Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Επιμέλεια: Γιάννης Κυριακόπουλος Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με την παράγουσα συνάρτηση ή αρχική συνάρτηση. Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ, ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F (x)=f(x) για κάθε x Δ. π.χ. η F(x)=xx 22 είναι μια παράγουσα της f(x)=2x, x R, αφού F (x)=(xx 22 ) =2x=f(x). Εκτός από την F και η G με G(x)=xx 22 +1 είναι παράγουσα της f αφού G (x)=(xx 22 + 11) =2x=f(x) για κάθε x R. Γενικά: Θεώρημα: Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε: όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x)=F(x)+c, c R, είναι παράγουσες της f στο Δ. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x)=F(x)+c, c R. Απόδειξη: Κάθε συνάρτηση της μορφής G(x)=F(x)+c, c R είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού G (x)=(f(x)+c) =F (x)=f(x), για κάθε x Δ. Έστω G μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε x Δ ισχύουν: F (x)=f(x) και G (x)=f(x). Άρα F (x)=g (x), για κάθε x Δ. Από γνωστό πόρισμα, υπάρχει c R, ώστε: G(x)=F(x)+c, για κάθε x Δ. π.χ. Μια παράγουσα της f(x)=2x, στο R, είναι η συνάρτηση F(x)=xx 22. Άρα σύμφωνα με το θεώρημα, όλες οι παράγουσες της f στο R, είναι της μορφής: G(x)=F(x)+c, c R, π.χ. xx 22 +1, xx 22 2, xx 22 +8 κλπ. Για να προσδιορίσουμε μια συγκεκριμένη παράγουσα της f αρκεί να γνωρίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο από το οποίο διέρχεται η CC ff, και αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τον τύπο της f, βρίσκουμε το c. ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (Οι τύποι του πίνακα αυτού ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του x που εμφανίζονται έχουν νόημα).επίσης c R.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ -- ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ -- f(x)=0 G(x)=c f(x)=ημx G(x)= συνx+c f(x)=1 G(x)=x+c f(x)= 11 G(x)=εφx+c f(x)= 11 xx f(x)=xx αα f(x)= 11 22 xx f(x)=συνx G(x)=ln xx +c σσσσσσ 22 xx f(x)= 11 ηηηη 22 xx G(x)= σφx+c α 1 G(x)= xxαα+11 αα+11 + c f(x)=eexx G(x)=ee xx +c G(x)= xx + c f(x)=αα xx G(x)= ααxx G(x)=ημx+c llllαα +c ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (που προκύπτουν με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης) c R. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ κ(x)=f (x)+g (x) κ(x)=f (x) g(x)+f(x) g (x) κ(x)= ff (xx) gg(xx) ff(xx) gg (xx) gg 22 (xx) κ(x)=g (f(x)) f (x) K(x)=f(x)+g(x)+c K(x)=f(x) g(x)+c K(x)= ff(xx) gg(xx) +c K(x)=g(f(x))+c ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (που προκύπτουν ως σύνθεση μιας συνάρτησης f με μια βασική συνάρτηση), c R. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ g(x)=f (x) g(x)= ff (xx) ff(xx) g(x)=ff αα (xx) f (x), α 1 g(x)= ff (xx) 22 ff(xx) g(x)=συνf(x) f (x) g(x)=ημf(x) f (x) g(x)= g(x)= ff (xx) σσσσσσ 22 ff(xx) ff (xx) ηηηη 22 ff(xx) G(x)=f(x)+c G(x)=ln ff(xx) +c G(x)= ffαα+11 (xx) αα+11 +c G(x)= ff(xx) +c G(x)=ημf(x)+c G(x)= συνf(x)+c G(x)=εφf(x)+c G(x)= σφf(x)+c g(x)=ee ff(xx) f (x) G(x)= ee ff(xx) +c g(x)= αα ff(xx) f (x) G(x)= ααff(xx) llllll +c
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ Αν οι συναρτήσεις F και G είναι παράγουσες των f και g αντίστοιχα και λ R τότε: α) Η συνάρτηση F+G είναι μια παράγουσα της f+g. β) Η συνάρτηση λ F είναι μια παράγουσα της λ f. Γενικά η συνάρτηση λf+κg είναι μια παράγουσα της συνάρτησης λf+κg κ,λ R Παρατηρήσεις 1)Αν FF 11, FF 22 είναι δυο παράγουσες της συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ, τότε αυτές θα διαφέρουν κατά c R, δηλαδή FF 11 (xx)= FF 22 (xx)+c. 2)Kάθε συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ, δεν έχει αναγκαία 11, 11 < xx 00 παράγουσα π.χ. f(x)= Δ=( 1,1) 11, 00 < xx < 11 Δεν υπάρχει συνάρτηση F παραγωγίσιμη στο Δ τέτοια ώστε F (x)=f(x). 3) Αποδεικνύεται ότι αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ τότε: α) έχει παράγουσα στο Δ και β)έχει άπειρες αρχικές συναρτήσεις. 4) Η παράγουσα μιας συνάρτησης αναφέρεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. 5) Για κάθε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ, οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων όλων των παραγουσών της στο xx 00 Δ είναι παράλληλες. 6) Η διαδικασία εύρεσης των παραγουσών μιας συνάρτησης f είναι αντίστροφη από τη διαδικασία παραγώγισης. Επομένως πρέπει να γνωρίζουμε καλά τους κανόνες παραγώγισης. Θέματα Θέμα 1 ο : Η συνάρτηση F είναι μια παράγουσα της f στο R. Αν η συνάρτηση F δεν είναι 1-1, να δείξετε ότι υπάρχει ξ R τέτοιο ώστε f(ξ)=0. Θέμα 2 ο : Να βρείτε τη συνάρτηση f:r R με παράγουσα την F όταν ισχύουν f(0)=1 και f(x) F(x)= ee 2222 για κάθε x R. Θέμα 3 ο : Έστω f:r R συνεχής συνάρτηση και F μια αρχική της για την οποία ισχύει: FF 22 (x) + αα 22 2α F(xx 22 ) για κάθε x R. Να δείξετε ότι: α) F(0)=F(1)=α. β) η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστο πραγματική ρίζα. Θέμα 4 ο : Να βρείτε τη συνάρτηση f :(0,+ ) R για την οποία ισχύουν f(1)=ln2 και ee ff(xx) f (x)= 11 xx22, για κάθε x (0,+ ).
Θέμα 5 ο : Να βρείτε τη συνάρτηση f:r (0,+ ) για την οποία ισχύει: (xx 22 x+1) f (x)=(2x 1) f(x) για κάθε x R και η εφαπτόμενη της CC ff στο σημείο Μ(0,f(0)) είναι παράλληλη στην ευθεία (ε): 2x+y+3=0. Θέμα 6 ο : α)η συνάρτηση f:r R είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x R ισχύει f (x)=f(x). Nα δείξετε ότι f(x)=c ee xx. β)η συνάρτηση g:(0,π) R είναι παραγωγίσιμη και για κάθε x (0,π) ισχύει [g (x) g(x)] ημx+g(x) συνx=0. Aν g ππ =1, να βρεθεί ο τύπος της g. 22 Θέμα 7 ο : Να βρείτε τη συνάρτηση f:(0,+ ) R αν η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτη την ευθεία (ε): y=3x+4 και για κάθε x (0,+ ) ισχύει f (x)= 44 xx 33. Θέμα 8 ο : Για τις συναρτήσεις f,g ισχύει : f (x)=g (x) για κάθε x R. Οι CC ff, CC gg τέμνουν τον άξονα yy στο ίδιο σημείο, f (1) g (1)= 5. Να δείξετε ότι: α) f(x)=g(x) 5x για κάθε x R. β) αν ρρ 11,ρρ 22 είναι ρίζες ετερόσημες της g(x), τότε υπάρχει ξ (ρρ 11,ρρ 22 ) τέτοιο ώστε f(ξ)=0. Θέμα 9 ο : Έστω F μια αρχική συνάρτηση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f:(,1) R. Aν είναι F(0)=1 και για κάθε x<1 ισχύουν οι σχέσεις F(x) 0 και FF 22 (x)=f(x), τότε να βρείτε: α)την παράγωγο της συνάρτησης G(x)= 11 FF(xx), x<1. β)τον τύπο της συνάρτησης f. Θέμα 10 ο : Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g:r R για τις οποίες ισχύει f(0)=2g(0), f(x)>0 για κάθε x R και f(x) g (x)=f (x) g(x) για κάθε x R. α)δείξτε ότι g(x)= 11 f(x), x R. 22 β) Βρείτε τις αρχικές συναρτήσεις G(x)=f(x) g (x), x R. Θέμα 11 ο : Έστω F μια αρχική της συνάρτησης f :(0,+ ) R για την οποία ισχύει f(1)=9 και 2F(x)=x (f(x) xx 22 2xx 33 ) για κάθε x>0. α)να αποδείξετε ότι FF(xx) xx22 =1+2x για κάθε x>0. β)βρείτε τον τύπο της f. Θέμα 12 ο : Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:r R με f(0)=1 και f(x) F( x)=1 για κάθε x R, όπου F μια αρχική της f στο R. α)να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=f(x) F( x) είναι σταθερή. β)να βρείτε τον τύπο της f.
Θέμα 13 ο : Έστω η συνάρτηση f:r R με f(0)=1 και F μια αρχική της f. Aν ισχύει f(x) F(x)=ee 2222 για κάθε x R, να αποδείξετε ότι: f(x)=ee xx. Θέμα 14 ο : Έστω g (x)=f (x)+ee xx για κάθε x R με f (0)=g (0) και f(0)=g(0). α) Να δειχτεί ότι f(x)+ee xx =g(x)+x+1. β) Αν α,β ρίζες της g(x) με α<1<β και g(1)=1, να δειχτεί ότι η f έχει από μία τουλάχιστο ρίζα στα (α,1) και (1,β). Θέμα 15 ο : Nα βρείτε συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f (x) ημx=f(x) (ημx συνx) για κάθε x (0, ππ 22 ) και f(ππ 44 )= 22. Θέμα 16 ο : Να βρεθεί συνάρτηση f:r R αν για κάθε x R ισχύει ότι f(x) f (x)=3x 1 και f(0)=1. Θέμα 17 ο : Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [0,1] και επαληθεύει τη σχέση 2f(x) f (x)=1+ff 22 (x) για κάθε x [0,1]. Να δείξετε ότι 11+ff22 (11) 11+ff 22 (00) =e.