Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και λ R Οι ρίζες λ, λ,, λ n της χαρακτηριστικής εξίσωσης καλούνται χαρακτηριστικές τιμές ή ιδιοτιμές του πίνακα A Έστω λ i μια ιδιοτιμή του A Θεωρούμε το ομογενές σύστημα ( A λi I) x που έχει λύση διάφορη της μηδενικής αφού A λi Κάθε λύση x του ομογενούς συστήματος καλείται χαρακτηριστικό διάνυσμα ή ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ i n nn
Πρόταση Οι πίνακες A και T T A έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές ( A ο ανάστροφος του A) Πρόταση Εάν λ, λ,, λ ιδιοτιμές του A και k πραγματική σταθερά τότε οι kλ, kλ,, kλ είναι ιδιοτιμές του ka Ορισμός Ένας πίνακας λέγεται ορθογώνιος εάν AA' I Πρόταση Εάν λ μια ιδιοτιμή ενός ορθογωνίου πίνακα A τότε και η /λ είναι ιδιοτιμή του πίνακα A
Παράδειγμα Θεωρούμε τον πίνακα A 3 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A Απάντηση Θεωρούμε τον πίνακα λ ( A λi) 3 λ 3 λ λ Άρα A λi ( λ)((3 λ)( λ) ) ( λ ) + ( 3 + λ) ( λ ) ( λ 5) Θεωρούμε την εξίσωση A λi ( λ ) ( λ 5) Άρα οι ιδιοτιμές είναι οι λ 5, λ (πολλαπλότητας )
Παίρνουμε, πρώτα, λ 5 Θεωρούμε το ομογενές σύστημα ( A 5) I x, σύστημα 3 x x 3x 3 από όπου παίρνουμε το σύστημα 3x + x + x Παίρνουμε ( A I ) 3 x x + x 3 x + x 3x 3 3 H H(3) 5 : 3 : 3 3 H3( ) H( /4) H() 4 4 : : 4 4 4 4 H3( 4) δηλαδή το
Από τον τελευταίο πίνακα παίρνουμε το σύστημα x x3 x x 3 Θέτουμε x3 c, c R και παίρνουμε x x c Άρα τα ιδιοδιανύσματα x που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ 5 είναι της μορφής x ( c c c)' όπου c R ή ισοδύναμα x c c c ' c ' ( ) ( )
Παίρνουμε, στη συνέχεια, λ Θεωρούμε το ομογενές σύστημα ( A I) y, το σύστημα δηλαδή y y y 3 απ όπου παίρνουμε τη σχέση y+ y + y3 Θέτουμε y cy, 3 d και παίρνουμε y c d, y c, y3 d cd, R Οπότε τα ιδιοδιανύσματα y που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ είναι της μορφής y ( c d c d) ' όπου cd, R Άρα ισχύει y ( c d c d) ' c( ' ) + d( ' )
Παράδειγμα Θεωρούμε τον πίνακα 6 3 A 3 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A Απάντηση Θεωρούμε τον πίνακα 6 λ 3 ( A λi) 3 λ Τότε, από την εξίσωση A λi (6 λ)( λ) + 9 λ 8λ + 8 ( λ 9) προκύπτει μια ιδιοτιμή η λ 9, η οποία είναι πολλαπλότητας Θα βρούμε τώρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην παραπάνω ιδιοτιμή Θεωρούμε το ομογενές σύστημα ( A 9 I) x, δηλαδή το σύστημα 3 3 x 3 3 x από όπου παίρνουμε x+ x Θέτουμε x c, c R Άρα τα ιδιοδιανύσματα x που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ 9 είναι της μορφής x ( c c)' όπου c R
ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Πρόταση Έστω A ένας n nπίνακας ο οποίος έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές τις λ, λ,, λ n Τότε υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας T τέτοιος ώστε λ L λ L B T AT diag( λ,, λn ) M M O M L λn Η i στήλη του πίνακα T είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ i
Εφαρμογή Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη πρόταση μπορούμε να υπολογίσουμε τον πίνακα A, N, όπου A ένας n nπίνακας ο οποίος έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές Πράγματι από την προηγούμενη πρόταση έχουμε B ( T AT) T ATT AT T AT T AT Άρα A TB T Είναι προφανές ότι λ L λ B L M M O M L λn Άρα λ L λ A T L T M M O M L λn
Παράδειγμα Θεωρούμε τον πίνακα A 4 α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A β) Να βρείτε τον πίνακα T έτσι ώστε ο πίνακας T AT να είναι διαγώνιος γ) Να υπολογίσετε τον πίνακα A Απάντηση α) Δημιουργούμε τον πίνακα λ ( A λi) 4 λ Τότε, από την εξίσωση A λi ( λ)(4 λ) + λ 5λ + 6 βρίσκουμε δύο ιδιοτιμές τις λ, λ 3
Έστω, πρώτα, λ Θεωρούμε το ομογενές σύστημα ( A I) x, x x δηλαδή το σύστημα από όπου παίρνουμε x+ x Θέτουμε x c, c R Άρα τα ιδιοδιανύσματα x που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ είναι της μορφής x ( c c)' όπου c R Παίρνουμε το ιδιοδιάνυσμα x ( ' ) Έστω, τώρα, λ 3 Θεωρούμε το ομογενές σύστημα ( A 3) I y, δηλαδή το σύστημα y y από όπου παίρνουμε y+ y Θέτουμε y c, c R Άρα τα ιδιοδιανύσματα y που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λ 3 είναι της μορφής x ( c c) ' όπου c R Παίρνουμε το ιδιοδιάνυσμα y ' ( )
β) Συνεπώς παίρνουμε T γ) Βρίσκουμε τον T ο οποίος είναι ο Οπότε Άρα από όπου προκύπτει T B T AT 4 3 B T AT 3 A T T, N 3