.4. Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση (method of substitution) βασίζεται στον κανόνα της αλυσίδας. Ουσιαστικά με τη μέθοδο της αντικατάστασης το αόριστο ολοκλήρωμα υπολογίζεται ως προς μια άλλη μεταβλητή, η οποία όμως συνδέεται με την αρχική μεταβλητή. Συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το αόριστο ολοκλήρωμα: f(g(x)) g (x) και έστω ότι F (z)= f(z) δηλαδή F(z) = f(z) dz. Θέτουμε z = g(x) και έχουμε [] F(g(x)) = F(z) = f(z) dz Εξάλλου, γνωρίζουμε από τον κανόνα της αλυσίδας ότι df(g(x)) = (F(g(x)) = F (g(x)) g (x) = f(g(x)) g (x) Άρα [2] F(g(x))= f(g(x)) g (x) = Συγκρίνοντας την σχέση [] και [2] καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι f(g(x)) g (x) = f(z) dz Συνοψίζουμε το αποτέλεσμα αυτό ως εξής: Κανόνας αντικατάστασης: f(g(x)) g (x) = f(z) dz όπου z=g(x). Ισοδύναμα ο κανόνας της αντικατάστασης μπορεί να γραφτεί ως εξής: Κανόνας αντικατάστασης: dz f(z) = f(z) dz Ο κανόνας αντικατάστασης μπορεί να θεωρηθεί ότι αλλάζει τη μεταβλητή ολοκλήρωσης z διαιρώντας και πολλαπλασιάζοντας ταυτόχρονα το dz μέσα στο ολοκλήρωμα με Παράδειγμα 7: Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα: Ι = (x 2 +2x)(2x+2)
Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα Ι θέτουμε: z = g(x) = x 2 + 2x Παραγωγίζοντας τη μεταβλητή z ως προς x λαμβάνουμε: dz = g (x) = 2x+2 Συνεπώς, το ολοκλήρωμα Ι μπορεί να γραφτεί ως εξής: Ι = (x 2 +2x)(2x+2) = z dz = z dz = όπου C σταθερά. = z2 2 + C = (x2 +2x) 2 2 + C Πρακτικά με τον κανόνα της αντικατάστασης ακολουθούμε τα εξής βήματα: Στο ολοκλήρωμα: f(g(x)) g (x) κάνουμε τις εξής αντικαταστάσεις: α) Θέτουμε g(x) = z β) Θέτουμε g (x) = dz και το ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται σε f(z) dz Τα παραδείγματα που ακολουθούν δείχνουν επακριβώς τα παραπάνω βήματα της μεθόδου. 8: Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα: Ι = e 2x Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος Ι θέτουμε: z = g(x) = 2x και, συνεπώς: g (x) = dz = 2 ώστε η αντικατάσταση θα γίνει με = ½ dz. Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα Ι: Ι = e 2x = e z ½ dz = ½ e z dz = όπου C σταθερά. Παράδειγμα 9: = ez 2 + C = e2x 2 + C
Καθώς ισχύει ότι: α x = e ln(α) x το ολοκλήρωμα Ι γράφεται ισοδύναμα: Ι = α x = e ln(α) x Θέτουμε: z = ln(α) x και συνεπώς x = ln(α) z dz = ln(α) Ώστε τελικά θα έχουμε: = ln(α) dz Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα Ι και έχουμε: Ι = e ln(α) x = e z ln(α) dz = ln(α) e z dz = Άρα: = Ι = α x = αx ln(α) + C όπου C σταθερά. ln(α) ez + C = ln(α) e ln(α) x + C = Παράδειγμα 0: Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα: Ι = (6x+2) n ln(α) αx + C Θέτουμε: z = 6x+2 και, συνεπώς: dz = 6 Έπεται ότι: dz = 6 ώστε = 6 dz. Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα Ι και έχουμε: Ι = (6x+2) n = z n 6 dz = 6 zn dz = 6 = 6 (6x+2) n+ n+ + C z n+ n+ + C =
όπου C σταθερά. Προηγουμένως, εξετάσαμε με τον κανόνα της αντικατάστασης ολοκληρώματα της μορφής f(g(x)) g (x). Γενικεύοντας τον κανόνα της αντικατάστασης εξετάζουμε στη συνέχεια ολοκληρώματα της μορφής: f(g(x)) h(x) Εάν η συνάρτηση z = g(x) είναι - τότε υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση x=g - (z). Χρησιμοποιούμε τον κανόνα της παραγώγισης της Αντίστροφης Συνάρτησης με βάση τον οποίο: dz = (g - (z)) Μπορούμε να θέσουμε α) z = g(x), δηλαδή όπου g(x) τη μεταβλητή z β) x = g - (z), δηλαδή όπου εμφανίζεται το x τη μεταβλητή g - (z). γ) = (g - (z)) dz, το οποίο προκύπτει από Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να γράψουμε: f(g(x)) h(x) = f(z) h(g - (z)) g - (z) dz) Βλέπουμε ότι με τον τρόπο αυτό το ολοκλήρωμα έχει μετασχηματιστεί σε μια μορφή που πιθανώς διευκολύνει στον υπολογισμό. Προχωράμε σε παραδείγματα. Παράδειγμα : Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα: Ι = x 2 +x Κάνουμε τις εξής αντικαταστάσεις: α) Θέτουμε: z = + x, β) Προκύπτει ότι x = z - γ) Παραγωγίζοντας έχουμε dz = και άρα έχουμε = dz. Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα Ι και έχουμε: Ι = x 2 +x = (z-) 2 z dz = = (z 2-2z +) z dz = (z 5/2-2z 3/2 +z /2 ) dz
= z 5/2 dz- 2z 3/2 dz + z /2 dz = = z7/2 7/2-2 z5/2 5/2 + z3/2 3/2 + C = = 2 7 z7/2-4 5 z5/2 + 2 3 z3/2 + C = = 2 7 (+x)7/2-4 5 (+x)5/2 + 2 3 (+x)3/2 + C όπου C σταθερά. Παράδειγμα 2: Το κεφάλαιο K μιας επένδυσης αυξάνεται με ρυθμό α, όπου α σταθερά. Το επιτόκιο προεξόφλησης R είναι σταθερό και υποθέτουμε ότι ο ανατοκισμός είναι συνεχής στο χρόνο. Συνεπώς η παρούσα αξία του ρυθμού αύξησης του κεφαλαίου είναι: dk dt = α e-rt όπου t είναι η μεταβλητή του χρόνου. Βρείτε την παρούσα αξία του κεφαλαίου που επενδύεται έως τη χρονική στιγμή t. Το αρχικό κεφάλαιο επένδυσης είναι 000. Δίνεται ότι η παρούσα αξία του κεφαλαίου μεταβάλλεται με ρυθμό: dk dt = α e-rt και, συνεπώς, για να βρούμε την παρούσα αξία του κεφαλαίου θα πρέπει να ολοκληρώσουμε ως προς t: K = K(t) = dk dt dt = α e-rt dt Για τον υπολογισμό αυτού του ολοκληρώματος θέτουμε: z = -Rt Συνεπώς, dz dt = -R ώστε dz = -Rdt και τελικά dt = - R dz. Αντικαθιστούμε στο αόριστο ολοκλήρωμα και λαμβάνουμε: K = K(t) = α e -Rt dt = α e z (- R )dz = - α R ez dz = όπου C σταθερά. = - α R ez + C = - α R e-rt +C. Για τον προσδιορισμό της σταθερά C έχουμε την εξής αρχική συνθήκη: Για t = 0, το αρχικό κεφάλαιο είναι Κ(0) = 000. Εξάλλου: Κ(0) = - α R e0 + C = - α R +C
Επιλύνοντας ως προς τη σταθερά C λαμβάνουμε: C = 000 + α R Συμπερασματικά: K = K(t) = - α R e-rt + (000 + α R ). Παράδειγμα 3: Το οριακό κόστος μιας εταιρείας, η οποία πωλεί ποσότητα Q από ένα προϊόν, περιγράφεται από τη σχέση: dc dq = Q+ + 6Q - 0,05(Q+2)3/2 όπου C εκφράζει το κόστος. Βρείτε την αύξηση του κόστους εάν η ποσότητα παραγωγής αυξηθεί από το επίπεδο των 0 μονάδων στις 20 μονάδες. Από το οριακό κόστος μπορούμε ολοκληρώνοντας να έχουμε το κόστος: C = C(Q) = dc dq dq = [ Q+ +6Q - 0,05(Q+2)3/2 ] dq= = Q+ dq + 6 QdQ -0,05 (Q+2)3/2 dq Το ολοκλήρωμα Q+ dq υπολογίζεται με αντικατάσταση. Θέτουμε: z = Q + και dz dq =, ήτοι dz = dq Συνεπώς: Q+ dq = z dz = ln( z ) + K = ln(q+) + K όπου K είναι σταθερά ολοκλήρωσης. Επίσης σημειώνουμε ότι η ποσότητα Q λαμβάνει μη αρνητικές τιμές και, επομένως, Q + = Q +. Το ολοκλήρωμα QdQ υπολογίζεται άμεσα: QdQ = Q2 2 + K 2 όπου K 2 είναι σταθερά ολοκλήρωσης. Το ολοκλήρωμα (Q+2) 3/2 dq υπολογίζετε, επίσης, με αντικατάσταση. Θέτουμε: w = Q + 2 και dw dq =, ώστε dw = dq Συνεπώς: (Q+2) 3/2 dq = w 3/2 dw = w5/2 5/2 + K 3= 2 5 w5/2 + K 3 = 2 5 (Q+2)5/2 + K 3 όπου K 3 είναι σταθερά ολοκλήρωσης.
Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις των τριών επιμέρους ολοκληρωμάτων λαμβάνουμε: C = C(Q) = Q+ dq + 6 QdQ - 0,05 (Q+2)3/2 dq = = ln(q+) + 6 Q2 2-0,05 2 5 (Q+2)5/2 + K = = ln(q+) + 3 Q 2-0,02(Q+2) 5/2 + K όπου Κ = K + K 2 0,05 K 3 σταθερά. Για Q=0, έχουμε: C(0) = ln(0+) + 3. 0 2-0,02(0+2) 5/2 + K = 292,42 + Κ Αντίστοιχα, για Q = 20, υπολογίζουμε: C(20) = ln(20+) +3. 20 2-0,02(20+2) 5/2 + K = 57,64 + Κ Η διαφορά του κόστους είναι: C(20) - C(0) = (57,64 + Κ) - (292,42 + Κ) = 865,22. Παράδειγμα 4: Ο ρυθμός της άντλησης A για μια πετρελαιοπηγή (μετρούμενος σε δεκάδες χιλιάδες βαρέλια) δίνεται από τη σχέση: dα dt = 500 (2t+5)-2 όπου t είναι η χρονική μεταβλητή. Βρείτε το συνολικό απόθεμα της πετρελαιοπηγής. Για να βρούμε τη συνολική άντληση από την πετρελαιοπαραγωγή μέχρι τη χρονική στιγμή t ολοκληρώνουμε: Α = Α(t) = da dt dt = 500 (2t+5)-2 dt Θέτουμε: z = 2t + 5 και προκύπτει άμεσα ότι: dz dt = 2 ώστε μπορoύμε να θέσουμε dt = ½ dz. Κάνοντας χρήση του κανόνα της αντικατάστασης έχουμε διαδοχικά: Α = Α(t) = 500 (2t+5) -2 dt = 500 (z) -2 ½ dz = = 250 z -2 dz = 250 z- - + C = = - 250 z + C = - 250 2t+5 + C όπου C σταθερά.
Για τον προσδιορισμό της σταθεράς C, διαπιστώνουμε ότι κατά τη χρονική στιγμή t = 0, μόλις ξεκινά η άντληση και άρα A(0) = 0. Καθώς: 250 Α(0) = - 2. 0 +5 + C = -50 +C έπεται ότι C = 50. Συνοψίζοντας: Α = Α(t) = - 250 2t+5 + 50 Μετά από παρέλευση μεγάλου χρονικού διαστήματος, δηλαδή όταν ο χρόνος t γίνει εξαιρετικά μεγάλος, το απόθεμα της πετρελαιοπηγής θα εξαντληθεί διότι όλο το διαθέσιμο πετρέλαιο θα έχει αντληθεί. Παρατηρούμε ότι καθώς ο χρόνος t γίνεται ολοένα και πιο μεγάλος η άντληση Α τείνει να γίνει ίση με το 50. Συμπεραίνουμε ότι το απόθεμα πετρελαίου που βρίσκεται αρχικά στην πετρελαιοπηγή ανέρχεται σε 50 (δεκάδες χιλιάδες βαρέλια).