E5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II

E5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II 1.Εισροές-Συντελεστές παραγωγής.εκροές-παραγόμενα προιόντα 3.Εξωτερικότητες 4.Εισροές-Καταναλωτικά αγαθά 5.Καμπύλες αδιαφορίας 6.Βελτιστοποίηση Σε μια παραγωγική διαδικασία διακρίνουμε τις εισροές (input) που αφορούν τους συντελεστές παραγωγής (factors of production), και τις εκροές (output) που αφορούν τα παραγόμενα προϊόντα (products). Στα προηγούμενα κεφάλαια ασχοληθήκαμε με προβλήματα στα οποία εμφανίζονταν μόνο μια εισροή που ήταν η δαπάνη Cκαι μόνο μια εκροή που ήταν η παραγόμενη ποσότητα Q. Σε πιο πρωταρχικό στάδιο ως εισροές εμφανίζονται οι διάφοροι συντελεστές που χρησιμοποιούνται στην παραγωγή. Αντίστοιχα ως εκροές μπορεί να εμφανίζονται περισσότερα του ενός παραγόμενα προιόντα. Εδώ θα ασχοληθούμε με προβλήματα στα οποία εμφανίζονται περισσότερες εισροές ή περισσότερες εκροές, οπότε μπορούμε να έχουμε υποκατάσταση (substitution) μεταξύ συντελεστών ή μεταξύ παραγόμενων προϊόντων. Ειδικά θα μελετήσουμε τις ιδιότητες μονοτονίας και κυρτότητας για συναρτήσεις: α) παραγωγής με δύο συντελεστές παραγωγής ως εισροές: Q(,) β) κόστους με δύο παραγόμενα προιόντα ως εκροές: C(,) γ) χρησιμότητας στην κατανάλωση δύο αγαθών: U(,) 1. Εισροές-Συντελεστές παραγωγής Θεωρούμε την παραγωγή Q ως συνάρτηση δύο συντελεστών παραγωγής, τούς οποίους συμβατικά θα αποκαλούμε κεφάλαιο (capital) και εργασία (labor) αντίστοιχα: Q= Q(,) με, με αντίστοιχες μερικές παραγώγους: Q Q =, οριακό προϊόν κεφαλαίου (marginal product of capital) Q Q =, οριακό προϊόν εργασίας (marginal product of labor) Οι εξισώσεις υποκατάστασης τις οποίες ορίζουν οι ισοσταθμικές της συνάρτησης παραγωγής καλούνται εξισώσεις ισοπαραγωγής (isoquant): Q(,) = q Είναι οι συνδυασμοί κεφαλαίου και εργασίας που δίνουν την ίδια παραγωγή q. Ιδιότητες της συνάρτησης παραγωγής Q(,) Μια συνάρτηση παραγωγής έχει συνήθως τις παρακάτω ιδιότητες μονοτονίας και κυρτότητας. 1. Είναι γνήσια αύξουσα με γνήσια θετικά οριακά προϊόντα, δηλαδή κάθε αύξηση στη συμμετοχή ενός συντελεστή οδηγεί σε γνήσια μεγαλύτερη παραγωγή: Q >, Q >. Ορίζει αρνητικό και φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης μεταξύ των δύο συντελεστών, δηλαδή για σταθερή παραγωγή, κάθε αύξηση στη συμμετοχή του ενός συντελεστή υποκαθιστά όλο και μικρότερη μείωση στη συμμετοχή του άλλου. Η συνάρτηση υποκατάστασης είναι φθίνουσα κυρτή: = () με (), () Q(,) = q = () με (), () 3. Είναι οιονεί κοίλη, με κυρτές τις πάνω σταθμικές, δηλαδή οι ενδιάμεσοι συνδυασμοί των συντελεστών παραγωγής είναι περισσότερο παραγωγικοί από τους ακραίους συνδυασμούς. 4. Είναι κοίλη, με συνολικά φθίνον οριακό προϊόν. Ειδικότερα: Q, Q Παρατήρηση. Αναλυτικά, η ιδιότητα 3 της οιονεί κοιλότητας εκφράζεται με πλαισιωμένο Εσσιανό πίνακα, δηλαδή θετική πλαισιωμένη Εσσιανή ορίζουσα: Hɶ Δɶ = Hɶ = Q Q + Q Q Q Q Q Q Q Q 1 αρνητικά ημιορισμένο Αντίστοιχα, η ισχυρότερη ιδιότητα 4 της κοιλότητας εκφράζεται με αρνητικά ημιορισμένο Εσσιανό πίνακα: H Q, Q, Δ = H = Q Q Q Q Q Q Πολλές από τις παραπάνω ιδιότητες σχετίζονται μεταξύ τους. Π.χ. {1,} {1,3}, μια αύξουσα συνάρτηση έχει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης είναι οιονεί κοίλη. 4 3, μια κοίλη συνάρτηση είναι και οιονεί κοίλη.

Συναρτήσεις παραγωγής με τις παραπάνω ιδιότητες θα καλούνται κανονικές. Ειδικότερα οι γραμμικές, με επίπεδα γραφήματα και ευθείες ισοσταθμικές, θεωρούνται κανονικές. Στη γενική περίπτωση τα γραφήματα έχουν την παρακάτω μορφή: Q Q= q Q Q(,) q Q= Q(,) Q(,) q συνάρτηση παραγωγής καμπύλη ισοπαραγωγής Δίνουμε παρακάτω τις καμπύλες ισοπαραγωγής τριών βασικών τύπων: Γραμμική: Q= α+ β. Π.χ. ενέργεια παράγεται με πετρέλαιο ή με λιγνίτη. Αν μια μονάδα πετρελαίου παράγει α μονάδες ενέργειας και μια μονάδα λιγνίτη παράγει β μονάδες ενέργειας, τότε με {,} μονάδες αντίστοιχα θα παράγονται Q= α+ β μονάδες ενέργειας. Λέμε ότι οι εισροές είναι πλήρως υποκατάστατες, με καμπύλες ισοπαραγωγής ευθείες και ρυθμό υποκατάστασης σταθερό: d α Q = α + β = q αd + βd = d = β 1 επιπλέον μονάδες πετρελαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α /β μονάδες λιγνίτη. Πράγματι: 1/α επιπλέον μονάδες πετρελαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) 1/β μονάδες λιγνίτη, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, 1 μονάδα αύξησης, στην παραγόμενη ενέργεια. β επιπλέον μονάδες πετρελαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α μονάδες λιγνίτη, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, αβ μονάδες αύξησης, στην παραγόμενη ενέργεια. eontief min: Q = min{ /α, /β} Π.χ. αν για την παραγωγή μιας μονάδας χάλυβα απαιτούνται α μονάδες σιδήρου και β μονάδες άνθρακα, τότε με {,} μονάδες σιδήρου και άνθρακα αντίστοιχα θα παράγονται Q= min{ / α, / β} μονάδες χάλυβα. Λέμε ότι οι δύο εισροές είναι πλήρως συμπληρωματικές, με την έννοια ότι χρησιμοποιούνται σε σταθερή αναλογία με ρυθμό υποκατάστασης μηδενικό ή άπειρο, δηλαδή χωρίς δυνατότητα υποκατάστασης: /α αν /α /β d αν /α /β Q= min, = = α β /β αν /β /α d αν /β /α α β Cobb-Douglas (C-D): Q=. Τώρα {α,β} είναι οι ελαστικότητες του κεφαλαίου και της εργασίας στην παραγωγή. Δηλαδή: 1% αύξηση του κεφαλαίου προκαλεί αύξηση της παραγωγής κατά α%, 1% αύξηση της εργασίας προκαλεί αύξηση της παραγωγής κατά β%. Για τον ρυθμό υποκατάστασης των συντελεστών βρίσκουμε: d Q α d / α %d α = = = = d Q β d / β %d β 1% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) (α /β)% μονάδες εργασίας. Πράγματι: (1/α)% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) (1/β)% μονάδες εργασίας, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, 1% αύξηση, στην παραγόμενη ενέργεια. /α= /β

β% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α% μονάδες εργασίας, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, αβ% αύξηση, στην παραγόμενη ενέργεια. Καμπύλες Ισοπαραγωγής (CES). Δίνουμε παρακάτω τις καμπύλες ισοπαραγωγής κάποιων βασικών συναρτήσεων παραγωγής, με χαρακτηριστικές ιδιότητες. Αρχίζουμε με πλήρως συμπληρωματικούς συντελεστές παραγωγής (eontief min) και καταλήγουμε σε πλήρως υποκατάστατους (γραμμικές), περνώντας από ενδιάμεσους βαθμούς συμπληρώματικότητας και υποκατάστασης. eontief Cobb-Douglas Γραμμική min{ /α, /β} ρ ρ 1 (α + β ) :ρ< 3 α β + < < α+ β ρ ρ α β, ρ 1 Είναι όλες ομογενείς και ανήκουν στην ειδική κατηγορία των συναρτήσεων με Σταθερή Ελαστικότητα Υποκατάστασης (CES) Παράδειγμα. Δίνουμε και ένα παράδειγμα μη κανονικής συνάρτησης παραγωγής. Υποθέτουμε ότι η παραγωγή ενός προϊόντος μπορεί να γίνει με δύο διαφορετικές διαδικασίες και αντίστοιχες συναρτήσεις παραγωγής: Q = (1,3) Q1 = +, Q = + 3 Αν για κάθε συνδυασμό (,) χρησιμοποιείται η διαδικασία που δίνει = / την μεγαλύτερη παραγωγή, τότε η συνάρτηση παραγωγής θα είναι: Q 1= (,1) Q1 = + αν + + 3 Κ / Q= max{q 1,Q } = Q = + 3 αν + 3 + / Η συνάρτηση είναι κανονική ως προς την μονοτονία αλλά όχι ως προς την κυρτότητα. Τώρα οι κάτω σταθμικές, αντί των πάνω, είναι κυρτές και επομένως ακραίοι συνδυασμοί των συντελεστών είναι περισσότερο παραγωγικοί, όπως διαπιστώνουμε και γραφικά στο παραπάνω γράφημα.. Εκροές-Παραγόμενα προϊόντα Θεωρούμε μια σύνθετη παραγωγική διαδικασία με δύο παραγόμενα προϊόντα σε ποσότητες {,} με κόστος παραγωγής: C= C(, ) όπου, και με αντίστοιχα οριακά κόστη (marginal cost): C C {C =, C = } Οι εξισώσεις υποκατάστασης που ορίζουν οι ισοσταθμικές της συνάρτησης κόστους καλούνται εξισώσεις ισοκόστους (isocost): C(, ) = c Αποτελούνται από τους συνδυασμούς των δύο προϊόντων που έχουν σταθερό κόστος παραγωγής c. Ιδιότητες της συνάρτησης κόστους C(,) Μια συνάρτηση κόστους έχει συνήθως τις παρακάτω ιδιότητες μονοτονίας και κυρτότητας: 1. Είναι γνήσια αύξουσα με γνήσια θετικά οριακά κόστη, δηλαδή κάθε επιπλέον παραγωγή ενός προιόντος κοστίζει γνήσια περισσότερο: C >, C >. Ορίζει αρνητικό και αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης, δηλαδή για σταθερό κόστος, κάθε αύξηση στην παραγωγή ενός προϊόντος απαιτεί όλο και μεγαλύτερη μείωση στην παραγωγή του άλλου. Αναλυτικά, η συνάρτηση υποκατάστασης μεταξύ των δύο προιόντων θα είναι φθίνουσα κοίλη: Υ= Υ(Χ) με () <, () C(, ) = c Χ= Χ(Υ) με () <, () 3. Είναι οιονεί κυρτή, με κυρτές τις κάτω σταθμικές, δηλαδή οι ενδιάμεσοι συνδυασμοί των παραγόμενων προϊόντων έχουν μικρότερο κόστος από τους ακραίους 4. Είναι κυρτή με συνολικά αύξοντα οριακά κόστη. Ειδικότερα: C, C Παρατήρηση. Αναλυτικά, η ιδιότητα 3 της οιονεί κυρτότητας εκφράζεται με θετικά ημιορισμένο πλαισιωμένο Εσσιανό πίνακα, δηλαδή αρνητική πλαισιωμένη Εσσιανή ορίζουσα:

Hɶ Δɶ = Hɶ = C C + C C C C C C C C Αντίστοιχα, η ισχυρότερη ιδιότητα 4 της κυρτότητας εκφράζεται με θετικά ημιορισμένo Εσσιανό πίνακα: H C, C, Δ = H = C C C C C C Πολλές από τις παραπάνω ιδιότητες συνδέονται μεταξύ τους όπως ακριβώς για τις συναρτήσεις παραγωγής. Για συναρτήσεις κόστους με τις παραπάνω ιδιότητες θα λέμε ότι είναι κανονικές. Ειδικότερα οι γραμμικές με επίπεδα γραφήματα και ευθείες ισοκόστους θεωρούνται κανονικές. Στη γενική περίπτωση η συνάρτηση κόστους και οι καμπύλες ισοκόστους έχουν την παρακάτω μορφή. C C= c C C c C= C(, ) C(, ) = c συνάρτηση κόστους καμπύλη ισοκόστους Στη συνέχεια δίνουμε και τις καμπύλες ισοκόστους για κάποιες ειδικές συναρτήσεις κόστους. Γραμμική: C= α+ β Π.χ. μια έκταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για παραγωγή γεωργικού προιόντος ή κτηνοτροφικού προιόντος. Αν μια μονάδα γεωργικού προιόντος χρειάζεται α μονάδες έκτασης και μια μονάδα κτηνοτροφικού προιόντος χρειάζεται β μονάδες έκτασης, τότε για παραγωγή {,} μονάδων αντίστοιχα χρειάζονται C= α+ β μονάδες έκτασης. Παρατηρούμε ότι το κόστος αναφέρεται γενικά σε πόρους που δεν είναι απαραίτητα χρήμα. Λέμε ότι οι δύο εκροές είναι πλήρως υποκατάστατες, με καμπύλες ισοκόστους ευθείες και ρυθμό υποκατάστασης σταθερό: d α C = α + β = c αd + βd = d = β 1 επιπλέον μονάδα κτηνοτροφίας είναι ισοδύναμη με (υποκαθιστά) α /β μονάδες γεωργίας. 1/α επιπλέον μονάδες κτηνοτροφίας είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) 1/β μονάδες γεωργίας. Ισοδύναμες σημαίνει ότι απαιτούν την ίδια επιπλέον έκταση. eontief max:c = max{ /α, /β}. Π.χ. αν μια μονάδα κάποιας τροφής παρέχει στον οργανισμό α μονάδες θερμίδων και β μονάδες βιταμινών, τότε για την πρόσληψη {,} μονάδων θερμίδων και βιταμινών αντίστοιχα απαιτούνται C= max{ /α, /β} μονάδες της τροφής. Λέμε ότι οι δύο εκροές είναι πλήρως συμπληρωματικές, με την έννοια ότι παράγονται σε σταθερή αναλογία με ρυθμό υποκατάστασης μηδενικό ή άπειρο, δηλαδή χωρίς δυνατότητα υποκατάστασης: /α αν /α /β d αν /α /β Q= max, = = α β /β αν /β /α d αν /β /α Παρατήρηση. Δίνουμε παρακάτω τις καμπύλες ισοκόστους κάποιων βασικών συναρτήσεων κόστους. Αρχίζουμε με πλήρως υποκατάστατα προιόντα (γραμμική) και καταλήγουμε σε πλήρως συμπληρωματικά (eontief max), περνώντας από ενδιάμεσους βαθμούς υποκατάστασης και συμπληρωματικότητας. Είναι όλες ομογενείς και ανήκουν στην κατηγορία των συναρτήσεων με Σταθερή Ελαστικότητα Υποκατάστασης (CES) γραμμική τετραγωνική eontief α+ β ρ ρ α + β,1< ρ< + ρ ρ α β,ρ + > max{ /α, /β} 4

Παράδειγμα. Δίνουμε και ένα παράδειγμα μη κανονικής συνάρτησης κόστους. Δύο προϊόντα παράγονται σε ποσότητες {,} με δύο διαφορετικές διαδικασίες, και αντίστοιχο κόστος: C1 = +, C = + 3 C 1= (,1) Αν χρησιμοποιείται κάθε φορά η διαδικασία με το μικρότερο κόστος, η τελική C = (1,3) συνάρτηση κόστους θα είναι : C1 = + αν + + 3 / C= min{c 1,C } = / = C = + 3 αν + 3 + / Η συνάρτηση είναι κανονική ως προς την μονοτονία αλλά όχι ως προς την κυρτότητα. Οι πάνω σταθμικές, αντί των κάτω, είναι κυρτές και επομένως ενδιάμεσοι συνδυασμοί των {,} έχουν μεγαλύτερο κόστος από τους ακραίους, όπως διαπιστώνουμε στο γράφημα. 3. Εξωτερικότητες Τα παραγόμενα προϊόντα δεν είναι πάντοτε «αγαθά». Π.χ. στη διαδικασία παραγωγής ενός προϊόντος, εκτός από το παραγόμενο αγαθό {} μπορεί να έχουμε και παραγωγή ρύπου {} που είναι «μη αγαθό». Αύξηση του ρύπου συνοδεύεται από μείωση του κόστους, π.χ. λόγω μη χρήσης αντιρρυπαντικής τεχνολογίας. Σαυτή την περίπτωση η συνάρτηση κόστους: C= C(, ), θα έχει γενικά τις παρακάτω ιδιότητες, όπως φαίνεται και στο πρώτο γράφημα του παρακάτω σχήματος. 1. Είναι μη κανονική ως προς την μονοτονία, και η καμπύλη ισοκόστους θα έχει θετική κλίση: {C >, C < } d C d = C > Αντί υποκατάστασης έχουμε αντιστάθμιση. Αυξάνοντας την παραγωγή αλλά και τον παραγόμενο ρύπο, μπορεί να κρατηθεί το κόστος σταθερό.. Είναι κανονική ως προς την κυρτότητα. Είναι και οιονεί κυρτή, με την κάτω σταθμική C c κυρτή, οπότε ενδιάμεσοι συνδυασμοί παραγωγής και εκπομπής ρύπων έχουν μικρότερο κόστος από τους αντίστοιχους ακραίους συνδυασμούς. Έχει συνήθως αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης (αντιστάθμισης) της παραγωγής από τον ρύπο, με την έννοια ότι για σταθερό κόστος κάθε επιπλέον αύξηση της παραγωγής συνοδεύεται από όλο και μεγαλύτερη αύξηση του παραγόμενου ρύπου. Παρατήρηση 1. Η αύξηση της παραγωγής ρύπου συνεπάγεται μείωση κόστους στην παραγωγή αλλά συνήθως συνοδεύεται από αυξημένο κόστος σε άλλες «γειτονικές» δραστηριότητες. Οι αλληλοεπιδράσεις αυτές ονομάζονται εξωτερικότητες (externalities).. Αν αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή του ρύπου που είναι μη αγαθό με το αρνητικό του Z= = Z που είναι αγαθό, τότε η συνάρτηση κόστους θα είναι κανονική και ως προς τη μονοτονία και ως προς την κυρτότητα, αλλά τώρα θα ορίζεται στο αρνητικό του κατακόρυφου ημιάξονα, όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα παρακάτω. Π.χ. C= C= + Z με, Z C c Z C C c C C= = c, {C >, C < } μη κανονικές καμπύλες ισοκόστους C= + Z= c, Z, {C >, CZ > } 5

4. Εισροές-Καταναλωτικά αγαθά Η απλή συνάρτηση χρησιμότητας U= U(C) που μελετήσαμε σε προηγούμενη ενότητα προκύπτει στην πραγματικότητα ως αποτέλεσμα βέλτιστης κατανάλωσης αγαθών που μπορούν να αποκτηθούν για το συγκεκριμένο επίπεδο δαπάνης C. Σε πρωταρχικό στάδιο η χρησιμότητα εκφράζεται ως συνάρτηση των ποσοτήτων κατανάλωσης διαφόρων αγαθών, σε αντιστοιχία με τους συντελεστές στην παραγωγή. Στη θεωρία κατανάλωσης τον βασικό ρόλο παίζει η έννοια της «προτίμησης». Έτσι για δύο αγαθά θεωρούμε ότι μεταξύ των διαφόρων συνδυασμών κατανάλωσης {,} υπάρχει μια σχέση προτίμησης, για την οποία υποθέτουμε ότι εκφράζεται μέσω μιας συνάρτησης χρησιμότητας (utility function) που «μετράει» το παραγόμενο όφελος: U= U(, ) Η συνάρτηση χρησιμότητας καθορίζει μια σχέση προτίμησης (preference relation) μεταξύ των συνδυασμών αγαθών {,}. Οι ισοσταθμικές της συνάρτησης χρησιμότητας καλούνται εξισώσεις αδιαφορίας (indifference): U(, ) = u Ο καταναλωτής είναι αδιάφορος (indifferent) μεταξύ συνδυασμών που βρίσκονται στην ίδια ισοσταθμική, ενώ προτιμάει (prefers) τους συνδυασμούς που βρίσκονται στη αντίστοιχη πάνω σταθμική. Γράφουμε: (x,y ) (x,y ) U(x,y ) = U(x,y ), συνδυασμοί με την ίδια προτίμηση 1 1 1 1 (x 1,y 1) (x,y ) U(x 1,y 1) > U(x,y ), ο πρώτος συνδυασμός είναι (γνήσια) προτιμότερος Γενικά η συνάρτηση χρησιμότητας έχει ιδιότητες αντίστοιχες της συνάρτησης παραγωγής όπου τα δύο αγαθά αντιστοιχούν στους συντελεστές παραγωγής. Υπάρχουν όμως και διαφορές που οφείλονται κυρίως στο γεγονός ότι η συνάρτηση χρησιμότητας μπορεί να μην εκφράζει κάποιο άμεσα μετρήσιμο μέγεθος. Μάλιστα, αν ο μοναδικός ρόλος της είναι να εκφράζει τη σχέση προτίμησης μεταξύ διαφόρων συνδυασμών, τότε λέμε ότι δύο συναρτήσεις χρησιμότητας U(,) και V(,), είναι μονότονα ή διατακτικά ισοδύναμες (order equivalent), με την έννοια ότι ορίζουν την ίδια σχέση προτίμησης, αν η κάθε μια είναι γνήσια αύξων μετασχηματισμός της άλλης: V= V(U) με V (U) > Έτσι: δύο συναρτήσεις χρησιμότητας είναι ισοδύναμες ως προς τη σχέση προτίμησης αν έχουν τις ίδιες ισοσταθμικές, με την ίδια διάταξη, ανεξάρτητα των τιμών τους. Στο παραπάνω πλαίσιο βασικές θεωρούνται μόνο οι ιδιότητες που διατηρούνται όταν πάρουμε έναν γνήσια αύξοντα μετασχηματισμό της συνάρτησης χρησιμότητας, δηλαδή βασικές θεωρούνται οι ιδιότητες των καμπύλων αδιαφορίας και όχι της ίδιας της συνάρτησης χρησιμότητας. Ειδικότερα: 1. Οι τιμές της χρησιμότητας U, και ειδικά τα πρόσημα της δεν είναι βασικά μεγέθη. Γενικά η συνάρτηση χρησιμότητας μπορεί να έχει και αρνητικές τιμές.. Οι οριακές χρησιμότητες {U,U } είναι βασικές μόνο ως προς τα πρόσημά τους και όχι ως προς τις συγκεκριμένες τιμές τους. Αλλά ο λόγος τους αφορά τον ρυθμό υποκατάστασης μεταξύ των αγαθών και ισούται με την κλίση της ισοσταθμικής που είναι βασικό μέγεθος. Έτσι δύο διατακτικά ισοδύναμες συναρτήσεις χρησιμότητας ορίζουν τον ίδιο ρυθμό υποκατάστασης: V U V= V(U) με V (U) > {Vx = V U x,v = V U } με = V U 3. Οι ιδιότητες κυρτότητας των σταθμικών περιοχών είναι βασικά μεγέθη. Στο παραπάνω πλαίσιο, μια συνάρτηση χρησιμότητας θα λέγεται κανονική ως προς τη σχέση προτίμησης, αν έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 1. Είναι αύξουσα, με θετικά οριακά προϊόντα: U, U. Έχει αρνητικό και φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης: U(,) = u { (), () } & { (), () } 3. Είναι οιονεί κοίλη, με κυρτές τις πάνω σταθμικές, δηλαδή υπάρχει προτίμηση για ενδιάμεσους συνδυασμούς ποσοτήτων κατανάλωσης παρά για ακραίους. Σε πολλές περιπτώσεις η χρησιμότητα ποσοτικοποιείται. Συνήθως ποσοτικοποιείται όχι η ίδια η χρησιμότητα αλλά η διαφορά της από κάποια κατανάλωση αναφοράς: {, }. Σαυτή την περίπτωση η κατανάλωση αναφοράς και η μονάδα μέτρησης της χρησιμότητας συνήθως ορίζονται συμβατικά, οπότε λέμε ότι δύο συναρτήσεις χρησιμότητας U(,) και V(,) είναι γραμμικά ισοδύναμες (linearly equivalent) αν η μια είναι αύξων γραμμικός μετασχηματισμός της άλλης: 6

V= αu+ β με α> Σε κάθε περίπτωση, σε αντίθεση με τις συναρτήσεις παραγωγής, μια συνάρτησης χρησιμότητας μπορεί να έχει και αρνητικές τιμές. Επίσης μπορεί να εμφανίζει και φαινόμενα κορεσμού ενώ μετά από ένα επίπεδο κατανάλωσης το αγαθό μπορεί να γίνεται και βλαβερό με αρνητική οριακή χρησιμότητα. Παρατήρηση. Μια συνάρτηση χρησιμότητας θα είναι μη κανονική ως προς την κυρτότητα, οιονεί κυρτή αντί οιονεί κοίλη, δηλαδή με τις κάτω σταθμικές κυρτές, όταν δύο αγαθά είναι ασυμβίβαστα και δεν συνδυάζονται. Σαυτή την περίπτωση υπάρχει προτίμηση για ακραίους συνδυασμούς, παρά για ενδιάμεσους, δηλαδή υπάρχει προτίμηση για κατανάλωση μόνο του ενός ή μόνο του άλλου. Σαν συνέπεια η συνάρτηση χρησιμότητας θα έχει χαμηλότερες τιμές στους ενδιάμεσους συνδυασμούς, δηλαδή θα είναι οιονεί κυρτή αντί να είναι οιονεί κοίλη. Παράδειγμα 1. Οι συναρτήσεις χρησιμότητας: α β α β U=, V= ln( ) = αln + βln με α>,β> είναι διατακτικά ισοδύναμες ως προς την σχέση προτίμησης, με την έννοια ότι η κάθε μια είναι αύξων μετασχηματισμός της άλλης. Έχουν τις γνωστές ισοσταθμικές των συναρτήσεων τύπου C-D και είναι αμφότερες οιονεί κοίλες, δηλαδή έχουν τις πάνω σταθμικές κυρτές. Αλλά η πρώτη παίρνει μόνο θετικές τιμές ενώ η δεύτερη παίρνει και αρνητικές τιμές.. Θεωρούμε τη συνάρτηση χρησιμότητας: U U = ( 1) + με τις παραβολικές ισοσταθμικές του παραπλεύρως σχήματος: U = ( 1) + = u = u + ( 1) και μερικές παραγώγους: 1 U = 1>, U = (Χ 1) : { < αν Χ> 1, > αν < 1} Το = 1 είναι ποσότητα κορεσμού και γίνεται «μη αγαθό» για > 1. Για 1οι ισοσταθμικές έχουν την συνηθισμένη αρνητική κλίση, ενώ για 1 έχουν θετική κλίση, και αν αυξηθεί η μία κατανάλωση πρέπει να αυξηθεί και η άλλη για αντιστάθμιση. Είναι όμως κανονική ως προς την κυρτότητα, και είναι οιονεί κοίλη με τις πάνω σταθμικές κυρτές. Δηλαδή, υπάρχει προτίμηση για ενδιάμεσους συνδυασμούς κατανάλωσης παρά για ακραίους. Παρατηρούμε επίσης ότι παίρνει και αρνητικές τιμές, με μηδενική ισοσταθμική την παραβολή. U = ( 1) + = = ( 1) Στην πραγματικότητα ένας ορθολογικός καταναλωτής θα καταναλώνει μόνο στην περιοχή: 1, όπου η συνάρτηση είναι κανονική. Παράδειγμα. Ένας εργαζόμενος εργάζεται ώρες ημερησίως, και έχει διαθέσιμο για C κατανάλωση ποσό C ημερησίως, με συνάρτηση χρησιμότητας: U U = 1/(16 ) < U= ln[(16 )C] = ln(16 ) + lnc με 16 UC = 1/ C> Καλείται λογαριθμική χρησιμότητα τύπου Stone-Geary, και έχει τις εξής ιδιότητες 16 μονοτονίας και κυρτότητας, όπως φαίνεται και στο γράφημα: 1. Είναι φθίνουσα (μη αγαθό), αλλά C αύξουσα (αγαθό), με καμπύλες αδιαφορίας: C(16 ) α C α = =, { C, 16 } 16,α> Έχουν θετική κλίση και ορίζουν αντιστάθμιση. Η αύξηση της εργασίας αντισταθμίζεται με αύξηση της κατανάλωσης.. Είναι οιονεί κοίλη με τις πάνω σταθμικές κυρτές, οπότε ενδιάμεσοι συνδυασμοί κατανάλωσης-εργασίας είναι προτιμότεροι από ακραίους όπου η εργασία και η κατανάλωση είναι αμφότερα πολύ μικρά ή αμφότερα πολύ μεγάλα. 3. Καθώς η εργασία αυξάνει πλησιάζοντας ασυμπτωτικά το πάνω όριο 16, όλο και περισσότερη κατανάλωση απαιτείται για να αντισταθμίσει επιπλέον εργασία. Δηλαδή έχει αύξοντα ρυθμό αντιστάθμισης της εργασίας με κατανάλωση. Κάθε επιπλέον αύξηση της εργασίας αντισταθμίζεται με όλο και μεγαλύτερη αύξηση της κατανάλωσης. C Παρατήρηση. Αν αντί της εργασίας που είναι μη αγαθό, χρησιμοποιήσουμε την U σχόλη: T= 16, T 16 T που είναι αγαθό, τότε η συνάρτηση χρησιμότητας παίρνει κανονική μορφή: 16 7

U = 1/ T> U= ln[tc] = ln T+ lnc με C, T 16 UC = 1/ C> και οι καμπύλες αδιαφορίας έχουν το γνωστό σχήμα παραπλεύρως. 5. Καμπύλες αδιαφορίας Θα εξετάσουμε ορισμένες χαρακτηριστικές ιδιότητες των καμπύλων αδιαφορίας που αφορούν κυρίως τον ρυθμό υποκατάστασης μεταξύ των αγαθών: d Ux U(, ) = u d = U y Υποθέτουμε κανονική συνάρτηση χρησιμότητας, αύξουσα με φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης. Εξετάζουμε παρακάτω τρεις περιπτώσεις με τα αντίστοιχα γραφήματα όσον αφορά τον τρόπο που η καμπύλη αδιαφορίας πλησιάζει τον άξονα καθώς μειώνεται η συμμετοχή του αγαθού. 1. Η καμπύλη αδιαφορίας τέμνει τον άξονα, που σημαίνει ότι το αγαθό μπορεί να υποκατασταθεί πλήρως από το αγαθό. Ο ρυθμός υποκατάστασης μπορεί να τείνει στο μηδέν όπως στο πρώτο γράφημα ή να παραμένει φραγμένος από κάτω όπως στο δεύτερο γράφημα.. Η καμπύλη αδιαφορίας δεν τέμνει τον άξονα, οπότε το αγαθό δεν μπορεί να υποκαταστήσει πλήρως το αγαθό. Καθώς το μειώνεται η διατήρηση της χρησιμότητας απαιτεί απεριόριστη αύξηση της συμμετοχής του. Σαυτή την περίπτωση μπορεί η συμμετοχή του να τείνει οριακά στο μηδέν όπως στο τρίτο γράφημα ή να απαιτείται πάντοτε μια ελάχιστη ποσότητα yόπως στο τέταρτο γράφημα. Υ Υ Υ Υ Χ Χ Χ y Χ καμπύλες αδιαφορίας Παράδειγμα6. Θεωρούμε τις καμπύλες αδιαφορίας των παρακάτω συναρτήσεων χρησιμότητας στη θετική περιοχή: {, }. 1. U= +. Έχει καμπύλες αδιαφορίας όπως στο πρώτο γράφημα ως προς αμφότερα τα αγαθά. 1 1 1. U = ( + ). Έχει καμπύλες αδιαφορίας όπως στο τέταρτο γράφημα, ως προς αμφότερα τα αγαθά. α β 3. U= ln( x ) ( y ) = αln( x ) + βln( y ). Έχει καμπύλες αδιαφορίας τις υπερβολές: α β ( x ) ( y ) = c, με ασύμπτωτες τις ευθείες: = y, = x Με κατάλληλη επιλογή του πρόσημου των {x,y }, μπορούμε να πετύχουμε οιαδήποτε από τις συμπεριφορές στα παραπάνω τελευταία τρία γραφήματα. 6. Βελτιστοποίηση Στην παραγωγή και στην κατανάλωση εμφανίζονται διάφορα προβλήματα βελτιστοποίησης, ως εξής: 1. Σε μια απλή παραγωγική διαδικασία χρησιμοποιούνται δύο συντελεστές παραγωγής {,} με κόστος C(,) και παράγεται ένα προϊόν σε ποσότητα Q(,) που διατίθεται με μοναδιαία τιμή P(Q) και αποφέρει έσοδο R(,) = P(Q)Q. Εμφανίζονται τα προβλήματα: min{c= C(,) R= R(,) r}, ελάχιστο κόστος για έσοδο r max{r = R(,) C= C(,) c}, μέγιστο έσοδο για κόστος c max{π= R(,) C(,)}, μέγιστο κέρδος Ειδικά στην περίπτωση που τα μοναδιαία κόστη των συντελεστών {v,w} καθώς και η μοναδιαία τιμή του προϊόντος p είναι εξωγενώς καθορισμένα, όπως συμβαίνει σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού στην αγορά των συντελεστών και των προϊόντων, τότε τα προβλήματα αυτά παίρνουν την μορφή: min{c= v+ w Q= Q(,) q},ελάχιστο κόστος για παραγωγή q max{q(,) C= v+ w c}, μέγιστη παραγωγή για κόστος c max{π= pq(,) v w}, μέγιστο κέρδος Στο δεύτερο πρόβλημα αντικαταστήσαμε την συνάρτηση εσόδου με την συνάρτηση παραγωγής: 8

R= pq(,) Q= Q(,) Οι δύο συναρτήσεις είναι μονότονα εξαρτημένες και επομένως δίνουν την ίδια λύση.. Σε μια σύνθετη παραγωγική διαδικασία παράγονται δύο προϊόντα {,} με κόστος C(,) και αποφέρουν έσοδο R(,). Εμφανίζονται τα προβλήματα: max{r = R(, ) C(, ) c}, μέγιστο έσοδο για κόστος c min{c= C(, ) R= R(, ) r} max{π= R(, ) C(, )}, μέγιστο κέρδος, ελάχιστο κόστος για έσοδο r Ειδικά στην περίπτωση που οι μοναδιαίες τιμές των προϊόντων {v,w} είναι εξωγενώς καθορισμένες, όπως συμβαίνει σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού στην αγορά των προϊόντων, τότε τα προβλήματα αυτά παίρνουν την παρακάτω μορφή: max{r = v+ w C(, ) c}, μέγιστο έσοδο για κόστος c min{c= C(, ) R= v+ w r}, ελάχιστο κόστος για έσοδο r max{π= v+ w C(, )}, μέγιστο κέρδος 3. Στην κατανάλωση δύο αγαθών {,} με συνάρτηση χρησιμότητας U(,) και συνάρτηση κόστους γραμμική C= v+ w, εμφανίζονται τα παρακάτω προβλήματα. min{c= v+ w U(, ) u} : ελάχιστη δαπάνη για χρησιμότητα u max{u= U(, ) C= v+ w c} :μέγιστη χρησιμότητα γα δαπάνη c Παρατήρηση. Υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ προβλημάτων βελτιστοποίησης στην κατανάλωση και προβλημάτων βελτιστοποίησης στην παραγωγή όπου τα καταναλωτικά αγαθά αντιστοιχούν στους συντελεστές παραγωγής και η συνάρτηση χρησιμότητας στην συνάρτηση παραγωγής ή εσόδου. Αναφέρουμε επίσης ότι στα προβλήματα περιορισμένης βελτιστοποίησης η λύση δεν αλλάζει αν χρησιμοποιήσουμε άλλες ισοδύναμες συναρτήσεις που προκύπτουν με γνήσια αύξοντες μετασχηματισμούς. Ειδικά στο πρόβλημα 3 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οιαδήποτε άλλη διατακτικά ισοδύναμη συνάρτηση χρησιμότητας διότι θα έχει τις ίδιες ισοσταθμικές ως καμπύλες αδιαφορίας. Παρατήρηση. Σε όλα τα παραπάνω προβλήματα περιορισμένης βελτιστοποίησης μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις ανισότητες στους περιορισμούς με τις αντίστοιχες ισότητες. Π.χ. min{c= C(,) R= R(,) r} min{c= C(,) R= R(,) = r} Αυτό ισχύει εφόσον οι συναρτήσεις είναι γνήσια αύξουσες ή γενικότερα μονότονες, οπότε στη βέλτιστη λύση εξαντλείται ο περιορισμός. Σε ειδικές περιπτώσεις αυτό μπορεί να μην ισχύει. Π.χ. στην κατανάλωση αν υπάρχει κορεσμός τότε μπορεί να μην εξαντληθεί η δυνατότητα δαπάνης και το βέλτιστο να είναι εσωτερικό. 9