2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Συμβολίζουμε με το πεδίο ορισμού (που περιέχει υποσύνολα του Ω ) του P : 0, είναι μία μέτρου πιθανότητας. Δηλαδή το μέτρο πιθανότητας [ ] συνολοσυνάρτηση- από το στο [ 0, ] τέτοια ώστε για A να έχουμε 0 P( A). Ποία είναι όμως η δομή του? Για παράδειγμα εάν AB,, είναι λογικό, εκτός P B να θέλουμε να μπορούμε να υπολογίζουμε των πιθανοτήτων P( A ) και ( ) πιθανότητες της μορφής P( A ), P( B ) είτε P( A B) πιθανότητες P( A ), ( ) P( A ) P( A) και P( B ) P( B) έχουμε και A, B. Για την πιθανότητα P( A B) P( A B) P( AB ) + P( AB ) + P( AB) P( A B) P( A) + P( AB ) P( A B) P( B) + P( AB ). Για να υπολογίσουμε τις P B μας αρκεί το γεγονός ότι AB, εφόσον. Από την άλλη μεριά αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε ότι: Προσθέτοντας κατά μέλη την 2 η και 3 η εξίσωση και αφαιρώντας την η παίρνουμε την γνωστή σχέση P A B P A + P B P AB. ( ) ( ) ( ) ( ) Είναι εμφανές λοιπόν ότι για να μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες P( A ), P( B ), και P( A B) θα πρέπει να ανήκουν στο εκτός από τα A και B, και τα υποσύνολα του Ω A B, A, B, AB, AB, A B. Για πρακτικούς λόγους, θα θέλαμε να μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα κάθε ενδεχομένου A Ω δηλαδή θα θέλαμε να έχουμε πεδίο ορισμού της Ο χώρος Ω που καθορίζει το τυχαίο πείραμα ή φαινόμενο. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων

συνάρτησης P το δυναμοσύνολο του Ω, δηλαδή το σύνολο όλων των Ω. Αυτό όμως μπορεί να υποσυνόλων του Ω, που συμβολίζουμε με 2 Ω είτε ( ) γίνει μόνο για διακριτά σύνολα Ω. Εάν για παράδειγμα το Ω είναι κάποιο πεπερασμένο υποσύνολο του, τότε το αξίωμα της επιλογής 2 μας λέει ότι εάν θέσουμε σαν μέτρο πιθανότητας 3 P ( A) legth( A) / legth( Ω) για υποσύνολα A του Ω 4, τότε υπάρχουν παθολογικά υποσύνολα του Ω στα οποία η έννοια της πιθανότητας δεν μπορεί να οριστεί (για παράδειγμα σύνολα τύπου Vtal δεν έχουν μήκος). Δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση, το θα είναι μικρότερο από το δυναμοσύνολο (power set) του Ω. Έτσι το πεδίο ορισμού του μέτρου πιθανότητας, είναι μια οικογένεια μετρήσιμων υποσυνόλων του Ω, που όμως γενικά δεν περιέχει όλα τα δυνατά υποσύνολα του Ω δηλαδή 2 Ω. Ορισμός: Ένα σ πεδίο (σ feld ή σ algebra ή Borel feld) πάνω στο δειγματικό χώρο Ω, είναι μια οικογένεια υποσυνόλων του Ω τέτοια ώστε:. Ω 2. A A 3. A, I A, ( ) I card I 5. Από τον ορισμό είναι εμφανές το είναι κλειστό κάτω από τις πράξεις ( ),., Δηλαδή χρησιμοποιώντας αυτές τις προηγούμενες πράξεις πάνω στα στοιχεία του, το σύνολο που θα πάρουμε θα βρίσκεται και πάλι μέσα στο. Κάθε σ πεδίο πάνω στον δειγματικό χώρο Ω βρίσκεται μεταξύ των, Ω, 2 Ω. σ πεδίων { Ω (το τετριμμένο σ πεδίο) και 2 Ω, δηλαδή { 2 Το αξίωμα της επιλογής μας λέει ότι από κάθε οικογένεια συνόλων { I ακριβώς στοιχείο x Sαπό κάθε σύνολο της οικογένειας, δηλαδή δοθέντος της { κατασκευάσουμε το { x. I S μπορούμε να διαλέξουμε ένα S μπορούμε να 3 Για παράδειγμα εάν A ( ab, ) τότε ορίζουμε σαν legth( A) ( b a) 2 b a τη μονοδιάστατη ευκλείδεια απόσταση. 4 Δηλ. η πιθανότητα εδώ είναι το κανονικοποιημένο μήκος του A (κανονικοποιημένο μέτρο Lebesgue). 5 Ο πληθάριθμος του A (cardalty) συμβολίζεται σαν card ( A ) πλήθος των στοιχείων του A. I Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 2

Παράδειγμα. Εάν οι οικογένεια υποσυνόλων είναι σ πεδίο, τότε το περιέχει και τις αριθμήσιμες τομές των στοιχείων του A A A A A { { ( ) I I I I I 2. Εάν η ακολουθία ενδεχομένων { lmsup A Παράδειγμα A ανήκει στο, τότε τα ενδεχόμενα A και lm f A A 2 2 2. Εάν { F, SF, FSF,, F S, S F,, S ανήκουν στο. Ω τότε ( ) 2 card Ω, με F και S συμπληρωματικές καταστάσεις (π.χ. Falure, Success), όπου P S P F p. Εάν ορίσουμε την συνάρτηση X : Ω, έτσι ώστε ( ) ( ) X ( ω ) ο αριθμός των S στο ω, παρατηρούμε ότι ο χώρος καταστάσεων της X είναι X ( ) { 0,,, θέτοντας 2 Ω έχουμε ότι X ( B) { ω : X ( ω) B { X B Ω και Ω για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο του (λέμε τότε ότι η συνάρτηση X είναι μια τυχαία B /2,3/2 τότε επειδή B θα έχουμε μεταβλητή). Για παράδειγμα εάν ( ) 2 { X B { SF, FSF,, F S Η κατανομή της τ.μ. X είναι διωνυμική, δηλαδή X ~ (, ) B p με x x p ( p ), x { 0,,, px ( x) P{ X x B ( x, p ) x. 0, elsewhere Για ({ ) ω ( ω) { { X : X SF, FSF 2,, F S Ω, έχουμε P X P X P S P F p p ( ({ )) { ( ) ( ) ( ) ενώ, Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 3

({ ) Ω X 0,,, X { x X ({ x ) x 0 x 0 P( Ω ) P X ({ x ) P( { X 0 { X ) x 0 x x P{ X x p ( p) ( p+ ( p) ) x 0 x 0 x 2. Για τον δειγματικό χώρο { S, FS,, F S, Ω μπορούμε να θέσουμε 2 Ω, X : Ω έτσι ώστε X ( ω ) ο αριθμός των F στο ω αριθμός των αποτυχιών έως την πρώτη επιτυχία, Y : Ω έτσι ώστε Y( ω) X ( ω) + ο αριθμός των S και F στο ω αριθμός των δοκιμών έως την πρώτη επιτυχία. Για παράδειγμα x ( ({ )) { { ότι X ~ Geo( p ), x ( ) ( ) ( ) ( ) PX x P X x P FS PF PS p px, 0 και γνωρίζουμε x P( Ω ) P X ({ x ) p( p) p. x 0 x 0 ( p) Ισοδύναμα y y ( ({ )) { ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ~+ ( ). y PY y PY y PF S PF PS p py,,ενώ X Y Geo p Y Geo p 2 2 3. Για τον δειγματικό χώρο Ω { S, FS,, SFS,, S FS, F S,, S FS, θα έχουμε 2 Ω μπορούμε να θέσουμε: X : Ω έτσι ώστε X ( ω ) ο αριθμός των F στο ω αριθμός των αποτυχιών έως την οστη επιτυχία, X ( Ω ) { 0,, 2,, Y : Ω έτσι ώστε Y( ω) X ( ω) + ο αριθμός των δοκιμών έως την Y Ω, +, + 2,. οστη επιτυχία, ( ) { x Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 4

( ) { py y PY y P{ επιτυχίες στις πρώτες y δοκιμές, επιτυχία στην y δοκιμή P{ επιτυχίες στις πρώτες (, ) (, ) B y p B p y δοκιμές P{ επιτυχία στην y δοκιμή y ( ) ( ) ( ) y y y p ( p), y {,, 2, p p p + + 0, elsewhere Παρατηρούμε ότι x+ p p x P{ X x PY { x+ 0, elsewhere x ( ), { 0,, 2, Παρατήρηση Το Ω αποτελείται από τα στοιχειώδη αποτελέσματα ενός τυχαίου πειράματος (είναι ο χώρος του πειράματος) ή τυχαίου φαινομένου. Ω { δειγματικά σημεία { οι δυνατές ερωτήσεις μου μπορούμε να απαντήσουμε με τα δεδομένα που έχουμε από το τυχαίο πείραμα Το λοιπόν έχει δομή πληροφορίας. Εάν μάλιστα όσο περνάει ο χρόνος η πληροφορίας που διαθέτουμε αυξάνεται, το μπορεί να αντικατασταθεί με μία αύξουσα δομή πληροφορίας 2 3, τη διήθηση (fltrato). Θεώρημα Για κάθε οικογένεια υποσυνόλων του Ω υπάρχει σ πεδίο σ ( ), που περιέχει όλα τα σύνολα της και είναι το μικρότερο σ πεδίο με αυτήν την ιδιότητα. Λέμε ότι το σ ( ) είναι το σ πεδίο που παράγεται από την οικογένεια υποσυνόλων του Ω. Παράδειγμα Εάν AB Ω, ενδεχόμενα που βρίσκονται σε γενική θέση. Να βρεθεί το σ πεδίο σ { AB, που παράγεται από την οικογένεια {, AB. Εάν τα ενδεχόμενα AB, βρίσκονται σε γενική θέση. Δηλαδή AB αλλά και A B Ω. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 5

2. Ποία η μορφή του { AB, 3. Ποία η μορφή του { AB, έχουμε ότι και A B. 4. Ποία η μορφή του { AB, AB.. Αρχίζουμε να χτίζουμε το { AB, σ στην ειδική περίπτωση που έχουμε ότι AB. σ στην ακόμα πιο ειδική περίπτωση (2.) όπου σ στην ειδική περίπτωση που A BΩ αλλά σ από τον ορισμό του σ πεδίου. { AB A B Ω,,,,, A B, A B, A B, A B, 2. AB, AB, A B, A B Η οικογένεια 2 δεν είναι ακόμα κλειστή κάτω από τις πράξεις ( ),., Παρατηρούμε ότι τα σύνολα που μπορούμε να παράγουμε με ενώσεις από τις τομές AB, AB, A B, A B είναι: ( ) 3 ( ) 3 AB AB A B B A AB A B A A B B AB A B A B 6 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 AB A B A B AB A B A A B B AB AB A B B A { Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε τώρα ότι το σύνολο A B ( A B) κλειστό ως προς τις πράξεις ( ),,, ή ότι: είναι 4 3, 6 Η συμμετρική διαφορά A B των A και B, ορίζεται σαν η ένωση των A και B εκτός των κοινών τους σημείων: A B A B \ AB A B AB A B A B AB A B ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( A B) ( A B) ( AB) ( A B ) ( AB) Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 6

σ { AB, Ω,, ABA,,, B, A BA, B, A BA, B,. AB, AB, A B, A B, ( AB ) ( A B), ( A B ) ( AB) 4 2. Στην ειδική περίπτωση που AB ( A B B A ) έχουμε: τότε από το (.) Ω,, ABA,,, B, A B, A B, A B, A B B A AB A B Ω,,,,,, {, AB, AB, A B, A B, ΩABA B σ AB. A B A B, AB ( AB ) ( A B),( A B ) ( AB) A B ( AB ) 3. Στην ακόμα πιο ειδική περίπτωση όπου έχουμε AB, αλλά και A B A B σ AB, από το (2.) έχουμε: ( ), χρησιμοποιώντας το { σ Ω,, ABA,,, B,,,,, A B, AB AB Ω Ω AA { AB { 4. Όταν A BΩ και ταυτόχρονα AB θα έχουμε ότι A B B A, τότε σ { AB, Άσκηση Ω,, ABA,,, B, A B, A B, A B, A B Ω A B A B Ω,, ABA,,, B, AB, AB, A B, A B, A B, AB B A ( A B ) A B, ( A B) Να βρεθεί το { AB, σ όταν:. Ω { abcd,,, και A { ab,, B { bc, Ω ότι σ { AB, 2 ).. (σε αυτή την περίπτωση δείξτε και Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 7

2. Ω { abcde,,,, και A { abc,,, B { cde,,.. Τα AB, βρίσκονται σε γενική θέση στο Ω. Γνωρίζουμε όμως ότι σε αυτή την card A, B 6 card 2 Ω 6 ενώ και οι δύο περίπτωση ( { ) οικογένειες είναι σ πεδία, οπότε και σ { AB σ { AB σ και εμφανώς ( ), 2 A { ab B { bc A { cd B { ad {,,, {,,, {,,, {,, {, {, {, {, {,,( ) {, Ω,,,,,,,,,, A B abc A B abd A B bcd A B acd, 2 AB b AB a A B c A B d A B ac A B bd 2. Σε αυτή τη περίπτωση τα AB, δεν βρίσκονται σε γενική θέση εφόσον A BΩ και AB. Αυτή είναι ακριβώς η περίπτωση (4.) της προηγούμενης άσκησης σ { AB, Πρόταση { { { { Ω,, A abc,,, B cde,,, A de,, B ab,, A B, A B A, A B B, A B { a, b, d, e { c Ω. AB { c, AB B, A B A, A B, A B { c, ( A B) { c. Δίνεται ότι τα για I είναι σ πεδία πάνω στον Ω, όπου το I είναι ένα πεπερασμένο είτε άπειρο σύνολο δεικτών. Δείξτε ότι και η οικογένεια είναι σ πεδίο πάνω στον Ω. I 2. Δείξτε ότι γενικά η ένωση σ πεδίων δεν είναι σ πεδίο.. Ω, I Ω I, A A, I A, I A, I I,,,, A j J A j J I A I A. j I j j j I j J j J 2. Δείχνουμε το (2.) με ένα αντιπαράδειγμα. Επειδή σ { A {,, AA, σ { B { Ω,, BB, και παρατηρούμε ότι { AB, σ{ A σ{ B σ{ AB, Επειδή το { AB, Ω Ω και. σ είναι το μικρότερο σ πεδίο που περιέχει την οικογένεια Ω Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 8

{ AB,, το σ{ A σ{ B δεν είναι σ πεδίο. Εμφανώς ( { A { B ) { AB, σ πεδίων σ { A και σ { B το συμβολίζουμε με σ{ A σ{ B σ σ σ σ. Το σ πεδίο που παράγεται από την ένωση των. Ορισμός B( ) : Το σύνολο Borel του είναι το σ πεδίο που παράγεται από όλα τα διαστήματα της μορφής (, x] για x. Δηλαδή ( ) σ {(, x]: x B. Το B ( ) περιέχει όλα τα μετρήσιμα υποσύνολα (Borel sets) του. Δηλαδή B( ) 2 \{ παθολογικά υποσύνολα του Ορισμός: Το μέτρο πιθανότητας P ( ) είναι μια συνάρτηση P : [ 0,] ώστε: τέτοια P( A) 0, A P ( Ω ) P A P A, A : A A j, j I ( ) ( ) { I I Ονομάζουμε την τριάδα ( Ω,,P( ) ) χώρο πιθανότητας. Ορισμός { A : Μια ακολουθία ενδεχομένων λέμε ότι είναι μονότονη όταν: Μη φθίνουσα (expadg A ) όταν A A 2 A 3. Μη αύξουσα (cotractg A ) όταν A A2 A3. Ορισμός { : Το όριο μονότονης ακολουθίας ενδεχομένων A ορίζεται με τον εξής τρόπο: sup ( ) A, A lm A. f ( ) A, A Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 9

Ορίζουμε την οστης τάξης ουρά (tal) της ακολουθίας { A ακολουθία ( ) { T A σαν την. Επίσης ορίζουμε την τομή και την ένωση των στοιχείων της οστης τάξης ουράς της ακολουθίας σαν M ( ) meet of the tal T ( ) ) και J( ) A (the jot of the tal ( ) Πρόταση Η ακολουθίες τομής A (the T ). { M { A και ένωσης { J { A ενδεχομένων της οστης τάξης ουράς της ακολουθίας { (και έτσι έχουν όριο). A, είναι μονότονες 7 + + + + + +. M A A A A M M J A A A A J J Αυτό που μας λέει η προηγούμενη πρόταση είναι ότι οι ακολουθίες ενδεχομένων M και J έχουν όριο. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα:. lm f A lm M, 2. lm sup A lm J. Επειδή έχουμε: lm M sup( ) M A, και επειδή έχουμε ότι: lm J f J A. Πρόταση ( ). Έστω ότι πραγματοποιείται το ενδεχόμενο, τότε αυτό είναι ισοδύναμο με την πραγματοποίηση άπειρων από τα ενδεχόμενα της ακολουθίας 8. 7 Σημειώστε ότι η αρχική ακολουθία δεν χρειάζεται να είναι μονότονη. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 0

2. Εάν πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο, τότε αυτό είναι ισοδύναμο με την πραγματοποίηση όλων των ενδεχομένων της ακολουθίας εκτός ίσως από κάποιο αρχικό πεπερασμένο πλήθος 9.. Η πραγματοποίηση άπειρων από τα ενδεχόμενα της ακολουθίας είναι ισοδύναμη με το εξής: εάν ω τότε υπάρχει υπακολουθία { A ω A,. Πράγματι ( ) ( 2 ) { ω ω A ω A ω A 2 : : ω A και ω A και A : ω A,. 2 τέτοια ώστε 2. Εάν ω τότε υπάρχει N τέτοιο ώστε για N να έχουμε ω A. Πράγματι A ( A A 2 ) ( N : ω A ω A, N N ). ω ω ω ω Παράδειγμα Δίνεται η ακολουθία ενδεχομένων { 2 m { A { b { b { b { α { β { α { β { α { β,,,,,,,,,,,, όπου b διαφορετικά μεταξύ τους και διαφορετικά των α και β, τότε ( ) M A M, 8 Το ενδεχόμενο lmsup A συμβολίζεται και ως { A,.. o δηλαδή τα ενδεχόμενα στην ακολουθία πραγματοποιούνται απείρως συχνά (ftely ofte). 9 Το ενδεχόμενο lmf A συμβολίζεται και ως { A,.. aa δηλαδή τα ενδεχόμενα A από κάποιο N και μετά, θα πραγματοποιηθούν όλα. Ισοδύναμα λέμε ότι τα ενδεχόμενα A πραγματοποιούνται σχεδόν πάντα (almost always). Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων

{ αβ b, bm, bm,,, J A J {, αβ { bm, αβ,, { αβ,, > m Εύκολα παρατηρούμε ότι εάν ορίσουμε α, β, α, β,, α, β, τότε και πάλι έχουμε {{ { { { { { B { αβ lm sup, δηλαδή η μη ύπαρξη του πεπερασμένου bloc { b { b { b 2,,, m στην ακολουθία, δεν επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα. { b { b { b Παρατηρείστε ότι εάν τα, 2,, m βρίσκονταν σε οποιεσδήποτε θέσεις μέσα στην ακολουθία, και πάλι θα είχαμε το ίδιο lmt superor αβ,. { Επίσης παρατηρούμε ότι για κάθε στοιχείο του { αβ, υπάρχει υπακολουθία της { A υπακολουθίες { A 2 {{ α,{ α, + και { A { { β β που το περιέχει. Για παράδειγμα εάν m 2, οι { 2 +,,. Πρόταση Όταν η ακολουθία { είναι μονότονη ισχύει ότι: A lmf A lm A lmsup A. Εάν A τότε γνωρίζουμε ότι lm A A. A M A AA A A + + 2 ( ) lmf A sup A A lm A 2 A A, A A,, A A A A ( ) lmsup A f A A A lm A, Εάν A τότε γνωρίζουμε ότι lm A A. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 2

A A A A A A A A lmsup A A lmf A. Λήμμα: Ισχύει ότι. τρόπος: Εάν τότε υπάρχει N τέτοιο ώστε ω ή ότι ος ω A A N A ω A, N, αυτό όμως σημαίνει ότι το ω ανήκει σε όλες τις ενώσεις για, που δίνει 2 ος τρόπος: Εμφανώς έχουμε ότι. ω A A A για κάθε, ή ότι M J. Όμως M και J παίρνοντας το όριο όταν έχουμε ότι lm. Άσκηση Να βρεθεί, εάν υπάρχει, το όριο των ακολουθιών ενδεχομένων: M lm J ή ότι. 2. 3. A A A B, 2, C, 2,2 +, /2, /2, 4. A (, / 2 ],. J A B C A B C M A B C A B C Επειδή δεν υπάρχει το όριο της ακολουθίας A. Σε αυτή την περίπτωση lm A B C, B C. θα μπορούσαμε να πούμε ότι { Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 3

2. J A, 2 0, 2 + + επειδή 0, A, f ( ) J 0, 2 ( 0, 2] +, επειδή 2 A,. M A,2,2 +, sup ( ) M, 2 ( 0, 2]. Ενώ η δεν είναι μονότονη, έχει όριο, διότι ( 0,2] τους τιμή lm A ( 0, 2]. 3. Παρατηρούμε ότι [ ]. Το όριο είναι η κοινή A, v, v, v v,, v, < 2 2. J ( ) A,, 2 2 2 f ( ) J, (,) 2 M, 2 2 ( ) A ( ) M sup Ενώ η δεν είναι μονότονη, έχει όριο διότι τα lmf A και lmsup A ταυτίζονται. Το όριο είναι η κοινή τιμή lm A. 4. Η A (, / 2 ], είναι lm A A (, /2 ] (, 0 Άσκηση Δίνεται η ακολουθία ενδεχομένων για θετικά κ και λ. Να βρεθεί το lm { A, με A [ a, b] και κ < a < κ < b < λ A, εάν υπάρχει, στις εξής περιπτώσεις: a a, b b, a, a b b, a, a b b, a, a b b. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 4

. a, b [ ] ( ( ) ( ( + + + + [, ], sup ( ), (, + + + + J a, b a, b f J a, b a, b M a b a b a b a b + + μονότονη, αλλά το όριο της υπάρχει και είναι lm A ( a, b. 2. a, b J ( ) [ a, b ] ( a, b ) f ( ) ( a, b ) a, b ) M a, b a, b sup a, b a, b μονότονη, αλλά το όριο της υπάρχει και είναι lm A a, b ). ( ) [ ] ( ) ) 3. a, b A [ a, b ] lm A [ a, b ] a, b + 4. a, b A a, b lm A a, b a, b [ ] [ ] ( + ) Πρόταση. Δίνεται ακολουθία ενδεχομένων { A. Δείξτε ότι η ακολουθία ενδεχομένων { B που ορίζεται σαν A B A( A A ) A \ A j j > έχει τις ιδιότητες BB, j και A B j. 2. Δείξτε την ανισότητα του Boole για άπειρα ενδεχόμενα, δηλαδή ότι για κάθε ακολουθία { A ισχύει P ( A ) P ( A ). < < και B A \ ( A A ) ( ). Υποθέτουμε j ενώ Bj Aj \ A A A, τότε BB j. Το ίδιο για < j Παρατηρούμε επίσης ότι { ( ) A ( AA 2) ( AAA 2 3) ( AAAA 2 3 4) B A A 2 A A Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A AAA AAAA A A A A A AAAA 2 2 3 2 3 4 2 2 3 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) A A A AA A A A A A A A A A 2 3 2 3 4 2 3 2 3 4 A A A A. 2 3 ενώ B A P ( B ) P ( A ) 2. P ( A ) P ( B ) P ( B ). που δίνει P ( A ) P ( B ) P ( A ) Παράδειγμα Δείξτε την ανισότητα του Boole για πεπερασμένα ενδεχόμενα, δηλαδή ότι P A P A για κάθε ( ) ( ) Για 2 ισχύει P( A A ) P( A ) P( A ) P( AA ) P( A ) P( A ) Δεχόμαστε ότι P ( A ) P ( A ) + ( ) ( ) + +. 2 2 2 2 και αποδεικνύουμε την ανισότητα για ( + ) ( ) ( + ). + + P( A) ( ) ( ) P A P A + P A P A A P A P A + Άσκηση Χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Boole για πεπερασμένα ενδεχόμενα δείξτε την ανισότητα του Boole για άπειρα ενδεχόμενα κάνοντας χρήση της συνέχειας του μέτρου πιθανότητας πάνω σε μονότονες ακολουθίες ενδεχομένων, Από την ανισότητα του Boole για πεπερασμένα ενδεχόμενα, έχουμε ότι ( ) ( ) P A P A για κάθε. Παίρνοντας το όριο για έχουμε ότι lm P( A) P( A) U A παίρνουμε ( lm ) ( ) ( ) ( ) P A P A P A P A +. και επειδή Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 6

Επειδή A A παίρνουμε τελικά P ( A ) P ( A ). Πρόταση (Η πιθανότητα είναι μια συνεχής συνολοσυνάρτηση πάνω σε μονότονες ακολουθίες ενδεχομένων) Θέλουμε να δείξουμε ότι εάν η { A είναι μια μονότονη ακολουθία ενδεχομένων, τότε Εάν ( ) ( lm ) lm P A P A. { + A, έχουμε lm A A A ( A \ A) 2 2 3 3 2 και τα ενδεχόμενα B A, B A \ A, B A \ A, είναι ξένα μεταξύ τους. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lm ) { ( \ ) \ + + + { ( ) ( ) { ( ) + + P A P A A A P A P A A lm P A + P A \ A lm P A A \ A lm P A Εάν A τότε A και από τα προηγούμενα lm P ( A ) P ( lm A ) P ( A ) lm ( P( A) ) P ( A ) P ( A ) Με αποτέλεσμα lm P ( A ) P ( lm A ) P ( A ). Άσκηση Δίνεται ακολουθία ενδεχομένων { A. Εάν P( A ), Δείξτε ότι:. P( M ),. 2. P( ) P( )., εφόσον ( ) 0. P ( M ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) P A. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 7

2. Παίρνοντας το όριο για στην εξίσωση P( M ) και επειδή M,. Το γεγονός ότι τελικά μας δίνει έχουμε lm P( M ) P( lm M ) P( ) ( ) ( ), ή ότι P ( ) P P Πρόταση Ισχύουν οι ανισότητες:. ( ) ( ) ( ) P lmf A lmf P A lmsup P A P lmsup A. { ( ) ( ) ( ) ( ) P P lm M lm P M sup P M :. { P M P A f P A : για κάθε, έχουμε Επειδή ( ) ( ) ( ) { ( ) { ( ) P sup f P A : :. Εμφανώς f { P( A) : sup { P( A) : αλλά η ακολουθία ως προς στα αριστερά της ανισότητας είναι και στα δεξιά της είναι, οπότε παίρνοντας το και από τα δύο μέλη έχουμε: lm ( ) { { ( ) { ( ) { sup f P A : : f sup P A : :, ή ισοδύναμα lmf P( A ) lmsup P( A ). Έως τώρα λοιπόν έχουμε δείξει ότι ισχύει: ( ) lmf ( ) lmsup ( ) P P A P A. { P A P ( A ) P ( J ) Επειδή sup ( ) : για κάθε στα δύο μέλη της προηγούμενης ανισότητας έχουμε: ( ) { ( ) { { ( ) lm sup P A f sup P A : : f P J : ( ) ( lm ) ( ) lm P J P J P., παίρνοντας f ( ) Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 8

Έτσι παίρνουμε τελικά P( ) lmf P( A) lmsup P( A) P( ). Παρατήρηση A { X x : Εάν θέσουμε, τότε, lmf A { lmf X x από την ανισότητα P( lmf A ) lmf P( A ) έχουμε και x x { lmf lmf { lmf X ( ) lmf ( ) X. P X x P X x f u du f u du u Το προηγούμενο αποτέλεσμα ονομάζεται Λήμμα Fatou. Πρόταση. Εάν για τις ακολουθίες { a και { u b με a 0 > και b > 0, ισχύει a l 0 b > όταν, τότε και οι δύο σειρές a και b ή και οι δύο συγκλίνουν ή και οι δύο αποκλίνουν. 2. Εάν { a με 0 a a < ( a ) < < και a 0 τότε: 0 > είτε a ( a ) 0. a Για το (.), επειδή l > 0 όταν σημαίνει ότι για b ε > 0 υπάρχει 0 a τέτοιο ώστε για 0 να έχουμε l < ε ( l ε) b < a < ( l+ ε) b. Εάν b διαλέξουμε ε < l, τότε έχουμε: ( ε ) ( ε ) ( ε ) ( ε ) a l b a l b < + < +. b < l a b < l a Για το (2.), θεωρούμε τις ακολουθίες { a με 0< a < και { b με a b log, τότε b > 0, ενώ l όταν. Δηλαδή από το (.) a b έχουμε ότι οι δύο σειρές a και b, συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 9

< < > Εάν a log log ( a ) a ( ( a )) ( ) a. log > > 0 Εάν a log log ( a ) a ( ( a )) ( ) a. log 0 (Λήμματα των Borel Catell) Δίνεται ακολουθία ενδεχομένων { A. Εάν P( A) < P. τότε ( ) 0 και τα ενδεχόμενα 2. Εάν P( A). Εάν θέσουμε S P( A) ( ) ( ) <, θα έχουμε. A είναι ανεξάρτητα, τότε P ( ) ( lm ) lm ( ) lm ( ) lm ( ) { ( ) P A ( ) P A S S, από όπου P ( ) 0. P P J P J P A P A lm 0 2. Έχουμε ότι ( ( )) ( ) ( ) ( ( ) ) P M P A P A P A. Επειδή P( A) με P( A ) 0< < θα έχουμε ( P ( A )) ( P ( A ) ) ( P ( A ) ), 0, ( ) και επειδή P( A ) οπότε ( P( A )) 0, παίρνουμε ότι 0, ( P( A )) P( A ) P( A ). 0 Παίρνοντας το όριο όταν δίνει. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 20

( ) ( ) ( ) 0 lm P A P lm A P A, από όπου και P( A ), ή ότι P ( ). Παράδειγμα Εάν για οι τ.μ. X είναι Beroull με P{ X p και P{ X δηλαδή X ~ B (, p ), ορίζουμε για A { X. την ακολουθία ενδεχομένων 0 p, p <, για παράδειγμα p 2 Εάν P( A ) έχουμε: ( ) { { P P A,.. o P X,.. o 0 ( ) { { P P A, aa.. P X 0, aa.. δίνει p 2 π 6, θα Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι lm X 0 με πιθανότητα, και γράφουμε: { { ω ( ω) P lm X 0 P Ω : lm X 0. Παράδειγμα 2 Εάν για οι τ.μ. X είναι ανεξάρτητες Beroull με P{ X d P{ X 0 p, δηλαδή ~ (, ) ενδεχομένων A { X. Εάν P( A ) τ.μ. p, για παράδειγμα p και X B p, θεωρούμε την ίδια ακολουθία p δίνει A p X είναι ανεξάρτητες, που σημαίνει ότι τα ενδεχόμενα { X μεταξύ τους ανεξάρτητα, έχουμε: ( ) { ( ) { P P X,. o. P P X 0, a. a. 0. Σύγκλιση ακολουθίας τ.μ. με πιθανότητα ισχυρή σύγκλιση Λέμε ότι η ακολουθία τ.μ. { X, επειδή οι είναι συγκλίνει στην τ.μ. X με πιθανότητα, ή ότι η X συγκλίνει σχεδόν βεβαίως (almost surely) στην X και γράφουμε Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 2

as.. X X,, όταν τα ενδεχόμενα για τα οποία η X δεν συγκλίνει στην X, έχουν μηδενική πιθανότητα, δηλαδή το ενδεχόμενο { lm X X { ω : lm X( ω) X ( ω) Ω, έχει μέτρο μηδέν. Η σύγκλιση της ακολουθίας τ.μ εξής: για κάθε 0 X στην τ.μ. X με πιθανότητα ορίζεται ως ε > ορίζουμε την ακολουθία ενδεχομένων ( ε) { A ( ε) { { ( ) : ( ) ( ) A ε ω Ω X ω X ω < ε X X < ε, τότε as.. { X X P lm X X ( ) { ( ) P X X < ε, aa.., ε > 0 P lmf A ε, ε > 0 P A ε, ε > 0 P X X < ε, ε > 0 ( ) { P { X X ε 0, ε 0 P lm sup A( ε) > 0, ε > 0 { ε P X X, o.. 0, ε > 0. Παρατήρηση Γνωρίζουμε από τα προηγούμενα ότι εάν P ( A ), { lmf A( ε r) r με { A, με P( A ),. Έτσι θεωρώντας την ακολουθία ενδεχομένων έχουμε, όπου ε r 0 όταν r, τότε P lmf A( ε r). Έτσι ο r ορισμός της σύγκλισης με πιθανότητα, σε πιο συμπαγή μορφή είναι: { ( εr) { εr P lm X X P lmf A P X X <. r r Για παράδειγμα θα μπορούσαμε να θέσουμε ε / r. Πρόταση r Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 22

Μια ικανή συνθήκη για σύγκλιση της ακολουθίας τ.μ { X P X X ε <, ε > 0. πιθανότητα είναι { στην τ.μ. X με Θέτουμε m A m X X m για m, έχουμε P( A m ) <, m. ε και για τα ενδεχόμενα ( ) από υπόθεση, ότι ( ) θεώρημα των Borel Catell έχουμε P lm sup A m 0, m. B lm sup A m για m και επειδή P( B ) παίρνουμε Από το ο ( ) Θέτουμε ( ) m P B P B P B m m ( m), δηλαδή m m m P X X < από όπου και X m m as.. m P Bm ή ισοδύναμα m X Παράδειγμα (Πιθανότητα ενδεχομένων σε πεπερασμένο και άπειρο χρονικό ορίζοντα). Κάποια, καθημερινά, ρίχνει m 5 νομίσματα του ενός ευρώ και εκείνα που προσγειώνονται κεφαλή τα κάνει δωρεά. Την πρώτη φορά όμως που όλα τα νομίσματα προσγειωθούν γράμματα, σταματάει οποιαδήποτε δωρεά για πάντα. Έστω { X η ακολουθία του αριθμού των κεφαλών, δηλαδή X # των κεφαλών την οστ ημέρα. Τότε, τουλάχιστον διαισθητικά, είμαστε σίγουροι ότι κάποια μέρα το ποσό δωρεάς θα μηδενιστεί, δηλαδή ότι υπάρχει για το οποίο X 0. Όμως, εάν θεωρήσουμε οποιοδήποτε πεπερασμένο ορίζοντα ημερών, ας πούμε, η πιθανότητα του ενδεχομένου A { την οστ ημέρα έγινε μη μηδενική δωρεά { > 0, θα παραμένει θετική για κάθε. Για να το δούμε αυτό πρέπει πρώτα να παρατηρήσουμε ότι τα ενδεχόμενα A δεν είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα { 0 { 0, 0 { 0, 0 P X > P X > X + P X > X >, επειδή P{ X > 0, 0 0, έχουμε X X Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 23

{ 0 { 0, 0 P X > P X > X >, και επαγωγικά P{ X > 0 P{ X > 0, X > 0,, X > 0. Επειδή P{ X 0, X 0 P{ X 0 P{ X 0 X 0 > > > > >, με P{ X X P{ X X > 0 > 0 0 > 0 2 m, όπου m ο αριθμός των νομισμάτων και παρατηρούμε ότι ( X x X > 0 ) ~ B m,. Τότε η πιθανότητα P{ X 2 0 > γίνεται m { 0 ( 2 ) P{ X 0 P X > >. Ανακυκλώνοντας την προηγούμενη σχέση παίρνουμε τελικά m { > 0 ( 2 ) P{ X > 0 m m ( ) ( P{ X ) ( ) P X 2 0 2 > 0,. Δηλαδή η πιθανότητα του ενδεχομένου A { την οστ ημέρα έγινε μη μηδενική > 0 είναι θετική για κάθε. δωρεά { X Όταν όμως το ζητούμενο είναι ο άπειρος χρονικός ορίζοντας (δηλαδή θέλουμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: «το πείραμα μπορεί να πραγματοποιείται για πάντα;») θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ο Λήμμα των Borel Catell: m P( A) P{ X ( ) m > 0 2 2 < ( ) ( ) { { { P 0 P P A, aa.. P X 0, aa.. P lmx 0, δηλαδή ο αριθμός των ω Ω για τα οποία X ( ω) lm 0 είναι πεπερασμένα. Έτσι είμαστε σίγουροι με πιθανότητα, ότι κάποια μέρα το ποσό δωρεάς θα γίνει 0 και θα παραμείνει 0 για πάντα. Άσκηση (Θεωρητική) P Η σύγκλιση ακολουθίας τ.μ. ως προς πιθανότητα X X όταν (covergece probablty) ορίζεται με τον εξής τρόπο: Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 24

P { { X X lm P X X ε 0 lm P X X < ε, ε > 0. Να δειχθεί ότι { P lm X X X X. lm P{ X X ε lm P { X X ε P { X X ε, επειδή { X X ε P lmsup { X X ε P{ X X ε, o.., ε > 0. Επειδή P{ X X P{ X X ε o lm,.. 0, ε > 0 P από όπου και { lm P X X ε 0, ε > 0. Άσκηση (Θεωρητική) Να δειχθεί ότι εάν X { P lm X X P X τότε υπάρχει υπακολουθία { τέτοια ώστε, δηλαδή υπάρχει υπακολουθία { X συγκλίνει ισχυρά στην τ.μ. X. { ε X X lm P X X 0, ε > 0 P της { X { P{ X { X { P X X { { που : 2 2 : 2 2 < P X X < 2, aa.., P lm X X. Παράρτημα Α lmf και lmsup για ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Έστω { a f ( ) f a ακολουθία πραγματικών αριθμών. Τότε το μεγαλύτερο κάτω φράγμα της (greatest lower boud), Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 25

sup ( ) supa το μικρότερο άνω φράγμα της (lowest upper boud). f a το έχει μικρότερο στοιχείο m a f a supa το έχει μεγαλύτερο στοιχείο max a sup a f ( ) sup( ) Παραδείγματα { x x { x x f : 0 < < f : 0 0 2 { x x sup : < 2 2 f ( ) :, sup ( ) : Ορίζουμε τις ακολουθίες z f a και Z sup a για. Έχουμε ότι ( ) { { z lm z lm f a sup f a sup f a : : lmf a, { { Z lm Z lm sup a f sup a f sup a : : lmsup a. Ισχύουν τα παρακάτω:. lmf a lmsup( a ). 2. Εάν a a lmf a lm a a lmsup a 3. f a lm f a lm sup a sup a. Για να δείξουμε την τελευταία ανισότητα παρατηρούμε ότι: f a f a sup f a και f sup a sup a sup a ενώ ( ) f a sup a lm f a lm sup a sup f a f sup a. Παρατηρήσεις:. Έστω ότι lm a L lmf a f ( L), lmsup a sup( L) f ( L) sup( L) τότε L { a. Εάν και το όριο της a υπάρχει, δηλαδή a a. Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 26

2. Το σύνολο L αποτελείται από τα όρια όλων των συγκλινουσών υπακολουθιών,. a στο { Παράδειγμα Α. { ( ) { {,,,, {, { lm 2, lm 2 a L a a από όπου lm f a f ( L) και a ( L) lm sup sup. Παράδειγμα Α.2 s( π / 2) { a { a, a2, a3, a4, a5 5, a6, a7, a8, a9 9, 3 7 { L a4 m a4 2 lm 3 l, lm lm, lm a4 lm 0, lm a4 lm { 0,,, από όπου lm f a f ( L) 0, lm sup a sup( L). Παράδειγμα Α.3, odd + Θέτουμε { a με a, eve + 2 a2, a2 0 L { 0,, 2 2+ lm f a f L 0, lm sup a sup L. από όπου ( ) ( ) Παράδειγμα Α.4 π { a s 3 Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 27

από όπου 3 3 3 3 L, 0, lm f a f ( L), lm sup a sup( L). 2 2 2 2 Σπυρίδων Ι. Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ακολουθίες ενδεχομένων 28