Ζωοδόχου Πηγς Σλμί Τηλ 466- /4644..Οι πράξεις ι οι ιδιότητές τους i Στο προομστεός λάσμτος ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ έχουμε το μηδέ γιτί το λάσμ δε ορίζετι.,.π.χ: δε ορίζετι i Ότ ο ριθμητς εός λάσμτος είι ίσος με το μηδέ τότε το λάσμ ισούτι με το μηδέ. 4 44 = Π.χ: = = = i Ότ το γιόμεο περισσοτέρω πργότω είι ίσο με το μηδέ τότε ές τουλάχιστο πό υτούς είι ίσος με το μηδέ.... = = =... = i Ότ το γιόμεο περισσοτέρω πργότω είι διάφορο του μηδέος τότε όλοι είι διάφοροι του μηδεός... ι ι... ι ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΔΥΝΑΜΗ άση εθέτης ΟΡΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΗΣ: =... 4 Π.χ: =, = = 4 πράγοτες πράγοτες Εθέτης : =, 4 = 4, = = = = Εθέτης :,, y Βάση :, = = Βάση :, = = λ λ Π.χ: = = Επιµλει έ : Περδιορης ύ Θεµιστολς Μθηµτιός
( Γι όµεο) Πολλ/μος Προσθέτουμε τους εθέτες. λ λ 4 4 9 = Π.χ: = = ΙΔΙΑ ΒΑΣΗ: Διίρεση Π Αφιρούμε τους εθέτες. ( ηλο ί ) λ λ 4 4 4 : = = Π.χ: : = = λ = = ( ) ΙΔΙΟΣ ΕΚΘΕΤΗΣ : Π.χ: = : = : = = = = ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ i =... i = i i i πράγοτες = = = i = λ λ λ λ : = = λ i i ( ) = λ ( ) i = i ΠΡΟΣΟΧΗ!!! λ = =, = Επιµλει έ : Περδιορης ύ Θεµιστολς Μθηµτιός
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ i ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ : = i ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΔΙΑΦΟΡΑΣ : = i ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ: = i ΚΥΒΟΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ : = i ΚΥΒΟΣ ΔΙΑΦΟΡΑΣ : = i ΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΒΩΝ: = i ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ: = ( ) ( ) i ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ όρω : Α γ = γ γ γ *** = = ( ) *** = *** = ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!! Α γ = τότε γ = γ Επιµλει έ : Περδιορης ύ Θεµιστολς Μθηµτιός
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Οομάζουμε τη διδισί με τη οποί μεττρέπουμε μι πράστση σε γιόμεο πργότω Προσοχ: Οι όροι μις πράστσης χωρίζοτι μετξύ τους με συ () πλη (-) εώ οι πράγοτες με επί ( ).Έτσι η πράστση χ χ έχει δύο () όρους το χ ι το χ. Ο όρος χ έχει πράγοτ το, το χ ι το χ το χ ι το.η πράστση ()χ χ έχει δυο () όρους τους ()χ ι χ.στο ()χ υπάρχου οι πράγοτες (), χ,χ,χ ι στο χ οι πράγοτες ι χ. Κοιός Πράγοτς ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Σημίει ότι όλοι οι όροι της πράστσης έχου περιέχου ως πράγοτ το ίδιο ριθμό γράμμ πρέθεση,οπότε σύμφω με τη επιμεριστι ιδιότητ( ±γ= (±γ) ) τους γάζουμε ως οιό πράγοτ ι μέσ στη πρέθεση μέου τ ποτελέσμτ της διίρεσης του άθε όρου δι του οιού πράγοτ. π.χ.) χ χ=χ(χ ) Κοιός πράγοτς το χ ι μέσ στη πρέθεση: χ :χ=χ ι χ:χ=. π.χ. ) (χ-ψ)-(χ-ψ) =(χ-ψ)(-) ***Προσοχ : στο ρυφό οιό πράγοτ π.χ. ) χ (-) χ(-)=επειδ το - είι τίθετο του - λλάζουμε το πρόσημο. Έτσι χ (-)-χ(-)=χ(-)(χ-) π.χ. 4) (χ-ψ)-χ ψ =(χ-ψ)-(χ -ψ )=(χ-ψ)-(χ-ψ)(χ ψ)=(χ-ψ)[-(χ ψ)]=(χ-ψ)(-χ-ψ) Τυτότητες ) ± =(±) π.χ. ) χ 4 -χ ψ ψ 4 =(χ ) -χ ψ (ψ ) =(χ -ψ ) π.χ. 6) χ χ=(4χ 4χ)=[(χ) ) - =(-)() π.χ.) χ -4ψ =(χ) -(ψ) =(χ-ψ)(χψ) π.χ. ) χ 4 -=(χ ) - =(χ -)(χ )=(χ-)(χ)(χ ) ]=(χ). π.χ. 9) (χ-ψ) -(χψ) =(χ-ψ-χ-ψ)(χ-ψχψ)=-ψ =-4χψ γ) =()( - ) π. χ.: χ ψ = χ ψ =(χ) (ψ) =(χψ)(9χ -6χψ4ψ ) δ) - =(-)( π.χ. ) χ -=(χ) - =(χ-)[(χ) χ. ]= =(χ-)(4χ χ) ε) ± ± =(±) π.χ. ) χ -6χ 4χ-=(χ) - ( ) - =(χ-). Επιµλει έ : Περδιορης ύ Θεµιστολς Μθηµτιός 4
στ)** χ ()χ=(χ)(χ) άθροισμ= όρος του χ ι γιόμεο= όρος του στθερού μοωύμου π. χ: χ χ=χ (6)χ(6 )=(χ6)(χ) Ομδοποίηση Χωρίζουμε τους όρους τά ομάδες ως εξς : ) ( με ) ( με με ) ( με ) ώστε γίει οιός πράγοτς στις ομάδες ι μετά ξγίει οιός πράγοτς. Προσοχ :Δε είι εύολο ρούμε τις σωστές ομάδες,γι υτό ίσως χρειστεί δοιμάσουμε όλους τους συδυσμούς. π.χ. ) χψψχ=(χψ)(ψχ)=(χψ)(χψ)=(χψ)() π.χ. ) χ-χψ-ψ=(χ-χ)(ψ-ψ)=χ(-)ψ(-)=(-)(χψ) π.χ. 4) χψ χψχ ψ = ( χψ χ ) ( χψ ψ )=χ(ψ χ )ψ(χψ)= (ψχ)(χψ) π.χ. ) χψ χ--ψ =(χψ -ψ )(χ-)=ψ (χ-)(χ-)=(χ-)(ψ ). π.χ. 6) - -- = ( - )-(-)(- )=(-)()-(-)-(-)= (-)(--) ) ( με ) ( με ) :όπου οι τρεις σχημτίζου τέλειο τετράγωο ι οι άλλοι ο άλλος ές είι τέλειο τετράγωο ι μετξύ τους υπάρχει το πρόσημο πλη (-), οπότε είι διφορά τετργώω π.χ. ) -- =( -)- =(-) - =(--)(-) π.χ. )4χ 4χ-4ψ 4ψ-=(4χ 4χ)-(4ψ -4ψ)=(χ) -(ψ-) =(χ-ψ)(χψ-)= (χ-ψ)(χψ)=(χ-ψ)(χψ)=4(χ-ψ)(χψ) γ) ***Προσθφίρεση : δηλ μς λείπει άποιος όρος το προσθφιρούμε, ρεί σχημτίζοτι οι άλλες μέθοδοι. π.χ. 9) 4 4 =( ) ( ) - =( )-() =( -)( ) π.χ. ) χ -χ-=(χ -χ)-4=(χ-) - =(χ--)(χ-)=(χ-)(χ) δ) ***Διάσπση: δηλ δισπούμε άποιο όρο σε άλλους ώστε μς οηθσει στη ομδοποίηση π.χ.) 4 4-6 =( ) - ( ) -4 =( - ) -() =( - -) ( - ) π.χ. ) χ -χ=χ -χ-χ=χ(χ -)-(χ-)=χ(χ-)(χ)-(χ-)=(χ-)[χ(χ)-]= (χ-)(χ χ-)=(χ-)(χ χ--)=(χ-)[(χ -)(χ-)]=(χ-)[(χ-)(χ)(χ-)]=(χ-)(χ-)(χ)=(χ-) (χ) Επιµλει έ : Περδιορης ύ Θεµιστολς Μθηµτιός
ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ, =, < = 4 = 6 = θ, θ > = θ =θ =, < ΑΔΥΝΑΤΗ = = = 9 < θ, θ > θ < < θ ι θ, θ > θ θ > θ, θ > > θ <θ ι θ, θ > θ θ >, < ληθεύει γι άθε = ι = 4 = = = ± 6 =, R ου Έ πολυώυμο θμού ως προς έ άγωστο, έστω που έχει ρίζ έ ριθμό έχει πρόσημο όπως φίετι πράτω: = ετερόσημο του ομόσημο του Επιµλει έ : Περδιορης ύ Θεµιστολς Μθηµτιός 6
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΠΟΛΥΤΑ Ν πλοποιηθού οι πρστάσεις : (i) Α=, (ii) Β= 4 (i)α=, Με άση τη ιδιότητ τω πολύτω : = διρίουµε περιπτώσεις, < Α τότε : = Άρ : Α= = = Α τότε : = Άρ : Α= = = = = (ii)β= 4 Με άση τη ιδιότητ τω πολύτω : διρίουµε περιπτώσεις:, = ι =, < Α τότε : = = = Άρ : Β= 4 = 4 = 4 = 6= Α τότε : = = = Άρ : Β= 4 = 4 = 4 = 4 = 4= Επιµλει έ : Περδιορης ύ Θεµιστολς Μθηµτιός
Ν πλοποιηθεί η πράστση : Α= 4 Aρχιά ρίσουµε τις λύσεις τω εξισώσεω που ρίσοτι µέσ στο πόλυτο. = = ι 4 = = 4 ιτάσσουµε τις ρίζες υτές στο άξο πργµ τιώ ριθµώ ι δηµιουργούµε έ πί της πράτω µορφς: 4 4 ΕΞΙΑ πό τη ρίζ ΟΜΟΣΗΜΟ του συτελεστ του γώστου ΑΡΙΣΤΕΡΑ πό τη ρίζ ΕΤΕΡΟΣΗΜΟ του συτελεστ του γώστου T πρόσηµ µς δείχου το πρόσηµο που θ έχουµε έξω πό τη πράστση ότ θ γάλουµε το πόλυτο ι θ το άουµε πρέθεση. Γράφουµε τ διστµτ που δηµιουργσµε ι διρίουµε περιπτώσεις γι το θέ. ( ] [ ] [ ),ρίζ, ρίζ,ρίζ, ρίζ,. Οι ρίζες µπορεί είι περισσότερες πό άρ τ διστµτ θ είι της µορφς: Π.χ: όπου ρ ρίζ : Έχουµε ρ< ρ < ρ < ρ < ρ <ρ τότε : 4 6 (, ρ],[ ρ, ρ],[ ρ, ρ],[ ρ, ρ],[ ρ, ρ],[ ρ, ρ],[ ρ, ) 4 4 6 6 Στη άσησ µς τ διστµτ είι τ εξς: (,],[, 4 ],[ 4, ) (, ] : = ( ) ι 4 = ( 4 ) Άρ 4 ( ) ( 4 ) 4 Α= = = = - [, 4 ] : ( ) ι 4 ( 4 ) Α= = ( ) ( ) = =4[ ] = = Άρ 4 4 4 εξάρτητη του [ 4, ) : = ( ) ι 4 =( 4 ) Άρ Α= 4 = 4 = 4 = - Επιµλει έ : Περδιορης ύ Θεµιστολς Μθηµτιός
Ν ρεθού οι ριθµοί, γι τους οποίους ισχύει: 4 9 = Από το ορισµό της πόλυτης τιµ ΞΕΡΟΥΜΕ ότι: Η πόλυτη τιµ µις πράστσης είι ριθµός µεγλ ύ τερος ί σος µε το µηδ έ ( ) Άρ το άθροισµ περισσοτέρω πόλυτω τιµώ πρστάσεω είι ίσο µε το µηδ έ ι µ ό ο ά όλες οι πρστάσεις είι ίσες µε το µηδ έ. λδ : γ... = = ι = ι γ =... ι = όπου,, γ,..., λγεριές πρστάσεις.. Άρ στη άσηση µς θ ισχύει: 4 = ι 9 = 4 = ι 9 = = 4 ι = 9 = 4 ι 4 = 9 = 4 ι = 9 4 = 4 ι = = 4 ι = 4 Α ισχύει : < < πλοποιηθεί η πράστση. Α = 6. Αρχιά πρέπει ρούµε το πρόσηµο µέσ σε άθε πόλυτο δηλδ η πράστση είι ρητι η θετι. Σε υτό θ µς οηθσει ο περιορισµός που έχουµε γι το : < < Επίσης ξέρουµε ότι : =, > =, <. Aρεί ρούµε σε άθε πόλυτο η λγερι του πράστση είι ρητιός θετιός ριθµός. ΙΣΧΥΕΙ: < < < <. Άρ = ΙΣΧΥΕΙ: < < < <. Άρ = ΙΣΧΥΕΙ: < < < <. Άρ = = ΙΣΧΥΕΙ: < < < <. Άρ = = ΙΣΧΥΕΙ: < < < < <. Άρ = 6 ΙΣΧΥΕΙ: < < < < 6 6 <. Άρ 6 = 6 = 6 ΙΣΧΥΕΙ: < < 4 < < 6 < 6 < <. Άρ = = Ατιθιστούµε στη πράστση µς το άθε πόλυτο µε το ίσο του. Α = 6 = 6 = 6 = Επιµλει έ : Περδιορης ύ Θεµιστολς Μθηµτιός 9
Α ισχύει γι τους ριθµούς, y ότι : 6 6 ποδείξετε ότι : Από τη θεωρί ξέρουµε ότι : =. Μετφέρουµε τους όρους σε έ µέλος της ίσωσης. Άρ θ έχουµε : 6 6 6 6 6 6. Γι είι το γιόµεο υτό ρητιό ίσο µε το µηδέ θ πρέπει ές πό τους πράγοτες είι ρητιός. Ο πράγοτς όµως ( ) ότι άθροισµ θετιώ µς δίει θετιό ριθµό. Άρ πρέπει ο πράγοτς είι πάτ θετιός ι υτό γιτί ξέρουµε > 6 Α ισχύει γι τους ριθµούς, y : y 6 y ποδείξετε ότι ισχύει: y [ ] Γωρίζουµε ότι :, όπου :λγερι πράστση Άρ : y 6 y y y 6 y y 6 y y 6 y y 6 y y 6 y 6 y 4 y y y Aδ ύτη Α ισχύει ότι : ι y, ποδειχθεί ότι : y Από τη ιδιότητ : γ γ ισχύει ότι : y y = y = Από τη µεττι ιδιότητ ισχύει ότι : y Επιµλει έ : Περδιορης ύ Θεµιστολς Μθηµτιός