ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Στόχοι του κεφαλαίου Κατάστρωση προτύπων (μοντέλων) μεταβλητών κατάστασης. Ανάλυση και επίλυση μοντέλων μεταβλητών κατάστασης. Αντιστοιχία μοντέλων μεταβλητών κατάστασης με μοντέλα συναρτήσεων μεταφοράς. Ευστάθεια στο πεδίο μεταβλητών κατάστασης.
Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Περίληψη του κεφαλαίου Ορισμός μεταβλητών κατάστασης. Κατάστρωση μοντέλων μεταβλητών κατάστασης. Επίλυση μοντέλων μεταβλητών κατάστασης. Αντιστοιχία μοντέλων μεταβλητών κατάστασης με μοντέλα συναρτήσεων μεταφοράς. Ευστάθεια μοντέλων μεταβλητών κατάστασης. 5
Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Δυναμικό σύστημα Σήματα εισόδου, u(t) Σύστημα Σήματα εξόδου, y(t) Αρχικές συνθήκες, x(t=0) Είσοδος, u(t) Κατάσταση δυναμικού συστήματος, x(t) Οι μεταβλητές κατάστασης περιγράφουν πλήρως τη μελλοντική δυναμική απόκριση ενός συστήματος, όταν είναι γνωστές η παρούσα κατάσταση του συστήματος, οι μεταβλητές εισόδου και οι εξισώσεις που διέπουν τη δυναμική συμπεριφορά του. Έξοδος, y(t)
Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Συντ. τριβής b Μ Μεταβλητές κατάστασης: Θέση και ταχύτητα μάζας x t y t x t 1 2 dy t dt y(t) Μοντέλο μεταβλητών κατάστασης dx 1 dt t u(t) x 2 t dx2 t b k 1 x2 t x1 t u t dt M M M 2 Εξίσωση κίνησης d y t dy t M b kyt u t 2 dt dt t dx2 M bx2 t kx1 t u t dt
Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Συντ. τριβής b Μ Μεταβλητές κατάστασης: Θέση και ταχύτητα μάζας x t y t x t 1 2 dy t dt y(t) u(t) Μοντέλο μεταβλητών κατάστασης σε μορφή πίνακα y 1 1 0 x x 2
Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Πηγή i L ρεύματος u(t) v c C Μοντέλο μεταβλητών κατάστασης σε μορφή πίνακα L v 0 R Μεταβλητές κατάστασης: x 1 τάση στα άκρα του πυκνωτή v c και x 2 ρεύμα που διαρρέει το πηνίο i L t dvc ic C ut i dt t dil L RiL v dt v o Ri L c L t dx1 1 1 x2 t u t dt C C dx2 t 1 R x1t x2t dt L L Οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός των μεταβλητών κατάστασης οδηγεί σε ισοδύναμο δυναμικό σύστημα
Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Πηγή i L ρεύματος u(t) v c C ~ L v 0 R t dvc ic C ut i dt v o Ri L L t dil L RiL v dt c Εναλλακτικά ως μεταβλητές κατάστασης επιλέγονται: Η τάση στα άκρα του πυκνωτή και η τάση στα άκρα του πηνίου x 1* = v C = x 1 x 2* = v L = v c Ri L =x 1 Rx 2
Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Γενικευμένο σύστημα
Επίλυση μοντέλων μεταβλητών κατάστασης Γραμμική διαφορική 1 ης τάξης at 1 a1τ x 0 b xt e x0 e buτ dτ X s U s 0 s a s a Αντίστοιχα για μοντέλο μεταβλητών κατάστασης 0 Όπου ορίζετε ο όρος e At ως 1 0 x t exp At x exp A t τ Bu τ dτ 22 t t t e A expat 1 At A... A... 2! k! k k
Επίλυση μοντέλων μεταβλητών κατάστασης Με εφαρμογή του μετασχηματισμού Laplace. 0 0 sx s x AX s BU s si A X s x BU s 1 1 s s 0 s s X I A x I A BU 1 I A x 0 I A 1 BU 1 1 x t L s L s s Πίνακας μετάδοσης (transition) Φ(t). 1 1 Φ t L si A exp At s s 1 Φ I A
Μετατροπή μοντέλου συνάρτησης μεταφοράς σε μοντέλο μεταβλητών κατάστασης y ( n ) +an-1 y ( n-1 ) + +a2 y ( 2 ) +a1 y ( 1 ) +a0 y = u t Ορίζουμε ως μεταβλητές κατάστασης: ( ) (1) Με αντικατάσταση στην (1):
Μετατροπή μοντέλου συνάρτησης μεταφοράς σε μοντέλο μεταβλητών κατάστασης y ( n ) +an-1 y ( n-1 ) + +a2 y ( 2 ) +a1 y ( 1 ) +a0 y = u t ( )
Μετατροπή μοντέλου συνάρτησης μεταφοράς σε μοντέλο μεταβλητών κατάστασης 4 3 2 1 3 2 1 y a y a y a y a y b u b u b u b u 3 2 1 0 3 2 1 0 Ορίζουμε ως μεταβλητές κατάστασης: H έξοδος έχει ως εξής: yt b0 x1 b1 x2 b2 x3 b3 x4
Μετατροπή μοντέλου συνάρτησης μεταφοράς σε μοντέλο μεταβλητών κατάστασης 4 3 2 1 3 2 1 y a y a y a y a y b u b u b u b u 3 2 1 0 3 2 1 0 y b b b b 0 1 2 3 x x x x 1 2 3 4
Μετατροπή μοντέλου συνάρτησης μεταφοράς σε μοντέλο μεταβλητών κατάστασης Γενική περίπτωση y ( n ) + a1 y ( n-1 ) + a2 y ( n-1 ) + + an-1 y ( 1 ) + an y = b 0 u ( n ) + b1 u ( n-1 ) + b2 u ( n-2 ) + + bn-1 u ( 1 ) + bn u Ορίζουμε ως μεταβλητές κατάστασης
Μετατροπή μοντέλου συνάρτησης μεταφοράς σε μοντέλο μεταβλητών κατάστασης y ( n ) + a1 y ( n-1 ) + a2 y ( n-1 ) + + an-1 y ( 1 ) + an y = b 0 u ( n ) + b1 u ( n-1 ) + b2 u ( n-2 ) + + bn-1 u ( 1 ) + bn u
Ισοδύναμα μοντέλα μεταβλητών κατάστασης x Pz Όταν οι ιδιοτιμές του Α είναι διακριτές, οι στήλες του μητρώου Ρ αποτελούνται από τα ιδιοδιανύσματα του μητρώου Α. P 1 AP: Διαγώνιο μητρώο
Μετατροπή μοντέλου μεταβλητών κατάστασης σε μοντέλο συνάρτησης μεταφοράς Mε μετασχηματισμό Laplace του μοντέλου μεταβλητών κατάστασης προκύπτει: y Cx Du s s s Y CX DU sx( s) = AX( s)+bu( s) siaxs BUs 1 s s s X I A BU 1 s s s s Y C I A BU DU 1 s s s Y C I A B D U s s 1 G C I A B D
Διάγραμμα βαθμίδων μοντέλου μεταβλητών κατάστασης Μητρώο άμεσης μετάδοσης D u(t) Μεταβλητή εισόδου B Μητρώο εισόδου Βαθμίδα ολοκλήρωσης Μητρώο συστήματος C Μητρώο εξόδου y(t) Μεταβλητή εξόδου A
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας F 1 F 2 F 3 m 1 k 1 m 2 k 2 m 3 c 1 c 2 z 1 z 2 z 3 Οι διαφορικές εξισώσεις του συστήματος Μεταφέρονται στη μορφή
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας Ορίζονται ως μεταβλητές κατάστασης x 1 =z 1 θέση 1ης μάζας x 2 =ż 1 ταχύτητα 1ης μάζας x 3 =z 2 θέση 2ης μάζας x 4 =ż 2 ταχύτητα 2ης μάζας x 5 =z 3 θέση 3ης μάζας x 6 =ż 3 ταχύτητα 3ης μάζας Οι εξισώσεις κίνησης μετατρέπονται σε σύστημα διαφορικών εξισώσεων 1 ης τάξης:
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας F 1 F 2 F 3 m 1 k 1 m 2 k 2 m 3 c 1 c 2 z 1 z 2 z 3 Μοντέλο μεταβλητών κατάστασης A x Bu
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας F 1 F 2 F 3 m 1 k 1 m 2 k 2 m 3 c 1 c 2 z 1 z 2 z 3 Μοντέλο μεταβλητών κατάστασης Μεταβλητές εξόδου y1 1 0 0 0 0 0 x1 0 y 2 0 1 0 0 0 0 x 2 0 y3 0 0 1 0 0 0 x3 0 y 4 0 0 0 1 0 0 x 4 0 y5 0 0 0 0 1 0 x5 0 y 0 0 0 0 0 1 x 0 6 6 Συνήθως οι μεταβλητές εξόδου ταυτίζονται με τις μετρούμενες μεταβλητές ή ορίζονται ως γραμμικός συνδυασμός αυτών.
Μηχανικό σύστημα 3 βαθμών ελευθερίας Μοντέλα μεταβλητών κατάστασης στο MATLAB: m1=1;m2=1;m3=1; a=[0 1 0 0 0 0; -k1/m1 -c1/m1 k1/m1 c1/m1 0 0; 0 0 0 1 0 0; k1/m2 c1/m2 -(k1+k2)/m2 -(c1+c2)/m2 k2/m2 c2/m2; 0 0 0 0 0 1; 0 0 k2/m3 c2/m3 -k2/m3 -c2/m3]; b=[0 0 0;1/m1 0 0;0 0 0;0 1/m2 0;0 0 0;0 0 1/m3]; c=eye(6); d=zeros(6,3); sysa=ss(a,b,c,d); step(sysa); Βηματική μεταβολή των 3 εισόδων impulse(sysa); Κρουστική μεταβολή των 3 εισόδων eig(a); Ιδιοτιμές μητρώου Α -0.7141 + 2.0323i, -0.7141-2.0323i 0.0000, 0.0000-0.2859 + 1.1006i, -0.2859-1.1006i
Μοντέλα μεταβλητών κατάστασης στο MATLAB
Μοντέλα μεταβλητών κατάστασης στο MATLAB Μεταβολή αρχικών συνθηκών Ορισμός χρονικού ορίζοντα: t=[0:0.05:30]; Ορισμός διανύσματος εισόδου: u=zeros(3,601); Ορισμός διανύσματος αρχικών συνθηκών: x0=[1 0 0 0 0 0]; [y,t,x]=lsim(sysa,u,t,x0); plot(t,y)
Μοντέλα μεταβλητών κατάστασης στο MATLAB Ημιτονοειδής μεταβολής εισόδου Ορισμός χρονικού ορίζοντα: t=[0:0.05:30]; Ορισμός διανύσματος εισόδου: u=zeros(3,601); u(1,:)=sin(2*t) Ορισμός διανύσματος αρχικών συνθηκών: x0=[0 0 0 0 0 0]; [y,t,x]=lsim(sysa,u,t,x0); plot(t,y)
Μοντέλα μεταβλητών κατάστασης στο MATLAB Μετατροπή σε μοντέλα συνάρτησης μεταφοράς Συναρτήσεις μεταφοράς ανάμεσα στην 1 η είσοδο και τις έξι εξόδους: [num,den]=ss2tf(a,b,c,d,1); num = 0 0 1.0000 1.5000 5.2500 1.5000 2.0000 0 1.0000 1.5000 5.2500 1.5000 2.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.5000 1.2500 1.5000 2.0000 0 0 0.5000 1.2500 1.5000 2.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 0.2500 1.5000 2.0000 0 0 0.0000 0.2500 1.5000 2.0000 0.0000 den = 1.0000 2.0000 6.7500 4.5000 6.0000 0.0000 0.0000 s 6 +2.0s 5 +6.75s 4 +4.5s 3 +5.0s 2 roots(den) -0.7141 + 2.0323i, -0.7141-2.0323i -0.2859 + 1.1006i, -0.2859-1.1006i 0.0000, 0.0000
Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Ορίζει ορθά ένα πλήρες σύνολο μεταβλητών κατάστασης για ένα δυναμικό σύστημα. Αναπτύσσει δυναμικά μοντέλα στο χώρο των μεταβλητών κατάστασης. Επιλύει μοντέλα μεταβλητών κατάστασης στο πεδίο του χρόνου. 32
Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Μετασχηματίζει ένα μοντέλο μεταβλητών κατάστασης στο ισοδύναμο μοντέλο συνάρτησης μεταφοράς και αντίστροφα. Μετασχηματίζει ένα μοντέλο μεταβλητών κατάστασης σε ισοδύναμο μοντέλο με διαγώνιο πίνακα μετάδοσης. 33
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δρ Αθανάσιος Ι. Παπαδόπουλος Δρ Αγγελική Μονέδα Θεσσαλονίκη, Μαΐος 2014