Περί φλµάτων µετρήεων κι ποτελεµάτων Προδιοριµός φάλµτος (ή ειότητς) ενός ποτελέµτος Σφάλµ µις µετρήεως: φάλµ νγνώεως, π.χ. ±/ υποδιιρέεως κλίµκος. Σφάλµ πολλπλών, επνληπτικών µετρήεων: ( ) ( ) Πρόκειτι γι την τυπική πόκλιη εφόον υποθέουµε ότι κάθε µέτρηη κολουθεί τυχί κτνοµή φάλµτος. είνι η µέη τιµή της µετλητής κι την χρηιµοποιούµε ως την κλύτερη προέγγιη της πργµτικής τιµής της. όπου,,... είνι οι µετρήεις της µετλητής. (), () Η τυπική πόκλιη,, είνι πράµετρος της κνονικής κτνοµής (κτνοµής Gauss) η οποί (κτνοµή) περιγράφει την πιθνότητ (γι την κρίει, την πυκνότητ πιθνότητς * ) ευρέεως της τιµής της µετρούµενης ποότητς ( ) f A ep όπου A π έτι ώτε f( ) d. (4) Ιχύει ότι ( ).68 68% f d, (3). ηλδή, ότν νφέρουµε γι µι µέτρηη ότι έχει τυπική πόκλιη, δηλώνουµε ότι η πιθνότητ ν ρεθεί µι µέτρηη το διάτηµ [ -, ] είνι 68%. Ακόµη πιο υνοπτικά εννοούµε το ίδιο πράγµ ότν γράφουµε ότι η τιµή µις ποότητς είνι π.χ. 4.3±.7 ή 4.3(7), όπου εννοείτι ότι 4.3 κι.7. Σηµντικά ψηφί: Αν υπολογίουµε 4.35783 κι.697476, δεν έχει έννοι ν κτγράψουµε όλ τ ψηφί γιτί δεν είνι ηµντικά. Η ωτή πάντηη είνι 4.3±.7. ιάδοη φάλµτος: Αν έχουµε 3 ±, τότε. (5) Αν 4. 4, τότε 4 3. (6) d Γενικά, ν f(), τότε. (7) d * Η πιθνότητ ευρέεως της τιµής της µετρούµενης ποότητς το διάτηµ (,d) δίνετι πό το διφορικό f()d.
Τέλος, ν f(,,... n ) κι οι µετλητές είνι νεξάρτητες µετξύ τους (δηλ. δεν υπάρχει n υχέτιη µετξύ τους) τότε (8) n n Γενικότερ:, (9) < όπου είνι η υνδικύµνη των µετλητών κι, που ποτελεί µέτρο της υχετίεως των µετλητών υτών. φάλµτος. Η χέη (9) ποτελεί τον πλήρη τύπο διδόεως Μέθοδος Ελχίτων Τετργώνων Πρόκειτι γι γενική µέθοδο προδιοριµού των πρµέτρων (,,γ,...) µις πρότυπης χέης ( f()) η οποί θεωρούµε ότι περιγράφει τις µετρήεις µς (,,..., ). Η µέθοδος υποθέτει ότι οι ποκλίεις των υπολογιζόµενων τιµών f( ) πό τις µετρήεις, δηλ. οι ποότητες f( ) κολουθούν κνονική κτνοµή κι οι πράµετροι προδιορίζοντι µε ( ) ελχιτοποίηη της ποότητς S (ή χ την ιλιογρφί) όπου S f( ) Αυτό το άθροιµ ονοµάζουµε άθροιµ τετργώνων των ποκλίεων. Αν π.χ. η f() έχει 3 πρµέτρους, τις, κι γ, τότε S S S γ. (). () Προκύπτει έτι ύτηµ εξιώεων ως προς,, γ ιάριθµες µε τις πρµέτρους της f(). Γρµµική προρµογή Η γνωτότερη περίπτωη εφρµογής της µεθόδου είνι γι f(). () Αν,,... είνι οι τιµές της νεξάρτητης µετλητής κι,,... οι ντίτοιχες µετρήεις της εξρτηµένης µετλητής, τότε ζητούµε τις τιµές των κι γι τις οποίες S κι S., όπου S ( ) S [ ( )] κι S [ ( )]. Επιλύουµε ως προς κι : ( ) κι (3) ( ), (3)
µε ( ). (3γ) Ο υντελετής υχετίεως r είνι ο λόγος της υνδικύµνης των κι προς την ρίζ του γινοµένου των δικυµάνεων των µετλητών υτών: ( )( ) ( ) ( ) r r (4) Πολλοί υπολογιτές τέπης ή προγράµµτ υπολογίζουν τ κι. Λίγοι όµως δίνουν τ φάλµτ (τυπικές ποκλίεις) των κι. Σύµφων µε την γενική χέη µετδόεως φάλµτος (8), κι. (5) Οι τιµές δεν έχουν φάλµ (προϋπόθεη γι την µέθοδο) κι υνήθως θεωρούµε ότι όλες τις τιµές, έχουν το ίδιο φάλµ, δηλ. κι, όπου ( ) S. (6) Τότε: η (5) γίνετι (7) Όµως πό τη χέη (3) έχουµε: ( ) ( ), άρ: ( ). (8) Προµοίως,. (9)
Η υπολογιµένη εξίωη της ευθείς µς επιτρέπει ν υπολογίουµε (ν προλέψουµε) µι τιµή γι οποιδήποτε επιλεγµένη τιµή. Κι εδώ η ειότητ υτής της τιµής του µπορεί ν προδιοριθεί µε την οήθει της χέεως µετδόεως του φάλµτος (8), πάντ µε την ρητή προϋπόθεη των µη υχετιζόµενων µετλητών. Η υπολογιµένη τιµή του είνι:. Το δεν έχει φάλµ. Οι πράµετροι κι υπολογίζοντι πό τις χέεις (3) µε άη το ύνολο των ζευγών των τιµών (, ), άρ τ φάλµτ των κι δεν είνι νεξάρτητ. Συνεπώς η (8) γίνετι:, όπου () () οπότε κι οπότε η () γίνετι:
Συνεπώς: () * Αν είχµε θεωρήει (λνθµέν) ότι δεν υπάρχει υχέτιη µετξύ των πρµέτρων κι, κι εφρµόζµε την χέη (8), θ προέκυπτε µε την οήθει των (8) κι (9) το εξής: (3) Η χέη () µπορεί ν µς δώει µι ζώνη ειότητς γι τις υπολογιµένες τιµές του. ιερεύνηη της () µς επιτρέπει ν ρούµε ποιες είνι οι πιο ξιόπιτες υπολογιµένες τιµές, δηλ. ν ρούµε γι ποιες τιµές το φάλµ του υπολογιµένου γίνετι ελάχιτο. Θ υµεί υτό την θέη όπου η πρώτη πράγωγος της () ως προς γίνετι. (4) Αυτό το ποτέλεµ είνι πολύ λογικό: Οι πληροφορίες της κµπύλης (της ευθείς) είνι πιο ξιόπιτες το κέντρο άρους των τιµών του οριζόντιου άξον. Προκειµένου γι ιπέχουες τιµές υτό είνι την µέη του διτήµτος. * Γι, έχουµε κι η χέη () µς δίνει το.
Μι ποότητ που προδιορίζετι υχνά είνι η τετµηµένη επί την ρχή, δηλ. γι, γ. Το φάλµ του γ δεν µπορεί ν υπολογιθεί πό την χέη (6), λλά, µε πορεί νάλογη υτής που κτέληξε την χέη (), προκύπτει γ γ γ (5) Στ κόλουθ διγράµµτ πριτάνοντι δύο ειρές δεδοµένων κι οι ντίτοιχες υπολογιµένες ευθείες µε την µέθοδο των ελχίτων τετργώνων. 5 5 5 5 4 Οι ντίτοιχες εξιώεις των ευθείων είνι: 6 8 (.8 ±.4) (.5 ± 3) (.8 ±.4) (-8 ± 4) () () Ποότητ η ειρά η ειρά Ποότητ η ειρά η ειρά.4 85 85 -.4 55 55.846.846 3.43 3 4.83 4 385 385.486667-83.79 5 5.65 5 6.8 6.6 3.983 3.983 6 3.4 6 7 6.6 7 735.96 354.4339.4339 8.33 8 9 7.6 9 53.8 53.8.6767 45.587 9.49 S.85.85 r.833693.833693 Πίνκες µε τις τιµές των ειρών δεδοµένων κι οι ντίτοιχες υπολογιµένες ποότητες Η κλίη (), η τυπική της πόκλιη ( ), το άθροιµ των τετργώνων των ποκλίεων (S) κι ο υντελετής υχετίεως (r) είνι ίδι γι τις δύο ειρές δεδοµένων γιτί η µόνη διφορά είνι µι µετάθεη κτά των τετµηµένων. Αν υπολογίουµε την τιµή του γι 5 κι 5 πό την ντίτοιχη εξίωη χρηιµοποιώντς 7 ηµντικά ψηφί, ντί γι που υπγορεύουν οι ειότητες, η τιµή που ρίκουµε είνι επίης η ίδι: 9.7. ειότητες ύµφων µε την χέη () υπολογίζοντι ως εξής:.8 Από την (6) προκύπτει ότι 3. 9 4 6 8 Οι ντίτοιχες v
v 85 κι γι τις δύο ειρές, οµοίως η πρένθεη την () είνι 85, άρ τελικά η ειότητ του είνι.3 κι εποµένως 9.7 ±.3. Οι πρπάνω εµπειρικές πρτηρήεις ποδεικνύοντι ν ντικττήουµε ε όλες τις χέεις τις τιµές µε '. π.χ. η ποότητ της χέεως (3γ) (ο κοινός προνοµτής των πρµέτρων κι ) µεττρέπετι ως εξής: ( ) ( ) ' ' ' ( ) Αν χρηιµοποιούµε την λνθµένη χέη (3), θ προέκυπτε τυπική πόκλιη 3.4 γι την πρώτη ειρά δεδοµένων κι 64 γι την δεύτερη. Μπορεί ν µην πρτηρήουµε ότι η τιµή 3.4 είνι πράδοξη, λλά το 64 είνι προφνώς λάθος. Το υµπέρµ είνι ότι η χέη υπολογιµού του φάλµτος υπολογιµένης ποότητς µπορεί ν γίνει µε άη την χέη (8) µόνον ότν οι ποότητες δεν έχουν υχέτιη. Ας χρηιµοποιήουµε την χέη () γι κάθε µί πό τις ειρές δεδοµένων γι ν προδιορίουµε την ζώνη ειότητς. Επιειώνουµε την διπίτωη ότι το κέντρο άρους των τετµηµένων έχουµε την υψηλότερη κρίει την ικνότητ προλέψεως των τετγµένων. Επίης λέπουµε πόο µεγάλο είνι το φάλµ του γι την η ειρά. 5 5 8 6 4 - -5 - -5 5 8 6 4
Γενική περίπτωη της µεθόδου ελχίτων τετργώνων Η µέθοδος ελχίτων τετργώνων γενικεύετι γι οποιδήποτε µορφή της υνρτήεως f(). Αν η εξάρτηη της f() πό τις πρµέτρους,,... δεν είνι γρµµική, τότε η f είνι υνάρτηη του κι το ύτηµ που προκύπτει δεν είνι γρµµικό ως προς τις πρµέτρους,,... Σε τέτοιες περιπτώεις χρηιµοποιούντι επνληπτικοί λγόριθµοι διδοχικών προεγγίεων γι τον προδιοριµό των τιµών των πρµέτρων οι οποίες ελχιτοποιούν το άθροιµ των τετργώνων των ποκλίεων S. Σττιτικά Βάρη: Αν οι µετρήεις δεν έχουν τ ίδι φάλµτ, προδίδουµε τις κριέτερες µετρήεις (υτές µε µικρότερο φάλµ) µεγλύτερη ρύτητ. Αυτό επιτυγχάνετι µε την χρήη ττιτικών ρών, τ οποί είνι υντελετές κάθε όρου του θροίµτος S κι υπολογίζοντι πό τη χέη w. (6) Τότε οι χέεις µε τις οποίες υπολογίζοντι οι πράµετροι κι τροποποιούντι ως εξής γι την πρότυπη χέη f(): ' ( w w w w ) ' ( w w w w ) µε ' w w ( w ) κι. (7) Μι περίπτωη όπου η χρήη των ττιτικών ρών επιάλλετι προκύπτει ότν µετχηµτίζουµε την πρότυπη χέη f() γι ν χρηιµοποιήουµε µι γρµµική χέη. π.χ. ν f( ) Ce k, µπορούµε ν λογριθµήουµε τις µετρήεις κι ν προδιορίουµε τους υντελετές κι της χέης z, όπου z ln( ), πό τους οποίους υπολογίζοντι οι C κι k ως k- κι Ce. Αν οι µετρήεις έχουν ίδιο φάλµ,, υτό δεν θ ιχύει γι τ z. Γι ν διτηρηθεί η ρύτητ των φλµάτων των µετρήεων πρέπει ν γίνει χρήη ττιτικών ρών w z µε z ln, άρ w Τελικά, οι πράµετροι δίνοντι πό τις χέεις: k '. ( ) ln ln κι ( ln ln ) lnc ' µε ' ( ). (8) z v