της, Δ g () 6. ** Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με f () = - 3 +, g () = 5 -, R. Να βρείτε: α) το β) το f () και το [f () + g ()] g () 7. ** Δίνεται η συνάρτηση φ με φ () = α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το φ () γ) το [φ ()] 3 3 -. Να βρείτε: + 3 8. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = 6 - α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το f () 3-3. Να βρείτε: 6

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 9 ** Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με f () = 6 3 + 5 -, g () = -, R. Να βρείτε: α) τα β) το - - f (), f () g () g () -. ** Αν α) φ () = 3 f () β) φ () = 3 f () - γ) φ () = f f () = -, να βρείτε το 5 f () 3 () - φ (), όταν: δ) φ () = f () - 4. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () =. Να βρείτε: +- α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το - f (). ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το - 3 f () 9 -. Να βρείτε: 3 + 3. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το f () 3-3. Να βρείτε: - 3 4. ** Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση f () = των πραγματικών αριθμών; 3 - + α έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R 5. ** Για ποιες τιμές του α R η συνάρτηση f () = σύνολο R των πραγματικών αριθμών; - 3-4 + (α + ) έχει πεδίο ορισμού το 6. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) το πεδίο ορισμού της, Α -. Να βρείτε: + 4 7

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση β) το f (). γ) Να εξετάσετε, αν η f () είναι συνεχής στη θέση =. - 3 +, 3 7. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () =. α, = 3 α) Για 3 είναι συνεχής η συνάρτηση; β) Για ποια τιμή του α R η συνάρτηση f () είναι συνεχής στο σημείο = 3; 8. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) το f () - - - α,,. Να βρείτε: = β) την τιμή του α R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο =. 9. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) το πεδίο ορισμού της, Α β) το - + + - - + - α,,. Να βρείτε: = γ) την τιμή του α R, ώστε η f να είναι συνεχής στο σημείο =. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = - 5 + 6, -. Να βρείτε την τιμή του α R, α, = ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο =.. ** Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι δ. Να εκφράσετε, ως συνάρτηση της διαγωνίου δ: α) την περίμετρό του β) το εμβαδό του. ** Οι κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Α = 9 ) μεταβάλλονται έτσι ώστε το εμβαδό του να παραμένει σταθερό και ίσο με m. Να εκφράσετε το μήκος της πλευράς ΑΒ, ως συνάρτηση του μήκους της πλευράς ΑΓ. 3. ** Ένας κυκλικός τομέας ακτίνας r έχει εμβαδό 3 cm. Να εκφράσετε την περίμετρό του, ως συνάρτηση της ακτίνας r. 8

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 4. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) την f (3), R. Να βρείτε: 3 β) το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f, στο σημείο με = 3 γ) την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης 5. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α, R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (, f ()) να είναι 4. 6. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = +, R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο με =. γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (, f ()). 7. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = - 5 + 6, R. Να βρείτε: α) την f () β) την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, που είναι παράλληλη στον άξονα. 8. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = - α, R, α R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο (, f ()) να σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45. 9. ** Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η εφαπτομένη της καμπύλης, που είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = - + - 3 στο σημείο ( 4, f ( 4 )). 9

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 3. ** Η θέση ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα, δίνεται συναρτήσει του χρόνου από τον τύπο S (t) = t + t, όπου το t μετριέται σε sec και το S σε μέτρα. Να βρείτε: α) τη μέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστημα [, 4] sec β) τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t = sec ( sec μετά την εκκίνησή του). 3. ** Η θέση ενός κινητού, που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση, δίνεται συναρτήσει του χρόνου t (σε sec) από τον τύπο S (t) = 3t - t. Να βρείτε: α) τη μέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστημα [, 4] sec β) τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t = 3 sec (3 sec μετά την εκκίνησή του). 3. ** Η ταχύτητα, ενός κινητού, που κινείται ευθύγραμμα, συναρτήσει του χρόνου t (σε sec), δίνεται από τον τύπο υ (t) = 3t - 5. α) Να εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας (επιτάχυνση) του κινητού ως προς t, όταν t = t. β) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας (επιτάχυνση) του κινητού ως προς t, όταν t = sec ( sec μετά την εκκίνησή του). 33. ** Ένας πληθυσμός μικροβίων Ρ μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t (σε ώρες) σύμφωνα με τον τύπο Ρ (t) = 3-5 ( + t) -. α) Να βρείτε τον αρχικό αριθμό μικροβίων (t = ). β) Να βρείτε τον αριθμό των μικροβίων όταν t = 9 ώρες. γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού των μικροβίων ως προς το χρόνο, όταν t = 9 ώρες. 34. ** Ο πληθυσμός Α μιας περιοχής δίνεται, συναρτήσει του χρόνου t (σε έτη) από τον τύπο Α (t) = e 4t (σε χιλιάδες). Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού αυτής της περιοχής, ως προς το χρόνο, ύστερα από 5 έτη. 35. ** Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με f () = α) Την πρώτη παράγωγο i) της f και ii) της g. β) Τις παραγώγους i) f () και ii) g (). e 3, g () = e. Να βρείτε: 36. ** Να βρείτε πολυώνυμο Ρ () τρίτου βαθμού, τέτοιο ώστε Ρ () = -, Ρ () = 5, Ρ () =, Ρ () =. 37. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = -. α) Να βρείτε: i) την f () ii) την f () β) Να αποδειχθεί ότι: ( - ) f () + f () =, για κάθε R. 38. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = e. α) Να βρείτε: i) την f () ii) την f () β) Να δείξετε ότι: f () - f () =, για κάθε R. 3

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση 39. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = e α, α R. Να βρείτε: α) Την f () β) Την f () γ) Τις τιμές του α, ώστε να ισχύει η σχέση f () + f () = 3f (), για κάθε R. 4. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = (3 - ) 3 ( + ). Να βρείτε: α) Την f () β) Το f (). 4. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) Το πεδίο ορισμού της, Α β) Την f (). 4. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) Το πεδίο ορισμού της, Α β) Την f (). e e -. Να βρείτε: +. Να βρείτε: e - 43. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α) Το πεδίο ορισμού της, Α β) Την f (). - ημ - συν. Να βρείτε: 44. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = 3 + + 3 +, R. Να βρείτε: 3 α) Την f () β) Τα σημεία της καμπύλης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόμενες σ αυτήν, είναι παράλληλες στον άξονα. 45. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = ( + ), R. Να βρείτε: α) Την f () β) Το συντελεστή διεύθυνσης λ της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο με τετμημένη 4. 46. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = - + 3 -, R. Να βρείτε: α) Την f () β) Την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f, που σχηματίζει με τον άξονα γωνία 35. 47. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = α ( + ), R, α R. 3

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε τον α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο (, f ()) να είναι 4. γ) Να βρείτε την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης ευθείας. 48. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = - 4 +, R. α) Να βρείτε την f () β) Να προσδιορίσετε το σημείο Α της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στο οποίο η εφαπτομένη της σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα. 49. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = - α +β, α, β R και η ευθεία = 3 -, R. Να υπολογίσετε τα α, β ώστε η ευθεία = 3 - να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη. 5. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = 3 + - +, R. Να βρείτε: 3 α) Την f (). β) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f, που είναι παράλληλες στην ευθεία = + 3. 5. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () =, R,. 4 α) Να δείξετε ότι f (α) = - 3 για κάθε α R, α. α β) Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο (α, ) της γραφικής παράστασης της f. α 5. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = 3-9 + 5-3, R. α) Να βρείτε την f (). β) Να εξετάσετε τη μονοτονία της. γ) Να προσδιορίσετε τα ακρότατά της (αν υπάρχουν). 53. ** Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπους: f () = - 4 - και g () = 4 - +, R. Να βρείτε: α) i) την f () και ii) την g (). β) Τις θέσεις για τις οποίες οι συναρτήσεις παρουσιάζουν ακρότατο γ) Τις τιμές των ακροτάτων αυτών. 54. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = 3 3 - - 5 -, R. Να βρείτε: α) Την f () β) Για ποιες τιμές του έχουμε f () = 3

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση γ) Ποιες από τις παραπάνω τιμές των είναι θέσεις ακροτάτων για την f δ) Τις τιμές των ακροτάτων. 55. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = κ + λ + 3, R, κ, λ R. α) Να βρείτε τα κ, λ ώστε η f να έχει στη θέση = τοπικό ακρότατο ίσο με -. β) Τι είδους ακρότατο παρουσιάζει η συνάρτηση στη θέση = ; 56. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = 3-3, R. Να βρεθούν τα διαστήματα που η f είναι: α) Αύξουσα β) Φθίνουσα 57. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = e -. α) Να βρεθούν οι f (), f (). β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f, ως προς τη μονοτονία της. γ) Να προσδιοριστούν τα ακρότατά της (αν υπάρχουν). 58. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = ( - ) e, R. α) Να βρεθούν: i) το πεδίο ορισμού της, ii) η f () και η f (). β) Να μελετηθεί η f ως προς: i) τη μονοτονία της, ii) τα ακρότατά της και να εντοπιστούν αυτά, αν υπάρχουν. 59. ** Δίνεται η συνάρτηση f με f () = κ 3 + λ + 3 -, R, κ, λ R. α) Να βρείτε την f (). β) Να προσδιορίσετε τα κ, λ, ώστε η f να έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία με τετμημένες =, = -. γ) Να βρείτε τις τιμές των ακροτάτων. 6. ** Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με την ίδια περίμετρο, ποιο είναι εκείνο που έχει το μέγιστο εμβαδό; 6. ** Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδό 6 m, να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου, που έχει την μικρότερη περίμετρο. 6. ** Να αποδείξετε ότι από όλα τα ισοσκελή τρίγωνα, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο ακτίνας R, το ισόπλευρο έχει μεγαλύτερο εμβαδό. 63. ** Να βρεθούν δύο αριθμοί, με σταθερό άθροισμα, που να έχουν το μεγαλύτερο γινόμενο. 64. ** Η τιμή πώλησης ενός μηχανικού εξαρτήματος είναι. δρχ. Το κόστος του συναρτήσει του χρόνου κατασκευής (σε ώρες) προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Κ (t) = t + 5t - α) Πότε πραγματοποιήθηκε το μέγιστο κέρδος; 33

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση β) Πόσο είναι αυτό; 65. ** Η ενέργεια που καταναλώνει ένας μικροοργανισμός που κινείται μέσα στο αίμα ενός ασθενούς με ταχύτητα υ, προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Ε (υ) = [ (υ - 35) + 75] υ α) Με ποια ταχύτητα πρέπει να κινηθεί για να καταναλώσει τη μικρότερη ενέργεια; β) Πόση είναι η ελάχιστη ενέργεια; 66. ** Η ενέργεια W (t), που αποδίδεται από ένα πηνίο, μεταβάλλεται με το χρόνο t σύμφωνα με τον τύπο της συνάρτησης: W (t) = 6t - t 4 και μετριέται σε Joules. α) Να εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας ως προς το χρόνο (την ισχύ του πηνίου) τη χρονική στιγμή t = t. β) Σε ποια χρονική στιγμή το πηνίο έχει μέγιστη ισχύ; γ) Πόσα Watt είναι η μέγιστη ισχύς; 67. ** Η τιμή εισιτηρίου των αστικών λεωφορείων είναι σταθερή τα τελευταία 8 χρόνια στις δρχ. Το κόστος μεταφοράς ανά επιβάτη στη διάρκεια των 8 χρόνων προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης: Κ (t) = t 5 + t όπου t (, 8] ο χρόνος. α) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή κατά την οποία πραγματοποιήθηκε το μέγιστο κέρδος. β) Πόσο είναι αυτό το κέρδος; 68. ** Η θετική αντίδραση ενός οργανισμού σ ένα φάρμακο περιγράφεται (δίνεται) από τον τύπο της συνάρτησης f () = (α - ), α > σταθερά και η ημερήσια δόση του φαρμάκου σε mg. Ποια είναι η ενδεδειγμένη ποσότητα δόσης του φαρμάκου ώστε να έχουμε τη μεγαλύτερη θετική αντίδραση του οργανισμού; 69. ** Ένα εργοστάσιο ζαχαροπλαστικής παρασκευάζει μεταξύ άλλων ταψάκια γαλακτομπούρεκου. Υπολογίστηκε ότι η παρασκευή ταψιών την εβδομάδα κοστίζει περίπου ( 4 + 5 + 5) δρχ. Αν η τιμή πώλησης του ταψιού είναι ( - ) δρχ., πόσα ταψάκια γαλακτομπούρεκο πρέπει να παράγει την εβδομάδα, ώστε να έχει το μεγαλύτερο δυνατό κέρδος; 34