ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 4 Α3. Αν,,..., ν είναι οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν και w, w,..., w ν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθµισης (βαρύτητας), να ορίσετε τον σταθµικό µέσο της µεταβλητής Χ. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν: f '( 0) = 0 για 0 (, β), f ' > 0 στο (α, 0 ) και f '( 0) < 0 στο ( 0, β), τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο διάστηµα (α, β) για = 0. β) Ένα τοπικό ελάχιστο µιας συνάρτησης στο πεδίο ορισµού της µπορεί να είναι µεγαλύτερο από ένα τοπικό µέγιστο. γ) Η διακύµανση των παρατηρήσεων µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ εκφράζεται µε τις ίδιες µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. δ) Αν για τους συντελεστές µεταβολής των δειγµάτων Α και Β ισχύει CV B > CV A >C V, τότε λέµε ότι το δείγµα Β εµφανίζει µεγαλύτερη οµοιογένεια από το δείγµα Α. ε) Αν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, τότε η έκφραση «πραγµατοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγµατοποίηση του Β» δηλώνει ότι Α Β. Μονάδες 0
ΘΕΜΑ Β Έστω Α, Β και Γ ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες των ενδεχοµένων Α, A B και A B ανήκουν στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης (3 ) (8 6 + ) = 0. Η πιθανότητα του ενδεχοµένου Γ ανήκει στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης Β. Να αποδείξετε ότι 9 3 = 0. P( A= ), P( A B ) = 3 4 P A B =., Μονάδες 5 Β. Να υπολογίσετε την πιθανότητα P(A' B'), καθώς επίσης και την πιθανότητα του ενδεχοµένου : «πραγµατοποιείται το πολύ ένα από τα ενδεχόµενα Α και Β». Μονάδες 8 Β3. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Ε: «πραγµατοποιείται µόνο ένα από τα ενδεχόµενα Α και Β». Β4. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Β και Γ είναι ασυµβίβαστα. Μονάδες 6 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούµε ένα δείγµα ν παρατηρήσεων µιας συνεχούς ποσοτικής µεταβλητής Χ, τις οποίες οµαδοποιούµε σε 5 ισοπλατείς κλάσεις, όπως παρουσιάζονται στον Πίνακα Ι, όπου f i %, i =,, 3, 4, 5 είναι οι σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό των αντιστοίχων κλάσεων. Θεωρούµε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι οµοιόµορφα κατανεµη- µένες. ίνεται ότι: Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγµατος που είναι µικρότερες του 0 είναι 0%. Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγµατος που είναι µεγαλύτερες ή ίσες του 6 είναι 30%. Στο κυκλικό διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων, η γωνία του κυκλικού τοµέα που αντιστοιχεί στην 3 η κλάση είναι 08 ο. Η µέση τιµή των παρατηρήσεων του δείγµατος είναι = 4.
Κλάσεις f i % [8, 0) [0, ) [, 4) [4, 6) [6, 8) ΠΙΝΑΚΑΣ Ι Γ. Να αποδείξετε ότι f i % = 0, f % =0, f 3 % =30, f 4 % =0, f 5 % =30. εν είναι απαραίτητο να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον Πίνακα Ι συµπληρωµένο. Μονάδες 6 Γ. Να εξετάσετε αν το δείγµα των παρατηρήσεων είναι οµοιογενές. ίνεται ότι 6, 6, 57. Μονάδες 7 Γ3. Έστω,, 3 και 4 τα κέντρα της ης, ης, 3 ης και 4 ης κλάσης αντίστοιχα και ν, ν, ν 3 και ν 4 οι συχνότητες της ης, ης, 3 ης και 4 ης κλάσης αντίστοιχα. Αν 4 v= 780, βρείτε το πλήθος ν των παρατηρήσεων του δείγµατος. i= i i Μονάδες 5 Γ4. Έστω,, 3, 4, 5 πέντε τυχαία επιλεγµένες παρατηρήσεις διαφορετικές µεταξύ τους από το παραπάνω δείγµα ν παρατηρήσεων. Ορίζουµε ως τη µέση τιµή των πέντε αυτών παρατηρήσεων και S α την τυπική τους απόκλιση. i Εάν βi=, για i =,, 3, 4, 5, να δείξετε ότι η µέση τιµή β του δείγµατος S β i, i =,, 3, 4, 5 είναι ίση µε 0 και η τυπική του απόκλιση S β είναι ίση µε. Μονάδες 7 3
ΘΕΜΑ ίνεται κύκλος (Ο, ρ) µε κέντρο Ο και ακτίνα ρ = 5 και ορθογώνιο ΑΒΓ εγγεγραµµένο στον κύκλο αυτόν µε πλευρά ΑΒ =, όπως φαίνεται στο Σχήµα Ι. Α Β Ο Γ ΣΧΗΜΑ Ι. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓ, ως συνάρτηση του, δίνεται από τον f 00 =, 0 < < 0. Μονάδες 4. Να βρείτε την τιµή του για την οποία το εµβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓ γίνεται µέγιστο. Για την τιµή αυτήν του, δείξτε ότι το ορθογώνιο ΑΒΓ είναι τετράγωνο. Μονάδες 5 f ( + ) 99 3. Να υπολογίσετε το όριο lim. 0 98 Μονάδες 8 4. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. Αν P(A B) > 0, να δείξετε ότι P( A B) P( A) f f 00 P ( A) 00 P ( A B) Μονάδες 8 4
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, σχολ. βιβλίο σελ. 3. Α. Λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 του πεδίου ορισµού της, ( 0 ) ( 0) όταν και µόνον όταν το lim f + h f υπάρχει και είναι πραγµατικός h 0 h αριθµός. Α3. Ορισµός, σχολ. βιβλίο σελ. 86-87. Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης ( )( ),,, µε < <. 3 4 4 3 Επειδή Α Β Α Α Β 3 8 6 + = 0 είναι έπεται Ρ( Α Β) Ρ( Α) Ρ( Α Β) πιθανότητες Ρ( Α Β), Ρ( Α), Ρ( Α Β) προκύπτει ότι Ρ Α Β < Ρ Α < Ρ Α Β και επειδή οι είναι διαφορετικές ανά δύο µεταξύ τους, Ρ Α Β =, Ρ Α =, Ρ Α Β =. 4 3 Έτσι προκύπτει ( ) ( ) Β. Ρ( Α Β ) = Ρ( Α ) + Ρ( Β) Ρ( Α Β) 5 = + Ρ( Β) Ρ( Β ) =. 3 4 Για το ενδεχόµενο Α Β είναι: Α Β = Α Β = Α Β = Β Α. 5 5 3 Ρ Α Β = Ρ Β Α = Ρ Β Ρ Α Β = = = =. 4 6 Α Β οπότε Άρα ( ) ( ) Το ενδεχόµενο ισούται µε, 3 Ρ( ) = Ρ ( Α Β ) = Ρ( Α Β ) = =. 4 4 5
Β3. Το ενδεχόµενο Ε ισούται µε ( A B) ( B A) οπότε P( E) P ( A B) ( B A) P( A) P( A B) P( B) P( A B) = = + = 5 = P( A) + P( B) P( A B) = + =. 3 4 4 Β4. Η εξίσωση 9 3 = 0, έχει ρίζες =, =. Άρα P( Γ ) =. 3 3 3 Αν τα ενδεχόµενα Β, Γ ήταν ασυµβίβαστα θα ήταν 5 3 P( Β Γ ) = P( Β ) + P( Γ) P( Β Γ ) = + P( Β Γ ) = >, άτοπο. 3 Άρα τα Β, Γ δεν µπορεί να είναι ασυµβίβαστα. ΘΕΜΑ Γ Γ. Από τα δεδοµένα προκύπτει f % = 0 και f % = 30. Επίσης είναι 08 5 f 3= = Άρα f % = 30 3 Τα κέντρα των κλάσεων είναι = 9, =, 3= 3, 4= 5, 5= 7. Από τον τύπο 5 i i προκύπτει i= = f 4 = 9 0,+ f + 3 0,3 + 5 f + 7 0,3 4 4 = f + 5 f + 9.9 f + 5 f = 4, () 4 4 Επίσης είναι f + f + f3 + f4 + f5 + 0,+ f + 0,3 + f4 + 0, 3 = f + f 4 = 0.3 (). f + 5f4 = 4, Από το σύστηµα των (), () : f + f4 = 0,3 Άρα f % = 0 και f % = 0. 4 Κλάσεις f % [8, 0) 0 [0, ) 0 [, 4) 30 [4, 6) 0 [6, 8) 30 360 0,3 προκύπτει f = 0, και f 4= 0,. 6
S i i v i = Γ. Από τον τύπο S = v v 5 5 i i i i= v i= i προκύπτει S = ( ) S = f ( ) Έτσι S f( ) f( ) f3( 3 ) f4( 4 ) f5( 5 ) 0,( 9 4) 0,( 4) 0,3( 3 4) 0,( 5 4) 0,3( 7 4) = + + + + = = + + + + = = 0, 5 + 0, 9 + 0,3 + 0, + 0,9 9 =,5 + 0,9 + 0,3 + 0, +,7 = 6,6. S = 6, 6 άρα S= 6, 6,57. S,57 Ισχύει ότι CV = = 0,8 > 0,. 4 Άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. 5 4 νi i νi i + ν 5 5 i= i= 780 + f5 ν 5 Γ3. Ισχύει ότι = = 4 = ν ν ν 780 4 ν = 780 + 0, 3 ν 7 4 ν 5, ν = 780 8, 9 ν = 780 ν = 8,9 ν = 00 Γ4. Από την εφαρµογή της σελ 99 του σχολικού βιβλίου προκύπτει ότι αν δυο µεταβλητές, y συνδέονται µε τη σχέση Υ = α X + β όπου α, β R, τότε y= + β και S = S. y i Από το δεδοµένο βi = βi = i, προκύπτει ότι οι µεταβλητές α, β S S S συνδέονται µε τη σχέση β=. S S Άρα β= = 0 και S S S = β S S. S = S =. 7
ΘΕΜΑ. Α Β Ο Γ Το τµήµα ΑΒ =, είναι χορδή του κύκλου, άρα 0 < < ρ 0 < < 0. Η γωνία ΑΒ είναι ορθή, άρα η χορδή Β είναι διάµετρος του κύκλου. Έτσι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ είναι ΑΒ =, Β = 0 και άρα Α = =. 0 00 Το εµβαδό του ορθογωνίου ΑΒΓ είναι AB A 00 f = =.. Η f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (0,0) µε 00 f = 00 + = 00 =. 00 00 00 f = 0 00 = 0 = 50 = 50 ή = 50. Επειδή ( 0,0) προκύπτει = 50= 5. Προκύπτει ο επόµενος πίνακας µεταβολής. f f 0 5 + - τ.µέγιστο 0 8
Συµπεραίνουµε ότι για την τιµή = 5 η f παρουσιάζει µέγιστο. Για την τιµή αυτή είναι Α = 00 = 00 50 = 50, δηλ. Α = ΑΒ, οπότε το ορθογώνιο ΑΒΓ είναι τετράγωνο. 3. Παρατηρούµε ότι 99 = 00 = f ( ). f( + ) 99 f( + ) f Έτσι lim lim = = 98 98 0 0 00 98 99 f 98 98 98 99 = = = = =. 00 99 99 4. Είναι A B A, άρα P( A B) P( A) και επειδή P( A B) > 0, 0< P A B P A < 5. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( 0,5 ) άρα P A είναι: 00 00 P( A B) P( A) (). 00 P ( A) 00 P ( A B) f P A B f P A P A B P A B P A P A 0 < 0<, άρα Είναι P( A B) P ( A B) P A B 00 P A B 99 00 P A B 99 0 < 99 ( ) 00 P A B Επειδή P( A) 0< και 0<, προκύπτει 99 Τελικά 00 P A B ( ) P A B P A 0< <. 00 P A 00 P A B P A 0< <. 00 P A B 99 Όµως η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( 0,5 ) άρα P( A B) P( A) f f. 00 P ( A) 00 P ( A B) 9