Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() f () της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται με την εξίσωση: + 3= 8. Να υπολογιστεί η ελαστικότητα του ως προς όταν =. (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln(+ ) α στο θετικό διάστημα:. Να διαπιστωθεί ότι είναι κοίλη, και να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες το μέγιστό της βρίσκεται στο σύνορο: =. (δ). Να δοθεί το γράφημα της συνάρτησης f() = min{, } στο θετικό διάστημα, και να υπολογιστεί το ολοκλήρωμά της στο μη φραγμένο διάστημα:.. (4 μονάδες) (α). Η εξίσωση + z z = ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {,z}. Να υπολογιστούν η παράγωγος και η f = ελαστικότητα του ως προς z, στις τιμές: {=, =,z = }. f = (β). Η συνάρτηση f(,) έχει τις ισοσταθμικές του A παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών παραγώγων και του ρυθμού υποκατάστασης, στο σημείο A (γ). Θεωρούμε την τετραγωνική μορφή Q= + 4 4. Να δοθεί ο αντίστοιχος συμμετρικός πίνακας και να χαρακτηριστεί ως προς το πρόσημο. (δ). Θεωρούμε το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης min{ + + = } στη θετική περιοχή: {, }. Να βρεθεί η λύση γραφικά και αναλυτικά. 3.( μονάδες) 3 Μια συνάρτηση κόστους της μορφής C= αq + βq + γq+ δ έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν οι συνθήκες που θα πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές {α,β,γ,δ} 4.( μονάδες) Η δαπάνη για κάποιο αγαθό είναι E= QP, όπου P είναι η μοναδιαία τιμή του και Q η ποσότητα ζήτησης. Δίνεται ότι η τιμή αυξάνει με ρυθμό r =.% ετησίως, και ότι η ελαστικότητα ζήτησης είναι ε=. Να εκτιμηθούν ο ετήσιος ρυθμός μεταβολής της συνολικής δαπάνης, καθώς και το ύψος της συνολικής δαπάνης μετά την παρέλευση 3 ετών αν η τωρινή δαπάνη είναι E = C Q
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3. Λύσεις Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. f () Διακρίνουμε τέσσερα διαδοχικά διαστήματα Α. Αύξουσα με αύξοντα ρυθμό Β. Αύξουσα με φθίνοντα ρυθμό Γ. Φθίνουσα με αύξοντα ρυθμό Δ. Φθίνουσα με φθίνοντα ρυθμό f() Στο τέλος επανέρχεται στην αρχική τιμή διότι το προσημασμένο εμβαδό κάτω από την καμπύλη της A B Γ Δ παραγώγου είναι μηδενικό. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται με την εξίσωση: + 3= 8. Να υπολογιστεί η ελαστικότητα του ως προς όταν =. Παραγωγίζοντας πλεγμένα ως προς βρίσκουμε σταθερή παράγωγο: + 3= = 3 / Επίσης όταν = βρίσκουμε για το : + 3 = 8 =. Η ελαστικότητα είναι: ( 3 / ) ε= E= = = 3 (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln(+ ) α στο θετικό διάστημα:. Να διαπιστωθεί ότι είναι κοίλη, και να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες το μέγιστό της βρίσκεται στο σύνορο: =. Η συνάρτηση είναι κοίλη διότι η δεύτερη παράγωγος είναι (γνήσια) αρνητική: f() = ln(+ ) α f () = (+ ) α, f () = (+ ) <, Το μέγιστο θα βρίσκεται στο αριστερό σύνορο αν και μόνο αν ικανοποιείται η συνθήκη: f () = α α (δ). Να βρεθεί το γράφημα της συνάρτησης f() = min{, } στο θετικό διάστημα, και να υπολογιστεί το ολοκλήρωμά της στο μη φραγμένο διάστημα:. Οι αρνητικές δυνάμεις κατεβαίνουν πιο απότομα όσο ανεβαίνει η δύναμη, ενώ έχουν την ίδια τιμή στο =, οπότε βρίσκουμε το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Εξάλλου έχουμε: όταν : min{, } = όταν Για το ολοκλήρωμα, βρίσκουμε: d = = ( ) =
. (4 μονάδες) (α). H εξίσωση + z z =, ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {,z}. Να υπολογιστούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς z, στις τιμές: {=, =,z = }. Ελέγχουμε ότι οι τιμές ικανοποιούν την εξίσωση: + =. η λύση. Παράγωγος με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: fz f = + z z {f = + z=, fz = z= } = = =. z f η λύση. Παράγωγος με πλεγμένη παραγώγιση ως προς z, θεωρώντας το σταθερό: ( + z z ) = z + (zz+ ) z= z + (z+ ) = A z = f z = =. zz Για την ελαστικότητα βρίσκουμε: ε= Ez= = = =. f f (β). Η συνάρτηση f(,) έχει τις ισοσταθμικές του παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών παραγώγων, καθώς και του ρυθμού υποκατάστασης στο σημείο A Η συνάρτηση αυξάνει στην κατεύθυνση του διανύσματος f, με συντεταγμένες: f >, f < Η συνάρτηση είναι αύξουσα, φθίνουσα. Για τον ρυθμό υποκατάστασης, βρίσκουμε θετικό πρόσημο: d f ( + ) f(,) = c = ( ) > d f ( ) Εξάλλου η ισοσταθμική έχει θετική κλίση. (γ). Θεωρούμε την τετραγωνική μορφή Q= + 4 4. Να δοθεί ο αντίστοιχος συμμετρικός πίνακας και να χαρακτηριστεί ως προς το πρόσημο. α γ Q= α + β + γ= + 4 4 = γ β 4 α= >,β= 4>,Δ = γ 4αβ= 4 4= Η τετραγωνική μορφή και ο πίνακας είναι θετικά ημιορισμένα. Πράγματι έχουμε: Q= + 4 4 = ( ) με Q= όταν = (δ).θεωρούμε το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης min{ + + = } στη θετική περιοχή: {, }. Να βρεθεί η λύση γραφικά και αναλυτικά. Με {f = +, g= + = }, οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν τη λύση: f = λg = λ = λ = / f = λg = λ = λ / = / g c + = λ+ λ / = λ= / = Εναλλακτικά, μπορούμε να βρούμε τη λύση με αντικατάσταση: g= + = = f = + = + ( ) f () = + ( )( ) = 4= = /, = / f
Μέρος Β 3.( μονάδες) 3 Μια συνάρτηση κόστους της μορφής C= αq + βq + γq+ δ έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν οι συνθήκες που θα πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές {α,β,γ,δ} C Q. Διέρχεται από την αρχή του συστήματος: {Q=,C = }. Επομένως δ=. Δεν έχει στάσιμα σημεία. Ειδικότερα η παράγωγος είναι γνήσια θετική: C = 3αQ + βq+ γ> α> & Δ = (β) 4(3α)γ< {α> & 3αγ> β } β 3. Έχει σημείο καμπής γνήσια θετικό: C = 6αQ+ β= Q= > β< 3α Ανακεφαλαιώνοντας, έχουμε: {α>,β<,γ > β / 3α,δ = } 4.( μονάδες) Η δαπάνη για κάποιο αγαθό είναι E= QP, όπου P είναι η μοναδιαία τιμή του και Q η ποσότητα ζήτησης. Δίνεται ότι η τιμή αυξάνει με ρυθμό.% ετησίως, και ότι η ελαστικότητα ζήτησης είναι ε=. Να εκτιμηθούν ο ετήσιος ρυθμός μεταβολής της συνολικής δαπάνης, καθώς και το ύψος της συνολικής δαπάνης μετά την παρέλευση 3 ετών αν η τωρινή δαπάνη είναι E =. Ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής γινομένου ισούται με το άθροισμα των ποσοστιαίων ρυθμών των όρων: %de %dq %dp = + όπου: %dp =.% ετησίως dt dt dt dt. Ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής της ζήτησης ισούται με το γινόμενο της ελαστικότητας με τον ποσοστιαίο ρυθμό μεταβολής της τιμής: %dq %dq %dp = RQ = (EQ)(RP) = ( )(.%) = 3% ετησίως dt %dp dt 3 Αντικαθιστώντας στο, βρίσκουμε: %de = 3+.=.% dt Συμπεραίνουμε ότι η δαπάνη πέφτει.% ετησίως, δηλαδή μεταβάλλεται με σχετικό ρυθμό: r=.. Επομένως η δαπάνη μετά από 3 έτη θα είναι: rt (.)3.4 E E e e = = = e.96