H ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ

H ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. Μία από τις χρησιµότερες εφαρµοές της χρήσης ενός οικονοµετρικού συστήµατος είναι η δυνατότητα διενέρειας προλέψεων. Οι προλέψεις ανάλοα µε το χρονικό τους ορίζοντα µπορούν να χαρακτηριστούν είτε ως ραχυχρόνιες είτε ως µακροχρόνιες. Οι ραχυχρόνιες προλέψεις έχουν συνήθως ορίζοντα µιάς ή το πολύ τριών περιόδων, ενώ οι µακροχρόνιες προλέψεις έχουν κατά κανόνα µεαλύτερο χρονικό ορίζοντα. Οι ραχυχρόνιες προλέψεις ασίζονται στην ανοιµένη µορφή των εξισώσεων ενός συστήµατος. Η ανηµένη µορφή ενός συστήµατος διαρθρωτικών εξισώσεων: B Γ u (ΖΖΖ.) προκύπτει ως εξής: B B B Γ B u B B I (ΖΖΖ.) B Γ B u ή v (ΖΖΖ.3) όπου B Γ, v B u (ΖΖΖ.4) Αναλυτικότερα εφόσον έχουµε εκτιµήσεις των παραµέτρων ( ij ) GK µπορούµε να λάουµε προλέψεις ια την εξέλιξη των ενδοενών µεταλητών ια κάθε εξίσωση του συστήµατος χωριστά ως εξής: ( T j ) ˆ T j ˆ (ΖΖΖ.5) E Η εφαρµοή της παραπάνω σχέσης προϋποθέτει φυσικά ότι νωρίζουµε εκ των προτέρων την εξέλιξη των τιµών των εξωενών µεταλητών.

Παράδειµα. Με άση την ανοιµένη µορφή ενός συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο ανεξάρτητες (εξωενείς) µεταλητές οι ραχυχρόνιες προλέψεις ια τις δύο ενδοενείς µεταλητές και, µπορούν να ληφθούν ως εξής: (ΖΖΖ.6) Άρα έχοντας στην διάθεση µας τις παραµέτρους της ανηµένης µορφής του συστήµατος των εξισώσεων καθώς και τιµές των εξωενών µεταλητών την περίοδο προλέψεων µπορούµε να λάουµε και τις ανάλοες προλέψεις. ˆ ˆ f f f f f f (ΖΖΖ.7) Θα πρέπει επίσης να τονίσουµε ότι εάν µεταξύ των εξωενών µεταλητών ενός συστήµατος υπάρχουν και ενδοενείς µε χρονική υστέρηση, τότε οι ραχυχρόνιες προλέψεις θα προέλθουν πάλι από την ανοιµένη µορφή του συστήµατος, η οποία όµως τώρα θα ραφτεί ως εξής: v (ΖΖΖ.8) [ ] (ΖΖΖ.9) (ΖΖΖ.) Συνδυάζοντας τις (ΖΖΖ.8), (ΖΖΖ.9) και (ΖΖΖ.) η ανοιµένη µορφή του συστήµατος των εξισώσεων µπορεί να ραφτεί ως εξής: [ ] v v (ΖΖΖ.) όπου οι µήτρες της ανοιµένης µορφής ορίζονται ως εξής: όπου πλέον οι τιµές της µεταλητών την περίοδο Τ. ( T j ) T j T E (ΖΖΖ.) θα είναι οι ανάλοες προλέψεις των ενδοενών 3

ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. Οι µακροχρόνιες προλέψεις σε σχέση µε κάποια περίοδο άσης έστω Τ, θα είναι οι εξής. T, T, K, T n όπου h είναι ο αριθµός των περιόδων που θα κάνουµε προλέψεις, σε σχέση πάντοτε µε την περίοδο Τ. Οι µακροχρόνιες προλέψεις θα προκύψουν πάλι από την ανοιµένη µορφή του συστήµατος των εξισώσεων. (ΖΖΖ.3) Επειδή όµως στην παραπάνω σχέση υπάρχουν έντονα δυναµικά χαρακτηριστικά στα οποία αναµένουµε να εκδηλωθούν κατά την διάρκεια των προλέψεων, αυτά τα χαρακτηριστικά θα πρέπει να ληφθούν υπόψη. Λύνουµε δυναµικά το σύστηµα των εξισώσεων ως εξής: Αντικαθιστούµε διαδοχικά την στην (ΖΖΖ.3) ως εξής: ( ) L ( L) ( L) ( L L L ) L L (ZZZ.4) 4

M d d d d d d k k άρα οι υναµικές προλέψεις θα είναι: d d d d d L d L s s s ( L ) s 5

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΠΟΙΗΣΕΩΣ. Εισαωή Είδαµε στα προηούµενα κεφάλαια ότι η ανοιµένη µορφή του υποδείµατος είναι κατάλληλη ια την ανάλυση των επιδράσεων που έχουν οι µεταολές στις εξωενείς µεταλητές πάνω στις ενδοενείς µεταλητές. ηλαδή, η ανοιµένη µορφή είναι κατάλληλη ια την πρόλεψη των τιµών των ενδοενών µεταλητών. Αν, εποµένως το ενδιαφέρον µας περιορίζεται µόνο στις προλέψεις, τότε δεν είναι απαραίτητο να νωρίζουµε τις διαρθρωτικές παραµέτρους του υποδείµατος. Με άλλα λόια, η νώση ή η εκτίµηση των παραµέτρων της ανοιµένης µορφής είναι αρκετή ια την πρόλεψη των τιµών των ενδοενών µεταλητών. Αν όµως το ενδιαφέρον µας δεν περιορίζεται µόνο στις προλέψεις αλλά περιλαµάνει και έλεχο υποθέσεων σχετικά µε τη συµπεριφορά των οικονοµικών µεταλητών, η εκτίµηση των διαρθρωτικών παραµέτρων είναι απαραίτητη. Η εκτίµηση των διαρθρωτικών παραµέτρων χρειάζεται, ακόµη και ια την περίπτωση που µας ενδιαφέρουν µόνο οι προλέψεις, αν ανάµεσα στην περίοδο εκτιµήσεως ή παρατηρήσεως (observaion period) και στην περίοδο που αναφέρονται οι προλέψεις (predicion period) µεσολαούν διαρθρωτικές αλλαές. Κι αυτό ιατί, ενώ οι διαρθρωτικές σχέσεις είναι αυτόνοµες, δηλαδή µεταολές στην εξειδίκευση της µίας, π.χ. µεταολή σε µία παράµετρο, δεν επηρεάζουν τις υπόλοιπες, αντίθετα, όλες οι σχέσεις της ανοιµένης µορφής µπορούν να επηρεασθούν από µία διαρθρωτική µεταολή. Αυτό σηµαίνει ότι ια να ρούµε τις νέες παραµέτρους ανοιµένης µορφής, θα πρέπει να ξέρουµε τις διαρθρωτικές παραµέτρους. Εποµένως, και στη µία και στην άλλη περίπτωση είναι απαραίτητη η νώση των διαρθρωτικών παραµέτρων. Είδαµε στο προηούµενο κεφάλαιο ότι µπορούµε πάντοτε να εκτιµήσουµε τις παραµέτρους ανοιµένης µορφής. Το ερώτηµα είναι, αν από τις παραµέτρους ανοιµένης µορφής µπορούµε να συνάουµε τις διαρθρωτικές παραµέτρους. Κατά πόσο αυτό είναι δυνατό, αποτελεί το πρόληµα της ταυτοποιήσεως που θα εξετάσουµε σ αυτό το κεφάλαιο. λ. Chris (966) σελ. 47-48 6

Συνθήκες Ταυτοποιήσεως. Από την εξέταση των προηούµενων υποδειµάτων µε δύο εξισώσεις, παρατηρούµε ότι µία διαρθρωτική εξίσωση ταυτοποιείται όταν δεν περιλαµάνει µία µεταλητή η οποία όµως περιλαµάνεται στην άλλη διαρθρωτική εξίσωση. Η εξίσωση δεν ταυτοποιείται όταν περιλαµάνει όλες τις µεταλητές που εµφανίζονται στο υπόδειµα, δηλαδή και στις δύο εξισώσεις. Η απουσία µιάς µεταλητής από µία εξίσωση, που όµως περιλαµάνεται στο υπόδειµα, ισοδυναµεί µε ένα περιορισµό, δηλαδή τον περιορισµό ότι ο αντίστοιχος συντελεστής είναι µηδέν. Αυτό όµως σηµαίνει λιότερες διαρθρωτικές παραµέτρους που πρέπει να ρεθούν από τις παραµέτρους την ανοιµένης µορφής. Είναι φανερό, λοιπόν, ότι η ταυτοποίηση µιάς διαρθρωτικής εξισώσεως η ενικά ενός υποδείµατος, εξαρτάται από την ύπαρξη a priori περιορισµών, ώστε να είναι δυνατό να ρούµε τις διαρθρωτικές παραµέτρους από τις παραµέτρους της ανοιµένης µορφής. Εκτός από τους παραπάνω, «µηδενικούς» περιορισµούς (zero resricions), υπάρχουν και άλλα είδη a priori περιορισµών ή πληροφοριών, όπως, π.χ. ο περιορισµός ότι το άθροισµα δύο ή περισσοτέρων διαρθρωτικών παραµέτρων πρέπει να είναι ίσο µε την µονάδα ή ότι ο λόος δύο διαρθρωτικών παραµέτρων είναι νωστός. Οι πιο συνηθισµένοι όµως περιορισµοί είναι οι µηδενικοί. Με άση τους περιορισµούς αυτούς υπάρχουν δύο κανόνες σύµφωνα µε τους οποίους διαπιστώνεται αν µία διαρθρωτική εξίσωση ταυτοποιείται ή όχι. Οι κανόνες αυτοί είναι νωστοί ως συνθήκη της τάξεως (order condiion) και ως συνθήκη του αθµού (rank condiion). α) Η συνθήκη της τάξεως. Η συνθήκη αυτή ασίζεται στον αριθµό των µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση αλλά όµως περιλαµάνονται στις υπόλοιπες εξισώσεις και µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Μία διαρθρωτική εξίσωση είναι ταυτοποιήσιµη, αν ο αριθµός των µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση, περιλαµάνονται όµως στις άλλες εξισώσεις του υποδείµατος µειωµένο κατά ένα. Η παραπάνω συνθήκη µπορεί να διατυπωθεί ως M H G I (ΖΖΖ.) όπου G Ο αριθµός των εξισώσεων του υποδείµατος. M Ο συνολικός αριθµός των µεταλητών του υποδείµατος (ενδοενείς συν προκαθωρισµένες). H Ο αριθµός των µεταλητών (ενδοενείς και προκαθωρισµένες) που περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. λ. Kmena (97) σελ. 547-548 ια ταυτοποίηση µέσω περιορισµών στη µήτρα των διακυµάνσεων συνδιακυµάνσεων των διαταρακτικών όρων. 7

Η παραπάνω σχέση (5.9) θα µπορούσε επίσης να διατυπωθεί ως K G (ΖΖΖ.) όπου K Ο αριθµός των προκαθωρισµένων µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. G Ο αριθµός των ενδοενών (αλληλεξαρτώµενων) µεταλητών που περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. Η συνθήκη της τάξεως είναι ανακαία αλλά δεν είναι ικανή. ηλαδή, ια να ταυτοποιείται µία διαρθρωτική εξίσωση πρέπει πρώτα να ικανοποιείται η συνθήκη της τάξεως, αλλά η ικανοποίηση της δεν εξασφαλίζει την ταυτοποίηση της εξισώσεως. ) Η συνθήκη του αθµού. Η ανακαία και ικανή συνθήκη ια την ταυτοποίηση µιάς διαρθρωτικής εξίσωσης είναι η συνθήκη του αθµού η οποία µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Μία διαρθρωτική εξίσωση ταυτοποιείται, αν και µόνο αν, από τις ορίζουσες που προκύπτουν από την µήτρα των συντελεστών των µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση, περιλαµάνονται όµως στις άλλες εξισώσεις του υποδείµατος, υπάρχει µία τουλάχιστον που δεν είναι µηδέν και οι διαστάσεις της είναι ( G ) ( G ). Η παραπάνω συνθήκη ονοµάζεται συνθήκη του αθµού ιατί αναφέρεται στο αθµό της µήτρας των συντελεστών των µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. Όπως ξέρουµε, ο αθµός µιάς µήτρας είναι η τάξη (διαστάσεις) της µεαλύτερης ορίζουσας που προκύπτει από τη µήτρα και που δεν είναι µηδέν. Κατά συνέπεια, η συνθήκη του αθµού µπορεί να διατυπωθεί ως ( ) G r (ΖΖΖ.3) όπου Η µήτρα των συντελεστών όλων των µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. Η σχέση (5.) θα µπορούσε επίσης να διατυπωθεί ως ( ) G G r (ΖΖΖ4) όπου G G G και 8

G Ο αριθµός των ενδοενών µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στη συκεκριµένη εξίσωση. Κατά την εφαρµοή των παραπάνω δύο κανόνων ταυτοποιήσεως, ο σταθερός όρος δεν λαµάνεται υπόψη. Αν όµως θέλουµε να συµπεριληφθεί, τότε ο αριθµός των προκαθωρισµένων µεταλητών καθώς και ο συνολικός, αυξάνεται κατά ένα. Για τις ταυτότητες οι εξισώσεις ορισµού δεν υπάρχει πρόληµα ταυτοποιήσεως ιατί οι παράµετροι τους είναι νωστές. Λαµάνονται όµως υπόψη ια τον καθορισµό του αριθµού των εξισώσεων και του αριθµού των µεταλητών. Με άση τη συνθήκη της τάξεως και τη συνθήκη του αθµού, µία διαρθρωτική εξίσωση:. Ταυτοποιείται ακριώς ή είναι ακριώς ταυτοποιηµένη αν K G και r ( ) G (ΖΖΖ.5) ηλαδή, η εξίσωση είναι ακριώς ταυτοποιηµένη όταν η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται και ο αριθµός των προκαθορισµένων µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στην εξίσωση είναι ίσος µε τον αριθµό των ενδοενών µεταλητών που περιλαµάνονται στην εξίσωση µειωµένο κατά ένα.. Υπερταυτοποιείται ή είναι υπερταυτοποιηµένη αν K > G ή r ( ) G (ΖΖΖ.6) ηλαδή, η εξίσωση είναι υπερταυτοποιηµένη όταν η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται και ο αριθµός των προκαθορισµένων µεταλητών που δεν περιλαµάνονται στην εξίσωση είναι µεαλύτερες από τον αριθµό των ενδοενών µεταλητών που περιλαµάνονται στην εξίσωση µειωµένο κατά ένα. 3. εν ταυτοποιείται ή υποταυτοποιείται αν K < G ή r ( ) < G (ΖΖΖ.7) ηλαδή, η εξίσωση υποταυτοποιείται όταν δεν ικανοποιείται ή η συνθήκη της τάξεως ή η συνθήκη του αθµού. Σηµειώνουµε ότι είναι δυνατό να ικανοποιείται η συνθήκη της τάξεως και να µη ικανοποιείται η συνθήκη του αθµού. Αν όµως η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται, τότε οπωσδήποτε ικανοποιείται και η συνθήκη της τάξεως 3. 3 Για µία λεπτοµερέστερη εξέταση του προλήµατος της ταυτοποιήσεως καθώς και απόδειξη των συνθηκών ταυτοποιήσεως, λ. Fisher (966), Chris (966), κεφ. VIII, Johnson (97) σελ. 35-37. 9

Παραδείµατα.. Έστω, το υπόδειµα που αποτελείται από τις εξισώσεις Ζήτηση: Q a ap u Προσφορά: Q P W u Και που στην τυπική του µορφή ράφεται: Ζήτηση: Q ap a u Προσφορά: Q P W u Ας εξετάσουµε πρώτα τη συνάρτηση ζητήσεως. Εφόσον και οι δύο ενδοενείς µεταλητές περιλαµάνονται, έπεται ότι G Υπάρχει µία µόνο προκαθορισµένη µεταλητή που δεν περιλαµάνεται, δηλαδή η µεταλητή W, οπότε K Εποµένως, εφόσον η συνθήκη της τάξεως, σχέση (ΖΖΖ.), ικανοποιείται, δηλαδή K G η συνάρτηση ζητήσεως είναι ταυτοποιήσιµη. Ας δούµε όµως αν ικανοποιείται και η συνθήκη του αθµού. Για τη συνάρτηση της ζητήσεως, εφόσον η µήτρα περιέχει ένα µόνο συντελεστή, δηλαδή [ ] ο αθµός της είναι ίσος µε τη µονάδα. Η συνθήκη του αθµού, σχέση (ΖΖΖ.3), ικανοποιείται, ιατί [ r ( ) ] ( G ) Εποµένως, η συνάρτηση της ζητήσεως ταυτοποιείται ακριώς, ιατί και η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται και K G. Ας εξετάσουµε τώρα τη συνάρτηση προσφοράς. Εφόσον και οι δύο ενδοενείς µεταλητές περιλαµάνονται, G

Επειδή όµως δεν υπάρχει καµία προκαθωρισµένη µεταλητή που να µη περιλαµάνεται, K < G και η συνάρτηση προσφοράς δεν ταυτοποιείται.. Έστω, το ακόλουθο υπόδειµα (στην τυπική του µορφή). η εξίσωση: Y Y 3Y3 Y4 X X u η εξίσωση: Y Y Y3 Y4 X X u 3η εξίσωση: Y 3Y Y3 Y4 3 X X u3 4η εξίσωση: Y Y Y Y X X 3 4 Οι τρεις πρώτες εξισώσεις είναι εξισώσεις συµπεριφοράς, ενώ η τελευταία είναι ταυτότητα. Το υπόδειµα περιλαµάνει τέσσερις ενδοενείς µεταλητές ( Y, Y, Y3, Y4 ) και δύο προκαθορισµένες ( X, X ), χωρίς το σταθερό όρο. Ας εφαρµόσουµε τις συνθήκες ταυτοποιήσεως σε κάθε εξίσωση συµπεριφοράς. i). Η πρώτη εξίσωση: Υπάρχουν δύο προκαθορισµένες µεταλητές που δεν περιλαµάνονται, οπότε K υπάρχουν τρεις ενδοενείς µεταλητές που περιλαµάνονται, οπότε G 3 Εποµένως, η συνθήκη της τάξεως ικανοποιείται ακριώς. Αν ικανοποιείται και η συνθήκη του αθµού, τότε η πρώτη εξίσωση θα είναι ακριώς ταυτοποιηµένη. Οι µεταλητές που δεν περιλαµάνονται είναι τρεις: Y, X και 4 X. Εποµένως, η µήτρα είναι Εφόσον ο αριθµός των ενδοενών µεταλητών του υποδείµατος είναι G 4, έπεται ότι η συνθήκη του αθµού θα ικανοποιείται αν ο αθµός της µήτρας είναι ίσος µε G 3, σχέση (ΖΖΖ.3). Επειδή οι διαστάσεις της µήτρας είναι 3 3, ο αθµός της θα είναι 3 αν η ορίζουσα της είναι διαφορετική από το µηδέν. Η ορίζουσα όµως της µήτρας είναι µηδέν ιατί τα στοιχεία της δεύτερης ραµµής είναι όλα µηδέν. Εποµένως, η συνθήκη του αθµού δεν ικανοποιείται και η πρώτη εξίσωση δεν ταυτοποιείται.

ii). Η δεύτερη εξίσωση: Η συνθήκη της τάξεως ικανοποιείται, ιατί K > G Ας εξετάσουµε τη συνθήκη του αθµού. Εφόσον οι µεταλητές που δεν περιλαµάνονται είναι οι Y, Y, Y3 και X, η µήτρα είναι 3 Για να ικανοποιείται η συνθήκη του αθµού θα πρέπει ο αθµός της µήτρας να είναι G 3, δηλαδή θα πρέπει να υπάρχει µία τουλάχιστον ορίζουσα διαστάσεων 3 3 που να είναι διαφορετική από το µηδέν. Εφόσον η µήτρα έχει διαστάσεις 3 4, έπεται ότι υπάρχουν 4 ορίζουσες διαστάσεων 3 3. Ας εξετάσουµε την ορίζουσα που προκύπτει από την όταν απαλείψουµε την πρώτη στήλη, δηλαδή λ 3 3 Αναπτύσσουµε την παραπάνω ορίζουσα σύµφωνα µε τα στοιχεία της τελευταίας στήλης, οπότε 3 3 3 3 ( ) 3 3 33 Εποµένως, η τιµή της ορίζουσας θα είναι διαφορετική από το µηδέν αν 3 3. Σε αυτή την περίπτωση δηλαδή αν 3 3, η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται και η δεύτερη εξίσωση υπερταυτοποιείται εφόσον K > G. iii). Η τρίτη εξίσωση περιλαµάνει δύο ενδοενείς µεταλητές ( Y,Y 3 ) και καµιά προκαθορισµένη. Εποµένως, η συνθήκη της τάξεως ικανοποιείται, ιατί K G Ας δούµε αν ικανοποιείται η συνθήκη του αθµού. Η σχετική µήτρα είναι:

Έστω, η ορίζουσα που προκύπτει από τη όταν απαλείψουµε την τελευταία στήλη, δηλαδή η ορίζουσα. Αναπτύσσουµε τη σύµφωνα µε τα στοιχεία της πρώτης ραµµής, οπότε Εποµένως αν, η συνθήκη του αθµού ικανοποιείται και η εξίσωση υπερταυτοποιείται ιατί K > G. 3

Η Έµµεση Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραώνων (Indirec Leas Squares Mehod). Πρόκειται ια µία µέθοδο υπολοισµού των παραµέτρων ενός συστήµατος εξισώσεων, που εφαρµόζεται σε επίπεδο κάθε εξίσωσης χωριστά. Έχει εφαρµοή σε εξισώσεις ενός συστήµατος οι οποίες είναι ταυτοποιηµένες (jus idenificaion). Όταν το σύστηµα είναι υπερταυτοποιηµένο (overidenified) η υποταυτοποιηµένο (underidenified), η µέθοδος αυτή δεν µπορεί να εφαρµοσθεί. Αυτό συµαίνει διότι στην πρώτη περίπτωση έχουµε πολλές εναλλακτικές εκτιµήσεις των παραµέτρων του συστήµατος, ενώ στην δεύτερη περίπτωση είναι αδύνατος ο υπολοισµός των παραµέτρων. Η µέθοδος ασίζεται στην εκτίµηση των διαρθρωτικών παραµέτρων ενός συστήµατος από εκτιµήσεις των παραµέτρων της ανοιµένης µορφής του συστήµατος. Σε ενικές ραµµές η εφαρµοή της µεθόδου είναι η εξής: Έστω ένα σύστηµα εξισώσεων στην διαρθρωτική και την ανοιµένη του µορφή: ( ιαρθρωτική Μορφή) YB XΓ U () (Ανοιµένη Μορφή) YB XΓ U YBB XΓB UB επειδή BB I Y v () όπου ΓB (3) και V UB (4) Με άση την µέθοδο των εµµέσων ελαχίστων τετραώνων οι εκτιµήσεις των διαρθρωτικών παραµέτρων Β θα προκύψουν από την σχέση (3). ΓB (5) ή B ΓB B (6) ή B Γ (7) 4

Έχοντας εκτιµήσεις ια την µήτρα των ανηµένων συντελεστών [ ˆ ij ] ˆ µπορούµε µετά από µία σειρά από περιορισµούς στην (7) να λάουµε εκτιµήσεις των διαρθρωτικών παραµέτρων Γ, λύνοντας ταυτοχρόνως το σύστηµα των εξισώσεων. ˆ B ˆ (8) Γ ˆ ˆ Bˆ (9) Για να κατανοηθεί η µέθοδος των εµµέσων ελαχίστων τετραώνων έστω ότι έχουµε να εκτιµήσουµε τις διαρθρωτικές παραµέτρους ενός συστήµατος εξισώσεων µε εξωενείς µεταλητές. u ( ) u ( ) Το σύστηµα των εξισώσεων () () είναι στην διαρθρωτική του µορφή και οι δύο εξισώσεις του είναι ακριώς τακτοποιηµένες. Στην ανοιµένη του µορφή το σύστηµα των εξισώσεων ράφεται ως εξής: u () a u u (3) u Θέτοντας u u v u u v (4) µπορούµε να ράψουµε το σύστηµα των εξισώσεων στην ανοιµένη του µορφή ως εξής: v v (5) 5

ή v v (6) Εφαρµόζοντας την µέθοδο των ελαχίστων τετραώνων στην (5) ια κάθε µία εξίσωση χωριστά: Min T ( ) Min,, Min T T ( ) Min,, T v v (7) (8) µπορούµε να λάουµε συνεπείς ή και αµερόληπτες εκτιµήσεις των παραµέτρων,, και της ανοιµένης µορφής του συστήµατος. Έστω,, και ότι είναι αυτές οι εκτιµήσεις. Τότε οι εκτιµήσεις των διαρθρωτικών παραµέτρων,, και θα προέλθουν από τις σχέσεις. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (9) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Οι εκτιµήσεις ˆ ˆ, ˆ, και ˆ είναι οι Εµµέσως Ελαχίστων Τετραώνων εκτιµήσεις των διαρθρωτικών παραµέτρων του συστήµατος των εξισώσεων () (). Εφόσον οι ελαχίστων τετραώνων εκτιµήσεις των παραµέτρων της ανοιµένης µορφής είναι συνεπείς ή ηµερόληπτες, οι εκτιµήσεις των παραµέτρων της διαρθρωτικής µορφής του συστήµατος είναι συνεπείς & αµερόληπτες αντιστοίχως. Η αµεροληψία η συνέπεια των παραµέτρων της ανοιµένης µορφής ενός συστήµατος εξισώσεων αποδεικνύεται ως εξής: 6

Έστω η j εξίσωση της ανηµένης µορφής του συστήµατος: v () j j j Παράδειµα: Να ίνει η µαθηµατική και στοχαστική εξειδίκευση ενός οικονοµετρικού υποδείµατος δύο εξισώσεων µε ενδοενείς µεταλητές την Κατανάλωση C και το Εισόδηµα. Ως εξωενής µεταλητή να χρησιµοποιηθούν οι Επενδύσεις. Να παρουσιασθούν οι Εµµέσων Ελαχίστων Τετραώνων Εκτιµήσεις των Παραµέτρων του Συστήµατος. Η οικονοµική µαθηµατική εξειδίκευση ενός τέτοιου συστήµατος έχει παρουσιασθεί στο Παράδειµα 3. Το σύστηµα λοιπόν των εξισώσεων µας είναι: C a u () C I () C :Κατανάλωση : Εισόδηµα I : Επενδύσεις u : ιαταρακτικοί όροι µε τις εξής στοχαστικές υποθέσεις: V ( ) E (3) u ( ) σ u ( ιακύµανση) (4) u Το σύστηµα των εξισώσεων ()&() έχει µία στοχαστική εξίσωση την (), και µία ταυτότητα την (). Οι υπό εκτίµηση παράµετροι είναι τα a και. εν µπορούµε να εφαρµόσουµε Ελάχιστα Τετράωνα στην () διότι Cov ( u ) E( E )( u Eu ), (5) E( E ) u διότι από την (3) Eu επειδή ( ) ( ) E u E Eu E E u E u (6) 7

Γνωρίζουµε επίσης ότι στην ανοιµένη της µορφή η () µπορεί να ραφτεί ως εξής: a I u (7) άρα (, u ) Eu Cov a E I u u a Eu E ( I u ) Eu Eu και E ( ) Επειδή Cov u I u ( ) u (8), Άρα η εφαρµοή της µεθόδου των ελαχίστων τετραώνων στην (), ια να λάουµε εκτιµήσεις των παραµέτρων a και δεν θα µας οδηήσει ούτε σε αµερόληπτες αλλά ούτε και σε συνεπείς εκτιµήσεις. Το ότι οι εκτιµήσεις ελαχίστων τετραώνων της () δεν είναι αµερόληπτες αλλά ούτε καν συνεπείς, αποδεικνύεται ως εξής: C ( a a) ( ) u u C (9) Επειδή Eu u η παραπάνω σχέση ράφεται ως εξής: C C u () όπου C C C (), Γνωρίζουµε ότι ο Ελαχίστων Τετραώνων Εκτιµητής του, θα είναι, ˆ C OLS () Αντικαθιστώντας την () στην () λαµάνουµε 8

ˆ OLS u ( u ) u (3) ( ˆ u u Cov ) ( u ) E ή E OLS (4) Από την (8) νωρίζουµε όµως ότι Cov ( u ) u άρα ( ) E ˆ OLS Άρα ο Ελαχίστων Τετραώνων Εκτιµητής δεν είναι αµερόληπτος. Όσον αφορά την µη συνέπεια του Ελαχίστων Τετραώνων Εκτιµητή, αυτή αποδεικνύεται ως εξής: p lim u ( ˆ u p lim OLS ) p lim T (5) p lim T Γνωρίζουµε επίσης ότι το p lim u είναι η συνδιακύµανση (στον πληθυσµό) T µεταξύ της και της u και επίσης ότι p lim είναι η διακυµανση του. T Επειδή όµως p lim u (6) T Προκύπτει ότι lim ( ) (7) p ˆOLS Η εφαρµοή της Μεθόδου των Εµµέσων Ελαχίστων Τετραώνων στην () και () ίνεται ως εξής: Αντικαθιστούµε την () στην () και λαµάνουµε ( C I ) u C a 9

Ο ελαχίστων τετραώνων εκτιµητής των παραµέτρων ˆ j ( ) j Ο εκτιµητής αυτός είναι συνεπής διότι: j θα είναι: p lim ˆ j j p limt ( ) p lim v j j T διότι p lim v j T Στην περίπτωση κατά την οποία µία από τις εξισώσεις του συστήµατος είναι υπερταυτοποιηµένη (overidenified), η εφαρµοή της έµµεσου Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραώνων καθίσταται προληµατική, δεδοµένου ότι θα έχουµε µία σειρά από διαφορετικές εκτιµήσεις των παραµέτρων της εξίσωσης. Έστω ότι έχουµε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων. 3 u 3 4 u Η πρώτη εξίσωση είναι ακριώς ταυτoποιηµένη ενώ η δεύτερη είναι υπερταυτοποιηµένη. Γράφουµε το σύστηµα των εξισώσεων στην ανοιµένη του µορφή ως εξής: 3 3 4 4 u u 3 3 4 u u Γράφοντας τις παραµέτρους ij της ανοιµένης µορφής: 3 3 3 3 4 4 4 4 η ανοιµένη µορφή του συστήµατος είναι: 3 3 3 3 4 4 4 4 v v

Εάν εφαρµόσουµε ελάχιστα τετράωνα των παραπάνω εξισώσεων και λάουµε εκτιµήσεις των παραµέτρων ˆ, ˆ, 3 και 4, η εκτίµηση της παραµέτρου ˆ θα µπορούσε να προκύψει από τις εναλλακτικές ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ή 3 ˆ 3 ˆ ˆ 4 ˆ 4

Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΣΕ ΥΟ ΣΤΑ ΙΑ (THE TWO- STAGE LEAST SQUARES METHODS). Πρόκειται αναµφίολα ια µία από τις πλέον χρησιµοποιηθείσες µεθόδους εκτίµησης των παραµέτρων ενός συστήµατος εξισώσεων. Η εφαρµοή της είναι σχετικά εύκολη. Θα µπορούσε να θεωρηθεί ως µία επέκταση της µεθόδου των Εµµέσων Ελαχίστων Τετραώνων. Σε ενικές ραµµές κάθε εξίσωση του συστήµατος των εξισώσεων εκτιµάται ανεξάρτητα από τις άλλες εξισώσεις. Στην εκτίµηση όµως της κάθε εξίσωσης λαµάνονται υπόψη όλες οι εξωενείς µεταλητές του συστήµατος ακόµη και αν µερικές από αυτές δεν εµφανίζονται σε κάποια από τις εξισώσεις. Η µέθοδος εφαρµόζεται σε δύο στάδια και ασίζεται στην φιλοσοφία της µεθόδου εκτίµησης των οηθητικών µεταλητών (Insrumenal Variables). Για να παρουσιάσουµε την µέθοδο εκτίµησης θα ασισθούµε σ ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε 4 εξωενείς µεταλητές. u () 3 3 4 4 u () 3 3 4 4 Το σύστηµα () () έχει δύο ενδοενείς µεταλητές ( ) µεταλητές (,, και ). Κάθε µεταλητή έχει (,, K,τ ) 3. 4, και 4 εξωενείς παρατηρήσεις. Για λόους εύκολων αλερικών χειρισµών και χωρίς να επηρεάσουµε τα αποτελέσµατα µας, υποθέτουµε ότι: ή, (3) ii καθώς και ότι (4) 3 4 Οι παραπάνω υποθέσεις είναι οι νωστοί normalizaion υποθέσεις που συνήθως υιοθετούµε, χωρίς να επηρεάζονται τα αποτελέσµατα µας. Με άση τις υποθέσεις (3) και (4) το σύστηµα των εξισώσεων µας () () ράφεται ως εξής: 4 3 3 εύτερη εξίσωση. Αντικαθιστούµε την () στην () u u 3

a I u I a I u ( ) a I u a I u (4) Μπορούµε επίσης να ράψουµε τις (3) και (4) ως εξής: C π I v π (5) π I v π (6) όπου πλέον π π a, π a, π (7) (8) Υπολοίζουµε την οηθητική µεταλητή στην (6). Εάν ˆ ~, εφαρµόζοντας ελάχιστα τετράωνα ˆ π είναι οι ελαχίστων τετραώνων εκτιµήσεις των π και π και π, τότε η οηθητική µεταλητή θα προκύψει ως εξής: ~ ˆ π ˆ π I ε ή ~ v (9) Στάδιο ΙΙ. Αντικαθιστώντας την (9) στην () και εφαρµόζουµε την µέθοδο των Απλών Ελαχίστων Τετραώνων. C a ~ () ( v ) u C a ~ v u () C ή a ~ ε () ε v u (3) Παράδειµα 6. Να ίνει η οικονοµική, η µαθηµατική και η στατιστική εξειδίκευση ενός οικονοµετρικού συστήµατος µε δύο ενδοενείς µεταλητές (Κατανάλωση &Εισόδηµα) και µία εξωενή µεταλητή (Επενδύσεις). Να εφαρµόσετε την µέθοδο 4

των Ελαχίστων Τετραώνων σε δύο στάδια ια να εκτιµήσετε τις παραµέτρους του συστήµατος. Απάντηση: Σε προηούµενα παραδείµατα έχουµε παρουσιάσει την διαδικασία της οικονοµικής, µαθηµατικής και στατιστικής εξειδίκευσης ενός αναλόου οικονοµετρικού υποδείµατος, και έχουµε καταλήξει ότι ένα απλό Κευσιανό παράδειµα πλήρει τις προϋποθέσεις του παραδείµατος 6. C a u () C I () Το σύστηµα των εξισώσεων () και () είναι ένα σύστηµα δύο εξισώσεων, µε δύο ενδοενείς ( C, ) και µία εξωενή ( I ) µεταλητή. Με άση την µέθοδο SLS, οι εκτιµήσεις των παραµέτρων α και λαµάνονται σε δύο στάδια. Πρώτη Εξίσωση: Αντικαθιστούµε την () στην (). ( C I ) u C a a C I u C C a I u ( ) C a I u C a I u (πρώτη ανηµένη εξίσωση) (3) Εφαρµόζουµε ελάχιστα τετράωνα στην () και λαµάνουµε εκτιµήσεις µε άση την µέθοδο των Ελαχίστων Τετραώνων σε δύο στάδια. Οι εκτιµήσεις αυτές θα προκύψουν ως εξής: Για απλοποϊηση των υπολοισµών, ράφουµε τις µεταλητές της () σε αποκλίσεις από τους µέσους των µεταλητών. C ( ) ε ε C a a ~ ~ (4) C ( ) ε ~ διότι, ( ) ε C ~ a a a a E ε (5) C ~ ε (6) 5

όπου C C C ~ ~ (7) ~, Η Ελαχίστων Τετραώνων της παραµέτρου, της σχέσης (6) είναι η εξής: ˆ C SLS (8) Έχοντας την εκτίµηση (8), µπορούµε να εκτιµήσουµε την εκτίµηση παραµέτρου α, ως εξής aˆ SLS C ˆ SLS ~ ή στην πλέον νωστή του µορφή: 4 4 u (5) 33 u (6) Θα παρατηρήσατε ότι και οι δύο εξισώσεις του συστήµατος είναι υπερταυτοποιηµένες. Μεταξύ των εξωενών µεταλητών,, 3 και και των διαταρατκικών όρων u και u δεν υπάρχει συσχέτιση. Υπάρχει όµως συσχέτιση µεταξύ των ενδοενών µεταλητών και των διαταρακτικών όρων. Με άση την µέθοδο των ελαχίστων τετραώνων σε δύο στάδια ο υπολοισµός των παραµέτρων,,,, 4 και 3 ίνεται σε δύο στάδια ως εξής: Στάδιο Ι. ηµιουρούµε τις (οηθητικές) µεταλητές ~ και ~ µε άση την εξέλιξη όλων των εξωενών µεταλητών,, 3 και 4. Έχουµε δηλαδή δύο οηθητικές (insrumens) µεταλητές. δ δ δ 33 δ 4 4 w δ (7) δ δ δ 33 δ 4 4 w δ (8) w, v w σ w µε ( ) ( ) E w E w σ w 6

Εάν ˆ δ, ˆ δ, ˆ δ ˆ ˆ ˆ, ˆ δ ˆ ˆ 3, δ 4, δ, δ, δ, δ 3 και ˆ δ 4 είναι οι ελαχίστων τετραώνων εκτιµήσεις των παραµέτρων του συστήµατος (7) και (8), τότε Είναι οι οηθητικές µεταλητές. Με άση τα παραπάνω ισχύει ότι: ~ ~ ~ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ δ (9) w δ δ δ δ 33 4 4 ~ ~ ~ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ δ () w δ δ δ δ 33 4 4 Στάδια ΙΙ. Στο δεύτερο στάδιο αντικαθιστούµε τις σχέσεις (9) και () στις (5) και (6) λαµάνοντας. ˆ 4 4 u wˆ () ˆ 3 3 u wˆ () Στις δύο παραπάνω εξισώσεις εφαρµόζουµε την µέθοδο των Ελαχίστων Τετραώνων και λαµάνουµε εκτιµήσεις ια τις παραµέτρους,, 4,, και 3. Οι εκτιµήσεις αυτές είναι οι ε δύο Στάδια Εκτιµήσεων Ελαχίστων Τετραώνων. Η εφαρµοή και οι ιδιότητες των SLS εκτιµήσεων της µεθόδου των Ελαχίστων Τετραώνων σε δύο στάδια οδηεί σε συνεπείς εκτιµήσεις. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Στις σχέσεις () και () ισχύει ότι: E ( ) ( ) u ( u ) ( u ) E u (3) ~ ) ~ ) (4) Επιπλέον επειδή ~ και ~ είναι ραµµικές σχέσεις των εξωενών µεταλητών,, 3 και 4 και E ( j u j ) θα ισχύει ότι: ( ~ u ) E[ ( δ δ δ δ δ ) u ] E 3 3 4 4 (5) ( u ) δ E( u ) δ E( u ) δ E( u ) E( u ) E 3 δ 4 4 δ 7

(6) διότι ( u ), E( u ), E( u ) E( u ) και E ( ) E, 3 3 u 4 4 Επίσης ισχύει και το ίδιο ια τις σχέσεις. Ενώ E ( ), ια την σχέση ( ) w E ~ επειδή w ( ) E j w j ια j,, (7) 8

Η Υλοποίηση της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραώνων σε δύο Στάδια SLS. Η διαδικασία υλοποίησης της µεθόδου SLS και ια τα δύο ήµατα ια την πρώτη εξίσωση είναι η εξής: Βήµα. Υπολοίζουµε την οηθητική µεταλητή ~ εφαρµόζοντας την απλή µέθοδο των Ελαχίστων Τετραώνων την µε τις 4 εξωενείς µεταλητές,, 3 και 4. δ δ δ δ 33 δ 4 4 w η χρησιµοποιώντας τον συµολισµό µητρών ια,, K, T παρατηρήσεις δ 3 4 w δ 3 4 w δ M M M M M M M δ 3 { T 3 4 { { w 444 4444 3 δ 4 X w δ (8) δ (9) X w Ο ελαχίστων τετραώνων εκτιµήσεις της (9) είναι οι εξής: ( X X ) X ˆ δ () Οι εκτιµήσεις ˆ δ µπορούν τώρα να χρησιµοποιηθούν ια να εκτιµήσουµε την οηθητική µεταλητή ~ ως εξής: ~ Xδˆ () Μπορούµε επίσης να ράψουµε την παραπάνω σχέση και ως ~ w () ˆ ή wˆ ~ (3) 9

Βήµα. Σε δεύτερο στάδιο προσπαθούµε να εκτιµήσουµε την πρώτη εξίσωση αντικαθιστώντας την ~ w ως εξής: ˆ ( w ) u w ˆ (4) Η (4) µπορεί να εκτιµηθεί µε δύο τρόπους. Τρόπος Α. Επειδή η είναι νωστή ενώ η wˆ δεν µας είναι νωστή, µπορούµε να την υπολοίσουµε ως εξής ˆ ˆ δ ˆ δ ˆ δ ˆ δ ˆ δ (5) w 3 3 4 4 Επειδή έχουµε τις τιµές ια την µεταλητή δεν έχουµε τιµές ια την µεταλητή w. Αυτό µπορεί να ίνει υπολοίζοντας τις τιµές αυτές µε άση την σχέση η οποία µας επιτρέπει να έχουµε τις τιµές της µεταλητής V. ) Εναλλακτικά µπορούµε να υπολοίσουµε τις τιµές ως εξής: Αντικαθιστώντας τις τιµές της ελάχιστα τετράωνα ια να λάουµε εκτιµήσεις, και 4. Τρόπος Β. wˆ στην (4) µπορούµε να εφαρµόσουµε SLS των παραµέτρων Μπορούµε να λάουµε SLS εκτιµήσεις ια τις παρατηρήσεις, και 4 αντικαθιστώντας στην (4) τις θεωρητικές τιµές της (8) και εφαρµόζοντας την µέθοδο των Ελαχίστων Τετραώνων. Ο SLS εκτιµητής των παραµέτρων θα είναι ˆ ~ ˆ ~ ˆ 4 ~ 4 ~ 4 ~ 4 4 4 ~ 4 (6) 3

Η ΜΈΘΟ ΟΣ SLS ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΌΤΕΡΕΣ ΤΗΣ ΜΙΑΣ ΕΡΜΗΝΕΥΤΙΚΉΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΉΣ. Στην «πραµατικότητα» τις εφαρµοσµένης οικονοµικής έρευνας µέσω της αξιοποίησης ενός υναµικού Συστήµατος εξισώσεων, στο δεξιό µέρος κάθε εξίσωσης τις περισσότερες φορές έχουµε πλέον της µίας ερµηνευτικές µεταλητές. Η εφαρµοή της µεθόδου SLS στην περίπτωση αυτή ίνεται ως εξής: Έστω ότι έχουµε k ενδοενείς και M εξωενείς µεταλητές σε µία από τις εξισώσεις του συστήµατος, δηλαδή ισχύει ότι: [,, K, ] (6) και [,, 3, K, ] k (7) M Υποθέτουµε επίσης ότι ια την κάθε ενδοενή µεταλητή που υπάρχει στην ανάλοη εξίσωση, υποθέτουµε ότι έχει συντελεστή - (Normalizaion Κανόνας). Με άση τις παραπάνω υποθέσεις µπορούµε να ράψουµε την πρώτη διαρθρωτική εξίσωση του συστήµατος ως εξής: υ (8) Αναλόως οι οηθητικές εξισώσεις ια τις ερµηνευτικές µεταλητές, K θα είναι οι εξής:, 3 k X ˆ w ( ) w ˆ δ (9) ( ) 3 w3 ˆ δ (3) M 3 X ˆ ˆ 3 w3 k ˆ k wk ( ) k wˆ k Xδ (3) όπου φυσικά k ( X X ) k ˆ δ (3) ~ Xδˆ (33) k k 3

~ w~ (34) k k k Υποθέτοντας ότι όλες οι ερµηνευτικές µεταλητές της πρώτης εξίσωσης, µπορούµε να ράψουµε: ( X X ) ~ X X ( X X ) wˆ k εµφανίζονται στο δεξιό µέρος (35) (36) ~ w~ (37) ~ wˆ (38) όπου w w w M w w w w 3 3 M 3 L L w k w k M w k (39) Με άση το παραπάνω στο στάδιο Ι, λαµάνουµε εκτιµήσεις των οηθητικών µεταλητών παλινδροµώντας κάθε µεταλητή µε όλες τις ερµηνευτικές µεταλητές οι οποίες παρουσιάζονται στο σύστηµα των εξισώσεων, δηλαδή οι µεταλητές X [, 3, K,,, M ], M M, M, K, Στο εύτερο Στάδιο αντικαθιστούµε τις οηθητικές µεταλητές στην πρώτη εξίσωση: ( ˆ w) u (4) ˆ ˆ ˆ u w (4) 3

33 Αντικαθιστώντας την (38) στην παραπάνω εξίσωση, λαµάνουµε: ( ) ˆ ˆ w u w (4) Ο ελαχίστων τετραώνων εκτιµήσεις της παραπάνω σχέσης είναι η εξής: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ w w w w w (43) Φυσικά ια να υπάρχει λύση στο παραπάνω σύστηµα των εξισώσεων, θα πρέπει να υπάρχει η αντίστροφη µήτρα κάτι που συνδέεται άµεσα µε τις συνθήκες ταυτοποίησης των εξισώσεων του συστήµατος.

34