Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement) Συµπίεση εικόνας (image compression) Αποκατάσταση εικόνας (Image restoration) ηµήτριος. ιαµαντίδης
Convolution ηµήτριος. ιαµαντίδης 2
FFT Fast Fourier Transform Αν P [p mn], m 0,...,M, n 0,..., εικόνα τάξεως Mx τότε ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier rs M n 0m 0 mn j(2 π/m)rm j(2 π/)sn q p e e παράγει τον πίνακα Q [q rs], r 0,...,M, s 0,...,, τάξεως Mx O πίνακας Q µπορεί να θεωρηθεί σαν µια άλλης µορφής παράσταση της εικόνας P. Ο πίνακας P θεωρείται σαν χωρική παράσταση (spatial representation) της εικόνας ενώ ο πίνακας Q θεωρείται σαν παράσταση της εικόνας στο πεδίο συχνοτήτων (frequency domain representation) Ο αντίστροφος διακριτός µετασχηµατισµός Fourier δίνεται από τη σχέση: mn M M s 0 r 0 rs j(2 π/m)rm j(2 π/)sn p q e e ηµήτριος. ιαµαντίδης 3
ιακριτός Μετασχηµατισµός Συνηµιτόνου DCT Discrete Cosine Transform P [p ], m 0,...,M, n 0,..., εικόνα τάξεως Mx Αν mn τότε ο διακριτός µετασχηµατισµός συνηµιτόνου M π (2m + )r π (2n + )s rs αα r s mn cos n 0m 0 2M 2 / M r 0 / s 0 r, αs 2/M r M 2/ s q p cos α παράγει τον πίνακα Q [q rs], r 0,...,M, s 0,...,, τάξεως Mx Ο αντίστροφος διακριτός µετασχηµατισµός συνηµιτόνου δίνεται από τη σχέση: p α r M α α mn r s rs s 0 r 0 q cos π (2m + )m π (2n + )n cos 2M 2 / M r 0 / s 0, αs 2/M r M 2/ s ηµήτριος. ιαµαντίδης 4
Μετασχηµατισµός Haar (Haar Transform) Συναρτήσεις Haar: Ορθογώνιες συναρτήσεις. ιακριτός Μετασχηµατισµός Walsh - Hadamard Discrete Walsh / Hadamard Transform Συναρτήσεις Walsh Ο µετασχηµατισµός ορίζεται αναδροµικά από πίνακες Dadamard ως εξής: H2 H2 H4 H4 H H H2, H4, H8,..., H2,2 2 H2 H 2 H4 H 4 H H n t Ισχύει : H2 H2 2I ηµήτριος. ιαµαντίδης 5
PCA Principal Components Analysis ηµήτριος. ιαµαντίδης 6
Παράδειγµα FFT ηµήτριος. ιαµαντίδης 7
Yy(t) FFT(Y) Mag(FFT) 0,0000 0.0029 + 0.0000i 0,2893 2,2453 0.0036-0.0225i 2,2786 3 2,848 0.087 -.274i 27,4335 4 2,665 0.0023 + 0.006i 0,6549 5 2,5094 0.0844-0.630i 6,8774 6 2,020-0.0028 + 0.0344i 3,4558 7,3975 0.000 + 0.042i,4247 8 0,9665 0.002 + 0.0038i 0,4348 9 0,9400 0.0045-0.0054i 0,6983 0,384 0.008-0.065i,8434 2,73 0.05-0.0350i 3,807 2 3,0582 0.0343-0.0820i 8,8857 3 3,7300 0.3552-0.8403i 9,233 4 3,9404-0.0596 + 0.37i 4,952 5 3,5878-0.034 + 0.0695i 7,6245 6 2,7543-0.0228 + 0.0484i 5,3530 7,6793-0.087 + 0.0379i 4,2273 8 0,6780-0.063 + 0.035i 3,5458 9 0,0338-0.047 + 0.027i 3,0842 20-0,0983-0.036 + 0.0239i 2,7483 ηµήτριος. ιαµαντίδης 8
2 0,2569-0.028 + 0.024i 2,493 22 0,9053-0.022 + 0.094i 2,2875 23,5535-0.07 + 0.077i 2,23 24,933-0.03 + 0.063i,9829 25,8032-0.00 + 0.05i,8656 26,235-0.007 + 0.040i,7648 27 0,3092-0.005 + 0.03i,677 28-0,6266-0.003 + 0.023i,6002 29 -,2926-0.00 + 0.05i,532 30 -,475-0.000 + 0.008i,475 3 -,237-0.0098 + 0.002i,47 32-0,3704-0.0097 + 0.0096i,368 33 0,548-0.0096 + 0.009i,3237 34,266-0.0095 + 0.0086i,2834 35,4827-0.0095 + 0.008i,2467 36,204-0.0094 + 0.0077i,23 37 0,4805-0.0093 + 0.0073i,823 38-0,4720-0.0093 + 0.0069i,540 39 -,340-0.0092 + 0.0065i,280 40 -,8574-0.0092 + 0.006i,040 4 -,8826-0.009 + 0.0058i,089 42 -,4577-0.009 + 0.0055i,065 43-0,7877-0.009 + 0.0052i,0427 44-0,697-0.0090 + 0.0049i,0253 45 0,3-0.0090 + 0.0046i,0092 46-0,084-0.0090 + 0.0043i 0,9944 47-0,8279-0.0089 + 0.0040i 0,9807 48 -,8637-0.0089 + 0.0038i 0,968 49-2,993-0.0089 + 0.0035i 0,9565 50-3,6852-0.0089 + 0.0032i 0,9459 5-3,9439-0.0089 + 0.0030i 0,9362 52-3,6440-0.0089 + 0.0028i 0,9273 53-2,96-0.0088 + 0.0025i 0,992 54-2,0253-0.0088 + 0.0023i 0,920 55 -,2773-0.0088 + 0.002i 0,9055 56-0,92-0.0088 + 0.008i 0,8997 57 -,05-0.0088 + 0.006i 0,8946 58 -,4958-0.0088 + 0.004i 0,8902 59-2,22-0.0088 + 0.002i 0,8864 60-2,5607-0.0088 + 0.000i 0,8833 6-2,583-0.0088 + 0.0007i 0,8809 62-2,0588-0.0088 + 0.0005i 0,8790 63 -,0498-0.0088 + 0.0003i 0,8778 64 0,283-0.0088 + 0.000i 0,8772 ηµήτριος. ιαµαντίδης 9
Ο πίνακας FFT, διατάσεων x,δηµιουργείται από το επόµενο πρόγραµµα: function [Z]dfft(L) theta2*pi/l; for m:l for n:l Z(m,n)exp(complex(0,-theta*mod((m-)*(n-),L))); end; end; ηλαδή, ο Z είναι ένας πίνακας τάξεως 64x64 του οποίου τα στοιχεία είναι ρίζες της (2 [( )( )mod(64)])/64 µονάδας mod(64), όπου zmn e i π m n και FFT(Y)YZZY t ηµήτριος. ιαµαντίδης 0
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ (Matrix Theory) ΟΡΙΣΜΟΣ : Ορίζεται σαν Πίνακας (matrix) κάθε τετραγωνική διάταξη, από στοιχεία ενός συνόλου µε δοµή ακέραιου πεδίου, σε Μ γραµµές και Ν στήλες. a a.. a r 2 a2 a22.. a 2 r 2..... [ 2.. ]. A c c c...... am am2.. a M r M aj a Mj r [ 2.. ],. i ai ai ai cj. a Mj Ο πίνακας ονοµάζεται διαστάσεων ή τάξεως (order) Mx. Κάθε πίνακας µπορεί να παρασταθεί σαν διάνυσµα, δηλαδή µονοδιάστατος πίνακας, µε στοιχεία διανύσµατα γραµµές ή στήλες. ΟΡΙΣΜΟΣ 2: Ορίζεται σαν αλγεβρικό άθροισµα L πινάκων Χ l, l,,l ένας άλλος πίνακας Ζ. Ισχύουν οι εξής κανόνες:. Όλοι οι πίνακες έχουν ακριβώς τις ίδιες διαστάσεις 2. Για κάθε στοιχείο z ij του πίνακα Ζ ισχύει: L l z x, i,..., M, j,..., ij l ij ΟΡΙΣΜΟΣ 3: Ορίζεται σαν πολλαπλασιασµός δύο πινάκων Χ και Υ ένας άλλος πίνακας Ζ. Ισχύουν οι εξής κανόνες:. Ο αριθµός στηλών του πρώτου, αριστερός όρος στον πολλαπλασιασµό, είναι πάντα ίσος µε τον αριθµό γραµµών του δευτέρου, δεξιός όρος στον πολλαπλασιασµό. Οι πίνακες ονοµάζονται συµβατοί ως προς τον πολλαπλασιασµό. 2. Για κάθε στοιχείο z ij του πίνακα Ζ ισχύει: ηµήτριος. ιαµαντίδης
yj y z r c [ x x x ] x y x y x y : y Kj 2j ij i j i i2.. ik i j + i2 2j +... + ik Kj K z x y, i,..., M, j,...,, k,..., K ij ik kj k ΟΡΙΣΜΟΣ 4: Ορίζεται σαν ανάστροφος (transpose) ενός πίνακα Χ ο πίνακας που προκύπτει από τον Χ µε µετατροπή των γραµµών του σε στήλες ή των στηλών του σε γραµµές και συµβολίζεται µε X t. ΟΡΙΣΜΟΣ 5: Ορίζεται σαν συµπληρωµατικός (complementary) πίνακας του στοιχείου a ij ενός πίνακα Α διαστάσεων Mx, ο πίνακας A ij διαστάσεων (M-)x(-), που προκύπτει από την αφαίρεση από τον πίνακα Α της i γραµµής και της j στήλης του. ΟΡΙΣΜΟΣ 6: Κάθε πίνακας µε ίσο αριθµό γραµµών και στηλών, δηλαδή διαστάσεων x, ονοµάζεται τετραγωνικός. ΟΡΙΣΜΟΣ 7: Κάθε τετραγωνικός πίνακας µε στοιχεία a ij 0, i j και a ij, ij ονοµάζεται µοναδιαίος και συµβολίζεται µε Ι. ΟΡΙΣΜΟΣ 8: Κάθε τετραγωνικός πίνακας µε στοιχεία a ij 0, i>j ονοµάζεται κάτω τριγωνικός. ΟΡΙΣΜΟΣ 9: Κάθε τετραγωνικός πίνακας µε στοιχεία a ij 0, i<j ονοµάζεται άνω τριγωνικός. ΟΡΙΣΜΟΣ 0: Κάθε τετραγωνικός πίνακας άνω και κάτω τριγωνικός ονοµάζεται διαγώνιος. ΟΡΙΣΜΟΣ : Ορίζεται σαν ίχνος (trace) ενός τετραγωνικού πίνακα το άθροισµα tr( A) i a ii ΟΡΙΣΜΟΣ 2: Ορίζεται σαν ορίζουσα (determinant) ενός τετραγωνικού πίνακα το άθροισµα i+ j det( A) ( ) aij det( Aij). Ο ορισµός είναι αναδροµικός και ισχύει για j ανάπτυγµα κατά οποιαδήποτε γραµµή i. Ανάλογος ορισµός ισχύει για ανάπτυγµα κατά οποιαδήποτε στήλη j. ηµήτριος. ιαµαντίδης 2
ΟΡΙΣΜΟΣ 3: Ένας τετραγωνικός πίνακας A για τον οποίο ισχύει det(a)0 ονοµάζεται ιδιάζων (singular). ΟΡΙΣΜΟΣ 4: Ορίζεται σαν προσαρτηµένος (adjoint) πίνακας ενός τετραγωνικού πίνακα Α ο ανάστροφος πίνακας µε στοιχεία τα det(a ij ) και συµβολίζεται µε adj(a). ΟΡΙΣΜΟΣ 5: Ορίζεται σαν αντίστροφος (inverse) πίνακας ενός τετραγωνικού πίνακα Α ο πίνακας A - adj(a)/det(a) ΟΡΙΣΜΟΣ 6: Ένας τετραγωνικός πίνακας Α ονοµάζεται ορθογώνιος (orthogonal) αν ισχύει A t A -, δηλαδή ο αντίστροφός του είναι ίσος µε τον ανάστροφό του. ΟΡΙΣΜΟΣ 7: Ένας τετραγωνικός πίνακας Α ονοµάζεται συµµετρικός αν ισχύει: A t A, δηλαδή ο ανάστροφός του είναι ίσος µε αυτόν. ΟΡΙΣΜΟΣ 8: Ένας τετραγωνικός πίνακας Α ονοµάζεται αντι-συµµετρικός αν ισχύει: A t -A, δηλαδή ο ανάστροφός του είναι ίσος µε τον αντίθετό του. ΘΕΩΡΗΜΑ : Ισχύει : AA - I ΘΕΩΡΗΜΑ 2: Ισχύει : xa[aij]a[xa ij ] ΘΕΩΡΗΜΑ 3: Ισχύει: A(BC)(AB)CABC (προσεταιριστική ιδιότητα) ΘΕΩΡΗΜΑ 4: Ισχύει: A(B+C)AB+AC (επιµεριστική ιδιότητα) ΘΕΩΡΗΜΑ 5: Ισχύει: (AB) t B t A t ΘΕΩΡΗΜΑ 6: Ισχύει: IAAIA ΟΡΙΣΜΟΣ 8: Ορίζεται σαν ιδιοδιάνυσµα (eigenvector), ενός τετραγωνικού πίνακα Α διαστάσεων n n, κάθε διάνυσµα v που πολλαπλασιαζόµενο δεξιά µε τον πίνακα παράγει διάνυσµα πολλαπλάσιο του εαυτού του, δηλαδή, va λv. Ο αριθµός λ ονοµάζεται ιδιοτιµή (eigenvalue) του πίνακα Α. Ο γραµµικός µετασχηµατισµός Α λειτουργεί σαν διαδικασία κλιµάκωσης (scaling, σµίκρυνση ή µεγέθυνση) του διανύσµατος v. Κάθε πίνακας Α διαστάσεων n n έχει n ιδιοτιµές, γενικά µιγαδικές και επαναλαµβανόµενες. Οι n αυτές ιδιοτιµές είναι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου det(α-λι)0. ηµήτριος. ιαµαντίδης 3
Μιγαδικές Συναρτήσεις (Complex Functions) C { z ( ab, ): ab, R} 2 +,,Re( ),Im( ), z a ib i z a z b j i iω z a+ ib r(cosω+ isin ω ) re, a rcos ω, b rsin ω, ω tan ω j z a ib r(cosω isin ω ) re z a+ ib, z2 a2+ ib2 z z2 a a2, b b2 z± z2 ( a+ ib) + ( a2+ ib2) ( a± a2) + i( b± b2) r(cosω + isin ω ) ± r2(cosω 2+ isin ω 2) ( r cosω ± r cos ω ) + i( r sinω ± r sinω ) 2 2 2 2 iω iω2 ± r2e re zz 2 ( a+ ib)( a2+ ib2) ( aa 2 bb 2) + iab ( 2+ ba 2) r(cosω + isin ω) r2(cosω 2+ isin ω 2) rr [cos( ω ±ω ) + isin( ω ±ω )] 2 2 2 jω jω2 j( ω ω2 ) 2 2 2 2 2 + re re rre zz ( a+ ib)( a ib) a + b r, r R z a + ib z z ( a + ib )( a ib ) aa + bb a b ab + i z a ib z z r a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+ 2 2 2 2 2+ 2 2+ 2 r(cosω+ isin ω) r [cos( ω ω 2) + isin( ω ω 2) ] r (cosω + isin ω ) r 2 2 2 2 iω r i( ω ω 2 ) e iω2 r 2 2 re re n n n z ( a± ib) r (cosnω± isin nω ) re ± jnω n n ω ω ± jω n ( ± ) (cos ± sin ) n n n ± jω ± j( ω+ 2 kπ ) ± j2π f ± j2 π ( f+ k) ± jω, ω 2π, f, T z a ib r i re e e f e e e e b a 2 ( k) T ± j π + ηµήτριος. ιαµαντίδης 4
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Κάθε πλήθος µετρήσεων (πρακτικά ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθµοί) µπορεί να υποστεί στατιστική επεξεργασία. Σηµασία δεν έχει, συνήθως, η οργάνωσή του, δηλαδή αν πρόκειται για µονοδιάστατο, δυσδιάστατο και γενικά πολυδιάστατο πλήθος, αλλά µόνο το µέγεθος του πλήθους Ν. Αν έχουµε τα πλήθη Ν αριθµών X x x x (, 2,..., ) και 2 Y ( y, y,..., y ) ορίζουµε τα εξής µεγέθη για τα πλήθη αυτά: m X x, m y i Y i i i µέσος όρος (mean value) σ σ σ σ 2 2 XX X sqrt ( i X) YY Y ( i Y) x m sqrt y m i i ( ), ( ) τυπική απόκλιση (standard deviation) ίνει το µέγεθος της διασποράς του πλήθους Χ. Var( X) σ Var( Y) σ µεταβλητότητα, διακύµανση (variance) V X 2 2 X, Y σx σy, VY συντελεστής µεταβλητότητας (Coefficient of Variation) m m X Y CoVar( X, Y) σ ( x m )( y m ) XY i X i Y i Συµµεταβλητότητα, συνδιακύµανση (covariance) r XY σ XY συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient) σ X σ Y σ σ XX XY Σ πίνακας συµµεταβλητότητας (covariance matrix) σ YX σ YY r r XX XY R r YX r πίνακας συσχέτισης (correlation matrix) YY ηµήτριος. ιαµαντίδης 5