ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα της μέσης τιμής και της f() οριακής τιμής: f() Af() = και Mf() = f () αντίστοιχα. (β). Οι μεταβλητές {,} είναι θετικές και συνδέονται με την εξίσωση: 4 + = 8. Να διαπιστωθεί ότι το ( =, = ) είναι σημείο ισοελαστικότητας, και να γίνει το σχετικό γράφημα. (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln(+ ), στο διάστημα. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της. (δ). Να γίνει το γράφημα της καμπύλης με εξίσωση: ( + ) = στη θετική περιοχή, και να υπολογιστεί το εμβαδό που περικλείεται από την καμπύλη και τους θετικούς ημιάξονες. (4 μονάδες) (α). Η εξίσωση + z z =, ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {,z}. Να υπολογιστούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς, στις τιμές: { =, =,z = }. (β). Η συνάρτηση f(,) είναι φθίνουσα, αύξουσα και ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης (αντιστάθμισης). Να γίνει το γράφημα μιας ισοσταθμικής της και να διερευνηθεί αν η f(,) είναι οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή. (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση: f(, ) = ln() στη θετική περιοχή. Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί ως ακρότατο το στάσιμο σημείο της. (δ). Θεωρούμε το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης: min{4 + + = }. Να βρεθεί η λύση γραφικά και αναλυτικά. Να υπολογιστεί και ο πολλαπλασιαστής Lagrange. 3 ( μονάδες) Ένα μονοπώλιο διαθέτει ένα προϊόν σε ετήσια ποσότητα Q με μοναδιαία τιμή P, οπότε το έσοδο είναι: R = QP. Αν η ελαστικότητα ζήτησης είναι ε = και το μονοπώλιο αυξάνει την τιμή με ρυθμό.5% ετησίως, να εκτιμηθούν: (α). Ο ετήσιος ρυθμός μεταβολής του εσόδου. (β). Το ετήσιο έσοδο μετά την παρέλευση ετών αν το τωρινό έσοδο είναι R = 4 ( μονάδες) Μια παραγωγική μονάδα χρησιμοποιεί συντελεστή παραγωγής K με μοναδιαίο κόστος v και παράγει ποσότητα Q = ln(+ K) ενός προϊόντος το οποίο διατίθεται με μοναδιαία τιμή. Αν η παραγωγή λειτουργεί μεγιστοποιώντας το κέρδος να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων {v,} για τις οποίες θα υπάρξει παραγωγή. Σαυτή την περίπτωση να βρεθεί το μέγιστο κέρδος ως συνάρτηση των παραμέτρων και να διερευνηθούν οι ιδιότητες: (α). Μονοτονίας, (β). Ομογένειας (γ). Κυρτότητας ΤΕΛΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες. (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τα γραφήματα της μέσης τιμής και της οριακής τιμής: f() Af() = και Mf() = f () αντίστοιχα. Λύση.. Η μέση τιμή δίνεται από την κλίση της ακτίνας. Αρχίζει με άπειρο και πέφτει συνεχώς μέχρι την οριακή τιμή που είναι η κλίση m της πλάγια ασύμπτωτης.. Η οριακή τιμή δίνεται από την κλίση της εφαπτομένης. Αρχίζοντας με αρνητική τιμή αυξάνει συνεχώς περνώντας σε θετικές τιμές μετά το στάσιμο σημείο στο A, μέχρι την οριακή τιμή που είναι η κλίση m της πλάγια ασύμπτωτης. Παρατήρηση. Οι καμπύλες δεν τέμνονται και έτσι δεν υπάρχει σημείο ισοελαστικότητας. Η οριακή τιμή της συνάρτησης είναι πάντοτε μικρότερη από την μέση τιμή της και επομένως η συνάρτηση είναι παντού ανελαστική. (β). Οι μεταβλητές {,} είναι θετικές και συνδέονται με την εξίσωση: 4 + = 8. Να διαπιστωθεί ότι το ( =, = ) είναι σημείο ισοελαστικότητας, και να γίνει το σχετικό γράφημα. Λύση. Ελέγχουμε πρώτα ότι το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση: 8 4 + = 8 4 + = 8 (,) Υπολογίζουμε και την παράγωγο () με πλεγμένη παραγώγιση: 4 4 [4 + = 8] 8 + = = = = Για την ελαστικότητα βρίσκουμε: = = που είναι και το ζητούμενο. Το γράφημα της εξίσωσης είναι έλλειψη με διπλάσια ακτίνα στην κατεύθυνση. Στο σημείο (,) η ακτίνα και η εφαπτομένη έχουν την ίδια απόλυτη κλίση. (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln(+ ), στο διάστημα. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της. Λύση. Παραγωγίζοντας την συνάρτηση, βρίσκουμε: f() = ln(+ ) f () = = (+ ), f () = (+ ) > + Η δεύτερη παράγωγος είναι θετική, οπότε η συνάρτηση είναι κυρτή και επομένως το μέγιστο θα βρίσκεται στο σύνορο: f() = f() = ln(+ ) e, διότι e > f() = ln = ln e ln = ln > Επομένως η μέγιστη τιμή της είναι f() = ln A m = tanθ A f() θ Af() Mf()
(δ). Να γίνει το γράφημα της καμπύλης με εξίσωση: ( + ) = στη θετική περιοχή, και να υπολογιστεί το εμβαδό που περικλείεται από την καμπύλη και τους θετικούς ημιάξονες. Λύση. Λύνοντας ως προς, βρίσκουμε τη συνάρτηση: = + με κατακόρυφη ασύμπτωτο στο = όπως φαίνεται στο γράφημα παραπλεύρως, περιορισμένο στη θετική περιοχή. Για το εμβαδό βρίσκουμε ότι είναι άπειρο: + + E = d = ln( + ) = ln( + ) ln= + +. (4 μονάδες) (α).η εξίσωση + z z =, ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {,z}. Να υπολογιστούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς, στις τιμές: { =, =,z = }. Λύση. Ελέγχουμε πρώτα ότι οι τιμές ικανοποιούν την εξίσωση: + =. Η παράγωγος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο πλεγμένης παραγώγισης: f f = + z z {f = + z = 5, f = = } = = =. f 5 Εναλλακτικά μπορεί να υπολογιστεί με πλεγμένη παραγώγιση ως προς, θεωρώντας το z σταθερό: ( + z z ) = ( + ) + z = 5 + = =. Τέλος υπολογίζουμε και την ελαστικότητα: E = = = =.4 5 5 (β).η συνάρτηση f(,) είναι φθίνουσα, αύξουσα και ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης. Να γίνει το γράφημα μιας ισοσταθμικής της και να διερευνηθεί αν η f(,) είναι οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή. Λύση. Η ισοσταθμική έχει θετική κλίση: d f < d f(, ) = c = < d f > d Η κλίση της μεγαλώνει (σε απόλυτη τιμή) όσο το αυξάνει, οπότε βρίσκουμε το γράφημα παραπλεύρως. Η διανυσματική παράγωγος δείχνει αριστερά-πάνω: f = (f <, f > ) f(, ) = c προς την πάνω σταθμική η οποία είναι κυρτή και επομένως η συνάρτηση είναι οιονεί κοίλη. (γ).θεωρούμε τη συνάρτηση: f(, ) = ln() στη θετική περιοχή {, }. Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί ως ακρότατο το στάσιμο σημείο της. Λύση. Βρίσκουμε πρώτα το στάσιμο σημείο f = / = f(, ) = ln() = ln + ln ( =, = ) f = / = Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον Εσσιανό πίνακα της δεύτερης παραγώγου: / f = /, f = /, f = Hf = / Ο Εσσιανός πίνακας είναι παντού αρνητικά ορισμένος: f f f
f <, f < & Δ = f f f = 4 / >. Επομένως η συνάρτηση είναι γνήσια κοίλη και το στάσιμο είναι γνήσιο ολικό μέγιστο. (δ). Θεωρούμε το πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης: min{4 + + = }. Να βρεθεί η λύση γραφικά και αναλυτικά. Να υπολογιστεί και ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Λύση. Από το γράφημα διαπιστώνουμε ότι το περιορισμένο στάσιμο δίνει ολικό ελάχιστο, διότι η ευθεία βρίσκεται στην πάνω σταθμική της εφαπτόμενης έλλειψης. Οι συνθήκες περιορισμένης στασιμότητας μας δίνουν: f = 4 + f f 8 =, g = c =, + = g = + g g Ο πολλαπλασιαστής είναι: f 8 8(/ 4) λ = = = = g {, } { / 4, / } = + = = = 3 ( μονάδες) Ένα μονοπώλιο διαθέτει ένα προϊόν σε ετήσια ποσότητα Q με μοναδιαία τιμή P, οπότε το έσοδο είναι: R = QP. Αν η ελαστικότητα ζήτησης είναι ε = και το μονοπώλιο αυξάνει την τιμή με ρυθμό.5% ετησίως, να εκτιμηθούν: (α). Ο ετήσιος ρυθμός μεταβολής του εσόδου. (β). Το ετήσιο έσοδο μετά την παρέλευση ετών αν το τωρινό έσοδο είναι R = Λύση.. Ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής γινομένου ισούται με το άθροισμα των ποσοστιαίων ρυθμών των όρων: %dr %dq %dp R = QP = + όπου: %dp =.5% ετησίως dt dt dt dt. Ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής της ζήτησης ισούται με το γινόμενο της ελαστικότητας και του ποσοστιαίου ρυθμού μεταβολής της τιμής: %dq %dq %dp = = ( )(.5%) = % ετησίως dt %dp dt (α). Αντικαθιστώντας στο, βρίσκουμε: %de = +.5 =.5% dt (β). Βρήκαμε ότι το έσοδο πέφτει με ρυθμό.5% ετησίως, δηλαδή μεταβάλλεται με σχετικό ρυθμό: r =.5. Επομένως το έσοδο μετά από έτη θα είναι: rt (.5).5 E E e e = = = e Παρατήρηση. Αν χρησιμοποιήσουμε την παραβολική προσέγγιση του εκθετικού στο, βρίσκουμε:.5 (.5) e.5 + = 95.5 4 ( μονάδες) Μια παραγωγική μονάδα χρησιμοποιεί συντελεστή παραγωγής K με μοναδιαίο κόστος v και παράγει ποσότητα Q = ln(+ K) ενός προϊόντος το οποίο διατίθεται με μοναδιαία τιμή. Αν η παραγωγή λειτουργεί μεγιστοποιώντας το κέρδος: Π(Κ) = Q(K) wk να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων {v,} για τις οποίες θα υπάρξει παραγωγή. Σαυτή την περίπτωση να βρεθεί το μέγιστο κέρδος ως συνάρτηση των παραμέτρων και να διερευνηθούν οι ιδιότητες: (α). Μονοτονίας, (β). Ομογένειας (γ). Κυρτότητας
Λύση. Η συνάρτηση κέρδους: Π(K) = R(K) C(K) = Q(K) vk = ln(+ K) vk με έχει τις παραγώγους: Π (K) = v, Π (K) = < + K (+ K) Συμπεραίνουμε ότι είναι γνήσια κοίλη στο διάστημα K, και διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:. Π () = v v. Το μέγιστο βρίσκεται στο K = και δεν θα έχουμε παραγωγή.. > v. Υπάρχει θετικό στάσιμο, οπότε το μέγιστο βρίσκεται στο στάσιμο και θα έχουμε παραγωγή: v = K = > + K v Σαυτή την περίπτωση το μέγιστο κέρδος είναι: Π = Π(K ) = ln(+ K ) vk = ln v = ln + v v v v Ως συνάρτηση των γνήσια θετικών παραμέτρων (v,) στην περιοχή της παραγωγής: > v, έχει τις παραγώγους: Πvv = / v > Πv / v = + < Π (v,) = ln ln v + v Π / Δ ΠvvΠ (Π v ) = > = = Π = ln ln v > Πv = / v Συμπεραίνουμε ότι είναι: (α). { v φθίνουσα, αύξουσα}. Το κέρδος αυξάνει όταν ελαττώνεται το κόστος του συντελεστή ή αυξάνει η τιμή του προιόντος. (β). {Ομογενής βαθμού }. Αν η τιμή του προιόντος και το κόστος του συντελεστή αυξηθούν κατά το ίδιο ποσοστό, τότε το μέγιστο κέρδος θα αυξηθεί κατά το ίδιο αυτό ποσοστό. (γ). { v κυρτή, κυρτή, (v,) κυρτή, όχι γνήσια} διότι ο Εσσιανός πίνακας H είναι θετικά ημιορισμένος: {Π >, Π >, Δ = } H. vv Π Καθώς η τιμή του προιόντος αυξάνει και το κόστος του συντελεστή ελαττώνεται, το μέγιστο κέρδος αυξάνει με αύξοντα ρυθμό Π ΤΕΛΟΣ