ιάτηµα εµπιτούνης της µ - µ δύο ανεξάρτητων τ.µ. X και X Μέες τιµές: µ και µ ιαπορές: και είγµα µεγέθους, από τον πληθυµό τηςx, X ειγµατικές µέες τιµές: και ειγµατικές διαπορές: και Θέλουµε ναεκτιµήουµε τηδιαφοράτωνµέων τιµών µ και µ Σηµειακή εκτίµηη της διαφοράς µ - µ :
Γνωτές διαπορές Υποθέτουµε και είτε > 30 > 30 και ή X και X ακολουθούν κανονική κατανοµή εκτιµήτρια ακολουθεί κανονική κατανοµή µέη τιµή [ ] µ µ Ε µ διαπορά Var[ ] Αν X και X οµοκεδατικές ( )
Εκτιµήτρια Μέη τιµή εκτιµήτριας µ µ µ ιαπορά εκτιµήτριας (-α)% δ.ε. της µ - µ : ( ) ± z a / Ερµηνεία του δ.ε.: Αν περιέχει το 0 µ και µ δε διαφέρουν (για το επίπεδο εµπιτούνης που χρηιµοποιήαµε καιµε βάητα υγκεκριµένα δεδοµένα) Αν είναι θετικό ητ.µ. X είναι κατά µέο όρο µεγαλύτερη από τη X κατά ένα ποό που κυµαίνεται τα όρια του διατήµατος που εκτιµήαµε [αντίτοιχα για αρνητικό δ.ε.]
Συνθήκες: Παράδειγµα Μελετήαµε το χρόνο ανάφλεξης ε δύο δείγµατα από δύο υλικά ταπεταρίας ΑκαιΒµεγέθους 30 και 0. Είναι ο χρόνος ανάφλεξης του υλικού Α κατά µέο όρο διαφορετικός από αυτόν του υλικού Β; Θεωρούµε πως η διαπορά είναι κοινή και γνωτή: 4 Είναι τα δείγµατα µεγάλα; Υλικό Υλικό Ακολουθεί ο χρόνος ανάφλεξης γιαταδύουλικάκανονικήκατανοµή; Φύλλο 5 3 86440 98544 99500 873 6533 64 40 Μίχος.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Φύλλο 8 38 44445 566688 069 07 5
ειγµατικές µέες τιµές Α: 5. 59 Β: 4. 46.3 z 0.05.96 και 4 95% δ.ε. της µ - µ ( ) ± z a /.3 ±.96 4.3 ±.3 30 0 ( 0.00,.6) Υπάρχει ηµαντική διαφορά µεταξύ των δύο υλικών;
Άγνωτες διαπορές, µεγάλο µέγεθος δείγµατος Όταν το δείγµαείναιµεγάλο: και (-α)% δ.ε. της µ - µ : ( ) ± za / Άγνωτες διαπορές, µικρό µέγεθος δείγµατος Περίπτωη Οι κατανοµές των X και X δε είναι κανονικές δε µπορούµε να προδιορίουµε τηνκατανοµή τηςδιαφοράς γιαναεκτιµήουµε τοδ.ε. µη-παραµετρική προέγγιη.
Υποθέτουµε. Οι κατανοµές των X και X είναι κανονικές. X και X οµοκεδατικές ( ) Εκτίµηη της κοινής διαπορά ειγµατική κοινή διαπορά : ) ( ) ( Εκτίµηη της διαποράς της Μεταχηµατιµός ( ) ( ) ~ t t µ µ (-a)% δ.ε. της µ - µ : ( ) /, t a ± Περίπτωη
Παράδειγµα Άγνωτη διαπορά του χρόνου ανάφλεξης για τα δύο υλικά ταπεταρίας. ειγµατικές διαπορές: A: 4., B:. εχόµατε ότι η διαπορά δε διαφέρει ηµαντικά τα δύο υλικά. εχόµατε επίης ότι ο χρόνος ανάφλεξης και για τα δύο υλικά ακολουθεί κανονική κατανοµή. Tαδείγµατα είναι χετικά µικρά ακολουθεί κατανοµή tudet 94. 9. ειγµατική κοινή διαπορά: 3. 34. 83 48 Βαθµοί ελευθερίας: 48 t 48. 0,0.05.3 Το 95% δ.ε. είναι ( ) ± t, a /.3±.0.83.3±.058 30 0 ( 0.07,.88)
Παρατηρήεις Υπάρχει φανερή αντιτοιχία των περιπτώεων για το δ.ε. της µέης τιµής µ και το δ.ε. τηςδιαφοράςδύοµέων τιµών µ - µ. Για τη διαφορά µέων τιµών υπάρχει ακόµα η περίπτωη των άνιων κι αγνώτων διαπορών ε υνδυαµό µε µικρά δείγµατα.
διαπορές κατανοµές, των X, X των X, X κατανοµή της γνωτές κανονική ( ) ( µ µ ) z ~ γνωτές γνωτές άγνωτες άνιες ή ίες άγνωτες και ίες άγνωτες και ίες άγνωτες και άνιες µη κανονική µη κανονική κανονική µη κανονική µεγάλα µικρά µεγάλα µικρά µικρά µικρά z z t Ν ( ) ( µ µ ) µη-παραµετρική µη-παραµετρική ---- (0,) ~ Ν(0,) ( ) ( µ µ ) ~ Ν(0,) ( ) ( µ µ ) ~ t δ.ε.της ( ) ( ) ( ) ± z ± z a / a / µη-παραµετρικό µη-παραµετρικό ---- ± za / ( ) ± t, a /
ιάτηµα της διαφοράς δύο αναλογιών Συγκρίνουµε δύο πληθυµούςωςπροςµια ιδιότητα Μελετάµε τηδιαφοράαναλογιών m είναι το πλήθος «επιτυχιών» το δείγµα m ˆ µεγέθους απότονπρώτοπληθυµό m είναι το πλήθος «επιτυχιών» το δείγµα m ˆ µεγέθους απότοδεύτεροπληθυµό Εκτίµηη της διαφοράς : ˆ ˆ Για µεγάλα και ˆ ˆ µέη τιµή ακολουθεί κανονική κατανοµή Var ˆ ˆ Ε[ ˆ ˆ ] διαπορά [ ] Μεταχηµατιµός ε τυπική κανονική κατανοµή Αντικαθιτούµε ˆ ˆ z ( ˆ ˆ ) ( ) (-a)% δ.ε. της : ( ˆ ˆ ) ~ Ν(0,) ( ) ( ) ± z a / ˆ ( ) ( ) ( ˆ ) ˆ ( ˆ )
Παράδειγµα Θέλουµε ναεκτιµήουµε αν υπάρχει διαφορά το ποοτό των µικρών διαµεριµάτων ε δύο περιοχές Α και Β. Περιοχή Α: m 48 µικρά διαµερίµατα (µε έναήδύοδωµάτια) ε 0 διαµερίµατα Περιοχή B: m 60 µικρά διαµερίµατα ε 00 διαµερίµατα 48 Περιοχή Α: ειγµατική αναλογία : ˆ 0.4 0 60 Περιοχή Β: ειγµατική αναλογία : ˆ 0. 6 00 Σηµειακή εκτίµηη της διαφοράς αναλογίας των µικρών διαµεριµάτων τις δύο περιοχές: ˆ 0. (ε ποοτό είναι 0%) ˆ 95% δ.ε. της : (z a/.96) ( 0.4) 0.6( 0.6) ( ˆ ˆ ) 0.4 0. ±.96 0. ± 0.3 0 00 ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) Το 95% δ.ε. δεν περιέχει το 0 µε βάηαυτάταδείγµατα και ' αυτό το επίπεδο εµπιτούνης υµπεραίνουµε ότι η αναλογία µικρών διαµεριµάτων είναι από 0.07 ως 0.33 µικρότερη την περιοχή Α ± z a / ˆ ( 0.33, 0.07)