(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω R X Y Xω X Y X Y X Y y + x f X Y x y dx

x f X x y 1 Y f Y y x f X,Y x, y 1 X <. f Y y x R x R gy 1 gy Y {a E : f Y a 0} f Y a 0. }{{} a A A Y X X Y y Y 1/2 X Y y Biny, 1 2 f X x y 1 y, x 0, 1,..., y Y x 2y X Y y y 2 X Y Y 2 X : Ω R Y : Ω S gy X Y Y XhY gy hy, h : S [0, 1] XhY X Y hy, h : S [0, 1] h M R h : S [ M, M] X Y gy hy hy x f X x y f Y y Y y S x R hy x f X,Y x, y y S x R x hy f X,Y x, y XhY y S x R

ϕ : S R g XhY ϕy hy y 0 S h Y0 y 1 Y y0 x h Y0 y f X,Y x, y x h Y0 y f X,Y x, y 0 x R y S x R x R x f X,Y x, y 0 ϕy 0 f Y y 0 ϕy 0 x R x f X Y x y 0 gy 0 y 0 ϕ g g Y X, X 1, X 2 : Ω R Y : Ω S Z : Ω S X 1 + X 1 + X < c 1 X 1 + c 2 X 2 Y c 1 X 1 Y + c 2 X 2 Y X Y X X, Y X Y c c X f : S R XfY Y fy X Y X Y X Y X Y, Z Y X Y X 1 X 2 X 1 Y X2 Y g 1 Y X 1 Y g 2 Y X 2 Y c 1 g 1 Y + c 2 g 2 Y Y h : S [0, 1] c 1 g 1 Y + c 2 g 2 Y hy c 1 g 1 Y hy + c 2 g 2 Y hy h 1 h : S [0, 1] c 1 X 1 Y hy + c 2 X 2 Y hy c 1 X 1 + c 2 X 2 hy XhY X hy c hy c hy

h : S [0, 1] fy X Y hy X Y fy hy 3 X fy hy X Y X + X Y X + Y X Y X + Y + X Y X Y h : S R hy hy, Z X Y, Z hy X hy X Y hy X Y, Z Y gy X Y X Y X Y X EgY y R gy f Y y y R X Y y Y y X k k 1 e ax i < a R N X k k 1 N \ {0} S n X 1 +... + X n n 1 S N ω S Nω ω gn e as N λ e ax 1 N n e asn N n 3 e asn e ax1+...+xn e ax1 n e as N e as n e as N e ax 1 N N λ N N n, n1

n n n 1 n R n R n n n M n i {1,... n}, X i 1 { i } M n n X i M n i1 n X i n X 1 n 0 X 1 0+1 X 1 1 n X 1 1 n 1 n 1 i1 R n n R 1 1 R k k, k < n R n R n M n n R n M n k M n k k0 R n M n 0 M n 0 + 1 + R n M n 0 + n R n M n k M n k k1 n 1 + R n k M n k k1

1 Mn 0 n n R n M n 0 + M n k + R n k M n k 1 + k1 k1 n n k M n k k1 1 + n 1 M n 0 M n n 1 M n 0 R n n X n n 0 Y n n 0 Ω Y n : Ω R n N Y n n 0 X n n 0 n N Y n < Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n Y n Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n+1 Y n n 0 X k k 1 { 1, 1} S 0 0, S n X 1 +... X n n 1 S n n 0 X k k 1 n N S n n S n < n 0 S 1 S 1 0 S 0 n 1 S n+1 X 1,..., X n S n + X n+1 X 1,..., X n S n X 1,..., X n + X n+1 X 1,..., X n S n + X n+1 S n, p 1 2, 1] X k k 1 X k 1 p X k 1 1 p q k N S 0 0 Sn M 0 1 S n X 1 +... X n M n q p n 1 Mn n 0 X k k 1 S n n X 1 np q L n S n np q L n n 0

X k k 1 n, M n n 0 n n N 0 M n q p M n < n 0 M 1 M 1 p q p 1 + q q p 1 p + q 1 M 0 n 1 M n+1 q Sn q Xn+1 X 1,..., X n X 1,..., X n p p 4 q Xn+1 M n X 1,..., X n [M n X 1,..., X n ] p 3 q Xn+1 M n [ X 1,..., X n ] p q 1 Xn+1 q 1 Xn+1 M n 1 + 1 p p M n q + p M n M n n 0 X k k 1 X n n 1 X : Ω R X < Y 0 X Y n X X 1,..., X n n 1 Y n n 0 X n n 1 Y n X X 1,..., X n 4,5 X < n 0 Y 1 X X1 6 X Y 0 n 1 Y n+1 X 1,..., X n X X 1,..., X n+1 X 1,..., X n 6 X X 1,..., X n Y n Y n n 0 X n n 1 σ F D : Ω R D 1 D F 0 ad F a 2 /2 a R f : R R fx ax fλx + 1 λy λfx + 1 λfy x, y R λ [0, 1] f ad 1 D 2 a + 1 + D a 2

F ad F 1 2 a + 1 2 a 1 2 k0 a k k0 k! a 2k 2k! + 1 2 k0 a k k! e a2 /2 k0 a 2k 2 k k! 2k! > 2 k k! Y n n 0 σ F n n 0 K n n 1 Y n Y n 1 K n 1 n 1 Y n Y 0 x 2 x 2 2 n K 2 i1 i θ R θy n Y 0 θy n Y 0 F n 1 θy n Y n 1 +θy n 1 Y 0 F n 1 θy n 1 Y 0 θy n 1 Y 0 F n 1 A Y n Y n 1 K n A F n 1 0 θy n Y n 1 F n 1 θk n θ 2 K 2 A n F n 1 2 θyn Y0 θ 2 K 2 n 2 θyn 1 Y0 θ2 K 1 +...+Kn 2 2 Y n Y 0 x θy n Y n 1 θx θy n Y n 1 θx Markov 1 θx θy n Y 0 θx+ 1 2 θ 2 K 2 1 +...K2 n

θ θ R θ gθ θx + 1 2 θ2 K1 2 +... Kn 2 x θ 0 gθ K1 2 0 1 x 2 +...K2 n 2 n Ki 2 i1 Y n Y 0 x θx+ 1 2 θ2 K 2 1 +...K2 n

X n n 1 X 1 1 p X 1 0 1 p p 0, 1 S n X 1 +... + X n Y n S n np n 1 Y 0 0 Y n n 0 X n n 1 Y n S n np 0 < n 1 Y 1 Y 1 S 1 p 0 Y 1 n 1 Y n+1 X 1,..., X n S n + X n+1 n + 1p X 1,..., X n S n np + X n+1 p X 1,..., X n Y n + X n+1 p Y n Y n+1 Y n X n+1 p {p, 1 p} n 0 µ {p, 1 p} Y n+1 Y n µ n 0 Y n Y 0 x 2 x2 2nµ x > 0 S n np x 2 x2 2nµ x > 0 xy n S n np y n y2 2µ Sn np y y2 2µ n }{{} Z Z y y2 2µ S n np n p1 p N0, 1 Γ n [n] : {1, 2,..., n} f : Γ n R f 1 A A f 2 A A n N G Γ n m n 2 e1, e 2..., e m Y i 1 ei G i [m] X i fg Y 1,..., Y i i 0, 1,..., m X 0 fg X m fg X i i0,...,m Y i i [m] p 0, 1 K n p G G Gn, p G G3, 1 2 fh X H H H Γ n X i H X H Y 1,..., Y i

n 3 3 2 3 Γn 2 3 8 X 3 H X H X 2 H X G e 1, e 2 X 2 H X G e 1 X 0 H X G F i 1, 2,..., i X i fg F i, i 0,..., n n N p 0, 1 G Gn, p c X G X G c > λ n 1 < 2 λ2 2 X 1, X 2,..., X n X G X G c X G F n X G X i 1 X i+1 X i + 1 X i G i X i G X G X i G + 1 c i X i G F i X G F i 1 + X i G F i X i G F i 1 X G F i 1 1 + X i G F i 1 c i c i X i 1 X i 1 + c i X i 1 1 + c i 1 X i 1 + X i 1 X i i F i F i 1

X i+1 X i 1 K i i 1, 2..., 1 X n Y 1 x 2 xλ n 1 X G c λ n 1 λ2 2 x 2 2 n 1 i1 K2 i 2 1 2 x2 n 1

X n n 0 Y n n 0 Ω Y n : Ω R Y n < n N Y n n 0 X n n 0 n N Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n Y n n 0 X n n 0 n N Y n+1 X 0, X 1,..., X n Y n I R X I X < ϕ : I R ϕ X F ϕx F I R X n n 0 F n n 0 ϕ : I R X n I n N ϕx n < ϕx n n 0 X n n 0 ϕx n+1 F n Jensen ϕ X n+1 F n ϕx n I R X n n 0 F n n 0 ϕ : I R X n I n N ϕx n < ϕx n n 0 X n n 0 ϕx n+1 F n Jen. ϕ ϕ X n+1 F n ϕxn }{{} X n Y Y n n 0 R [a, b] R a < b T 1 {n 0 : Y n a} T 2 {n T 1 : Y n b} T 2k 1 {n T 2k 2 : Y n a} T 2k {n T 2k 1 : Y n b} [a, b] Y [T 2k 1, T 2k ] k 1 U n a, b ; Y [a, b] Y [0, n]

Ua, b ; Y n U na, b ; Y Y Y n n 0 R Ua, b ; Y < a, b Q a < b n Y n R {, + } Y n m, M R {, + } n Y n m Y n M n n m M Q R a, b Q m < a < b < M Ua, b ; Y m M n Y n R {, + } Y Y n n 0 a < b U n a, b ; Y Y n a + Y 0 a + b a ϕx x a + Z Z n n 0 Z n Y n a + n N U n a, b ; Y U n 0, b a ; Z i N { 1 i T2k 1, T I i 2k ] k 1 0 b a U n 0, b a ; Z n i1 Z i Z i 1 I i {i N : I i 1} U n 0, b a ; Z T 2k Z i Z i 1 Z T2k Z T2k 1 b a it 2k 1 I i F i 1 {I i 1} i { i T2k 1 T 2k ] } k1 i k1 {T 2k 1 i 1} \ {T 2k i 1} F i 1 b a U n 0, b a ; Z n i1 Z i Z i 1 I i b a U n 0, b a ; Z n Z i Z i 1 I i i1

Z i Z i 1 I i b a U n 0, b a ; Z Z i Z i 1 I i F i 1 I i Z i Z i 1 F i 1 I i Zi F i 1 Z i 1 }{{} 0 Z i F i 1 Z i 1 Zi Z i 1 n Z i Z i 1 Z n Z 0 Y n a + Y 0 a + i1 Y Y n n 0 < Y n : Y 1 Y < n Y n + n 0 M n 0 Y n + R a, b R a < b Y n a + Y n + + a U n a, b ; Y Y n a + M + a b a b a U n a, b ; Y n n U na, b ; Y U na, b ; Y M + a n b a < Ua, b ; Y < 1 A a,b Ua, b ; Y < A A a,b 1 a,b Q,a<b A Ua, b ; Y <, a, b Q a < b n Y n ω A Y n Y n R {, + } Y + n Y + n n Y + n M <

Y n Y + n Y n }{{} Y 0 M Y 0 Y Yn n M Y 0 < Y Y + + Y < Y Y n n 0 n Y n : Y Y Y 0 W n Y n n N n W n + 0 < W n n Y n Y n+1 Y 0 n N Y Y n Y n Y 0 n n X n n 1 X 1 1 p X 1 1 q p 1 2, 1 q 1 p S 0 0 S n X 1 +... + X n n 1 Y n q Sn p r S n r < 1 Y n n 0 X n n 1 Y n 0 n 0 Y Y n Y < n Y n {r k : k Z} A n N Y A Y Y < Y r k k Z Y n Y 0 S n

Z n n 1 a n, 1 2n 2 Z n 0, 1 1 n 2 a n, 1 2n 2 a 1 2 a n 4 a 1 +... + a n 1 Y n Z 1 +... + Z n Z n n 1 n Y n n 1 Y n + Z n 0 Z n 0 Zn a n + Z n a n 1 n 2 < n1 n1 {Z n 0} 0 n 1 Y n n a 2 8, a 3 40 8 5,..., a n 8 5 n 2 n 2 Y n a n Z n a n, Z n 1 0,..., Z 2 0, Z 1 a 1 8 5 n 2 1 1 1 2n 2 1 n 1 2 1 n 2 2 n1 1 1 2 2 1 2 } {{ } c>0, n 1 c n 0, 1, n 1 n 1 c n > 0 n1 c n < n1 8 5 n 2 n 2n + 2 n 1 Y n + Ω, F, P X n : Ω R n N X : Ω R Ω X n X X n as X, {ω : n X nω Xω} 1

X n X p p 1 X n L p X X n X p n 0 X n X X n P X, X n X > ε n 0, ε > 0 X n X X n X n x n X x d X Xn X, x R F X x X x X n n 0 X n 0 n 0 X n X n n n X n n 0 X n 0 n 0 X n ω X n+1 ω, n N ω Ω X n X n n x X n n 0 X n as Y, n 1, ω Ω Y < X n X X n X n X n n 0 X n M < as, n 1, ω Ω X n X X n X n X n as X X n P X X n L p X p 1 X n P X X n P X Xn d X

ε > 0 X n X > ε 1 Xn X >ε 0 0 Y n 1 Xn X ε > 0 X n X > ε X n X p > ε p X n X p ε p L p p 1 x R ε > 0 as 0 Y n 1 n 0 X n x X n x, X x + ε + X n x, X > x + ε X x + ε + X n X > ε X n x X x + ε F X x + ε n ε 0 F X x X n x X x F X x n X x ε X n x + X n X > ε F X x ε n X n x x F X F X x X n x n X n x n F X x X x n P X n X nk k 1 as X nk X X n P X Xn X > 1 n 0 n 1 N X 1 X > 1 1 2 1

n 1 < n 2 <... < n k X i X > 1 1 2 i, i {1,..., k}. X n X > 1 k+1 n 0 n k+1 N n k+1 > n k X nk+1 X > 1 k + 1 1 2 k+1 {ω Ω : n X n+1ω Xω } 1 A k { } ω : X nk ω Xω > 1 k A k A A k k 1 j1 kj k1 A k k1 1 2 k < A 0 ω Ω \ A n 0 ω N ω / A k k n 0 ω X nk ω Xω 1 k X n+1ω Xω n X n n 1 X n Ω, F, Y n, Y : Ω R d X Y n d Xn Y d X Y n as Y X n X F Xn F X U Ω, F, 0, 1 U U0, 1 Y n F 1 X n U Y F 1 X U Y n x F 1 X n U x U F Xn x F Xn x Y x F X x d F Xn x F X x x R X n X F 1 X n y F 1 X y, y 0, 1 Y nω Y ω, ω Ω

X n d X hxn hx h : R R Ω, F, d Y n n 1, Y n Xn Y d as X Y n Y hx n hy n n hy hx. h

X n n 1, X X n L r X r 1 X n r X r X n L 1 X X n X X n L 2 X X n X X n r X r X n X r 0 r X n X X n X X n X n 0 X 0 X n N0, n X n X 0 X n X X n n Z n Z N0, 1 X n Xn 2 X n 2 X 2 X 2 L X 2 L n X X 1 n X p, q > 1 1 p + 1 q 1 X, Y : Ω R XY X p Y q X p 1/p + Y q 1/q. 1 r < s X r Y s X r r X r p s r X rp 1/p 1 q 1/q X s r/s X r X s L s L r X n L s X X n L r X X, Y : Ω R p [1, ] X + Y p X p + Y p A n n 1 A n < A n 0 n1 A n A n n 1 A n 1 n1

X n n 1, X n : Ω R X n 1 Xn a 0 a n X < X 1 X >a 0 X 1 X >a 0 a a X R X 1 X >n X, X < X n Y n 1 Y < X n n 1 n a X n 1 Xn a Y 1 Y a 0 hx h : [0, R x x hx x 1+ε h X n M < X n n 1 n X n 1 Xn a Xn x a M h X n h X n 1 Xn a x hx h X n 1 x a hx x a 0 X : Ω R X < X 1 A δ 0 0 A: A<δ ε > 0 δ > 0 [ A < δ X 1 A ε ] X < ε 0 > 0 δ n n 1 δ n 0 A n n 1 A n < δ n X 1 An ε 0 δ n < δ n 0 n1 δ n A n < A n 0 X 1 A n 0 n Ω \ A n X 1 An X X < X 1 A n 0 n n1

δ > 0 : X 1 A < 1 A: A<δ M R X X 1 X <M + X 1 X M M + X 1 X M M > 0 X M X n A n X 0 M n }{{} n1 A n M 0 R X M 0 δ X 1 X M0 < 1 M M 0 X M 0 + 1 <, X n n 1 X n P X X n n 1 X, X n L 1, n 1 X n L 1 X X n L 1, n 1 X n X < Y : Ω R Y < F n n 1 F n Ω F i F i+1 i 1 X n Y F n, n 1 X n n 1 F n n 1 X n n 1 a > 0 X n 1 Xn a Y F n 1 Y Fn a Y 1 Bn,a, B n,a { Y F n a } n X n 1 Xn a Y 1 Bn,a n B n,a Y F n a Markov 1 a Y F n 1 a Y

Y < ε > 0 δ 0 > 0 Y 1 A < ε A: A<δ 0 a > 0 1 a < δ 0 B n,a < ε, n 1 X n 1 Xn a ε a ε n

Z Z < F n n 1 F σ Z F n n Z F L 1 Y n Z F n, n 1 Y n n 1 Y n Z F n Z F n Z < n1 F n n 1 Y n < as Y n Y Y Y < L Y n n 1 Y 1 n Y Y Z F 1 A Y 1 A Z, A F A F n0 n 0 1 A Y n L 1 1 A Y 1 A Y n 1 A Y n n 1 A Z F n 1 A Z Z 0 Z + Z µa 1 A Y νa 1 A Z µ ν C F n µω νω σc n1 F µ ν F Y n n 1 Y n L 1 Y n Z F n Z Z < Y n Y L 1 Y n Y n 1 Y n < Y Y Y L 1 Y L 1 Z Y Y n0 Y F n0 Y n0 1 A Y 1 A, A F n0

Y 1 A n Y n1 A Y n 1 A F n0 n 1 A Y n F n0 Yn0 1 A n }{{} Y n0 α β A n, B n n E n n R n A n A n + B n, n 0 F n σ{a 1,..., A n, B 1,..., B n }. R n n 0 R n+1 Fn A n + 1 A n + B n + 1 E A n n+1 + A n + B n + 1 E n+1 A n + 1 A n + B n + 1 A n A n + A n + B n A n + B n + 1 B n A n + B n + 1 A n A n+1 + B n A n+1 + B n+1 A n + B n A n R n A n + B n R n n 0 0 < R n 1, n 0 R n R n L 1 1 R Betaα, β Bα,β xα 1 1 x β 1 1 x 0,1 α β 1 R Beta1, 1 U0, 1 n+1 D n+1 D 1, D 2,..., D n+1 i [n+1] D i E i i D i E i A n k k [n + 1] Dn+1 1 D1, 1..., Dn+1 1 { Di 1 Ei, 1 i k E i, k < i n + 1, k 1 2 2 3 3 4 k 1 1 k k + 1 2 k + 2 3 k + 3 n k + 1 k 1! n k + 1! n + 1 n + 1!

k n+1 k D 2 n+1 D 2 1,..., D 2 n+1 D 2 i { Ei, i E i, i, 1 2 1 3 2 4 2 5 3 6 Dn+1 1 2, 3,..., n+1 i {k, n+1 k} i j 1 i j 1+1 i i j 2 i j 2 +1 k i n + 1 k n + 1 k i k i k 1! n k + 1! n A n k 1, k [n + 1] n + 1! k n + 1 R n k 1 n + 2 n + 1 R n x A n xn+2 [xn + 2] n x. n + 1 Ω, F, F n 1 σ Ω T F n 1 k N {ω Ω : T ω k} F k X n n 1 X 1 1 X 1 1 1 2 F n σ {X 1,..., X n } S n X 1 +... + X n, n 1 S 0 0 T {i : S i 3} k N {T k} k {S i 3} F k }{{} F i F k i1 T {i 20 : S i 0} T { T 8} / F 8

F n n 0 T F n n 0 X n n 0 X n T n 0 X n n 0 X n T n 0 X n n 0 X n T n 0 X X n T X 0 T ω < X n T X T n X n T X n T n n X T X 0 X X n 0 T X T X n T n 0 ω M R X n T ω ω M, n N, ω Ω T < 0 T M R T ω M, ω Ω T < M R X n+1 X n F n M X 0 < n X n T X T T M, ω Ω n > M T < X n T X n T X T n X n T n T X n T X 0 + X k X k 1 k1 n T X n T X 0 + k1 X k X k 1 X 0 + X 0 + T X k X k 1 k1 X k X k 1 1 k T. k1

Y X 0 + X k X k 1 1 k T Y X 0 + X k k1 X k 1 1 k T X k X k 1 1 k T X k X k 1 1 k T Fk 1 Y X 0 + M k1 k1 1 k T X k X k 1 1 k T F k 1 M 1 k T M T k T k X 0 + M T <, k1 T 1 k T T T k k1 X n n 0 T X T X 0. X n n 1 X 1 1 X 1 1 1/2 S 0 0 S n X 1 +...+X n, n 1 F n σ{x 1,..., X n } S n n 0 S 2 n n n 0 X n n 1 a Z T a {k N : S k a} a a +b a < 0 < b T a < T b T T a T b M n Sn 2 n M n T M n T M 0 0 S 2 n T n T n T a 2 b 2 n n T a2 b 2 n n T n n T T < T < 1 S n n 0 S n T n 0 T < S T S 0 S T a 1 Ta <T b + b 1 Tb <T a a T a < T b +b T b < T a }{{} x ax + b1 x

S T 0 x b a +b T a T b a b n T Sn T 2 S2 n T n 1 {a 2, b 2 } ST 2 n T Sn T 2 T S 2 T S 2 T 1 Ta <T b + S 2 T 1 Tb <T a a 2 T a < T b + b 2 T b < T a a 2 b a + b + a b2 a + b a b a + b a + b a b a 0 T a T a S Ta 0 S Ta a S n n 0 S n+1 S n 1, n 0, ω Ω T a < S Ta S 0 0 G n n 0 σ Y Y n n 0 Y n : Ω R Y G n n 0 Y G n n 0 Y < n 0 Y n G n+1 Y n+1 n 0 Y n G k Y k k > n k Y n G k Y k Y n G k+1 Y n G k G k+1 E.Y. Y k G k+1 Y k+1

X n n 0 G n n 0 X n X n L 1 X X 0 G G n1 G n a < b U n [a, b ; X] [a, b] X 0, X 1,..., X n ˆX ˆX 1, ˆX 2,..., Xn ˆ X n, X n 1,..., X 1 G k n k0 U n [a, b ; ˆX] ˆX n a + b a ˆX 0 a + b a U n [a, b ; X] 1 + U n [a, b ; ˆX] U [a, b ; X] 1 + X 0 a + < b a U [a, b ; X] < X n n L 1 as X n X n X X n P X X 1 A X 0 1 A A G X n 1 A X 0 G n 1 A 1A X 0 G n 1 A X 0 X 1 A n X n 1 A n X 0 1 A X 0 1 A, X n L 1 X X n X X n 1 A X 1 A X n X Ω, F, X n : Ω E n, n 1 F n σ{x n, X n+1,...} σ{x k : k n} F F n X n n 1 A F A {0, 1} n1 A A A A A A A 2 A A {0, 1}

H n σx 1,..., X n, n 1 Γ H n Γ F n+1 F H n F n1 σ F σ n1 n1 H n F H n G F n σ{x n, X n+1,...} G n 1 F F A F A F A A X n n 1 F n σx n, X n+1,... F X : Ω [, ] F c [, ] X c 1 a R {X a} F X a {0, 1} X 1 X 1 {X }, {X } F X X 0 X R 1 F X F X F Xa {X n} 0 a n1 F X 1 c {x R : F X x 0} F X c 0 F X c+ 1 X c F X c+ F X c 1 + 0 1, X 1 +... X n Z n n F k 1 Z F k X1 +... + X k Z + X k+1 +... + X n X k+1 +... + X n n n n n n n1 F n X k k 1 X k : Ω R X 1 < S n X 1 +... + X n S n n X 1, L 1

G n σ{s n, S n+1,...} σ{s n, X n+1, X n+2,...} G n Y n S n n, n 1 Y n n 1 G n n 1 Y n G n Y n 1 n n X 1 X 1 < Y n G n+1 1 n n X i G n+1 1 n i1 n i1 X i S n+1 1 n n X 1 S n+1 X 1 S n+1 n+1 S n+1 S n+1 S n+1 X i S n+1 n + 1 X 1 S n+1 i1 Y n G n+1 X 1 S n+1 S n+1 n + 1 Y n+1 Y n n 1 Y L 1 L 1 Y G c R Y c 1 Y n S n n X 1 c L 1 c S n n c X 1 c c

X n n 0 F n n 0 k N N N k 1 X 0 X N X k X N j j 0 X N 0 X N k X 0 X k Y n X n X n N F n n 0 Y n <, n 0 Y n Fn 1 X n Fn 1 X n N Fn 1 X n Fn 1 X n N 1 N n Fn 1 X n N 1 N n 1 Fn 1 X n F n 1 X n 1 N n F n 1 X N 1 N n 1 F n 1 X n 1 N n 1 F n 1 X N 1 N n 1 F n 1 1 n n 1 Xn F n 1 X N 1 n n 1 X n 1 X n X n 1 X N n 1 Y n 1 Y n F n n 0 Y k Y 0 0 X k X N 0 X N X k, X n n 0 R M n {X 0,..., X n } n 0 X n n 0 F n n 0 M n x X+ n 1 X + n x x X n n 0 F n n 0 M n x X 0 + X n x n M n x {X + k x} k 0 k1 X + k x X+ k x

A 1 x X+ 0 +... + X+ n n x X+ n n X n n 0 n 1 N {k : X k x} n A {M n x} x A X N 1 A X n 1 A X + n 1 A X N 1 A x 1 A X N 1 A x A X N X n X N 1 A + X N 1 A c X n 1 A + X n 1 A c X N 1 A X n 1 A X + n 1 A x M n x X n 1 A X n n 0 T {k 0 : X k x} X N j j 0 X 0 X T n X T n 1 T n + X T n 1 T >n x T n X n X 0 p > 0 X p p p t p 1 1 X>t dt p 0 0 0 t p 1 X t dt X t 1 X>t X t p 1 1 X>t dt p t p 1 dt X p 0 X n n 0 p 1, X n {X 0 +,..., X+ n } p X p p X n + p 1 p Y n n 0 Y n n 0 Y n Y n p p p Y n p 1 p

M > 0 X n M t 1 t X+ n 1 Xn M t, t > 0 M < t 0 0 M t X n t 1 t X+ n 1 Xn t X + n ϕx x + X n n 1 X n M p p 0 t p 1 X n M t dt p t p 1 1 0 t X+ n 1 Xn M t dt p X n + p 1 p Xn M p 1q 1 q p 1 p X n + p 1 p Xn M p 1 1 p p 1 X n M p 1 p p X n + p 1 p p 1 X n M p p p X n + p p 1 q p p 1 1 p + 1 q 1 X i i 1 X i 0 X 2 i σ 2 i 0, S 0 0 S n X 1 +... + X n n 1 1 k n S k x 1 x 2 S n F n σx 1,..., X n F 0 {Ω, } S n n 0 Y n S 2 n {S 2 1,..., S 2 n} x 2 1 x 2 S2 n 1 x 2 S n r b r, b > 0 R n B n n

Y n R n n+r+b n 0 F nn 0 F n σr 0, R 1,..., R n, n 0 T r b 1 1 T +2 1 4 r b 1 Y n 3 4 n 2 3 Y n Y n+1 F n R n+1 F n R n n+r+b n + 1 + r + b R n+1 n + 1 + r + b 1 R n+1 R n+1 R n + n + 1 + r + b 1 R n+1 R n +1 F n R n n + 1 + r + b 1 R n + 1 R n+1r n + n + 1 + r + b 1 R n+1r n+1 R n n + 1 + r + b n + r + b R n R n + n + r + b n + 1 + r + b R n + 1 n + r + b 1 Rn n + r + b R n + R n + 1R n n + 1 + r + bn + r + b 1 n + 1 + r + bn + r + b n + r + b + 1R n R n n + r + b Y n M n 1 Y n B n n+r+b M 0 1 2 M T 2 M T 1 M 0 1 T + 2 4 T +2 T < 1 n M T n M 0 k 1 T k 1, 2..., k 1 1 2 2 3 3 4 k 1 1 k k T T k 1 k 0

Y k 3 1 1 k n 4 3/4 Y n + 4 3 Y n 4 1 3 2 2 3 }{{} A n {Y n 3 } 4 n A n n1 n1 A n A n n A n 2 3

X n n 1 1, 1 2n X n 0, 1 1 n 1, 1 2n Y 1 X 1 n 2 { Xn, Y Y n n 1 0 ny n 1 X n, Y n 1 0 F n σy 1,..., Y n n 1 F 0 {, Ω} Y n n 1 F n n 1 n Y n Y n F n Y n Y n X n 1 Yn 1 0 + n Y n 1 X n 1 Yn 1 0 Y n X n + n Y n 1 X n 1 + n Y n 1 Y n < Y 1 X 1 1 Y n n Y n F n 1 Y n Y 1,..., Y n 1 Y n 1 Y n 1 Y n 1 0 Y n X n X n Y 1,... Y n 1 X n 0 Y n 1 Y n 1 0 Y n n Y n 1 X n n Y n 1 X n Y 1,..., Y n 1 n Y n 1 X n Y 1,..., Y n 1 n Y n 1 X n n Y n 1 1 n Y n 1 Y n F n 1 X n 1 Yn 1 0 + n Y n 1 X n 1 Yn 1 0 F n 1 X n 1 Yn 1 0 F n 1 + n Y n 1 X n 1 Yn 1 0 F n 1 Yn 10 X n + n Y n 1 1 Yn 1 0 X n 1 0 + n Y n 1 n Y n 1 Y n X n 1 0 Y n 1 0 X n 1 Y n 1 B n {X n 1 0, X n 1} {Y n 1} B n 1 1 1 n 2n 1 4n

B n n 1 B 2n n 1 1 B 2n 8n. n1 B 2n 1 ω B 2n Y n ω 1 n Y n ω 0 n Y n n Y n + < n 1 n1 Y n + X n + 1 Yn 10 + n Y n 1 + X n 1 Yn 1 0 1 2n Y n 1 0 + n Y n 1 + 1 Y n 1 0 X n 1 2n Y n 1 0 + Y n 1 + 1 2n X n 1 0 + Y n 1 + 1 1 1 + Y n 1 + 2n n 1 n1 1 2n 1 1 n 1 Y n + n 1 E i, E i i I Ω i, F i, i i I Ω, F, X i i I X i : Ω i E i X i i I ˆX i i I ˆX i : Ω E i X i d ˆXi i X i A ˆX i A, A E i X i X i : E i [0, 1] X i P i X i A E i, E i X, Y X Bernoulli 1 2 Y Bernoulli 3 4 Ω, F, 0, 1, B 0, 1, λ U : Ω R F U x x ˆX 1 U 1/2 Ŷ 1 U 3/4 ˆX d X ˆX 1 U 1/2 1/2 ˆX 0 1/2, Ŷ 1 U 3/4 3/4 Ŷ 0 1/4,

Ŷ d Y ˆX, Ŷ X, Y ˆX Ŷ ˆX Ŷ ˆX 1 U1 1/2 Ŷ 1 U 2 3/4 U 1, U 2 U0, 1 F : R [0, 1] F 0, F + 1 G : 0, 1 R Gu {x R : F x u} F Gu F 1 u Gu y F y u F y u y {x R : F x u} A u A u Gu y Gu y n 1 t n A n t n y + 1 n u F t n F y + 1 n F u F y + 1 n n F y

U U0, 1 F GU F x R GU x U F x F x X F X G X X F X X i i I R U U0, 1 GXi U i I X i i I G X P X n X ˆXn n 1, ˆX X ˆ d d n Xn ˆX X X ˆ as n ˆX ˆX n G Xn U ˆX G X U U U0, 1 µ i i I E i, E i i I µ i i I X i i I X i : Ω E i, i I P X i µ i, i I Ω, F, X i i I ν µ {0, 1} X Y 1 U 1/2 U U0, 1 Ω { {0, 0}, {0, 1}, {1, 0}, {1, 1} } X : Ω R X ω 1, ω 2 ω 1 Y ω 1, ω 2 ω 2 {ω 1, ω 2 } 1/4 µ ν E, E µ ν d TV µ, ν µa νa A E µ ν E, E A 1, A 2 E µe \ A 1 νe \ A 2 0 E d TV µ, ν 1 µ{x} ν{x} 2 x E p x µ{x} q x ν{x} x E A 0 {x E : p x q x } A E µa νa p x q x p x q x x A x A 0 νa µa 1 νa c 1 µa c µa c νa c p x q x x A 0

d TV µ, ν p x q x µa 0 νa 0 p x q x x A 0 x A 0 d TV µ, ν p x q x q x p x p x q x x A 0 x A c 0 x A c 0 2d TV µ, ν p x q x d TV µ, ν 1 p x q x 2 x E x E µ ν E, E X, Y µ, ν d TV µ, ν X Y A E µa νa X A Y A X A, X Y + X A, X Y Y A Y A + X Y Y A X Y µ ν E, E E ˆX, Ŷ µ, ν d TV µ, ν ˆX Ŷ p x µ{x} q x ν{x} x E ˆX Ŷ E E a x p x q x fx, x a x fx, y p x a x q y a y, x y d TV µ, ν d TV µ, ν 1 p x q x 2 x E 1 p x q x + q x p x 2 x E x E p x q x p x q x 1 2 2 p x q x p x q x x E x E p x q x p x q x

x a x x Ep px p x q x p x q x d TVµ, ν x E x E p x q x fx, y p x, x E fx, y q y, y E y E fx, y x E fx, y fx, x + y E y E y x p x q x + p x a x dtv µ, ν q x a x d TV µ, ν a x + p x a x p x a x q x a x p x d TV µ, ν ˆX, Ŷ µ ν ˆX Ŷ x E fx, y px p x q x x E y E y x p x q x d TVµ, ν x E p x q x X Bernoullip Y Poissonp p 0 1 p pk p, p 1 p q k e k! ˆX, Ŷ ˆX, Ŷ f0, 0 p 0 q 0 1 p e p 1 p f1, 1 p 1 q 1 p e p p pe p ˆX Ŷ 1 ˆX Ŷ 1 f0, 0 + f1, 1 1 1 p + pe p p pe p p1 e p p }{{} d TV X,Y

I i 1 i n I i Bernoullip i, i [n] X n I i λ n p i Y Poissonλ ˆX, Ŷ X Y i1 i1 ˆX Ŷ n p 2 i i1 Îi, Ĵi 1 i n Îi, Ĵi I i, J i J i Poissonp i ˆX n Î i Ŷ n d Ĵ i ˆX X Ŷ d Y Poissonλ i1 i1 ˆX Ŷ d TV LX, LY n i1 n i1 Îi Ĵi Y p i λ n, i N d TV Bin n, λ, Poissonλ λ2 n n n i1 p 2 i p 2 i LX LY X f, g : R R X R fx, gx, fx gx < fx gx fx gx X 1, X 2 X 1 d X2 d X X1, X 2 X 1, X 2 X, X fx1 fx 2 gx 1 gx 2 0 fx 1 gx 1 fx 1 gx 2 fx 2 gx 1 + fx 2 gx 2 0 fx 1 gx 1 fx 1 gx 2 fx 2 gx 1 + fx 2 gx 2 0 2 fxgx 2 fx gx 0 fxgx fx gx X i i 1 X i Bernoullip 1, i 1 Y j j 1 Y i Bernoullip 2, j 1 0 p 1 < p 2 1 a R X 1 +... + X n }{{} Binn,p 1 a Y 1 +... + Y }{{ n a } Binn,p 2

{X i, Y i : 1 i n} U i U0, 1, i {1,..., n} ˆX i 1 Ui p 1 Ŷi 1 Ui p 2 {X i : 1 i n} ˆX i 1 U i p 1 p 1 ˆX i Bernoullip 1 i [n] {Y i : 1 i n} Ŷi 1 U i p 2 p 2 Ŷi Bernoullip 2 i [n] ˆX i Ŷi i [n] X 1 +... + X n a ˆX 1 +... + ˆX n a Ŷ1 +... + Ŷn a Y 1 +... + Y n a Gn, p E 0 { {i, j} : i j, i, j [n] } E 0 p [n], E p G p fp G p f m n 2 {e1,..., e m } E 0 U 1,..., U m U0, 1 Êp {e i : U i p} p 1 p 2 Êp 1 Êp 2 G p1 [n], Êp 1 G p2 [n], Êp 2 fp 1 G p1 G p2 fp 2 X, Y R Y X X Y X t Y t t R X Y ˆX, Ŷ X, Y ˆX Ŷ 1 t R F X t X t ˆX t Ŷ t F Y t U U0, 1 G X G Y X Y ˆX G X U Ŷ GU ˆX d X ˆXω Ŷ Ŷ ω ω Ω G Xa G Y a a 0, 1 X fx µ X X µ 1 µ t xfx dx f X t 1 µ t ft d Y

[0, ] X < F t X 1 X t. X X F X X [0, ] X < X X F t F X t t R X 1 X t X X t X 1 X t X 1 X t fx x gx 1 x t

{X n,i : n 1, i 1} N {0, 1,...} Z n 1 Z 0 1 Z n X n,k n 1 k1 Z n 1 0 Z n n 0 X X 1,1 p k X k, k N µ X X Z n 0 n 1 G X s s X p k s k k0 η n 1 : Z n 0 η G X s s [0, 1] A n {Z n 0} η n Z n 0 A n η A n η n n n1 G n s s Z n Z n ks k η n G n 0 η n k0 G n s n 2 G n s s Z n s Z n Z 1 s R 1+...+R Z1 Z 1 s R 1 Z 1 s Z n 1 Z 1 G n 1 s X G X Gn 1 s, Z n R 1 +... + R Z1 R 1,..., R Z1 Z n 1 n 1 G 0 s s Z 1 s s 0 G n 0 G X Gn 1 0 η n G X η n 1 n η G X η η a [0, 1] G X a a η 0 a η 0 Z 0 0 0 G X G X η 0 G X a a η 1 a η n η a a, n N

s 1 s G X s p k 1 k0 k0 p k s k G X 1 µ X η µ < 1 η 1 µ 1 X 1 < 1 η 1 µ > 1 η < 1 G X s s X G X s X sx 1 0 G X s XX 1 s X 2 0 G X G X 1 X µ G X0 0 η 0 µ < 1 G X 1 < 1 G Xs s s 0 < 1 G X 1 1 η 1 µ < 1 G X 1 1 G Xs s s 0 < 1 G X s s, s s 0, 1 G X s s, s [0, 1] p 1 X 1 1 η 1 G X 0 > 0 G X 1 > 1 fs G Xs gs s 0, 1 η < 1 ζ 1 η Z n > 0, n N µ > 1 ζ > 0 µ < 1 µ 1 X 1 < 1 µ > 1 X p 0 1 p p 2 p p 0, 1 η 1 p p, p > 1 η 1, p 1 2 2 µ X 01 p + 2p 2p p < 1/2 µ < 1 η 1 p 1/2 µ 1 η 1 X 1 0 < 1 p > 1/2 η G X s s p 0 s 0 + p s s 2 s ps 2 s + 1 p 1 1 p p η 1 p p

T Z n G T s s T T s < 1 n0 s T 0 G T s s T 1 T < s 1 G T s T < η G T s s G X GT s T 1 + Z n n1 G T s s T s 1+ n1 Z n s s n1 Zn s s n1 Zn Z 1 s s s s k0 s n1 Zn Z 1 k Z 1 k s T 1 +... + s T k Z 1 k X k k0 s T k X k k0 GT s k X k s GX GT s, k0 Z n Z 1 k n1 T 1,..., T k T i d T, i [k] d T 1 +... + T k

Z 0 1 Z n Z n 1 i1 X n,i, n 1 Z n n µ X 1,1 Z n µ n Z n Z n Zn 1 Z n 1 µ µ Z n 1, x x ϕx Z n Z n 1 x X n,i X n,i xµ x Z n 1 Z n µ Z n 1 Z 0 1 µ 0 Z n µ n i1 i1 Z n > 0 µ n Z n > 0 Z n 1 Markov µ < 1 Z n µ n µ < 1 T 1 1 µ T Z 0 + Z 1 + Z 2 +... Z k k0 k0 k0 T Z k µ k 1 1 µ 0 0

S i i 0 S 0 1 S i S i 1 + X i 1, i 1, X i i S i i i S i 1 i 1 X i X i X 1,1 T {k : S k 0} x 1,..., x t x i N, i [t] x 1 +... + x t t 1 t < x 1,..., x t H X 1, X 2,..., X T T {k : S k 0} N { } t N x 1,..., x t H x 1,..., x t p x1 p xt, p k X 1,1 k p p k k 0 N X n,i p η 0, 1] p p p k k 0 p k ηk 1 p k k N p p k η k 1 p k 1 η k0 k0 η k p k 1 η G Xη 1 η η 1 k0 X p G X s 1 η G Xηs 0 < η < 1 X < 1 G X s p ks k 1 η k p k s k p k ηs k 1 η η G Xηs k0 G X s G X s k0 k0 G X s XsX 1 G X 1 X G X s 1 η G X ηs X G X η

G X η > 1 G X 1 G X η + G Xη1 η > η + 1 η 1 G X η 1 G X s, s η, 1 G X s 1, s C k p k s k 1 1 p 1 1 η 0 k0 X G X η > 1 p p k k 0 N η 0, 1 p p p p x 1,..., x t t < H X 1,..., X T p H X 1,..., X T p A { p }. H x 1,..., x t A H x 1,..., x t A A H x 1,..., x t p x 1 p x t H x 1,..., x t η x 1 1 p x1 η x t 1 p xt η x1+...+xt t p x1 p xt 1 η p x 1 p xt η 1 η p x 1 p xt

µ X > 1 T k N + k T < ki 1 I I t tx I > 0 t 0 k T < T r rk S r 0 rk X 1 +... + X r r 1 rk X 1 +... + X r r rk a r X 1 +... + X r r t 0 t 0 a r tx 1 +... + X r t r tx1+...+xr tr Markov a r r t 0 k T < tr tx1 r { } t e tx 1 ri ri ki 1 I I > 0 At t tx1, t 0 t 0 A tx 1 t 1 tx 1 X 1 tx1 1 tx 1 A 0 1 X 1 1 µ < 0 rk A0 0 1 0 A 0<0 At > 0 I > 0 t<0

{ I t tx 1 } t > 0 t R x tx1 tx 1 tµ t > 0 t tx1 t 1 µ < 0 Z 0 1 Z n Zn 1 X n,i µ X 1,1 > 1 i1 µ > 1 Z n /µ n W n F 0 {, Ω}, F n σ {X k,i : 1 k n, i N + } M n Z n /µ n M n n 0 F n n 0 M n F n M n Z n µ n µn µ n 1. M n F n 1 1 Z n 1 µ n X n,k F n 1 k1 1 µ n 1 µ n 1 µ n 1 j j0 k1 j j0 k1 j0 k1 X n,k 1 {Zn 1j} F n 1 1 {Zn 1 j} j 1 {Zn 1j} } {{ } Z n 1 X n,k µ {}}{ X n,k F n 1 Z n 1 µ n 1 M n 1 M n M n W W M n 1 W 0 {ω : n Z n 0} W 0 η X X < W 1 W 0 1 k k p k <. k0

Z n n 0 η ζ 1 η p k k 0 Z n n A {Z n 0, n 1} Z n A η 0 η Z n A p k k 0 p 0 0 p k 1 j η j k 1 η k p j ζ k µ Z 1 A Z 1 Zn n 1 jk p k k 0 Z 1 k A 0 k 1 p k Z 1 k A {Z 1 k} A A 1 ζ jk j η j k 1 η k p j k 1 ζ jk µ Z 1 A k 1 ζ k0 jk Z 1 k ζ Z 1 k Z 1 j Z 1 j k0 k p k j η j k 1 η k p j k Z n n 0 T T n 1 n X 1 +... + X n n 1, n 1 X i X 1 d X T 1 +... + T k n k n X 1 +... + X n n k T 1,..., T k T i d T

Y i i 1 Z {k : k 1} S n Y 1, Y 2,... P k S 0 k S n k + Y 1 +... Y n, n 1 H 0 {k 0 : S k 0} k H 0 n k n ks n 0 Σ i i 0 Σ 0 1 Σ n Σ n 1 + X n 1 Y i X 1 1, i 1 k S n 0 k + X 1 +... + X n n 0 X 1 +... + X n n k k H 0 n T 1 +... + T k n S k Z T {k 1 : S k 0} 1 1 1 T 2n 1 2 1T 2n 1 + 1 2 1T 2n 1 1 T 2n 1 1 2n 1 1S 2n 1 0 1 2n 1 1S 2n 0 1 1 2n 2n 1 2 2n c n n }{{} 3/2 1 πn n n 1 k S 0 0, S 1 0 k k S 1 0 k 0 k 2 0 0 k 1 1 S 0 0, S 1 0 1 S 1 0 n 2 k 0 0 0 0 H 0 n 0 H 0 0 k 1 S 2n 0 1 2 1S 2n 1 0 + 1 2 1S 2n 1 0 1 S 2n 1 0

k H 0 n E.Y. s 1 s 1 s 1 s 1 k n 1 k H 0 n Y 1 s Y 1 s k+s H 0 n 1 Y 1 s k + s n 1 k+ss n 1 0 Y 1 s k + s n 1 ks n 0 Y 1 s Y 1 s s 1 k S n 0 Y 1 s Y 1 s + 1 n 1 k n 1 ks n 0 + 1 n 1 s 1 s 1 s k S n 0, Y 1 s s k Y 1 s S n 0 k S n 0 k n 1 ks n 0 + 1 n 1 ks n 0 Y 1 S n 0 k k S n 0 n 1 1 n 1 k n k S n 0 k n k nn 1 k n ks n 0, k + Y 1 +... + Y n S n k + n Y j S n S n S n S n j1 k + n Y 1 S n S n Y 1 S n S n k n Y 1 S n 0 k n X 1 Poissonλ p k λ λk X 1 k, k 0 k! G λ s s X 1 X 1 ks k λ λk k! sk λ λs λs 1 k0 k0

λ > 1 η G λ s s [0, 1] X 1 λ λ 1 η 1 p k η k 1 p k, k 0 p k k 0 p k η k 1 λ λk k! λ η ηλ k k! λη ηλk k! µ λ ηλ < 1 µ λ λ Poissonηλ ηλ λ ηλ λ ηλ ηλ λ λ µ λ µλ λ λ λ T T n λnn 1 λn n! k 1 T n 1 n X 1 +... + X }{{ n n 1 1 nλn 1 nλ } n n 1! λnn 1 λn n! Poissonnλ λ T T 1 n λ 2πn 3 ni λ 1 + o1, I λ λ 1 λ T n λn n 1 λn n n 2πn 1 + o1 λn 1 n n 1 λn n n n 2πn 1 2πn 3 1 λ n1 λ λ 1 + o1 1 λ 2πn 3 ni λ 1 + o1 λ 1 λ 1 1/n 3/2

X 1 Binn, p X 1 Poissonλ λ np n,p λ T, T k 1 n,p T k λ T k + e n k e n k λ2 n k 1 λ T s kλ2 n s1 X i i 1 X i i 1 X i Binn, p X i Poissonnp X i i 1 X i i 1 X i X i λ2 /n T k T k, T k + T k, T < k T k T k, T k + T k, T < k T k T k T k, T < k T k, T < k T k T k { T k, T < k, T k, T < k } R {s 1 : X s Xs } T k T < k s {1,..., k 1} X s Xs S i Si, i [s] k 1 T k, T < k T k, T < k, R s s1 {T k, T < k, R s} i [s 1] S i Si T k S i Si 1 T s k 1 k 1 T k, T < k T s, X s Xs T s X s Xs λ k 1 n 2 T s, s1 {T s} {X s X s T s s S i 1, i {1,..., s 1} s1 s1

X 1,..., X s 1 X 1,..., X s 1 T k, T < k k 1 T k, T < k, R s s1 k 1 T s, X s Xs λ2 n s1 k 1 T s s1 ER n p [n] {1, 2..., n} n N + p [0, 1] n 2 Kn p ER n p G EG V G s, t V G s t v 1,..., v k V G {s, v 1 }, {v k, t} EG {v i, v i+1 } EG, i [k 1] v V G G C {s V G : s v} C max C max C v v V G ER n p p λ/n Z 1 s {1, s} ER n p Z 1 i [n],i 1 1 {{1,i} ERn p} } {{ } Bernoullip Z 1 n 1p n 1 λ n λ λ < 1 C max n P 1, I λ I λ λ 1 λ λ > 1 C max n P ζ λ, ζ λ Poissonλ C max nζ λ n d N0, σ 2 λ, σ 2 λ ζ λ1 ζ λ 1 λ + λζ λ 2

Cv v V G G Cv t 0 v w w V G {w, w } EG w w S t t X t t S t S t 1 + X t 1 Cv {t N : S t 0}. N t V G t S t N t t G ER n p X t BinN t 1, p

C1 T C1 1 ER n p T X i Binn, p k 0 np C1 k n,p T k Y i Binn N i 1, p N i 1 X i X i X i +Y i Binn, p N i 1 X i X 1,..., X i 1 X 1,..., X i 1 X i i 1 Binn, p S i S i X 1 +... + X 1 i 1 X 1 +... + X 1 i 1 C1 {i : S i 0} {i : S i 0} T. k [n] np C1 k n k,p T k T C1 n k,p k T k {t : N t n k} k i T k X i BinN i 1, p Binn k, p C1 k S i 1, i T k k 1 S i 1, i 1,..., k 1 T k k 1 T k X i X i Binn k, p, i 1 i T k Y i BinN i 1 n k, p N i 1 X i X i + Y i BinN i 1, p N i 1 S i X 1 +... + X i i 1 S i X 1 +... + X i i 1 S i S i { C1 k} {S i k, i T k } {S i 1, i T k } {S i 1, i k 1} {T k}. X k k 1 X 1 R S n X 1 +... + X n, n 1 S 0 0 a X 1 S n na nia a X 1 S n na nia

{ Ia ta tx } t R t > 0 S n na ts n tna ts n tna t 0 Markov tan tsn tan tx1 n n{at tx 1 } S n na n t 0 {at tx 1 } nia t 0 A0 0 t < 0 {ta atx 1 } {ta atx 1 } }{{} t R At ta tx 1 Jensen ta tx 1 ta t X 1 ta X 1 0. t < 0 S n na ts n tna tna tx 1 n tna n at tx 1 S n na n t 0 {at tx 1 } nia. X i Bernoullip, i 1 X 1 p M X1 t tx 1 p t + 1 p 0 1 p + p t Ia {ta q + p t } t R a p t q+p t Ia at p a t a 1t + a p a 1 aq 1 ap + a p a a p + a 1 q 1 a a a p a p, 1] S n na nia ni pa. 1 a + 1 a. q

C max ER n p p λ n λ < 1 λ < 1 Iλ λ 1 λ a > 1 Iλ δ δa, λ, c ca, λ k [a n] λ Cmax a n c, n 1. nδ λ Cmax > k n λ C1 > k n n,p T > k, T X i Binn, p Ŝi ˆX 1 +... + ˆX i i 1 ˆX i Binn, p n,p T > k n,p Ŝi 1 i 1,..., k n,p Ŝk 1 n,p ˆX 1 +... + ˆX k k n,p ˆX 1 +... + ˆX k nk 1 nkip1/n n 1 nki p nk p 1n n 1n pn λk k k λ kλ 1 λ ki λ λ Cmax > k n a n 1I λ I λ n 1 ai λ ei λ δ ai λ 1 c I λ n ai λ 1 C max n 1 I λ 1 I λ n λ < 1 Iλ λ 1 λ ϵ > 0 δ δϵ, λ, c cϵ, λ λ C max P 1 ϵ n I λ c, n 1. nδ

X [0, β [0, 1. X β X X 1 β 2 X 2 2. X β X 1 β 2 X2 X 2 X β X X X β 1 X X X β 1 X A 1 X a X X X 1 A + X 1 c A C S X 2 1/2 1A 1/2 + β X A c X 2 1/2 1/2 A + β X 1 β X A 1/2 X 2 1/2 A 1 β 2 X2 X 2, X β 1 2 X 2. X { 0, 1 1 X n n 2, 1 n X n X 2 n 4 1/n n 3 X 2 / X 2 1/n X k N Z k 1 Cv k {v [n] : Cv k}. v [n] C max k Z k 1 C max < k Z k 0 β 0 Z k 0 Z k Z k 2, k k n [a n] a 1 I λ ϵ

Z k Z k 1 Cv k n C1 k n n k,p T k, v [n] T Binn k, p λ n k p n k,p T k λ T k + ckλ 2 n kλ n n a nλ n n λ aλ n n λ n n k n a n n kλ 2 n k n k2 p 2 n k k n k λ2 n 2 k n λ2 a n λ 2. n λ T k λ T k λ T k λ k k 1 λ k λ k k 1 k k! k/ k 2πk λ 1 2π k 3/2 λ kλ 1 λ c k 3/2 ki λ+ϵ 1 c λ ki k3/2 n I λ I λ < ϵ 1 a < 1/I λ ai λ < 1 ϵ 2 > 0 ai λ + ϵ 2 + ϵ 3 < 1 n 3/2 < n aϵ 2 λ T k 1 n 3/2 > 1 n aϵ2 c n 1 3/2 n a I λ + ϵ 1 1 n. ai λ+ϵ 1 +ϵ 2 Z k Z k n C1 k n n ai λ+ϵ 1+ϵ 2 n1 ai λ+ϵ 1 +ϵ 2,

1 ai λ + ϵ 1 + ϵ 2 0 Z k Z k 1 Ci k, 1 Cj k i,j [n] i,j [n] i,j [n] i [n] { 1 Ci k, 1 Cj k 1 Ci k 1 Cj k } { Ci k, Cj k Ci k 2 } { Ci k Ci k } 2 + { Ci k, Cj k Ci k } 2 Ci k, Cj k i,j [n] i j Ci k, Cj k Ci k, Cj k, i j + Ci k, Cj k, i j Ci k, i j + Ci k, Cj k, i j Ci k, Cj k, i j Ci k, Cj k, i j i [n] n C i k, C j k, i j lk n C i l C j k, i j C i l lk n C i l C j k ER n l p lk n C i l C j k ER n p lk Cj k n Ci l Cj k Ci k Z k { Ci k Ci k } 2 + Ci k, j j i,j [n] i [n] lk Ci k, j j 1 Ci k Ci n i,j [n] i,j [n] i j 1 Ci k 1 i j Ci 1 C1 k

X N k N X 1 X k k X k + jk+1 X 1 X k 1 j X 1 X k j1 j1 j1 j1 X j. 1 X k j k X 1 X k X k j X k + X j k X k + jk+1 jk+1 X j. Z kn n k n C1 k n + n k n k n 1I λ + jk n +1 jk n+1 n I λ k n k ni λ + k ni λ 1 I λ c λ n k n kni λ C1 j j 1I λ c λ n a n n a I λ c λ a n 1 Iλ n ϵ Z k n 0 c λ a n 1 Iλ n a c λ n n 1 ai λ ϵ 2 n 1 ai c λ 2ϵ n δ 0. ER n p p λ/n λ > 1 λ 1

λ > 1 1. 2. C max n P ζ λ Poissonλ. C max ζ λ n n d N0, σ 2 λ, σ 2 λ ζ λ1 ζ λ 1 λ + λζ λ. λ 1 λ n 1 + θ/n 1/3, θ R C max n 2/3 b > 0 ω > 1 1 λn ω C max ω 1 b n 2/3 ω λn Cmax n 2/3 / I ω b ω, I ω [ ] 1 ω, ω. ER n p X t t I I I N I [0, ] [0, λ > 0 T i i 1 T i λ S i T 1 +... + T i X t {i 1 : S i t} X t Bt t 0 R B n 1 t 1,..., t n R 0 t 1 < t 2 <... < t n Bt 1, Bt 2 Bt 1,..., Bt n Bt n 1 s, t R 0 s < t Bt Bs N0, t s t Bt B0 0

B0 B0 x 1 B x x x B X t Bt B0, t R B0 1 X 1 W Bt X + W t B B 0 t 1 < t 2 <... < t n Bt 1, Bt 2,..., Bt n t 0 0 X k Bt k Bt k 1, k 1,..., n X 1,..., X n X k N0, t k t k 1, k 1,..., n Bt k X 1 +... + X k Bt 1 Bt 2 Bt n 1 0 0... 0 1 1 0... 0 1 1 1... 1 X 1 X 2 X n 1 0 0... 0 1 1 0... 0 1 1 1... 1 t1 t 0 Z 1 t2 t 1 Z 2 tn t n 1 Z n Z 1,..., Z n N0, 1 X 1,..., X n,

x R B0 x s, t 0 Bs, Bt s t s t Bs, Bt Bt t s t Bt B0 N0, t Bt Nx, t s < t Bs, Bt Bs, Bs + Bt Bs Bs, Bs + Bs, Bt Bs s + 0 s s t. n 1 a 1,..., a n R 0 t 0 < t 1 <... < t n B X a 1 Bt 1 +...+a n Bt n Nµ, σ 2 µ 0 σ 2 X 1 Bt 1 X i Bt i Bt i 1 N0, t i t i 1, 2 i n Bt i X 1 + X 2 +... + X i X a 1 X 1 + a 2 X 1 + X 2 +... + a n X 1 +... + X n X 1 a 1 +... + a n + X 2 a 2 +... + a n +... + X n a n n n X i a j i1 ji X Nµ, σ 2 µ 0 σ 2 { n n 2 } a j X i σ 2 i1 ji { n n } a j 2t i t i 1 i1 ji r, s, t R 0 r < s < t B Bs Br Br, Bt Nµ, σ 2 µ s r t r y x σ2 s r t r t s x Br y Bt Z Bs Br W Bt Bs Z Br, Bt Z Br, Bt Br Z Bt Br Z Z + W, Z Bs Br Br

f Z,Z+W a, b f Z af W b a hz, W Z, W f Z, W a, b f Z,W h 1 a, b h 1 a, b h 1 a, b h 1 a, b f Z Z+W y+x z f Z Z+W z, y x f Z+W y x 1 1 z 2 2 s r 1 2πs r... f Zzf W y x z f Z+W y x 2πt s 1 2 2πt r 1 y x 2 2 t r 1 2π s rt s t r z µ 2 2σ 2 y x z 2 t s... 0 r < s < t s t+r 2 Br x Bt y Bs Br Br, Bt Nµ, σ 2, µ 1 2 y x σ2 1 t r 4 Bs Br, Bt x + y N, 1 2 4 t r Br + Bt 2 t r + Z, Z N0, 1. 4 B 1 N0, 1 D n { k 2, k 0, 1..., 2 n } n Bd Bs Bd + 1 2 Bt d D n n 1 B t+s 2 t + s Bt + Bs 1 B Bt, Bs + Z, Z N0, 1. 2 2 2 n+1/2 {Z t : t } D n Z t N0, 1 n 1 B0 0 B0 Z 1 B D n 1 d D n \D n 1 d 1 2, d 1 n 2 n D n 1 F 0 t Bd Bd 2 n + Bd + 2 n 2 Z 1, t 1 0, t 0, t 0, 1 1 + 2 Z n+1/2 d Z t, t 1 2 n+1/2 F n t 0, t 0, D n

t D n Bt n k0 F k t F k t B [0, 1] k0 B k [0, 1] Bt B 1 1 + B 2 1 +... + B k 1 + B k+1 t k, t [k, k + 1, k 0. B B B : Ω C[0, B C[0, f n, f C[0, f n f C[0, k > 0 f n [0,k] f [0,k] df, g n0 1 f g [0,n] 2 f B B A BC[0, B A B A.

Bt t 0 F t σ {Bs : s [0, t]} F t t t 0 0 Xt Bt + t 0 Bt 0, t 0 X X F t0 0 s 1 < s 2 <... < s n Xs 1, Xs 2 Xs 1,..., Xs n Xs n 1 Bt 0 + s 1 Bt 0, Bt 0 + s 2 Bt 0 + s 1,..., Bt 0 + s n Bt 0 + s n 1 B 0 s < t Xt Xs Bt 0 + t Bt 0 + s N0, t s X 1 t 0 0 F 0 σ B0 F t0 σ {Bs : s [0, t 0 ]} X F t0 n, l N 0 s 1 <... < s n t 0 0 r 1 <..., r l Bs1, Bs 2,..., Bs n Bt0 + r 1 Bt 0,..., Bt 0 + r l Bt 0 Bt t t 0 F t0 d Bt t t 0 Bt 0 c 0 B Xt d 1 c B c 2 t, t 0 B d B 0 t 0 < t 1 <... t n Xt0, Xt 1 Xt 0,..., Xt n Xt n 1 1 c Bc2 t 0, 1 c Bc2 t 1 1 c Bc2 t 0,..., 1 c Bc2 t n 1 c Bc2 t n 1 1 c Bc 2 t 0, Bc 2 t 1 Bc 2 t 0,..., Bc 2 t n Bc 2 t n 1

0 s < t Xt Xs 1 c Bc 2 t Bc 2 s N 0, 1 c c 2 t s 2 N 0, t s. X 1 X0 1 c Bc2 0 B0 0 Xt c 1 B d B B a 0 T B a {t 0 : Bt a}. T B a a 2 T B 1. X a t 1 a Ba2 t, t 0 X a t 1 Ba 2 t a T X a 1 1 a 2 T a B Ta B a 2 T X a d 1 a 2 T1 B d X a B. { 0, t 0 B Xt t B 1 t, t > 0 Xt, Xs s t, s, t 0 Xt 1, Xt 2,..., Xt n T Xt Xt, Xs s t Xt, Xs 1 1 1 1 s B, t B st 1 B, B st s t s t s 1 t s. t 1 t B Bt X0 0 0. t 0 t t t 0 B T + {t > 0 : Bt > 0} T {t > 0 : Bt < 0}. T + T 0 1

a > 0 T + d a 2 T + X a t 1 a Ba2 t T + X 1 a T + 2 B x > 0 a > 0 T + > x a 2 T + > x T + > xa 2 a 0 + T + > x T + T 1 0. T + 0 1 T 0 1 B d B {t > 0 : Bt 0} 0 1 Z {t > 0 : Bt 0} 1 λz 0 λ Z Z B 1 0 B λz 1 Bs0 ds 1 Bs0 ds Bs 0 ds 0 }{{} 0 0 0 N0,s λz 0 1. 1 Bt + Bt. t t Bn n +, 1. k > 0 A n { n B n k } A n n A n B1 k > 0. { A n Bn } k C n 1 n σ X n+1, X n+2,..., n1

X i i 1 X i Bi Bi 1 n 0 N Bn n X 1 +... + X n X 1 +... + X n X n0 +1 +... + X n n n n n n { Bn } k σ X n0 +1, X n0 +2,... n { Bn } k C. n Bn k 1, k N n }{{} C k C k 1 C k Bn n k + k1 k1 T 1 < 1 {t : Bt 0} 1

t 0 > 0 B B t }{{} 0 0 A t0 Xt Bt 0 + t Bt 0 ω A t0 δω > 0 Xt 0, t [0, δ T X {t > 0 : Xt < 0} δ > 0 T X > 0 0 A t0 {T X > 0} A t 0 0 B 0 B t > 0, t B 1 }{{} A c t t > 0, t B 0. }{{} t>0 Ac t t 0 > 0 B B t }{{} 0 1 C t0 t > 0, B t 1 }{{} t>0 Ct d 1 B 1, B 2,..., B d Bt B 1, B 2,..., B d T, t 0 B0 0 R d B X i i 1 X 1 0 X 1 1 X 1 1 X 1 1 1/2 S 0 0 S n X 1 +... + X n, n 1

{ Sx, x N Sx, x k, k + 1 k N. n 1 S n : [0, R S nt Snt n. S n C[0, X n n 1 X X n X X n x X x x R F X fx n fx f : R R C[0, f n, f : [0, R f n f u.c. f n f f f n [0,k] 0, k > 0 n df, g n1 1 2 n { { fx gx : x [0, n]} 1 }. F : C[0, R F f f1 f n f [0,1] 0 f n 1 f1 n 0 u.c. f f n S n F : C[0, R F n S n F B, B. S n n N0, 1, X 1 0 X 1 1 Sn n g gz, g : R R Z N0, 1 n g : R R F : C[0, R F f g f1 F f n u.c. f f n 1 f1 g f n 1

g f1 g S n1 n g B1 g B1 N0, 1 Sn g B1 n S n n 0 n I n 1 n S 2 2 k, n 1 I n 1 0 k1 Bt 2dt B S tn n Bt t k n 1 n n k1 Sk n 2 1 n S n k1 k k B n n k B n 2 g : R R 1 2 gi n g Bt dt. 1 g F : C[0, R F f g f 2 t dt. 0 u.c. F f n f 1 1 1 fnt 2 dt f 2 t dt g fnt 2 dt g 0 1 F B g B 2 t dt 0 1 F Sn F B g 0 0 0 0 1 B 2 t dt gi n F Sn n 0 1 gi n g S n t 2 n dt 0 0 0 f 2 t dt

S n n 0 x R 1 n S k < x 1 k n t [0,1] Bt < x S k k B n n k B < x 1 k n n F : C[0, R F f 1 {ft:t [0,1]}<x D F { f : F f } { f : {ft : t [0, 1]} x }. f C[0, {ft : t [0, 1]} x F f u.c. f n f F [0,1] < x n f n [0,1] < x F f n 1 1 F f F [0,1] > x n f n [0,1] > x F f n 0 0 F f f D F X n n 1, X X n X F X n F X F : X R X D F 0 D F F B D F 0 B D F {Bt [0, 1]} x 0. A + n {k n : S k 0} A n Z {t [0, 1] : Bt 0} n S k S n k n n S k k n B n n F f {t : ft 0}

Bt d F t σ {Bs : s [0, t]} T : Ω [0, ] T F t {T t} F t, t 0. d 1 T {t > 0 : Bt 3} {T t} { s t : Bs 3} F t T T F T T F T F T { A F : A {T t} F t, t }. B T T < 1 BT + t Bt t T F T B {t 1 : Bt 0} T B1 0 0 T < 1 1 T X t BT +t Bt X t 0, t 0, 1 T B T T < 1 ˆBt { Bt, t [0, T ] 2 BT Bt, t T B 1 B [0,T ], B 2 BT + t Bt, t 0 B 2 B 2 d B 2 B B 1, B 2 ˆB B 1, B 2 Mt { Bs : s [0, t] } t, a > 0 Mt > a 2 Bt > a Bt > a. T a {t > 0 : Bt a} {T a t} F t {T a t} { Bq > a 1 }. n n 1 q [0,t] Q

{ ˆBt Bt, t [0, Ta ] 2 a Bt, t T a Mt > a Mt > a, Bt > a + Mt > a, Bt < a + Mt > a, Bt a Bt > a + ˆBt > a 2 Bt > a Mt d Bt, t 0 Mt t 0 Bt t 0 Mt t 0 Bt t 0