ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι οι ιδιοτιμές είναι ακέραιες Ένας ενδιαφέρων τρόπος για να το δούμε αυτό είναι να ορίσουμε τις κάτωθι γενικευμένες μεταβλητές q a / p q a / p / p p a / p p a όπου a είναι αυθαίρετη σταθερά με διαστάσεις μήκους (α) Επαληθεύστε ότι q, q p, p 0 και,, (β) Δείξτε ότι a L q q p p a q p q p i (γ) Επαληθεύεστε ότι L H H, όπου H, είναι η χαμιλτονιανή αρμονικού ταλαντωτή με μάζα m / a και (δ) Εξηγήστε με βάση τα ανωτέρω γιατί το L έχει ακέραιες ιδιοτιμές Άσκηση : Υπολογίστε τους μεταθέτες των συνιστωσών του r και του p με την συνιστώσα της στροφορμής u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής [ u l, p] i ( u p) [ u l, r] i ( u r) Από τα παραπάνω αποδείξτε ότι κάθε συνιστώσα του l μετατίθεται με τα βαθμωτά μεγέθη p, r και r p Άσκηση 3: Δίνεται η κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση 0, N Y Y Y m m όπου Y Y (, ) είναι η σφαιρική αρμονική (α) Να υπολογίσετε την σταθερά N (β) Να υπολογίσετε την αβεβαιότητα στα μεγέθη L και l Άσκηση 4: (α) Δείξτε ότι ένα σωματίδιο με κυματοσυνάρτηση g( r)(sin sin i cos ) έχει καθορισμένη τιμή του τελεστή στροφορμής L l L
(β) Ποιες είναι οι πιθανές τιμές μέτρησης της στροφορμής L κατά τον άξονα και με ποια πιθανότητα η κάθε μία Άσκηση 5: Σωμάτιο κινούμενο σε σφαιρικά συμμετρικό δυναμικό ευρίσκεται στην κατάσταση (,, ) N(3 ) e ar, r Ποιες τιμές θα προκύψουν κατά την μέτρηση της στροφορμής L κατά τον άξονα και με ποια σχετική πιθανότητα; Άσκηση 6: Σωμάτιο κινούμενο σε σφαιρικά συμμετρικό δυναμικό ευρίσκεται στην κατάσταση (,, ) N( ) e ar Ποια είναι η πιθανότητα μέτρηση του τετραγώνου της γωνιακής στροφορμής L να δώσει τιμές 0 και 6 αντίστοιχα; Αν μετρηθεί τιμή l, ποια είναι η σχετική πιθανότητα για τις τιμές m,,0,, ; Άσκηση 7: (α) Να δείξετε ότι σε μία κατάσταση με καθορισμένη τιμή του L οι μέσες τιμές των L και L είναι ίσες με το μηδέν Να υπολογίσετε επίσης τις μέσες τιμές <L > και <L > (β) Έστω ˆn μοναδιαίο διάνυσμα (, ) σε σφαιρικές συντεταγμένες Δείξτε την παρακάτω σχέση για την προβολή του διανύσματος της στροφορμής στην διεύθυνση ˆn : L sin cosl sin sinl cos L Εάν το σύστημα είναι σε μία n ιδιοκατάσταση των τελεστών L και L με ιδιοτιμές ποιές είναι οι αναμενόμενες (μέσες) τιμές του L n και του L ; l( l ) και m αντίστοιχα, Άσκηση 8: (α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση F(r,θ,φ) η οποία μετατίθεται με τους τρείς τελεστές της στροφορμής, είναι συνάρτηση μόνο του r (β) Εάν η συνάρτηση F(,,) μετατίθεται με μόνο έναν από τους τελεστές L, L ή L, τότε αυτή πρέπει να παρουσιάζει αξονική συμμετρία γύρω από τον αντίστοιχο άξονα συντεταγμένων Άσκηση 9: (α) Να δράσετε στην ιδιοσυνάρτηση Y με τον τελεστή L - και να προσδιορίσετε τις Y και Y 0 Να κάνετε την κανονικοποίηση (β) Προσδιορίστε επίσης τις Y,- και Y 0 δρώντας στην Y,- με τον τελεστή L + L Άσκηση 0: (α) Σύστημα περιγράφεται από την Χαμιλτονιανή H gl, Ι και I g θετικές σταθερές με κατάλληλες μονάδες Να βρείτε το ενεργειακό του φάσμα Ποιά πρέπει να είναι η σχέση των I και g έτσι ώστε η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας να είναι διπλά εκφυλισμένη (β) Στο προηγούμενο σύστημα να βρείτε την εξάρτηση από τον χρόνο της μέσης τιμής για την και συνιστώσα της στροφορμής, <L > και <L > αντίστοιχα n
L L (γ) Σύστημα περιγράφεται από την Χαμιλτονιανή H g L, όπου Ι και g I θετικές σταθερές με κατάλληλες μονάδες Να βρείτε το ενεργειακό του φάσμα Αν g 4I υπολογίστε την ενέργεια και τον βαθμό εκφυλισμού της πρώτης και τρίτης διεγερμένης κατάστασης Άσκηση : Θεωρήστε τη Χαμιλτονιανή: H L ( ) L L, όπου το ε είναι θετική σταθερά και L k η συνιστώσα k του τελεστή της στροφορμής (α) Προσδιορίστε το ενεργειακό φάσμα της H για ένα σωματίδιο χωρίς σπιν με (β) Θεωρήστε ένα σωματίδιο με κυματοσυνάρτηση (, ) N(sin cos cos ) Ποία είναι η μέση τιμή της ενέργειας; Άσκηση : Δίνεται η χαμιλτονιανή ενός συστήματος σπιν με δύο ίδιοκαταστάσεις, E H 0 0 E όπου E E R (α) Την χρονική στιγμή t 0 το σπιν του συστήματος βρέθηκε να είναι στην διεύθυνση Γράψτε την αντίστοιχη κυματοσυνάρτηση (β) Γράψτε την κυματοσυνάρτηση του συστήματος για t 0 (γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα για κάθε ενδεχόμενο αποτέλεσμα της μέτρησης του σπιν στην διεύθυνση ως συνάρτηση του χρόνου και να κάνετε τή γραφική του παράσταση Άσκηση 3: Η Χαμιλτονιανή ενός συστήματος δύο καταστάσεων είναι ένας a b ερμιτιανός πίνακας H * b a κατάσταση ( t 0) 0 με a R Εάν το σύστημα είναι αρχικά στην βρείτε την κατάσταση του συστήματος για t 0 Άσκηση 4: Η αλληλεπίδραση ενός ηλεκτρονίου με ένα σταθερό μαγνητικό πεδίο 0 περιγράφεται από την χαμιλτονιανή H 0 (α) Υπολογίστε τις ενεργειακές στάθμες του ηλεκτρονίου (β) Την χρονική στιγμή t=0 το σύστημα μετρήθηκε και το σπιν του βρέθηκε στην κατεύθυνση - Γράψτε την
κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου (γ) Βρείτε την κατάσταση του συστήματος για t>0 και υπολογίστε την πιθανότητα να μετρήσουμε το σπιν στην κατεύθυνση Άσκηση 5: Η κυματοσυνάρτηση του spin ενός ηλεκτρονίου είναι c 3c όπου οι συναρτήσεις και είναι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή της συνιστώσας του spin και c μία σταθερά κανονικοποίησης Έστω ότι μετράμε το spin του σωματιδίου στην κατεύθυνση ενός άξονα n όπου αντιστοιχεί ο τελεστής sn ( s s ), 3 όπου s και s οι τελεστές του spin στις διευθύνσεις, αντίστοιχα (α) Τι τιμές θα βρούμε για το spin του σωματιδίου σε αυτή την κατεύθυνση; (β) Ποια είναι η πιθανότητα να βρούμε κάθε μία από τις τιμές αυτές; (γ) Δώστε τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις Άσκηση 6: (α) Βρείτε τον πίνακα που παριστάνει την προβολή του διανύσματος του spin σε μια τυχούσα κατεύθυνση (θ,φ) Δείξτε ότι έχει ιδιοτιμές (β) Βρείτε το διάνυσμα Χ που περιγράφει μία κατάσταση με καθορισμένη προβολή του spin σε αυτή τη διεύθυνση Άσκηση 7: Ένα σωματίδιο έχει καθορισμένη τιμή του spin κατά τον άξονα των ίση με (α) Υπολογίστε την μέση τιμή της συνιστώσας του spin στην κατεύθυνση ˆn που σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα των (β) Υπολογίστε την πιθανότητα να βρούμε σε μία μέτρηση της προβολής του spin κατά τον άξονα ˆn την τιμή ή αντίστοιχα Άσκηση 8: Ηλεκτρόνιο, ακίνητο, ευρίσκεται σε εναλλασσόμενο μαγνητικό πεδίο που δίνεται από την σχέση B( t) B0 cos( t) ˆ Για t 0 το ηλεκτρόνιο ευρίσκεται στην ιδιοκατάσταση του τελεστή S n με ιδιοτιμή /, όπου S S n, n (/,/, 0) (α) Υπολογίστε σαν συνάρτηση του χρόνου την n πιθανότητα μέτρησης της τιμής / για το spin στη κατεύθυνση (β) Ποία είναι η πιθανότητα μέτρησης της τιμής / για το spin στην κατεύθυνση ; Άσκηση 9: Ηλεκτρόνιο, ακίνητο, ευρίσκεται σε εναλλασσόμενο μαγνητικό πεδίο που δίνεται από την σχέση B( t) B0 sin( 0t) ˆ Για t 0 το ηλεκτρόνιο ευρίσκεται στην ιδιοκατάσταση του τελεστή S με ιδιοτιμή / (α) Βρείτε την
κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου την τυχαία χρονική στιγμή t (β) Υπολογίστε σαν συνάρτηση του χρόνου την μέση τιμή για το spin στη κατεύθυνση, και Τι παρατηρείται για το διάνυσμα της μέσης τιμής του spin; S iˆ S ˆj S kˆ S Άσκηση 0: Το ηλεκτρόνιο σε άτομο υδρογόνου είναι στην κατάσταση 0 ( t 0) R /3 Y /3 Y όπου είναι οι καταστάσεις σπίν (α) Εάν μετρήσετε τα πιθανότητα έκαστη? L, L, S και S ποιες είναι οι πιθανές τιμές και με τι (β) Έστω J=L+S η ολική στροφορμή Υπολογίστε τα <J > και <J > Άσκηση : Το ηλεκτρόνιο σε ένα άτoμο υδρογόνου την χρονική στιγμή t=0 είναι στην κατάσταση ( r, t 0) N όπου είναι οι καταστάσεις σπίν και ψ nlm οι ιδιοσυναρτήσεις του ατόμου του υδρογόνου με συγκεκριμένη ενέργεια To ηλεκτρόνιο βρίσκεται υπό την επήρεια ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου B B ˆ P 0 για t>0, H=H 0 +H B, όπου H 0 V ( r ) m H B B και B L S (α) Βρείτε την κατάσταση του συστήματος για t>0 (β) Εάν μετρήσουμε το σπιν του ηλεκτρονίου στον άξονα τι τιμές θα πάρουμε και με τι πιθανότητα; (γ) Έστω J=L+S η ολική στροφορμή Ποιες είναι οι δυνατές τιμές της ολικής στροφορμής για αυτό το σύστημα? (γ) Υπολογίστε τα J Ψ και J Ψ Σε ποια τιμή της ολικής στροφορμής αντιστοιχεί η κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου; Άσκηση : Δύο σωματίδια με spin S =3/ και S = αλληλεπιδρούν τοπικά και η Χαμιλτονιανή που περιγράφει την αλληλεπίδραση είναι: όπου g μια σταθερά με τις κατάλληλες μονάδες H g S S, ( ) α) Υπολογίστε τις δυνατές τιμές της ολικής στροφορμής S των δύο σωματιδίων και τον εκφυλισμό σε κάθε περίπτωση β) Υπολογίστε τις ενεργειακές ιδιοτιμές του συστήματος
Άσκηση 3: Δύο σωματίδια με spin S =/, S =/ αλληλεπιδρούν τοπικά και η Χαμιλτονιανή που περιγράφει την αλληλεπίδραση είναι: H=k S S +k S όπου k, k σταθερές με τις κατάλληλες μονάδες (α) Υπολογίστε τις δυνατές τιμές της ολικής στροφορμής S των δύο σωματιδίων και τον εκφυλισμό σε κάθε περίπτωση (β) Υπολογίστε τις ενεργειακές ιδιοτιμές του συστήματος και γράψτε τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις () () (γ) Εάν το σύστημα τη χρονική στιγμή t=0 είναι στην κατάσταση,, ποιά είναι η πιθανότητα να βρεθεί στην κατάσταση, () () μετά από χρόνο t; Άσκηση 4: Δύο σωματίδια με μάζες m,m και spin s =, s =/ αντίστοιχα, S S αλληλεπιδρούν με δυναμική ενέργεια V ( r) g, όπου r η σχετική τους r απόσταση (α) Για ποιές τιμές του συνολικού spin των δύο σωματιδίων δημιουργούνται δέσμιες καταστάσεις, πόση ενέργεια έχουν και τι εκφυλισμό Θεωρήστε θετική και αρνητική σταθερά αλληλεπίδρασης g (β) Στην χαμηλότερη ενεργειακά στάθμη τα δύο σωματίδια έχουν σχετική τροχιακή στροφορμή l ίση με μηδέν και το ακτινικό μέρος της κυματοσυνάρτησής τους είναι R( r) Ne a Να προσδιορίσετε τη σταθερά a και τη σταθερά κανονικοποίησης Ν r mm Η ανηγμένη μάζα του συστήματος είναι m m Άσκηση 5: Στην πυρηνική φυσική χρησιμοποιούνται φαινομενολογικά δυναμικά τα οποία εξαρτώνται ρητά από το σπίν των σωματιδίων, όπως: V ( r) V ( r) S S V( r) όπου S i είναι ο τελεστής σπίν Αν το ανωτέρω δυναμικό περιγράφει αλληλεπίδραση πρωτονίου-νετρονίου (σπίν ½) βρείτε την μέση τιμή της δυναμικής ενέργειας στις καταστάσεις ολικού σπίν S και S 0 συναρτήσει των V( r ) και V( r ) η κατάσταση S 0 δεν παρατηρείται στην φύση σε αντίθεση με την S συμπεραίνετε για το V( r )? Άσκηση 6: Ένα σωματίδιο με spin s=/ κινείται σε ένα κεντρικό πεδίο δυνάμεων Βρείτε τις κυματοσυναρτήσεις του σωματιδίου οι οποίες είναι συγχρόνως ιδιοσυναρτήσεις των τριών τελεστών που μετατίθενται L, J και J =L +s (α) Α τρόπος: Γράψτε τους τελεστές J και J υπό μορφή πινάκων πχ Αν, τι
J L 0 0 L όπου L i Υποθέτοντας ότι έχουμε την L 0 εξίσωση ιδιοτιμών m όπου το m είναι ημιακέραιος 0 L πραγματικός αριθμός για να είναι οι λύσεις μονότιμες Λύνουμε κατόπιν την εξίσωση J j( j ) όπου j j ma και j j min Εφαρμογή για (β) Β τρόπος: Παίρνουμε την συνάρτηση jma, j Y X ma με την μεγαλύτερη τιμή του m j ma και εφαρμόζουμε τον τελεστή J_, j ma φορές Για να βρούμε τις κυματοσυναρτήσεις με j j min ορίζουμε πρώτα την ορθογώνια στην και κατόπιν εφαρμόζουμε τον τελεστή J_, jmin, jmin j min φορές Εφαρμογή για j ma, j Άσκηση 7: Εάν J, J και J είναι οι τελεστές που παριστάνουν τις τρείς συνιστώσες του διανύσματος της στροφορμής (α) Αποδείξτε τις ισότητες: i J i J i J i J e J e J cos( ) J sin( ), e J e J cos( ) J sin( ), i J i J e J e J cos( ) J sin( ) όπου γ είναι ένας πραγματικός αριθμός Υπόδειξη: Έστω i J A e J e i J, υπολογίστε την ποσότητα da d i J και d A (β) Δείξτε ότι η συνάρτηση e Y jm είναι ιδιοσυνάρτηση των J και J, ομοίως i J δείξτε ότι η e Y jm είναι ιδιοσυνάρτηση των J και J, με ιδιοτιμή m αντίστοιχα d (γ) Δείξτε ότι η συνάρτηση jm i J i J e e Y είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή jm J J sin cos J sin sin J cos με ιδιοτιμή m Υπόδειξη: δείξτε πρώτα n i i i i J J J J ότι e e J e e J sin cos J sin sin J cos
Άσκηση 8: Ορίζουμε J r, J θ, J φ την προβολή του διανύσματος J της στροφορμής στα μοναδιαία ορθογώνια διανύσματα r, θ και φ αντίστοιχα (α) Να δείξετε ότι οι τρείς αυτοί ερμιτιανοί τελεστές ικανοποιούν τις σχέσεις μετάθεσης των συνιστωσών της στροφορμής (β) Να δείξετε ότι ο τελεστής J J J J είναι ίσος με r J J J (γ) Να βρείτε το φάσμα ιδιοτιμών των τελεστών J και J r Άσκηση 9: Θεωρήστε τη Χαμιλτονιανή: H ( L L ) L όπου τα ε, ε είναι θετικές σταθερές και L k η k συνιστώσα του τελεστή της στροφορμής (α) Υπολογίστε το ενεργειακό φάσμα της H για ένα σωματίδιο χωρίς spin (β) Προσδιορίστε τις ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής Η για ένα σωματίδιο χωρίς spin με Άσκηση 30: (α) Εάν A και B είναι δύο τυχόντα διανύσματα και σ k οι πίνακες του Pauli, αποδείξτε την σχέση: ( A)( B) A B ( A B) (β) e i nˆ Εάν σ k οι πίνακες του Pauli και θ πραγματικός αριθμός, δείξτε ότι cos inˆ sin (γ) Αποδείξτε την σχέση: ( ) ( ) cos( ) ( )sin( ), i nˆ J i nˆ J e Je nˆ nˆ J nˆ nˆ J nˆ J όπου J ο διανυσματικός τελεστής της στροφορμής Άσκηση 3: Η Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης φορτισμένου σωματιδίου μάζας m, φορτίου q και spin s με εξωτερικό στατικό ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο είναι της μορφής H ( p qa ) qv S B H0 H B, όπου V το βαθμωτό δυναμικό, m δυναμικό Coulomb, και A το διανυσματικό δυναμικό, B A (α) Εάν A ( B r ) το διανυσματικό δυναμικό για ένα εξωτερικό σταθερό μαγνητικό πεδίο B, δείξτε ότι η Χαμιλτονιανή μπορεί να πάρει την μορφή: p q q m m 8m H qv B L ( B r ) S B Άρα H 0 p qv, m q H B L B S B ( B r ) 8m q και L L m (β) Εκτιμήστε τη σχετική συνεισφορά των δύο όρων αλληλεπίδρασης της Χαμιλτονιανής q q L B και ( B r ) m 8m για το ηλεκτρόνιο στο άτομο του υδρογόνου μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο της τάξης του ένα Tesla
Άσκηση 3: Φορτισμένο σωματίδιο μάζας m και φορτίου q, χωρίς spin, κινείται μέσα σε ένα χρονικά σταθερό και ομογενές μαγνητικό πεδίο B Η Χαμιλτονιανή του συστήματος είναι ( ) H p qa m (α) Εάν B Bˆ και A B r βρείτε τις ενεργειακές στάθμες της Χαμιλτονιανής Υπόδειξη: ορίζοντας τους κατάλληλους τελεστές P ( p qa ) και Q ( p qa ) να δείξετε ότι [ P, Q] i Να γράψετε κατόπιν την Χαμιλτονιανή στην μορφή P p με κατάλληλο ορισμό της ποσότητας ω H m Q m m (β) Δείξτε ότι [ L, H ] 0 Αμελώντας την κίνηση στην κατεύθυνση βρείτε τις ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής στο (, ) επίπεδο (στάθμες Landau) (γ) Εάν το φορτισμένο σωματίδιο αλληλεπιδρά και με ένα στατικό ηλεκτρικό πεδίο E Dˆ, όπου D θετική σταθερά με κατάλληλες μονάδες, βρείτε τις ενεργειακές στάθμες και τις ιδιοσυναρτήσεις του προβλήματος Άσκηση 33: Σωματίδιο μάζας m με spin / και μαγνητική διπολική ροπή μ εισέρχεται σε ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο B Οι συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου είναι B =0, B =-k και B =B 0 +k Η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου τη χρονική στιγμή t=0 που εισέρχεται στο μαγνητικό πεδίο είναι της μορφής p0 i 3 ( t 0) (,, ) e όπου d, R και (α) Βρείτε τις πιθανότητες P ( ), P ( ) μέτρησης της προβολής του spin ή αντίστοιχα, κατά τον άξονα των (β) Ομοίως τις πιθανότητες P ( ), P ( ) για την p p p B μέτρηση της προβολής του spin στον άξονα (γ) Εάν H m m m είναι η Χαμιλτονιανή που περιγράφει την κίνηση του σωματιδίου στο μαγνητικό πεδίο να βρείτε τις μέσες τιμές <> t, <> t, <> t των συντεταγμένων,, σαν συνάρτηση του χρόνου κίνησης μέσα στο μαγνητικό πεδίο (δ) Να εκφράσετε τις ποσότητες <> t και <> t μέσω των πιθανοτήτων P ( ) και P ( ) Τι θα βρίσκαμε εάν β=0, τι θα είχαμε εάν α=0; Ποιο είναι τα αποτέλεσμα εάν αρχικά το spin ήταν κατά τον άξονα των ; (ε) Εάν θεωρήσουμε ότι η αρχική κυματοσυνάρτηση Ψ(t=0) περιγράφει μία δέσμη σωματιδίων με spin / που κινείται με ορμή p 0 κατά τον άξονα των πως συνδέεται αυτή η άσκηση με το πείραμα Stern - Gerlach;