ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Άσκηση Να μτατρέψτ τα πιο κάτω DFA στις κανονικές κφράσις που τα πριγράφουν χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις 3 2 μέχρι 3 2. Να δίξτ όλα τα στάδια της ργασίας σας. (α), 2 3 4 Λύση Σημίωση: Δίχνονται μόνο οι μη κνές μταβάσις. Βήμα : Εισαγωγή αρχικής και τλικής κατάστασης 2 3 4 t Βήμα 2(α): Αφαίρση της κορυφής * 2 3 4 t Βήμα 2(β): Αφαίρση της κορυφής 2 3 4 t * * Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 22 Σλίδα
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Βήμα 2(γ): Αφαίρση της κορυφής 3 4 t * * Βήμα 2(δ): Αφαίρση της κορυφής 4 * * * t Συμπέρασμα: Η κανονική έκφραση που πριγράφι τη γλώσσα του αυτομάτου ίναι η * * *. (β) 2, 3 Λύση: Βήμα : Εισαγωγή αρχικής και τλικής κατάστασης t 2 3 Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 22 Σλίδα 2
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Βήμα 2(α): Αφαίρση της κορυφής 2 t * 3 Βήμα 2(β): Αφαίρση της κορυφής 3 t ( * ) () Βήμα 2(γ): Αφαίρση της κορυφής t (( * )()) * Συμπέρασμα: Η κανονική έκφραση που πριγράφι τη γλώσσα του αυτομάτου ίναι η (( * )()) *. Άσκηση 2 Για κάθ μια από τις πιο κάτω κανονικές κφράσις, (α) () * (β) + () * να κατασκυάστ (i) ένα NFA που να την αναγνωρίζι, χρησιμοποιώντας την κατασκυή από τις διαφάνις 3 9 και 3, και (ii) ένα DFA που να την αναγνωρίζι, χρησιμοποιώντας τη διαδικασία μτατροπής NFA σ DFA (διαφάνις 2 37 και 2 38) Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 22 Σλίδα 3
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Λύση (α) (i) Θωρούμ την κανονική έκφραση τμήμα προς τμήμα, ξκινώντας μ τα απλούστρα κομμάτια και προχωρώντας αναδρομικά στα μγαλύτρα. Βήμα : Ακολουθί το αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα της κανονικής έκφρασης. Βήμα 2: Ακολουθί το αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα της κανονικής έκφρασης. Βήμα 3: Ακολουθί το αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα της κανονικής έκφρασης () *. Το αυτόματο προέκυψ μέσω της γνωστής κατασκυής για τον τλστή της σώρυσης η οποία φαρμόστηκ στο αυτόματο του βήματος 2. Βήμα 4: Ακολουθί το αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα της κανονικής έκφρασης () *. Το αυτόματο προέκυψ μέσω της γνωστής κατασκυής για τον τλστή της συναρμογής η οποία φαρμόστηκ στο αυτόματο του βήματος 3. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 22 Σλίδα 4
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Βήμα 5: Ακολουθί το αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα της κανονικής έκφρασης () *. Το αυτόματο προέκυψ μέσω της γνωστής κατασκυής για τον τλστή της ένωσης η οποία φαρμόστηκ στα αυτόματα των βημάτων και 4. 2 3 4 5 6 7 8 (α)(ii) Το αυτόματο που προκύπτι φαρμόζοντας τη μέθοδο μτατροπής NFA σ DFA ίναι το πιο κάτω. {,,3} {2,4,5} {6} {7} {8,5}, (β) (i) Κατασκυάζουμ το αυτόματο ακολουθώντας τα πιο κάτω νδιάμσα βήματα. Σημιώνουμ ότι, ξ ορισμού, + = *. Επομένως για να κτίσουμ το αυτόματου του τμήματος, + θα συναρμόσουμ τα αυτόματα των και *. Βήμα : Ακολουθί το αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα της κανονικής έκφρασης. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 22 Σλίδα 5
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Βήμα 2: Ακολουθί το αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα της κανονικής έκφρασης *. Βήμα 3: Ακολουθί το αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα της κανονικής έκφρασης +. Το αυτόματο έχι ληφθί μ συναρμογή των αυτομάτων από τα βήματα και 2. 2 Βήμα 4: Ακολουθί το αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα της κανονικής έκφρασης () *. Το αυτόματο έχι ληφθί σύμφωνα μ τα βήματα που ακολουθήθηκαν στο μέρος 2(α) (βήματα 2 και 3). Βήμα 5: Ακολουθί το αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα της κανονικής έκφρασης + () *. Το αυτόματο προέκυψ μέσω της γνωστής κατασκυής για τον τλστή της ένωσης η οποία φαρμόστηκ στα αυτόματα των βημάτων 3 και 4. 2 3 4 5 6 7 (ii) Από το αυτόματο που κατασκυάσαμ στο μέρος (β)(i) προκύπτι το πιο κάτω νττρμινιστικό ππρασμένο αυτόματο. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 22 Σλίδα 6
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα {2} {,,3,4} {2,5}, {6} {5} {4,7} Άσκηση 3 Έστω τυχαίο αυτόματο Μ = (Q, Σ, δ, q, F). Ορίζουμ το αυτόματο NOT(M) ως το αυτόματο (Q, Σ, δ, q, Q F). (α) Να αποδίξτ ότι αν το Μ ίναι ένα νττρμινιστικό ππρασμένο αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα L, τότ το αυτόματο NOT(M) αναγνωρίζι τη γλώσσα L { w w L} (το συμπλήρωμα της L). Είναι η κλάση των γλωσσών που αναγνωρίζονται από DFA κλιστή ως προς το συμπλήρωμα; Να αιτιολογήστ την απάντησή σας. (β) Να αποδίξτ ότι αν το Μ ίναι ένα μη νττρμινιστικό ππρασμένο αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα L, τότ δν ισχύι απαραίτητα ότι το αυτόματο NOT(M) αναγνωρίζι τη γλώσσα L { w w L}. Είναι η κλάση των γλωσσών που αναγνωρίζονται από NFA κλιστή ως προς το συμπλήρωμα; Να αιτιολογήστ την απάντησή σας. Λύση (α) Για να δίξουμ το ζητούμνο υποθέτουμ ότι Μ = (Q, Σ, δ, q, F) ίναι ένα DFA που αναγνωρίζι τη γλώσσα L και Ν = NOT(M) = (Q, Σ, δ, q, F ), όπου F = Q F. Θα αποδίξουμ ότι w L(Ν) αν και μόνο αν w (). (*) Ας υποθέσουμ λοιπόν ότι w = w w 2 w n L(N). Τότ, υπάρχι ακολουθία καταστάσων r, r,, r n του που ικανοποιί τις συνθήκς:. r = q 2. δ(, )= για i =,,n, και 3. r n Q F Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 22 Σλίδα 7
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Παρατηρούμ ότι το ίδιο μονοπάτι μφανίζται και στο αυτόματο Μ. Αφού όμως η τλυταία κατάσταση του μονοπατιού δν ανήκι στο σύνολο των αποδκτών καταστάσων του Μ, συμπραίνουμ ότι w (). Αυτό αποδικνύι την κατύθυνση της ζητούμνης πρόταση (*). Για την αντίθτη κατύθυνση, ας υποθέσουμ ότι w (). Αφού το Μ ίναι ένα νττρμινιστικό αυτόματο, υπάρχι ακολουθία καταστάσων r,r,,r n του που ικανοποιί τις συνθήκς:. r = q 2. δ(, )= για i =,,n, αλλά, αφού w(), r n F. Παρατηρούμ ότι το ίδιο μονοπάτι μφανίζται και στο αυτόματο N. Σ αυτή την πρίπτωση, αφού r n F έχουμ r n Q F, και, πομένως η λέξη w L(N). Αυτό ολοκληρώνι την απόδιξη. Το πιο πάνω γγονός συνπάγται ότι η κλάση των γλωσσών που αναγνωρίζονται από DFA ίναι κλιστή ως προς το συμπλήρωμα: Όπως έχουμ δίξι, για κάθ γλώσσα που αναγνωρίζται από κάποιο DFA υπάρχι κάποιο άλλο DFA που αναγνωρίζι το συμπλήρωμα της γλώσσας. (β) To ζητούμνο δίχνται μέσω του πιο κάτω παραδίγματος. Το μη νττρμινιστικό αυτόματο Ν αποδέχται τη γλώσσα {}. Το αυτόματο ΝΟΤ(Ν) αποδέχται τη γλώσσα {} που προφανώς δν αποτλί το συμπλήρωμα της γλώσσας του Ν. Ως κ τούτου, στην πρίπτωση των μη νττρμινιστικών αυτομάτων, αν Μ ίναι ένα μη νττρμινιστικό ππρασμένο αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα L, τότ δν ισχύι απαραίτητα ότι το αυτόματο NOT(M) αναγνωρίζι τη γλώσσα L { w w L}. 2 2 Ν ΝΟΤ(Ν) Εντούτοις, η κλάση των γλωσσών που αναγνωρίζονται από NFA ίναι κλιστή ως προς το συμπλήρωμα. Συγκκριμένα, αν θωρήσουμ οποιαδήποτ γλώσσα Λ που αναγνωρίζται από κάποιο NFA Ν, τότ το συμπλήρωμά της πίσης αναγνωρίζται από κάποιο NFA. Για να ντοπίσουμ αυτό το αυτόματο μπορούμ να μτατρέψουμ το Ν σ ισοδύναμο DFA, έστω D, και να φαρμόσουμ σ αυτό την πράξη ΝΟΤ. Το αυτόματο ΝΟΤ(D), όπως έχουμ δίξι στο μέρος (α), αναγνωρίζι τη γλώσσα. Αφού κάθ DFA ίναι και NFA το ΝΟΤ(D) ίναι ένα NFA που αναγνωρίζι τη γλώσσα. Άσκηση 4 Να αποφασίστ κατά πόσο οι πιο κάτω γλώσσς ίναι κανονικές αιτιολογώντας μ ακρίβια τις απαντήσις σας. (α) { i j k k i + j} Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 22 Σλίδα 8
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα (β) { k y k, y {,} *, και η y πριέχι τουλάχιστον k } (γ) { k y k, y {,} *, και η y πριέχι το πολύ k } (δ) {w η w πριέχι τις υπολέξις και τις ίδις φορές} Λύση (α) L = { i j k k i + j} Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L ίναι κανονική. Τότ, σύμφωνα μ το Λήμμα της Άντλησης, υπάρχι p, το μήκος άντλησης της γλώσσας, τέτοιο ώστ κάθ λέξη της γλώσσας μ μήκος μγαλύτρο από p να ικανοποιί την ιδιότητα που πριγράφται στο Λήμμα. Ας πιλέξουμ τη λέξη w = p p 2p. Τότ, σύμφωνα μ το λήμμα, w = xyz έτσι ώστ η υπολέξη xy να βρίσκται μέσα στις p πρώτς θέσις της w ( xy p) η y να ίναι μη κνή ( y ) και οποιαδήποτ πανάληψη της υπολέξης y να διατηρί την προκύπτουσα λέξη ντός της γλώσσας (xy i z L, i ). Αφού xy p, τότ πρέπι να ισχύι ότι τόσο το x όσο και το y αποτλούνται μόνο από. Επομένως, x = λ, y = μ, w = ν p 2p όπου λ+μ+ν = p. Επίσης, από το λήμμα, πρέπι να ισχύι ότι xy 2 z L. Αλλά, xy 2 z = p+μ p 2p το οποίο, από τον ορισμό της γλώσσας, δν ανήκι στην L. Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση και πομένως η υπόθσή μας ότι η γλώσσα L ίναι κανονική ήταν σφαλμένη. Συμπέρασμα: Η L ίναι μη κανονική. (β) L 2 = { k y k, y {,} *, και η y πριέχι τουλάχιστον k } H γλώσσα αυτή ίναι κανονική. Μπορούμ να την πριγράψουμ μέσω της κανονικής έκφρασης {,} * {,} *. (γ) L 3 = { k y k, y {,} *, και η y πριέχι το πολύ k } Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L 3 ίναι κανονική. Τότ, σύμφωνα μ το Λήμμα της Άντλησης, υπάρχι p, το μήκος άντλησης της γλώσσας, τέτοιο ώστ κάθ λέξη της γλώσσας μ μήκος μγαλύτρο από p να ικανοποιί την ιδιότητα που πριγράφται στο Λήμμα. Ας πιλέξουμ τη λέξη w = p p. Τότ, σύμφωνα μ το λήμμα, w = xyz έτσι ώστ η υπολέξη xy να βρίσκται μέσα στις p πρώτς θέσις της w ( xy p) η y να ίναι μη κνή ( y ) και οποιαδήποτ πανάληψη της υπολέξης y να διατηρί την προκύπτουσα λέξη ντός της γλώσσας (xy i z L, i ). Αφού xy p, τότ πρέπι να ισχύι ότι τόσο το x όσο και το y αποτλούνται μόνο από. Επομένως, x = λ, y = μ, w = ν p όπου λ+μ+ν = p. Επίσης, από το λήμμα, πρέπι να ισχύι ότι xy z L. Αλλά, xy 2 z = p μ p το οποίο, από τον ορισμό της γλώσσας δν ανήκι στην L 3. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 22 Σλίδα 9
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση και πομένως η υπόθσή μας ότι η γλώσσα L 3 ίναι κανονική ήταν σφαλμένη. Συμπέρασμα: Η L 3 ίναι μη κανονική. (δ) L 4 = {w η w πριέχι τις υπολέξις και τις ίδις φορές} Λέξις της L 4 πριλαμβάνουν τις,,,,,,,. Παρατήρηση των λέξων που ανήκουν στη γλώσσα μας οδηγί στο συμπέρασμα ότι αν μια λέξη ξκινά μ, ανήκι στη γλώσσα μόνο αν τλιώνι και μ και, παρόμοια, αν μια λέξη ξκινά μ, ανήκι στη γλώσσα μόνο αν τλιώνι και μ. Αυτό οφίλται στο γγονός ότι η υπολέξη μφανίζται σ μία συμβολοσιρά στα σημία όπου μια ομάδα από συνχόμνα ακολουθίται από μια ομάδα από συνχόμνα νώ η υπολέξη μφανίζται σ μία συμβολοσιρά στα σημία όπου μια ομάδα από συνχόμνα ακολουθίται από μια ομάδα από συνχόμνα. Επομένως για να ίναι το πλήθος των μφανίσων και ίσος σ μια λέξη πρέπι η λέξη να έχι μια από τις πιο κάτω μορφές: + + +... + +, ή + + +... + + Αυτή η πριγραφή μπορί να διατυπωθί μέσω της κανονικής έκφρασης: {,} * {,} *. Κατά συνέπια, η γλώσσα L 4 ίναι κανονική. Άσκηση 5 Έστω Α μια γλώσσα πί κάποιου αλφάβητου Σ. Ορίζουμ ως CUT(A) τη γλώσσα που πριέχι όλς τις λέξις που μπορούν να προκύψουν αν διαγράψουμ ένα οποιοδήποτ σύμβολο από κάθ λέξη της Α: CUT(A) = {xy x Σ *, y Σ * και υπάρχι z Σ τέτοιο ώστ xzy A} Να αποδίξτ μ ακρίβια ότι η κλάση των κανονικών γλωσσών ίναι κλιστή ως προς την πράξη CUT. Λύση Για να αποδίξουμ ότι η κλάση των κανονικών γλωσσών ίναι κλιστή ως προς την πράξη CUT θα δίξουμ ότι για οποιαδήποτ κανονική γλώσσα L υπάρχι κανονική έκφραση που αναγνωρίζι τη γλώσσα CUT(L). Ορίζουμ τη συνάρτηση cut R : R R ως ξής cut R,, ( R) cut cut * A, R R ( A) B Acut ( A) cut R ( B), R ( B), if if if if if R a R, R A B R A B R A * Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 22 Σλίδα
ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Έστω κανονική γλώσσα L και κανονική έκφραση R που την πριγράφι. Θα αποδίξουμ ότι η κανονική έκφραση cut R (R) πριγράφι την γλώσσα CUT(L). Αυτό θα μας οδηγήσι στο συμπέρασμα ότι η γλώσσα CUT(L) ίναι κανονική. Η απόδιξη μας θα γίνι παγωγικά στη δομή της κανονικής έκφρασης R. Υπάρχουν οι πιο κάτω πριπτώσις. Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R = a, τότ CUT(L) = {}. Επομένως, η κανονική έκφραση cut R (R) = {} πριγράφι ορθά τη γλώσσα CUT(L) και το συμπέρασμα έπται. Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R =, τότ CUT(L) =. Επομένως, η κανονική έκφραση cut R (R) = και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα CUT(L) και το συμπέρασμα (ότι δηλαδή η γλώσσα CUT(L) ίναι κανονική) έπται. Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R =, τότ CUT(L) =. Επομένως, η κανονική έκφραση cut R (R) = και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα CUT(L) και το συμπέρασμα έπται Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R = ΑΒ, τότ CUT(L) = {xy x Α, και υπάρχι z Β τέτοιο ώστ η y να πριέχι ακριβώς ένα σύμβολο λιγότρο από τη z} {xy y B, και υπάρχι z Α τέτοιο ώστ η x να πριέχι ακριβώς ένα σύμβολο λιγότρο από τη z} Αφού η κανονική έκφραση cut R (R), σύμφωνα μ τον ορισμό της cut R, ίναι ίση μ cut R (AB)=cut R (A)B Acut R (B), από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα CUT(L) και το συμπέρασμα έπται. Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R = ΑΒ, τότ CUT(L) = {x υπάρχι y A τέτοιο ώστ η x να πριέχι ακριβώς ένα σύμβολο λιγότρο από τη y} {y υπάρχι x Β τέτοιο ώστ η y να πριέχι ακριβώς ένα σύμβολο λιγότρο από τη x} Αφού η κανονική έκφραση cut(r), σύμφωνα μ τον ορισμό της cut, ίναι ίση μ cut R (AB)=cut R (A) cut R (B), από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα CUT(L) και το συμπέρασμα έπται Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R = Α *, τότ CUT(L) = L Αφού η κανονική έκφραση cut R (R), σύμφωνα μ τον ορισμό της cut R, ίναι ίση μ cut R (A * )= Α *, από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα CUT(L) και το συμπέρασμα έπται. Αυτό ολοκληρώνι την απόδιξη. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 22 Σλίδα