Β. ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ-ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 1.Ισοσταθμικές.Εξίσωση υποκατάστασης-ρυθμός υποκατάστασης 3.Κλίση ισοσταθμικών 4.Κυρτότητα ισοσταθμικών 5.Εξαρτημένες συναρτήσεις 6.Επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης 7.Ιακωβιανές Ορίζουσες ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 8.Εξισώσεις διαφορικών 9.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 10.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 11.Οιονεί κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 1.Κανονικά σημεία. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ισοσταθμικές: (, ) = c Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και την παράστασή της ως επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο: = (, ) Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάσαμε κατακόρυφες τομές της επιφάνειας. Τώρα θα εξετάσουμε τομές της επιφάνειας με οριζόντια επίπεδα κάθετα στον άξονα. Έτσι η τομή της με το οριζόντιο επίπεδο: = c δίνει μια οριζόντια καμπύλη στο χώρο, της οποίας η προβολή στο επίπεδο O παριστάνεται με την εξίσωση: (, ) = c Καλείται ισοσταθμική της με τιμή c διότι στα σημεία της η = c συνάρτηση έχει τη σταθερή τιμή c. Γενικά κάθε ισοσταθμική χωρίζει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στο επίπεδο Oσε δύο υποπεριοχές, οι οποίες καλούνται: + A c : (,) c, πάνω σταθμική A + A c c (, ) = c (, ) = c A c : (,) c, κάτω σταθμική Στην πάνω σταθμική περιοχή η συνάρτηση έχει τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με το c και στη κάτω μικρότερες ή ίσες με το c. Ειδικά η μηδενική ισοσταθμική: (, ) = 0, χωρίζει την περιοχή των θετικών τιμών από την περιοχή των αρνητικών τιμών. Παράδειγμα. Θα δώσουμε γραφήματα ισοσταθμικών, με πεδίο ορισμού στη θετική περιοχή: 0, 0. 1. =, γραμμική. Παριστάνει επίπεδο, που τέμνει τους άξονες, ως εξής:. ( = 0, = 0) =, τομή με τον άξονα ( = 0, = 0) = 1, τομή με τον άξονα 1 ( = 0, = 0) = 1, τομή με τον άξονα = 0 + =, τομή με το O επίπεδο 1 Ισοσταθμικές της είναι οι παρακάτω παράλληλες ευθείες, για διάφορες τιμές του c : = c + = 1 c /. = Cobb-Douglas (C-D) Η μηδενική ισοσταθμική αντιστοιχεί στους θετικούς ημιάξονες. = = 0 = 0 ή = 0 Οι υπόλοιπες ισοσταθμικές είναι υπερβολικές καμπύλες: = c = c / 3. = 4 + + = 1 ( ) ( 1), τετραγωνική Έχει μέγιστη τιμή: = 1. Η αντίστοιχη ισοσταθμική αποτελείται από ένα μόνο σημείο: ( =, = 1). Για τιμές = c < 1, οι ισοσταθμικές είναι ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο (,1) και ακτίνα 1 c : = 1 ( ) ( 1) = c ( ) + ( 1) = 1 c Για = c > 1 δεν υπάρχουν ισοσταθμικές, διότι η συνάρτηση δεν παίρνει τιμές μεγαλύτερη του 1. 1
4. Δίνουμε και τα παρακάτω γραφήματα ισοσταθμικών χωρίς τις αντίστοιχες επιφάνειες, στη θετική περιοχή. 1 + + ( + 1) ln + ( + 1)( + ) ln ln = ln( / ) 1 1 Παρατήρηση. Γενικά, οι ισοσταθμικές σχηματίζουν μια οικογένεια διακριτών καμπύλων στο επίπεδο O, η οποία ερμηνεύεται ως επίπεδη παράσταση της αντίστοιχης επιφάνειας, όπως ακριβώς οι ανάγλυφοι χάρτες παριστάνονται με τις ισοϋψείς τους. Η ισοσταθμική που διέρχεται από το τυχόν σημείο ( 0, 0) παριστάνεται με την εξίσωση: (,) = (, ) 0 0. Εξίσωση υποκατάστασης-ρυθμός υποκατάστασης Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών: = (, ) Στο προηγούμενο κεφάλαιο Β1 εξετάσαμε την σχέση της εξαρτημένης με κάθε μια ανεξάρτητη μεταβλητή, κρατώντας την άλλη σταθερή. Τώρα θεωρούμε σταθερή την εξαρτημένη: = c οπότε βρίσκουμε μια σχέση μεταξύ των {,}, στη μορφή εξίσωσης: (, ) = c Καλείται εξίσωση υποκατάστασης και παριστάνεται γραφικά με την αντίστοιχη ισοσταθμική. Η εξίσωση υποκατάστασης ορίζει πλεγμένα δύο συναρτήσεις που είναι αντίστροφες μεταξύ τους: (,) = c { = () ή = ()} Καλούνται συναρτήσεις υποκατάστασης. Τώρα τα {,} δεν είναι πλέον ανεξάρτητα μεταξύ τους. Καθώς το ένα μεταβάλλεται το άλλο επίσης μεταβάλλεται, έτσι ώστε το να παραμένει σταθερό. Ο (οριακός) ρυθμός αυτής της μεταβολής καλείται ρυθμός υποκατάστασης και παριστάνεται με την πλεγμένη παράγωγο: d d (, ) = c () = ή () = d d Λέμε ότι: με σταθερό, αύξηση του κατά 1 μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά () μονάδες οριακά, ή αντίστροφα μια επιπλέον μονάδα του μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά () μονάδες, οριακά. Οι δύο συναρτήσεις υποκατάστασης είναι αντίστροφες μεταξύ τους, οπότε και οι ρυθμοί υποκατάστασης { (), ()} είναι ανάστροφες μεταξύ τους. Η παραπάνω πλεγμένη παράγωγος συνδέεται με τις μερικές παραγώγους της αρχικής συνάρτησης: {, }, ως εξής: d d Βασικός τύπος πλεγμένης παραγώγισης Ι: (, ) = c = αν 0 & = αν 0 d d Δηλαδή, με σταθερό, αύξηση του κατά 1 μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά /, οριακά, ή ισοδύναμα μεταβολή του κατά μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά, οριακά. Απόδειξη. Αναφέραμε στο προηγούμενο κεφάλαιο ότι τα διαφορικά συνδέονται με την εξίσωση διαφορικών: d = d + d Για σταθερό = c θα έχουμε d = 0, οπότε τα διαφορικά των {,} θα συνδέονται με την εξίσωση διαφορικών: d + d = 0 που μας δίνει ακριβώς τους παραπάνω τύπους πλεγμένης παραγώγισης.
Παράδειγμα. Θα επαληθεύσουμε τον τύπο πλεγμένης παραγώγισης με: 1/ 3 / 3 = = c / 3 / 3 1/ 3 / 3 3 / 1/ d 3 / 3 / / 3 αριστερό: = c = c = c /, δεξιό: = = 1/ 3 1/ 3 d / 3 Αντικαθιστώντας το στο δεξιό μέρος, βρίσκουμε την ίδια παράσταση. Παρατήρηση. Αν έχουμε συγκεκριμένη συνάρτηση, η πλεγμένη παράγωγος μπορεί να βρεθεί και απευθείας από τη σχέση (,) = c με την γνωστή διαδικασία πλεγμένης παραγώγισης, όπου θεωρούμε μια μεταβλητή ως συνάρτηση της άλλης. Π.χ. για την παράγωγο της παραπάνω πλεγμένης συνάρτησης = (), βρίσκουμε: ( ) 1/ 3 / 3 / 3 / 3 1/ 3 1/ 3 = (c) / 3 + / 3 = 0 = / Ο υπολογισμός γίνεται ευκολότερος αν πάρουμε πρώτα λογαρίθμους: 1/ 3 / 3 1 1 1 = c ln + ln = lnc + = 0 = 3 3 3 3 Αντίστοιχο τύπο βρίσκουμε για την ελαστικότητα των πλεγμένων συναρτήσεων, που καλείται και πλεγμένη ελαστικότητα: E = (,) = c E = E Δηλαδή: με σταθερό, 1% αύξηση του μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά (E)%,ή ισοδύναμα: μεταβολή του κατά (Ε)% μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά (Ε)%, οριακά Παρατήρηση. Ο όρος ελαστικότητα υποκατάστασης έχει διαφορετική ερμηνεία και δεν χρησιμοποιείται στο παραπάνω πλαίσιο. Απόδειξη. Από το προηγούμενο κεφάλαιο βρίσκουμε για σταθερό την εξίσωση: %d = (E )(%d) + (E )(%d) = 0 που μας δίνει ακριβώς τον παραπάνω τύπο Παράδειγμα.. Στο προηγούμενο παράδειγμα, βρίσκουμε: 1/ 3 / 3 E 1/ 3 1 = = c E = = = E / 3 Δηλαδή, αύξηση του κατά 1% μπορεί να υποκαταστήσει μείωση του κατά 0.5%. Πράγματι η εξίσωση υποκατάστασης μας δίνει ομογενή συνάρτηση με την παραπάνω ελαστικότητα: 1/3 /3 3/ 1/ = c = c Παρατηρούμε ότι η παράγωγος και η ελαστικότητα της κάθε μεταβλητής ως προς την άλλη είναι αντιστρόφως ανάλογοι των αντίστοιχων μερικών παραγώγων ή μερικών ελαστικοτήτων. Δηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η παράγωγος ή η ελαστικότητα ως προς μια μεταβλητή τόσο μεγαλύτερη είναι η ικανότητά της συγκεκριμένης μεταβλητής για υποκατάσταση, με την έννοια ότι υποκαθιστά μεγαλύτερη ποσότητα της άλλης. 3. Κλίση ισοσταθμικών. Η κλίση των ισοσταθμικών συνδέεται με τις ιδιότητες μονοτονίας της συνάρτησης (,), δηλαδή με τα πρόσημα των {, }, λόγω της σχέσης: d (, ) = c () = = d Ειδικότερα: 3
1. Οι ισοσταθμικές έχουν αρνητική κλίση αν τα {, } έχουν το ίδιο πρόσημο, δηλαδή αν η συνάρτηση (, ) είναι μονότονη. Πράγματι, αν τα {, } έχουν το ίδιο πρόσημο τότε οι μεταβολές των {,} επηρεάζουν την με τον ίδιο τρόπο, οπότε για να μείνουμε σε μια ισοσταθμική ώστε να μην μεταβληθεί η τιμή της συνάρτησης, θα πρέπει όταν αυξάνουμε τη μία μεταβλητή να ελαττώνουμε την άλλη. Έτσι η ισοσταθμική θα έχει αρνητική κλίση, δηλαδή η πλεγμένη συνάρτηση: (, ) = c = () θα είναι φθίνουσα. Λέμε ότι έχουμε υποκατάσταση.. Οι ισοσταθμικές έχουν θετική κλίση αν τα {, } έχουν αντίθετο πρόσημο, δηλαδή αν η συνάρτηση (, ) δεν είναι μονότονη. Πράγματι, αν τα {, } έχουν αντίθετο πρόσημο, τότε οι μεταβολές των {,} επηρεάζουν την με αντίθετο τρόπο, οπότε για να μείνουμε σε μια ισοσταθμική ώστε να μη μεταβληθεί η τιμή της συνάρτησης, θα πρέπει όταν αυξάνουμε τη μια μεταβλητή να αυξάνουμε και την άλλη για αντιστάθμισμα. Έτσι η ισοσταθμική θα έχει θετική κλίση και η πλεγμένη συνάρτηση: (, ) = c = () θα είναι αύξουσα. Λέμε ότι η υποκατάσταση αντιστοιχεί σε αντιστάθμιση. Παρατήρηση. Συχνά στις εφαρμογές ο ρυθμός υποκατάστασης ορίζεται ως το αρνητικό του παραπάνω: = / οπότε στην υποκατάσταση θα είναι θετικό. Ενίοτε ορίζεται και ως το μέτρο: (), οπότε είναι πάντοτε θετικό. 4. Κυρτότητα ισοσταθμικών Δ > 0 < 0 > 0 Δ > 0 Εκτός από την κλίση των ισοσταθμικών, ενδιαφέρον παρουσιάζει και η κυρτότητα των ισοσταθμικών. Λέμε ότι η συνάρτηση (, ) ορίζει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το αν το () είναι φθίνουσα συνάρτηση του, δηλαδή: καθώς το αυξάνει κάθε επιπλέον μοναδιαία αύξησή του υποκαθιστά ή αντισταθμίζει όλο και μικρότερη ποσότητα, οριακά. Αν συμβαίνει το αντίθετο τότε λέμε ότι η συνάρτηση ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το. Διαπιστώνουμε ότι μια συνάρτηση (,) ορίζει: φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το αν η πρώτη και η δεύτερη πλεγμένη παράγωγος: () και (), έχουν το ίδιο πρόσημο, όπως στο πρώτο και στο τέταρτο γράφημα παρακάτω. αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το αν η πρώτη και η δεύτερη πλεγμένη παράγωγος : () και (), έχουν αντίθετο πρόσημο, όπως στο δεύτερο και στο πέμπτο γράφημα παρακάτω. σταθερό ρυθμό υποκατάστασης έχουν οι γραμμικές συναρτήσεις, και οι εξαρτημένες από αυτές, όπως στο τρίτο και έκτο γράφημα παρακάτω. = c Δ < 0 = c Δ > 0 1.φθίνων. αύξων 3.σταθερό 4.φθίνων 5.αύξων 6.σταθερό υποκατάσταση αντιστάθμιση Παράδειγμα. Στη θετική περιοχή: { 0, 0} θεωρούμε τις παρακάτω συναρτήσεις: 1. (,) =, ορίζει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το. 3. 4. (, ) = +, ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το (, ) =, ορίζει φθίνοντα ρυθμό αντιστάθμισης του από το (, ) =, ορίζει αύξοντα ρυθμό αντιστάθμισης του από το 4
Παρατήρηση. Στην υποκατάσταση, αν το () είναι αύξον ή φθίνον τότε το αντίστροφο () θα έχει την ίδια ιδιότητα. Στην αντιστάθμιση ισχύει το αντίθετο, όπως διαπιστώνουμε και γραφικά από τα σχήματα. 5. Εξαρτημένες μεταξύ τους καλούνται δύο συναρτήσεις: {(,), g(,)}, αν η μια είναι μετασχηματισμός της άλλης: = H(g) (,) = H(g(,)) όπου H είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής. Αν η H είναι γνήσια μονότονη, τότε ισχύει και η αντίστροφη σχέση: 1 g = H () οπότε η κάθε συνάρτηση είναι γνήσια μονότονος μετασχηματισμός της άλλης, γνήσια αύξων αν η Η είναι γνήσια αύξουσα. Γεωμετρικά, οι εξαρτημένες συναρτήσεις χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα ότι έχουν τις ίδιες ισοσταθμικές, βέβαια με διαφορετικές τιμές. Κριτήριο εξάρτησης. Οι συναρτήσεις δυο μεταβλητών: {(,),g(,)} είναι εξαρτημένες ικανοποιείται η συνθήκη: g g Παράδειγμα 1. Οι συναρτήσεις { = ln ln, g = / } είναι εξαρτημένες στη θετική περιοχή, διότι ικανοποιείται η συνθήκη: 1/ 1/ 1 1 1 = = 0 g g / 1/ Πράγματι έχουμε: { = lng, g = e } οπότε οι ισοσταθμικές της = ln ln = ln( / ) είναι ακτίνες, όπως της g = /. α β. Οι συναρτήσεις: =, g = ln = αln + βln είναι εξαρτημένες στη θετική περιοχή και έχουν τις ίδιες ισοσταθμικές. Καλούνται τύπου C-D (Cobb-Douglas) και λογαριθμικές C-D αντίστοιχα.. Oι συναρτήσεις { = ( ), g = } είναι εξαρτημένες διότι έχουμε: = g. Κάθε ισοσταθμική της g είναι ισοσταθμική και της. Έτσι εκτός των γραμμικών, και όλες οι συναρτήσεις που είναι εξαρτημένες από τις γραμμικές έχουν ως ισοσταθμικές παράλληλες ευθείες. 6. Επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης Τα παραπάνω γενικεύονται σε συναρτήσεις με περισσότερες από δύο μεταβλητές. Τώρα οι συναρτήσεις υποκατάστασης θα είναι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και θα έχουμε επιμέρους ρυθμούς υποκατάστασης. Ειδικά στην περίπτωση συναρτήσεων 3 μεταβλητών: w = (,,) τα γραφήματα των ισοσταθμικών είναι επιφάνειες στον τρισδιάστατο χώρο: {w = c (,, ) = c} Οι πάνω και κάτω σταθμικές είναι χωρικές περιοχές που χωρίζονται από την επιφάνεια, και ορίζονται με τις ανισότητες: + (,,) = c A c : (,,) c, A c : (,,) c Στάσιμα είναι τα σημεία στα οποία μηδενίζονται όλες οι μερικές παράγωγοι: { = 0, = 0, = 0} Ο ρυθμός υποκατάστασης ορίζεται για κάθε ζεύγος μεταβλητών, κρατώντας σταθερές όλες τις υπόλοιπες: 5
Π.χ. αν θεωρήσουμε ότι η εξίσωση: w = (,,) = c ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {,}, τότε θα έχουμε συνάρτηση υποκατάστασης δύο μεταβλητών με δύο επιμέρους ρυθμούς υποκατάστασης που δίνονται από τις αντίστοιχες μερικές παραγώγους: = (,) {, } Έτσι το μέγεθος έχει τις παρακάτω δύο ισοδύναμες ερμηνείες: για σταθερό w, αύξηση του κατά μια μονάδα κρατώντας το σταθερό μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά, οριακά για σταθερά {w,} αύξηση του κατά μια μονάδα μπορεί να υποκαταστήσει μεταβολή του κατά, οριακά Αντίστοιχη ερμηνεία έχουμε για τον άλλο ρυθμό υποκατάστασης:. Ως άμεση συνέπεια του προηγούμενου κανόνα πλεγμένης παραγώγισης βρίσκουμε ότι οι επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης συνδέονται με τις μερικές παραγώγους της αρχικής συνάρτησης, ως εξής: Τύποι πλεγμένης παραγώγισης, με 1 εξίσωση και 3 μεταβλητές { w = (,, ) = c = (, ) } με =, = αν 0 Στη γενική περίπτωση ισχύει το παρακάτω: Τύποι πλεγμένης παραγώγισης με 1 εξίσωση. Θεωρούμε ότι μια εξίσωση υποκατάστασης μεταξύ πολλών μεταβλητών, ορίζει πλεγμένα τη μία από τις μεταβλητές ως συνάρτηση των υπολοίπων. Τότε οι αντίστοιχες πλεγμένες μερικές παράγωγοι δίνονται από ένα κλάσμα με αρνητικό πρόσημο που έχει για παρανομαστή πάντοτε την μερική παράγωγο της συνάρτησης ως προς την εξαρτημένη μεταβλητή και για αριθμητή την μερική παράγωγο της συνάρτησης ως προς την ανεξάρτητη για την οποία υπολογίζεται η μερική παράγωγος στο αριστερό μέρος. Παρατήρηση. Αντίστοιχοι τύποι ισχύουν για τις ελαστικότητες των πλεγμένων συναρτήσεων: 0. 0.4 0.3 Παράδειγμα. w = = c = (,) w 0. 0.4 0.7 0.3 3 = = == 0.8 0.4 0.3,w w 0. Είναι ο ρυθμός υποκατάστασης του ως προς με σταθερά w και. Αντίστοιχα για σταθερό w βρίσκουμε την ελαστικότητα του ως προς με σταθερό : E w 0.3 Ε = = = 1.5 Ew 0. Παράδειγμα. + = c = (, ) Θεωρώντας την συνάρτηση τριών μεταβλητών στο αριστερό μέρος της εξίσωσης, βρίσκουμε: (,, ) = + = = = = + +, όπου + = c Παρατήρηση. Εναλλακτικά μπορούμε να υπολογίσουμε τις πλεγμένες παραγώγους απευθείας με την γνωστή διαδικασία της πλεγμένης παραγώγισης στην αρχική εξίσωση, θεωρώντας το συνάρτηση των (,). Παραγωγίζουμε: ως προς με σταθερό : ( + ) = (c) ( + ) + = 0 = + ως προς με σταθερό : ( + ) = (c) + ( + ) = 0 = + 6
7. Ιακωβιανές Ορίζουσες Στη συνέχεια θα εξετάσουμε πλεγμένες συναρτήσεις που ορίζονται από συστήματα εξισώσεων. 1( 1,, n ) = c1 ( 1,, n ) = c n > m m( 1,, n ) = c m Ένα σύστημα εξισώσεων, με γνήσια περισσότερες μεταβλητές n από εξισώσεις m, μπορεί να θεωρηθεί ότι ορίζει m από τις μεταβλητές τις οποίες ονομάζουμε εξαρτημένες ή ενδογενείς, ως πλεγμένες συναρτήσεις των υπολοίπων n m τις οποίες ονομάζουμε ανεξάρτητες ή εξωγενείς. Λέμε ότι το σύστημα έχει τάξη m και βαθμό ελευθερίας n m. Οι παραπάνω πλεγμένες συναρτήσεις αποτελούν και τη λύση του συστήματος. Π.χ. Στην περίπτωση ενός συστήματος εξισώσεων με 3 μεταβλητές {,,}, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το σύστημα ορίζει πλεγμένα τις μεταβλητές {,} ως συναρτήσεις της τρίτης : (,, ) = α = () g(,, ) = β = () Για να διατυπώσουμε τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης στη παραπάνω γενική μορφή, ορίζουμε πρώτα την Ιακωβιανή ορίζουσα των m συναρτήσεων στο αριστερό μέρος των εξισώσεων ως προς ισάριθμο πλήθος m μεταβλητών, ως την ορίζουσα που σχηματίζεται από τις αντίστοιχες μερικές παραγώγους που είναι m m το πλήθος, τοποθετημένες σε m γραμμές και m στήλες, με κάποια διάταξη των συναρτήσεων και των μεταβλητών. Παράδειγμα. Για συναρτήσεις με 3 μεταβλητές έχουμε 3 διαφορετικές Ιακωβιανές ορίζουσες των δύο συναρτήσεων ως προς τις μεταβλητές ανά δύο: (,,) (,g) (,g) (,g) =, =, =, όπου: α β αδ βγ g(,,) (,) g g (,) g g (,) g g γ δ = Μπορούμε βέβαια να αλλάξουμε την διάταξη εμφάνισης των συναρτήσεων ή των μεταβλητών, αλλά σύμφωνα με τις γενικές ιδιότητες των οριζουσών αυτό μπορεί να επιφέρει αλλαγές μόνο στο πρόσημο της ορίζουσας. Συγκεκριμένα έχουμε αλλαγή πρόσημου κάθε φορά που εναλλάσσουμε δύο γραμμές ή δύο στήλες Γενικοί τύποι πλεγμένης παραγώγισης. Θεωρούμε ότι ένα σύστημα m εξισώσεων με n > m μεταβλητές ορίζει πλεγμένα κάποιες m από αυτές ως συναρτήσεις των υπόλοιπων n m. Τότε η κάθε πλεγμένη παράγωγος εκφράζεται μένα κλάσμα με αρνητικό πρόσημο, όπου: Στον παρανομαστή εμφανίζεται πάντοτε η Ιακωβιανή ορίζουσα των m συναρτήσεων ως προς τις m εξαρτημένες μεταβλητές, και είναι πάντοτε η ίδια. Την υποθέτουμε μη μηδενική. Στον αριθμητή εμφανίζεται η Ιακωβιανή που προκύπτει από την ορίζουσα στον παρανομαστή αν αντικαταστήσουμε την εξαρτημένη με την ανεξάρτητη που εμφανίζονται στο αριστερό μέρος. Έτσι, στο παραπάνω σύστημα εξισώσεων με 3 μεταβλητές, βρίσκουμε: Τύποι πλεγμένης παραγώγισης με εξισώσεις και 3 μεταβλητές (,g) (,g) (,, ) = α = () d (, ) g g d (, ) g g (,g) με = =, = =, αν 0 g(,, ) = β = () d (,g) (, g) d (,) (, ) g g (, ) g g Έτσι, για να υπολογίσουμε το d / d, στον παρανομαστή έχουμε την Ιακωβιανή ως προς τις εξαρτημένες μεταβλητές: (,g) / (, ), και στον αριθμητή την Ιακωβιανή (,g) / (, ) που προκύπτει από την προηγούμενη αν αντικαταστήσουμε το με το, εφόσον το ζητούμενο είναι η παράγωγος d / d. Με αντίστοιχο τρόπο υπολογίζουμε το d / d Παράδειγμα. Θεωρούμε ότι το παρακάτω σύστημα m = εξισώσεων με n = 4 μεταβλητές (,,u,v), ορίζει πλεγμένα τις μεταβλητές {,} ως συναρτήσεις των υπόλοιπων μεταβλητών {u,v}. Για να εφαρμόσουμε τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης μεταφέρουμε καταρχήν όλες τις μεταβλητές στο αριστερό μέρος. Το δεξιό μέρος μπορεί να έχει μόνο σταθερές: 7
+ = u = + u = 0 = (u, v) με παραγώγους: { u, v }, { u, v } = v g = v = 0 = (u, v) Π.χ. για την μερική παράγωγο της ως προς u με σταθερό v, βρίσκουμε: u 1 + = = = u g g g g 0 1 4 + + u Παρατήρηση. Εναλλακτικά μπορούμε να παραγωγίσουμε απευθείας τις δύο εξισώσεις θεωρώντας τα {,} ως τις αντίστοιχες πλεγμένες συναρτήσεις. Π.χ. παραγωγίζοντας ως προς u με σταθερό v, βρίσκουμε: ( + u) u = (0) u u + (u + u ) 1= 0 ( + )u + u = 1 ( v) u = (0) u u u 0 = 0 u u = 0 Έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις για τα άγνωστα { u, u}. Ο κανόνας Cramer δίνει: 1 + = = 0 1 4 + +, + 1 + 1 u = = 1 0 1 4 + + u ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 8. Εξισώσεις διαφορικών Οι κανόνες πλεγμένης παραγώγισης προκύπτουν και από τις εξισώσεις διαφορικών, με τις οποίες και είναι ισοδύναμοι. Έτσι για μια εξίσωση με 3 μεταβλητές έχουμε την γνωστή εξίσωση διαφορικών: (,,) = α d + d + d = 0 d = d d Αν θεωρήσουμε ότι η παραπάνω εξίσωση ορίζει πλεγμένα την μια μεταβλητή, έστω την ως συνάρτηση των άλλων δύο {,}, τότε θα έχουμε και την αντίστοιχη εξίσωση διαφορικών: d = d + d Συγκρίνοντας τις δυο παραστάσεις και παίρνοντας υπόψη ότι τα {d,d} είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους συμπεραίνουμε τις ισότητες: =, = d που είναι ακριβώς οι τύποι πλεγμένης παραγώγισης. Με τον ίδιο τρόπο προκύπτουν και οι γενικότεροι τύποι πλεγμένης παραγώγισης. Έτσι, για εξισώσεις με 3 μεταβλητές, βρίσκουμε: (,,) = α d + d + d = 0 d + d = d g(,,) = β gd + gd + gd = 0 gd + gd = gd Αν θεωρήσουμε ότι το παραπάνω σύστημα ορίζει πλεγμένα δύο από τις μεταβλητές, έστω (,) ως συναρτήσεις της τρίτης, τότε λύνοντας το γραμμικό σύστημα ως προς {d,d} με τον κανόνα Cramer, βρίσκουμε: d d d + d = d gd g g g g d = = gd g g d, d = = d g d + gd = gd g g g g g g g g όπου σύμφωνα με τις ιδιότητες των οριζουσών ένας κοινός παράγοντας σόλα τα στοιχεία μιας γραμμής ή στήλης μπορεί να βγει έξω από την ορίζουσα. Προκύπτουν άμεσα οι γνωστοί τύποι πλεγμένης παραγώγισης. 8
9. Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος μιας συνάρτησης (,) καλείται το επίπεδο διάνυσμα που έχει για συντεταγμένες τις δύο μερικές παραγώγους: = (, ) J ή Τοποθετείται με την αρχή του στο εκάστοτε σημείο (,) και μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο, εκτός αν η συνάρτηση είναι γραμμική οπότε είναι σταθερό. Σε κάθε σημείο η μονοτονία χαρακτηρίζεται από την κατεύθυνση της διανυσματικής παραγώγου. Υπάρχουν τέσσερες γενικές κατευθύνσεις, οι παρακάτω: αύξουσα φθίνουσα αύξουσα φθίνουσα αύξουσα φθίνουσα φθίνουσα αύξουσα δεξιά-πάνω αριστερά-κάτω δεξιά-κάτω αριστερά-πάνω Αναφέρουμε χωριστά τις τέσσερις ειδικές κατευθύνσεις όπου η μία μερική παράγωγος είναι μηδενική και η άλλη μη μηδενική, οπότε η κατεύθυνση της διανυσματικής παραγώγου είναι: οριζόντια αν { 0, = 0}, κατακόρυφη αν { = 0, 0}. Αν οι δύο μερικές παράγωγοι έχουν το ίδιο πρόσημο, όπως στα δύο πρώτα γραφήματα του παραπάνω σχήματος, τότε η συνάρτηση είναι μονότονη. Ειδικότερα μια συνάρτηση είναι: αύξουσα αν η διανυσματική παράγωγος δείχνει πάνω-δεξιά όπως στο πρώτο γράφημα με: { 0, 0} φθίνουσα αν δείχνει κάτω-αριστερά όπως στο δεύτερο γράφημα με: { 0, 0} Παράδειγμα. (, ) = + (,) = (, ) = (4,) Σκιαγραφούμε τις διανυσματικές παραγώγους στα σημεία: {A : (0,1) = (0,)}, {B : (1,0) = (4,0)}, {Γ : (1,1) = (4,)}, {Δ : (0,0) = (0,0)} A Γ Παρατηρούμε ότι είναι αύξουσα στη θετική περιοχή. Το Δ είναι στάσιμο σημείο με μηδενική διανυσματική παράγωγος. Στο Δ η συνάρτηση έχει Δ B ελάχιστη τιμή μηδενική, ενώ παντού αλλού είναι γνήσια θετική. Παρατήρηση. Η διανυσματική παράγωγος καλείται επίσης διανυσματική κλίση (gradient), και τότε παριστάνεται ως διάνυσμα στήλη με τον συμβολισμό: (, ) ή grad(, ) = 10. Ιδιότητες των ισοσταθμικών Υπάρχει μια ιδιαίτερη σχέση μεταξύ των διανυσματικών παραγώγων και των ισοσταθμικών, μιας συνάρτησης = (, ), ως εξής: 1. Σε κάθε σημείο (,), η διανυσματική παράγωγος είναι κάθετη στην Δc > 0 ισοσταθμική που διέρχεται από το ίδιο σημείο και δείχνει στην κατεύθυνση της Δs = c+ Δc πάνω σταθμικής. Αυτό συμβαίνει διότι σε σχέση με την επιφάνεια η ισοσταθμική δείχνει την κατεύθυνση σταθερού υψόμετρου, ενώ η διανυσματική παράγωγος την κατεύθυνση μέγιστης ανωφέρειας. Στο οριζόντιο επίπεδο οι δύο κατευθύνσεις είναι κάθετες μεταξύ τους. = c. Σε κάθε σημείο το μήκος της διανυσματικής παραγώγου είναι αντιστρόφως ανάλογο της απόστασης μεταξύ γειτονικών ισοσταθμικών, δηλαδή ανάλογο της πυκνότητας των ισοσταθμικών. Αυτό συμβαίνει διότι όσο κοντύτερα βρίσκονται οι ισοσταθμικές μεταξύ τους τόσο γρηγορότερα μεταβάλλονται οι τιμές της συνάρτησης, δηλαδή τόσο πιο απότομη είναι η επιφάνεια και μεγαλύτερη η διανυσματική παράγωγος. 9
Έτσι, σε κάθε σημείο, η διανυσματική παράγωγος δείχνει την κατεύθυνση προς την οποία η συνάρτηση αυξάνει με τον γρηγορότερο ρυθμό ο οποίος και είναι ίσος με το μήκος της διανυσματικής παραγώγου. Στην αντίθετη από την παραπάνω κατεύθυνση έχουμε την πιο απότομη κατωφέρεια προς την οποία οι τιμές της συνάρτησης μικραίνουν με τον γρηγορότερο ρυθμό. Στα στάσιμα σημεία η διανυσματική παράγωγος είναι μηδενική και δεν ορίζεται κατεύθυνση αύξησης ή μείωσης των τιμών. Συνήθως στα σημεία αυτά η συνάρτηση έχει ακρότατη τιμή, μέγιστη ή ελάχιστη, οπότε πράγματι δεν ορίζεται ειδική κατεύθυνση αύξησης ή μείωσης των τιμών της. Παράδειγμα. (, ) = + (,) = (, ) = (4,) Σκιαγραφούμε τις ισοσταθμικές και τις διανυσματικές παραγώγους στα σημεία: {A : (0,1) = (0,)}, {B : (1,0) = (4,0)}, {Γ : (1,1) = (4,)}, {Δ : (0,0) = (0,0)} Στα {A,B,Γ} οι διανυσματικές παράγωγοι είναι κάθετες στις αντίστοιχες A Γ ισοσταθμικές και δείχνουν προς τις πάνω σταθμικές περιοχές. Είναι μεγαλύτερες Δ B όπου οι ισοσταθμικές είναι πιο πυκνές, δηλαδή απέχουν μεταξύ τους λιγότερο. Στο Δ έχουμε στάσιμο σημείο με μηδενική διανυσματική παράγωγο. Παράδειγμα. (,) = στη θετική περιοχή: { 0, 0} 1. Οι ισοσταθμικές είναι οριζόντιες παραβολές, με θετική κλίση: (,) = = c = + c. Οι πάνω σταθμικές είναι προς τα δεξιά-κάτω όπως η γραμμοσκιασμένη περιοχή στο σχεδιάγραμμα: (,) = c + c. Οι μερικές παράγωγοι έχουν αντίθετο πρόσημο: = 1> 0, = 0 Η συνάρτηση (,) είναι: αύξουσα, φθίνουσα. Η διανυσματική κλίση δείχνει δεξιά-κάτω, εκτός των σημείων στον άξονα που δείχνει δεξιά. Σε κάθε περίπτωση είναι κάθετη στην ισοσταθμική και δείχνει προς την πάνω σταθμική. Παράδειγμα. Οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν σταθερή διανυσματική παράγωγο και παράλληλες ευθείες ως ισοσταθμικές, με σταθερό ρυθμό υποκατάστασης: d α = α + β + γ = c d = β {Δ = 1 α υποκαθιστά Δ = } ή {Δ = β υποκαθιστά Δ = α } β Αναφέρουμε τις παρακάτω ειδικές περιπτώσεις: =. Οι ισοσταθμικές είναι οριζόντιες ευθείες: = c. Όσο και να αυξάνει το η διατήρηση της τιμής της συνάρτησης απαιτεί το ίδιο. Ορίζει μηδενικό ρυθμό υποκατάστασης του από το, δηλαδή το δεν μπορεί να υποκαταστήσει το : { = 0, = 1} = 0. =. Οι ισοσταθμικές είναι κατακόρυφες ευθείες: = c. Όσο και να αυξάνει το η διατήρηση της τιμής της συνάρτησης απαιτεί το ίδιο. Ορίζει μηδενικό ρυθμό υποκατάστασης του από το, δηλαδή το δεν μπορεί να υποκαταστήσει το : { = 1, = 0} = 0 Παράδειγμα 1. (, ) = + { =, = }, στη θετική περιοχή: { 0, 0} Είναι μονότονη αύξουσα και έχει ισοσταθμικές με αρνητική κλίση. Η διανυσματική παράγωγος δείχνει πάνω δεξιά προς την πάνω σταθμική. Στο στάσιμο: (0,0), η ισοσταθμική είναι σημείο και η διανυσματική παράγωγος είναι μηδενική.. Η g = + =, είναι αύξων μετασχηματισμός της, οπότε έχει τις ίδιες ισοσταθμικές, με τα ίδια χαρακτηριστικά. 1 3. Η h = ( + ) = 1/, είναι φθίνων μετασχηματισμός της, οπότε έχει τις ίδιες ισοσταθμικές, αλλά είναι μονότονη φθίνουσα και αντιστρέφει την κατεύθυνση της διανυσματικής παραγώγου. 10
11. Oιονεί κυρτές/κοίλες συναρτήσεις. Λέμε ότι μια συνάρτηση (,) είναι: οιονεί κυρτή αν οι κάτω σταθμικές είναι κυρτές περιοχές. Σ αυτή την περίπτωση για κάθε ζεύγος συνδυασμών ( 0, 0 ) και ( 1, 1) στην ίδια ισοσταθμική, η συνάρτηση θα έχει μικρότερη τιμή στους ενδιάμεσους συνδυασμούς: { t = (1 t)0 + t 1, t = (1 t)0 + t 1} με 0 t 1, διότι θα βρίσκονται όλοι στην αντίστοιχη κάτω σταθμική: (, ) = (, ) = c (, ) c για οιονεί κυρτή 0 0 1 1 t t οιονεί κοίλη αν οι πάνω σταθμικές είναι κυρτές περιοχές. Σ αυτή την περίπτωση για κάθε ζεύγος συνδυασμών ( 0, 0 ) και ( 1, 1) στην ίδια ισοσταθμική, η συνάρτηση θα έχει μεγαλύτερη τιμή στους ενδιάμεσους συνδυασμούς: { t = (1 t)0 + t 1, t = (1 t)0 + t 1} με 0 t 1, διότι θα βρίσκονται όλοι στην αντίστοιχη πάνω σταθμική: (, ) = (, ) = c (, ) c για οιονεί κοίλη 0 0 1 1 t t γνήσια οιονεί κυρτή/οιονεί κοίλη αντίστοιχα, αν επιπλέον οι ισοσταθμικές δεν έχουν ευθύγραμμο τμήμα, ή ισοδύναμα αν οι παραπάνω ανισότητες είναι γνήσιες για κάθε γνήσια ενδιάμεσο συνδυασμό: 0 < t < 1. Παρατηρούμε ότι: Αύξων μετασχηματισμός οιονεί κυρτής/οιονεί κοίλης συνάρτησης είναι επίσης οιονεί κυρτή/κοίλη, γνήσια αν ο μετασχηματισμός είναι γνήσια αύξων και η συνάρτηση γνήσια οιονεί κυρτή/κοίλη. Αντίθετα, ο φθίνων μετασχηματισμός αντιστρέφει τις δύο ιδιότητες. 1. Κανονικά σημεία μιας εξίσωσης: (, ) = c καλούνται τα σημεία της στα οποία δεν μηδενίζονται αμφότερες οι μερικές παράγωγοι. Στα κανονικά σημεία ισχύουν τα παρακάτω: 1. Αν 0 τότε η εξίσωση ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση του και ισχύουν οι αντίστοιχοι κανόνες πλεγμένης παραγώγισης.. Αν 0 τότε η εξίσωση ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση του και ισχύουν οι αντίστοιχοι κανόνες πλεγμένης παραγώγισης. Αντίθετα, στα σημεία όπου μηδενίζονται αμφότερες οι μερικές παράγωγοι της αντίστοιχης συνάρτησης: {(,) = c, (,) = 0, (,) = 0} μπορεί να μην ορίζονται πλεγμένες συναρτήσεις οπότε δεν ισχύουν και οι κανόνες πλεγμένης παραγώγισης. Καλούνται μη κανονικά ή ιδιάζοντα σημεία. Παράδειγμα 1. Η = 0 έχει όλα τα σημεία της κανονικά εκτός από το σημείο της (0,0) όπου μηδενίζονται αμφότερες οι μερικές παράγωγοι της αντίστοιχης συνάρτησης 11 : { = = 0, = = 0, = = 0} { = 0, = 0} (, ) c ( 1, 1) (, ) c ( 1, 1) ( 0, 0 ) Στο σημείο αυτό η εξίσωση σχηματίζει τεμνόμενες ευθείες και δεν ορίζεται η κλίση.. Η + = 1 έχει όλα τα σημεία της κανονικά διότι το μοναδικό σημείο (0,0) όπου μηδενίζονται οι μερικές παράγωγοι δεν ανήκει στην εξίσωση. Γενικά, κανονικά σημεία μιας εξίσωσης πολλών μεταβλητών είναι τα σημεία της στα οποία δεν μηδενίζεται τουλάχιστον μια μερική παράγωγος, οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η εξίσωση ορίζει πλεγμένα την αντίστοιχη μεταβλητή ως συνάρτηση των υπολοίπων. Γενικότερα, αν έχουμε ένα σύστημα m εξισώσεων με n μεταβλητές, όπου m < n, τότε κανονικά είναι τα σημεία τους στα οποία δεν μηδενίζεται τουλάχιστον μια Ιακωβιανή ορίζουσα των m συναρτήσεων ως προς κάποιες m μεταβλητές. Σαυτή την περίπτωση μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το σύστημα ορίζει πλεγμένα αυτές τις m μεταβλητές ως συναρτήσεις των υπόλοιπων n m οπότε και ισχύουν οι αντίστοιχοι τύποι πλεγμένης παραγώγισης. ( 0, 0 )
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Εισροές-Εκροές. Σε μια παραγωγική διαδικασία διακρίνουμε τις εισροές: {C,K,L,...} που είναι οι συντελεστές παραγωγής, και τις εκροές: {Q, X,Y,...}που είναι τα παραγόμενα προϊόντα. Θα ασχοληθούμε με απλές παραγωγικές διαδικασίες όπου έχουμε μόνο μια εκροή ή μόνο μία εισροή. 1. Δύο εισροές {K,L}, μια εκροή Q, και συνάρτηση παραγωγής Q = Q(K,L). Συνήθως οι συναρτήσεις παραγωγής έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: α) Είναι αύξουσες, με γνήσια θετικά οριακά προιόντα: QK > 0,QL > 0 β) Ορίζουν σταθερό ή φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης, δηλαδή, για σταθερή παραγωγή, κάθε αύξηση στη συμμετοχή του ενός συντελεστή υποκαθιστά κάθε φορά την ίδια ή όλο και μικρότερη ποσότητα στη συμμετοχή του άλλου. Οι ισοσταθμικές καλούνται τώρα εξισώσεις ή καμπύλες ισοπαραγωγής: Q(K,L) = q γ) Είναι οιονεί κοίλες με τις πάνω σταθμικές κυρτές, δηλαδή ενδιάμεσοι συνδυασμοί συντελεστών είναι το ίδιο ή περισσότερο παραγωγικοί από αντίστοιχους ακραίους, κατά μέσο όρο. Παρατήρηση. Η παραγωγή δεν αφορά απαραίτητα κάποιο υλικό προιόν. Π.χ. μπορεί να αφορά την παραγωγή χρησιμότητας λόγω κατανάλωσης κάποιων αγαθών στα πλαίσια της θεωρίας κατανάλωσης. Αναφέρουμε ειδικά τις συναρτήσεις παραγωγής των παρακάτω τριών τύπων: Γραμμική: Q = κk + λl Π.χ. ενέργεια: Q, παράγεται με πετρέλαιο: K ή με λιγνίτη: L. Αν μια μονάδα πετρελαίου παράγει α μονάδες ενέργειας και μια μονάδα λιγνίτη παράγει β μονάδες ενέργειας, τότε με {K,L} μονάδες αντίστοιχα θα παράγονται Q = αk + βl μονάδες ενέργειας. Λέμε ότι οι εισροές είναι πλήρως υποκατάστατες, με καμπύλες ισοπαραγωγής ευθείες και ρυθμό υποκατάστασης σταθερό: dl α 1/ β Q = αk + βl = q αdk + βdl = 0 = =, παράγωγος στην υποκατάσταση dk β 1/α Δηλαδή: 1 επιπλέον μονάδα πετρελαίου K είναι ισοδύναμη με (υποκαθιστούν) α /β μονάδες λιγνίτη L. βεπιπλέον μονάδες πετρελαίου K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α μονάδες λιγνίτη L, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια αύξηση, αβ μονάδες, στην παραγόμενη ενέργεια. 1/α επιπλέον μονάδες πετρελαίου K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) 1/βμονάδες λιγνίτη L, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια αύξηση, 1 μονάδα, στην παραγόμενη ενέργεια. α β Cobb-Douglas (C-D): Q = K L Τώρα {α,β} είναι οι ελαστικότητες του κεφαλαίου K και της εργασίας L στην παραγωγή. Δηλαδή οριακά, 1% αύξηση του κεφαλαίου K προκαλεί αύξηση της παραγωγής κατά α%, και 1% αύξηση της εργασίας L προκαλεί αύξηση της παραγωγής κατά β%. Για τον ρυθμό υποκατάστασης των συντελεστών βρίσκουμε: α β %dl α 1/β Q = K L = q α(%dk) + β(%dl) = 0 = =, ελαστικότητα στην υποκατάσταση %dk β 1/α Εναλλακτικά: α β EKQ α Q = K L = q EKL = E Q = β Δηλαδή αρχίζοντας με ποσότητες {K,L} : L 1% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) (α /β)% μονάδες εργασίας L. β% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α% μονάδες εργασίας L, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, ( ) αβ % αύξηση, στην παραγόμενη ποσότητα. (1/α)% επιπλέον μονάδες κεφαλαίου K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) (1/β)% μονάδες εργασίας L, διότι αμφότερες δίνουν την ίδια, 1% αύξηση, στην παραγόμενη ποσότητα. 1
Leontie min: Q = min{k / α, L / β} Π.χ. αν για την παραγωγή μιας μονάδας χάλυβα απαιτούνται α μονάδες σιδήρου και β μονάδες άνθρακα, τότε με {K,L} μονάδες σιδήρου και άνθρακα θα παράγονται Q = min{k / α,l / β} μονάδες χάλυβα. Λέμε ότι οι δύο εισροές είναι πλήρως συμπληρωματικές, με την έννοια ότι χρησιμοποιούνται σε σταθερή αναλογία: Κ /α = L /β Κ/L = α/β Έχουμε ρυθμό υποκατάστασης μηδενικό ή άπειρο, δηλαδή χωρίς δυνατότητα υποκατάστασης: K L K /α αν K /α L /β dl αν K /α L /β Q = min, = = α β L /β αν L /α K /β dk 0 αν L /β K /α Παραδείγματα. Δίνουμε τις καμπύλες ισοπαραγωγής κάποιων βασικών συναρτήσεων παραγωγής: Leontie-min Cobb-Douglas Γραμμική min{k /α,l /β} ρ ρ 1 (αk + βl ) :ρ < 0 α β K L + < < αk + βl ρ ρ αk βl,0 ρ 1 Παρατήρηση. Είναι όλες ομογενείς και ανήκουν στην ειδική κατηγορία των συναρτήσεων Σταθερής Ελαστικότητας Υποκατάστασης (CES). Μία εισροή C, δύο εκροές {X, Y} και συνάρτηση κόστους C = C(X, Y) Συνήθως οι συναρτήσεις κόστους έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: α) Είναι αύξουσες, με γνήσια θετικά οριακά κόστη: CX > 0, CY > 0. β) Ορίζουν σταθερό ή αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης στην παραγωγή προιόντων, δηλαδή, για σταθερό κόστος, κάθε αύξηση στην παραγωγή ενός προιόντος απαιτεί την ίδια κάθε φορά ή όλο και μεγαλύτερη μείωση στην παραγωγή του άλλου. Οι ισοσταθμικές καλούνται τώρα εξισώσεις ή καμπύλες ισοκόστους: C(X, Y) = c γ) Είναι οιονεί κυρτές με τις κάτω σταθμικές κυρτές, δηλαδή η παραγωγή ενδιάμεσων ποσοτήτων προιόντων κοστίζει το ίδιο ή λιγότερο απότι οι αντίστοιχοι ακραίοι συνδυασμοί, κατά μέσο όρο. Παρατήρηση. Το κόστος δεν αφορά απαραίτητα χρηματικό κόστος. Μπορεί να αφορά γενικότερα την χρήση κάποιου πόρου ή κάποιου συντελεστή παραγωγής, όπως στα παρακάτω παραδείγματα: Γραμμική: C = αx + βy Π.χ. μια έκταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για παραγωγή γεωργικού προιόντος X ή κτηνοτροφικού προιόντος Y. Αν μια μονάδα γεωργικού προιόντος χρειάζεται α έκταση και μια μονάδα κτηνοτροφικού προιόντος χρειάζεται β έκταση, τότε για παραγωγή {X, Y} μονάδων αντίστοιχα χρειάζεται έκταση: C = αx + βy. Λέμε ότι οι δύο εκροές είναι πλήρως υποκατάστατες, με καμπύλες ισοκόστους ευθείες και ρυθμό υποκατάστασης σταθερό: dy α C = αx + βy = c αdx + βdy = 0 dx = β Δηλαδή: 1 επιπλέον μονάδες κτηνοτροφίας K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α/β μονάδες γεωργίας L. Πράγματι: 1/α επιπλέον μονάδες κτηνοτροφίας K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) 1/β μονάδες γεωργίας L, διότι απαιτούν την ίδια 1 μονάδα επιπλέον έκταση. β επιπλέον μονάδες κτηνοτροφίας K είναι ισοδύναμες με (υποκαθιστούν) α μονάδες γεωργίας L, διότι απαιτούν την ίδια αβ μονάδα επιπλέον έκταση. Ισοδύναμες σημαίνει ότι απαιτούν την ίδια έκταση. 13
Leontie ma:c = ma{x /α, Y /β} Π.χ. αν μια μονάδα κάποιας τροφής δίνει α μονάδες θερμίδων και β μονάδες βιταμινών, τότε για την πρόσληψη {X, Y} μονάδων θερμίδων και βιταμινών αντίστοιχα απαιτούνται C = ma{x / α, Y / β} μονάδες της τροφής. Λέμε ότι οι δύο εκροές είναι πλήρως συμπληρωματικές, με την έννοια ότι παράγονται σε σταθερή αναλογία: X Y Y β = = α β X α Έχουν ρυθμό υποκατάστασης μηδενικό ή άπειρο, δηλαδή χωρίς δυνατότητα υποκατάστασης: X Y X /α αν X /α L /β dy αν X /α Y /β Q = ma, = = α β Y /β αν Y /β X /α dx 0 αν Y /β X /α Παραδείγματα. Δίνουμε παρακάτω τις καμπύλες ισοκόστους κάποιων βασικών συναρτήσεων κόστους: γραμμική τετραγωνική Leontie-ma αx + βy ρ ρ αx + βy,1< ρ < X + Y ρ ρ αx βy,ρ + > ma{x /α,y /β} Παρατήρηση. Είναι όλες ομογενείς και ανήκουν στην ειδική κατηγορία των συναρτήσεων Σταθερής Ελαστικότητας Υποκατάστασης (CES) 14
15
Β. IΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ-ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ασκήσεις 1. Θεωρούμε τις παρακάτω συναρτήσεις στη θετική περιοχή: { 0, 0}. α) Να σκιαγραφηθούν οι διανυσματικές παράγωγοι οι ισοσταθμικές και οι σταθμικές περιοχές. β) Να διερευνηθεί η μονοτονία ως προς την κάθε μεταβλητή. 1/ 1/3 +, 1,,,, ln +, e, ma{, }. Θεωρούμε δύο συναρτήσεις με ισοσταθμικές που δίνονται από τις καμπύλες του παραπλεύρως σχήματος, αντίστοιχα. Αν αμφότερες είναι αύξουσες να διερευνηθεί σε κάθε περίπτωση η μονοτονία ως προς και να σκιαγραφηθεί η αντίστοιχη πάνω σταθμική. 3. Η συνάρτηση (,) έχει τις ισοσταθμικές του παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν στα σημεία {A,B} τα πρόσημα των μερικών παραγώγων καθώς και του ρυθμού υποκατάστασης = 1 A B = 4. Στα γραφήματα παραπλεύρως δίνονται δύο ισοσταθμικές μιας συνάρτησης (,). Στα σημεία {A,B} : 1. Να εκτιμηθούν οι μερικές παράγωγοι και ο ρυθμός υποκατάστασης. Να σκιαγραφηθεί η διανυσματική παράγωγος. 1 1 B A = 6 = 3 A = 3 B = 6 5. Για τη συνάρτηση = (, ) που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση: + = 1, να διαπιστωθεί ότι δεν έχει στάσιμο σημείο, και να βρεθεί η γραμμική προσέγγιση στο (0,1,1) 6. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων επιπέδων στα αντίστοιχα σημεία (,,) των παρακάτω επιφανειών: = + στο (1,,5), + + = 9 στο (,1,) 7. Αν μια συνάρτηση (,) έχει στα σημεία: {A : (1,1), B : (1,),Γ: (,1)} τις τιμές: {0,1, } αντίστοιχα, να εκτιμηθούν, οι μερικές παράγωγοι στο Α, καθώς και η τιμή της συνάρτησης στο (0,0). 8. Να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές και οι διανυσματικές παράγωγοι μιας συνάρτησης (,) που έχει τις παρακάτω ιδιότητες στη θετική περιοχή: { 0, 0}. 1. αύξουσα, με ρυθμό υποκατάστασης: α) αύξοντα, β) φθίνοντα. φθίνουσα, με ρυθμό υποκατάστασης: α) αύξοντα, β) φθίνοντα 3. φθίνουσα, αύξουσα, με αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης(αντιστάθμισης) του ως προς. 4. αύξουσα, φθίνουσα, με αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης(αντιστάθμισης) του ως προς. 5. αύξουσα και: α) οιονεί κυρτή, β) οιονεί κοίλη 6. φθίνουσα και: α) οιονεί κυρτή, β) οιονεί κοίλη 7. φθίνουσα, αύξουσα και οιονεί κοίλη 8. αύξουσα, φθίνουσα και οιονεί κοίλη 3 9. Η συνάρτηση = () ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση: + = 9. Για ( = 1, = ) να υπολογιστεί η παράγωγος με τρεις τρόπους: α) βρίσκοντας την αντίστοιχη συνάρτηση, β) με πλεγμένη παραγώγιση, γ) με τον τύπο πλεγμένης παραγώγισης. 1/ 3 10. Δίνεται η συνάρτηση: (,p, w) = p w, και θεωρούμε ότι η εξίσωση = 0 ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {p,w}. Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι αυτής της συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. Να επαληθευτεί το αποτέλεσμα. 16
3 11. Τα μεγέθη {,,}συνδέονται με την εξίσωση: + + = 14. Στις τιμές ( = 3, = 1, = ), να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι του ως προς {,}με τρεις τρόπους: α) βρίσκοντας την αντίστοιχη συνάρτηση, β) με πλεγμένη παραγώγιση, γ) με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. 1. Στη προηγούμενη άσκηση να υπολογιστούν οι παρακάτω παράγωγοι, και να διαπιστωθεί ότι στο κάθε ζεύγος είναι ανάστροφες μεταξύ τους:,,, 13. Να βρεθούν οι Ιακωβιανές ορίζουσες του ζεύγους συναρτήσεων: 3 (,, ) = +, g(,,) = ln 14. Δίνεται η συνάρτηση: Π(,,p,v, w) = p( + ) v w, και θεωρούμε ότι το σύστημα: {Π = 0,Π = 0} ορίζει πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {p,v,w}. Να βρεθούν οι αντίστοιχες πλεγμένες παράγωγοι χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης, και να επαληθευτεί. 15. Το σύστημα: {(, ) = v, g(, ) = w} ορίζει πλεγμένα τα (,) ως συναρτήσεις των (v,w). Να βρεθούν οι παρακάτω τύποι: g g v =, w =, v =, w =, όπου Δ = = g g Δ Δ Δ Δ g g Να γίνει επαλήθευση για τις γραμμικές συναρτήσεις: = α + β, g = γ + δ 16. Η συνάρτηση = (, ) ορίζεται πλεγμένα μέσω της εξίσωσης: H( β) = α, όπου H είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής. Να διαπιστωθεί ότι ικανοποιεί: α + β = 1 17. Θεωρούμε ότι το παρακάτω σύστημα ορίζει τα {u,v} ως συναρτήσεις των {,} : αu + βv = ε + ζ με α β αδ βγ 0 γu + δv = η + θ γ δ = Να βρεθούν οι αντίστοιχες μερικές παράγωγοι, χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης, και να γίνει επαλήθευση. 17