Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών

236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην αριθµητική των ϑετικών ακεραίων αριθµών. Απο τώρα και στο εξής σταθεροποιούµε µια κυκλική οµάδα G = a µε γεννήτορα το στοιχείο a G. Το ακόλουθο αποτέλεσµα δείχνει ότι οι κυκλικές οµάδες συµπεριφέρονται καλά ως προς τις υποο- µάδες. Θεώρηµα 5.1. Κάθε υποοµάδα µιας κυκλικής οµάδας είναι κυκλική οµάδα. Απόδειξη. Εστω όπως παραπάνω G = a µια κυκλική οµάδα, και έστω H G µια υποοµάδα της G. Αν H = {e}, τότε προφανώς H = e και η H είναι κυκλική. Εστω H {e}, και εποµένως υπάρχει g H \ {e}. Θα έχουµε g = a k για κάποιο k Z. Τότε k 0 διότι διαφορετικά g = a 0 = e το οποίο είναι άτοπο. Αν k < 0, τότε επειδή η H είναι υποοµάδα ϑα έχουµε ότι g 1 = (a k ) 1 = a k H και k > 0. Εποµένως η G περιέχει ϑετικές δυνάµεις a k, k > 0, του γεννήτορα a. Εστω ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος µε την ιδιότητα g H. Θα δείξουµε ότι : H = g Επειδή g H και η H είναι υποοµάδα, έπεται ότι g H. Εστω h H. Τότε h = a m, για κάποιο m Z. Από την Ευκλείδεια ιαίρεση, ϑα έχουµε τότε : m = q + r, 0 r < και εποµένως : a m = a q+r = a q a r = (a ) q a r = a r = (a ) q a m Επειδή a H εκ κατασκευής, ϑα έχουµε (a ) q H. Επιπλέον επειδή a m H, ϑα έχουµε a r = (a ) q a m H διότι η H είναι υποοµάδα. Επειδή είναι ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος µε την ιδιότητα g H, και επειδή a r H, όπου 0 r <, έπεται ότι αναγκαστικά : r = 0. Εποµένως h = a m = a q = (a ) q a Συµπεραίνουµε ότι H a. Άρα H = a και εποµένως η H είναι κυκλική. 5.1. Υποοµάδες και Γεννήτορες Απειρων Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα υπο- ϑέτουµε ότι η κυκλική οµάδα G = a είναι άπειρης τάξης, ή ισοδύναµα ο γεννήτορας a έχει άπειρη τάξη o(a) =. Τότε : G = a = {, a, a 2, a 1, a, a 2,, a, } Θεώρηµα 5.2. Εστω G µια άπειρη κυκλική οµάδα. (1) Η G έχει µόνον δύο γεννήτορες : αν a είναι ένας γεννήτορας τότε ο µοναδικός διαφορετικός γεννήτορας της G είναι ο a 1. (2) Αν G = a, τότε οι υποοµάδες της G είναι οι ακόλουθες και µόνον αυτές : H G H = a, 0, a, a 1,, a 2, a = G, {e}

237 (3) Αν H = a και H m = a m είναι δύο υποοµάδες της G = a, τότε : H H m m Απόδειξη. (1) Εστω a ένας γεννήτορας της G, δηλαδή G = a. Εστω b ένας άλλος γεννήτορας : G = b. Θα έχουµε b = a k για κάποιο Z. Ετσι ϑα έχουµε : a = a Τότε a a και εποµένως a = (a ) k = a k για κάποιο k Z. Τότε όµως ϑα έχουµε : a = a k = aa k = e = a 1 k = e = 1 k = 0 διότι το ατοιχείο a έχει πεπερασµένη τάξη. Ετσι 1 = k. Επειδή όµως, k Z, ϑα έχουµε ότι είτε = k = 1, ή = k = 1. Στην πρώτη περίπτωση b = a = a και στην δεύτερη περίπτωση b = a = a 1. (2) Εστω H G µια υποοµάδα της G. Από το Θεώρηµα 5.1 έπεται ότι η H είναι κυκλική και εποµένως H = a. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι 0, διότι αν 0, τότε από το (1) έπεται ότι H = (a ) 1 = a και 0. Εποµένως δείξαµε ότι η H είναι υποοµάδα της G αν και µόνον αν η H είναι της µορφής H = a, 0, και έτσι µένει να δείξουµε ότι :, m 0, m = a a m Υποθέτουµε ότι η παραπάνω συνεπαγωγή δεν είναι αληθής και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Θα έχουµε : a = a m = a a m και a m a = k, l Z : a = a mk και a m = a l = a mk = e = a m l Επειδή ο γεννήτορας a της G έχει πεπερασµένη τάξη, έπεται ότι : mk = 0 = m l = = mk και m = l = m και m = = m Άρα οι διακεκριµµένες υποοµάδες της G είναι H = a, 0. (3) Εστω H = a H m = a m. Τότε όπως είδαµε και στο (2), ϑα έχουµε : a a m και τότε m. Αντίστροφα αν m, τότε = mk για κάποιο k Z και τότε a = a mk = (a m ) k a m. Αυτό όµως σηµαίνει ότι H = a H m = a m. Πόρισµα 5.3. Εστω G = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. Τότε οι απεικόνισεις Φ : N { Υποοµάδες της G }, Φ() = a Ψ : {1, 1} { Γεννήτορες της G }, Ψ(k) = a είναι 1-1 και επί. Επιπλέον m Φ() Φ(m). Υπενθυµίζουµε ότι η τοµή H K υποοµάδων H, K µιας οµάδας G είναι υποοµάδα, και το γινόµενο H K των H, K είναι υποοµάδα, όταν η G είναι αβελιανή ή γενικότερα αν ισχύει : HK = KH. Στην περίπτωση κατά την οποία η G είναι (άπειρη) κυκλική, και οι οµάδες H K και H K ϑα είναι κυκλικές. Η επόµενη Πρόταση δίνει ακριβείς πληροφορίες γι αυτές τις κυκλικές υποοµάδες. Πρόταση 5.4. Εστω G = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. (1) (2) a a m = a (m,) a a m = a [,m]

238 Απόδειξη. (1) Εστω d = (m, ). Τότε και εποµένως : Άρα d = = dk και d m = = dl, όπου k, l Z a = a dk = (a d ) k a d και a m = a dl = (a d ) l a d a a d a m = a a d a m Επειδή η a d είναι υποοµάδα, προφανώς ϑα έχουµε ότι a a m a d ( ) Από την άλλη πλευρά, επειδή d = (m, ), έπεται ότι υπάρχουν ακέραιοι r, s Z, έτσι ώστε d = r + ms. Τότε : a d = a r+ms = a r a ms = (a ) r (a m ) s a a m Αυτό όµως σηµαίνει ότι Από τις σχέσεις ( ) και ( ), ϑα έχουµε : a a m = a d. (2) Εστω δ = [m, ]. Τότε : a d a a m ( ) δ = mk = l = a δ = a l = (a ) l a και a δ = a mk = (a m ) k a m Εποµένως a δ a a m το οποίο προφανώς σηµαίνει ότι : a δ a a m ( ) Αντίστροφα έστω x a a m. Τότε x = (a ) p και x = (a m ) q, όπου p, q Z. Εποµένως, χρησιµοποιώντας ότι το στειχείο a έχει άπειρη τάξη, ϑα έχουµε : x = (a ) p = (a m ) q = a p = a mq = a p mq = e = p = mq Θέτοντας t := p = mq, ϑα έχουµε ότι : x a t. Επιπλέον m t και t. Τότε όµως δ t, και εποµένως από το Θεώρηµα 5.2 ϑα έχουµε : το οποίο σηµαίνει ότι : x a t a δ a a m a δ ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( ), ϑα έχουµε : a a m = a δ. Συνοψίζουµε τα παραπάνω αποτελέσµατα εφαρµοσµένα στην άπειρη κυκλική (προσθετική) οµάδα (Z, +). Παράδειγµα 5.5. Θεωρούµε την άπειρη κυκλική οµάδα (Z, +). Οπως ϑα δούµε αργότερα κάθε άλλη άπειρη κυκλική οµάδα είναι «ισόµορφη», δηλαδή δοµικά ίδια, µε την οµάδα (Z, +). (1) Οι µόνοι γεννήτορες της (Z, +) είναι το 1 και το 1. (2) Οι διακεκριµµένες υποοµάδες της (Z, +) είναι οι εξής Z = { z Z z Z }, 0 (3) (4) Z mz m Z mz = [, m]z και Z + mz = (, m)z

239 5.2. Υποοµάδες και Γεννήτορες Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα υποθέτουµε ότι η κυκλική οµάδα G = a είναι πεπερασµένης τάξης : o(g) =, ή ισοδύναµα ο γεννήτορας a έχει πεπερασµένη τάξη o(a) =. Τότε : G = a = { e, a, a 2,, a 1} Σκοπός µας είναι να αποδείξουµε ένα Θεώρηµα για την G το οποίο να είναι ανάλογο µε το Θεώρηµα 5.2. Για την διατύπωση και απόδειξη αυτού του ανάλογου αποτελέσµατος, Θα χρειασθούµε µια σειρά από ϐοηθητικές προτάσεις. Λήµµα 5.6. Εστω H = a m µια υποοµάδα της G = a, όπου o(a) =. Τότε : H = a d, όπου d = (, m), και o(h) = o(a m ) = d Απόδειξη. Επειδή d = (, m), ϑα έχουµε m = dk και τότε : a m = a dk = (a d ) k a d = a m a d Επίσης επειδή d = (, m), ϑα έχουµε d = x + my για κάποια x, y Z. Τότε επειδή o(a) = : a d = a x+my = a x a my = (a ) x (a m ) y = e x (a m ) y = (a m ) y a m = a d a m = a d a m Από τις παραπάνω σχέσεις ϐλέπουµε ότι a m = a d. Τέλος χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 3.11, ϑα έχουµε : o(h) = o( a m ) = o(a) (o(a), m) = (, m) = d Λήµµα 5.7. Εστω G = a, όπου o(a) =, και r, s 1. Τότε : a r = a s (, r) = (, s) Απόδειξη. «=» Θα έχουµε : a r = a s = o(a r ) = o(a s ) o(a) (o(a), r) = o(a) (o(a), s) (, r) = (, s) (, r) = (, s) «=» Θα έχουµε όπως και παραπάνω : (, r) = (, s) = o(a r ) = o(a s ). Οµως χρησιµοποιώντας το Λήµµα 5.6, και την υπόθεση (, r) = (, s), ϑα έχουµε : a r = a (,r) και a s = a (,s) = a r = a s Λήµµα 5.8. Εστω G = a, όπου o(a) =. Το στοιχείο a m είναι γεννήτορας της G αν και µόνον αν (m, ) = 1: a = a m (, m) = 1 Απόδειξη. Χρησιµοποιώντας το Λήµµα 5.7, Θα έχουµε : a m είναι γεννήτορας της G a m = a (, m) = (, 1) (, m) = 1 Μπορούµε τώρα να αποδείξουµε το ακόλουθο αποτέλεσµα το οποίο είναι ανάλογο του Θεωρήµατος 5.2. Θεώρηµα 5.9. Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =.

240 (1) Σύνολο γεννητόρων της G = { a m G (, m) = 1 } Πλήθος γεννητόρων της G = ϕ() = { 1 m (, m) = 1 } (2) Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (α ) m. (ϐ ) Υπάρχει υοοµάδα H G έτσι ώστε : o(h) = m. Αν m, τότε υπάρχει µοναδική υποοµάδα της G µε τάξη m η οποία είναι η εξής : H m = a m (3) Εστω m, k δύο διαιρέτες της τάξης της G, και έστω H m και H k οι µοναδικές υποοµάδες της G µε τάξεις m και k αντίστοιχα. Τότε : Απόδειξη. (1) Προκύπτει άµεσα από το Λήµµα 5.8. H m H k m k (2) Αν υπάρχει υποοµάδα H της G µε τάξη o(h) = m, τότε από το Θεώρηµα του Lagrage έπεται ότι m o(g) και άρα m. Αντίστροφα αν m, τότε ϑεωρούµε την υποοµάδα H = a m της G. Τότε επειδή έπεται ότι o(h) = m. o(a m ) = (, m ) = m Εστω ότι m και έστω H 1 και H 2 υποοµάδες της G έτσι ώστε : o(h 1 ) = m = o(h 2 ). Από το Θεώρηµα 5.1 ϑα έχουµε = m H 1 = a k 1 και H 2 = a k 2 όπου 1 k 1, k 2 Εποµένως (, k 1 ) = o(ak 1 ) = o(h 1 ) = m = o(h 2 ) = o(a k 2 ) = (, k 2 ) = (, k 1 ) = (, k 2 ) Τότε από το Λήµµα 5.7 έπεται ότι ϑα έχουµε H 1 = a k 1 = a k 2 = H 2. Άρα για κάθε διαιρέτη m, υπάρχει µοναδική υποοµάδα της G µε τάξη m. Από το Λήµµα 5.6, µοναδική υποοµάδα είναι η H m = a m. (3) Εστω m, k δύο διαιρέτες της τάξης της G, και έστω H m και H k οι µοναδικές υποοµάδες της G µε τάξεις m και k αντίστοιχα. Τότε από το (2) ϑα έχουµε : H m H k a m a k o(a m ) o(a k ) m k Το ακόλουθο αποτέλεσµα είναι άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 5.9. Πόρισµα 5.10. Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =. Οι απεικονίσεις Φ : D() = { d 1 d } { Υποοµάδες της G }, Φ() = a d Ψ : { 1 k (, k) = 1 } { Γεννήτορες της G }, Ψ(k) = a k είναι 1-1 και επί. Επιπλέον : o(φ(d)) = d και d 1 d 2 Φ(d 1 ) Φ(d 2 ).

241 Πόρισµα 5.11. ( ιαδικασία εύρεσης Υποοµάδων Πεπερασµένης Κυκλικής Οµάδας) Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =. Υπολογίζουµε τους ϑετικούς διαιρέτες του, έστω ότι αυτοί είναι : d 1, d 2,, d τ(). Για κάθε ϑετικό διαιρέτη d i του, ϑεωρούµε την κυκλική υποοµάδα H di = a d i η οποία παράγεται από το στοιχείο a d i. Τότε η H di είναι η µοναδική υποοµάδα τάξης d i της G. Οι υποοµάδες H d1, H d2,, H dτ() είναι όλες οι διακεκριµµένες υποοµάδες της G. Ισχύει : ιαιρέτης του Υποοµάδα της G Τάξη Υποοµάδας d 1 H d1 = a d 1 d 1 d 2 H d1 = a d 2 d 2... d τ() H dτ() = a d τ() d τ() i, j = 1, 2,, τ() : H di H dj d i d j Παράδειγµα 5.12. Η κυκλική οµάδα (Z 18, +) = [1] = { [0], [1], [2],, [17] }, όπου [k] = [k] 18, 0 k 17. Οι διαιρέτες του 18 είναι : 1, 2, 3, 6, 9, 18 και άρα τ(18) = 6. Εποµένως ϑα έχουµε ακριβώς 6 υποοµάδες H 1, H 2, H 3, H 6, H 9, H 18 στην Z 18, ακριβώς µια για κάθε διαιρέτη του 18, µε τάξη αντίστοιχα : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Αυτές οι υποοµάδες περιγράφονται στον ακόλουθο πίνακα : ιαιρέτης του 18 Υποοµάδα της G Τάξη Υποοµάδας 1 H 1 = 18 1 [1] = 18[1] = [18] = [0] = {[0]} 1 2 H 2 = 18 2 [1] = 9[1] = [9] 2 3 H 3 = 18 3 [1] = 6[1] = [6] 3 6 H 6 = 18 6 = 3[1] = [3] 6 9 H 9 = 18 9 [1] = 2[1] = [2] 9 18 H 18 = 18 18 [1] = [1] = Z 18 18 Για παράδειγµα : H 6 = [3] = { [3], [6], [9], [12], [15], [0] } Οι αριθµοί k µε 1 k 18 και (18, k) = 1 είναι Πραγµατικά : ϕ(18) = ϕ(23 2 ) = 18(1 1 2 )(1 1 3 ) = 181 2 2 3 = 6 { 1 k 18 και (18, k) = 1 } = { 1, 5, 7, 11, 13, 17 } Εποµένως οι γεννήτορες της Z 18 είναι οι ακόλουθοι : 1[1] = [1], 5[1] = [5], 7[1] = [7], 11[1] = [11], 13[1] = [13], 17[1] = [17]

242 Επειδή µεταξύ των διαιρετών d = 1, 2, 3, 6, 9, 18 του 18 έχουµε τις ακόλουθες, εκτός από τις προφανείς d 18, σχέσεις διαιρετότητας : 2 6, 3 6, 3 9 µεταξύ των υποοµάδων H 1, H 2, H 3, H 6, H 9, H 18 ϑα έχουµε τις ακόλουθες εγκλείσεις (εκτός από τις προ- ϕανείς H d Z 18 = H 18 και H 1 = {[0]} H d ): H 2 H 6, H 3 H 6, H 3 H 9 δηλαδή : [9] [3], [6] [3], [6] [2] Ασκηση 280. ιατυπώστε και αποδείξτε την ανάλογη εκδοχή της Πρότασης 5.4 για πεπερασµένες κυκλικές οµάδες. 5.3. Η Οµάδα των -οστών ϱιζών της µονάδας. Υπενθυµίζουµε ότι η οµάδα του κύκλου είναι η υποοµάδα T = { z C z = 1 } C της πολλαπλασιαστικής οµάδας C των µη-µηδενικών µιγαδικών αριθµών. Θα δούµε ότι η οµάδα T περιέχει κυκλικές οµάδες τάξης, για κάθε 1. Υπενθυµίζουµε ότι, 1, ο µιγαδικός αριθµός z C καλείται µια -οστή ϱίζα της µονάδας αν : z = 1. Τότε : z = 1 = z = 1 = z = 1 και θ [0, 2π] : z = e iθ και εποµένως : Άρα : z = 1 = e iθ = 1 = k Z : θ = k2π = θ = 2πk z = 1 = z = e 2πik, όπου k Z Παρατηρούµε ότι η τιµή e 2πik εξαρτάται µόνο από την κλάση ισοδυναµίας του k modulo : και άρα ϑα έχουµε : [k] = [k ] = k k = k k = r, όπου r Z e 2πik = e 2πi(k +r) = e 2πik +2πir = e 2πik 2πir e = e 2πik e 2πir = e 2πik Εποµένως ϑέτοντας : ϑα έχουµε ζ := e 2πi ζ q+r = ζ q ζ r = (ζ ) q ζ r = 1ζ r = ζ r και άρα το σύνολο των διακεκριµµένων -οστών ϱιζών της µονάδας είναι : U = { ζ k = e 2πik C 0 k 1 } = { 1, ζ, ζ 2,, ζ 1} Επειδή προφανώς το σύνολο U είναι κλειστό στον πολλαπλασιασµό µηιγαδικών αριθµών, έπεται ότι το σύνολο U είναι µια υποοµάδα της οµάδας T του κύκλου, και ιδιαίτερα η U είναι κυκλική διότι προφανώς : U = ζ = { 1, ζ, ζ 2,, ζ 1} Μια -οστή ϱίζα της µονάδας καλείται πρωταρχική -οστή ϱίζα της µονάδας αν είναι γεννήτορας της U.

243 Συνδυάζοντας τις παραπάνω παρατηρήσεις µε τα αποτελέσµατα της υπο-ενότητας 5.2, ϑα έχουµε το ακόλουθο αποτέλεσµα. Πρόταση 5.13. Το σύνολο U των -οστών ϱιζών της µονάδας είναι µια κυκλική υποοµάδα τάξης της οµάδας του κύκλου T: U = ζ = { 1, ζ, ζ 2,, ζ 1}, όπου ζ = e 2πi Υπάρχουν ακριβώς ϕ() πρωταρχικές -οστές ϱίζες της οµάδας, οι ακόλουθες : { z k U 1 k & (, k) = 1 } = { e 2πik U 1 k & (, k) = 1 } 5.4. Κυκλικές Οµάδες - Ευθέα Γινόµενα. Υπενθυµίζουµε ότι αν G και H είναι δύο οµάδες, τότε το ευθύ γινόµενο G H των G και H είναι το σύνολο G H = { (g, h) G H g G & h H } το οποίο αποτελεί οµάδα όταν εφοδιασθεί µε την πράξη : (g 1, h 1 )(g 2, h 2 ) := (g 1 g 2, h 1 h 2 ) Σηµειώνουµε ότι γράφοντας g 1 g 2 υπονοούµε την πράξη της G και γράφοντας h 1 h 2 υπονοούµε την πραξη της H. Το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G H είναι το Ϲεύγος (e G, e H, όπου e G είναι το ουδέτερο στοιχείο της G και e H είναι το ουδέτερο στοιχείο της H. Τέλος το αντίστροφο του στοιχείου (g, h) G H είναι το στοιχείο (g 1, h 1 ), όπου g 1 είναι το αντίστροφο του στοιχείου g στην G και h 1 είναι το αντίστροφο του στοιχείου h στην H. Θεώρηµα 5.14. Εστω G και H δύο κυκλικές οµάδες. (1) Αν µια από τις G και H είναι άπειρη κυκλική, τότε η οµάδα ευθύ γινόµενο G H δεν είναι ποτέ κυκλική. (2) Αν G και H είναι πεπερασµένες κυκλικές, τότε η οµάδα ευθύ γινόµενο G H είναι κυκλική αν και µόνον αν : (o(g), o(h)) = 1 Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι : G = a = { a k G k Z } και H = b = { b l H l Z } (1) Εστω ότι η οµάδα G H είναι κυκλική και έστω (x, y) G H ένας γεννήτορας της : G H = (x, y). Τότε : (x, y) = (a i, b j ), όπου i Z και j Z Εστω (a k, b l ) G H ένα τυχσίο στοιχείο της G H, δηλαδή τα k, l είναι τυχαίοι ακέραιοι αριθµοί. Τότε ϑα έχουµε : (a k, b l ) = (x, y) r = (a i, b j ) r = ((a i ) r, (b j ) r ) = (a ir, b jr ) = a k = a ir και b l = b jr = a k ir = e G και b l jr = e H Αν µια από τις G και H είναι άπειρη οµάδα, για παράδειγµα η G, τότε επειδή ο γεννήτορας a της G έχει άπειρη τάξη ϑα έχουµε k ir = 0 και άρα k = ir, δηλαδή i k. Επειδή ο ακέραιος i είναι σταθερός και ο ακέραιος k είναι τυχαίος, έπεται ότι το i διαιρεί κάθε ακέραιο. Τότε προφανώς i = 1 και άρα ϑα έχουµε : k = r. Ετσι : (a k, b l ) = (a k, b jk ) = b l jk = e H

244 Αν η H είναι άπειρη, τότε το b έχει άπειρη τάξη και άρα l = kj, δηλαδή το j διαιρεί κάθε ακέραιο l και εποµένως j = 1. Τότε l = k. ιαλέγοντας k l, καταλήγουµε σε άτοπο. Αν η H είναι πεπερασµένη, έστω o(h) = o(b) = m. Τότε b l jk = e H = m l kj = s Z : l kj = ms = l = kj + ms = l = (k, m) ιαλέγοντας το l έτσι ώστε : l (k, m), καταλήγουµε σε άτοπο. Εποµένως η οµάδα ευθύ γινόµενο G H δεν µπορεί να είναι κυκλική. (2) Υποθέτουµε ότι οι κυκλικές οµάδες G και H είναι πεπερασµένες, και έστω : o(g) = o(a) = και o(h) = o(b) = m Υποθέτουµε πρώτα ότι (, m) = 1. Θα δείξουµε ότι το στοιχείο (a, b) είναι γεννήτορας της G H. Επειδή η G H έχει τάξη m <, έπεται ότι το στοιχείο (a, b) ϑα έχουε πεπερασµένη τάξη, έστω o((a, b)) = r. Τότε r m, (a, b) r = (e G, e H ) και εποµένως (a r, b r ) = (e G, e H ). Τότε a r = e G και b r = e H. Τότε όµως ϑα έχουµε o(a) r και o(b) r, δηλαδή : r και m r. Τότε όµως [, m] r και επειδή (, m) = 1, έπεται ότι [, m] = m και άρα Θα έχουµε m r. Ετσι o((a, b)) = r = m = o(g H) και εποµένως η κυκλική υποοµάδα της G H η οποία παράγεται από το στοιχείο (a, b) συµπίπτει µε την G H, δηλαδή : G H = (a, b) και η G H είναι κυκλική. Αντίστροφα υποθέτουµε ότι η G H είναι κυκλική και έστω G H = (x, y). Τότε o((x, y)) = m. Υποθέτουµε ότι (, m) = d 1. Τότε d και d m και άρα : d, m d N. Τότε επειδή x G και o(g) =, ϑα έχουµε x = e G, και επειδή x G και o(h) = m, ϑα έχουµε y m = e H. Εποµένως ϑα έχουµε : (x, y) m d = (x m m ( d, y d ) = (x ) m d, (y m ) ( ) ) d = (eg ) m d, (eh ) d = (eg, e H ) m m και άρα m d, δηλαδή m d d = (m, ) = 1. και επειδή d 1 καταλήγουµε στο άτοπο m < m d. Άρα Παράδειγµα 5.15. Η κυκλική οµάδα Z p r Z q s, p q πρώτοι αριθµοί, r, s 1. Επειδή οι p, q είναι πρώτοι αριθµοί και p q, έπεται ότι (p r, q s ) = 1. Εποµένως η οµάδα ευθύ γινόµενο Z p r Z q s είναι κυκλική µε τάξη p r q s : Z p r Z q s = ([1] p r, [1] q s) Επειδή οι διαιρέτες του p r q s είναι σε πλήθος τ(p r q s ) = (1 + r)(1 + s), δηλαδή οι αριθµοί 1, p, p 2,, p r, q, q 2,, q s, pq, pq 2,, pq s,, p r q, p r q 2,, p r q s έπεται ότι η κυκλική οµάδα Z p r Z q s έχει (1 + r)(1 + s) υποοµάδες, µια και µόνον µια υποοµάδα τάξης p i q j, οπου 0 i r και 0 j s. Από την άλλη πλευρά, επειδή ϕ(p r q s ) = p r q s (1 1 p )(1 1 q ) = pr 1 (p 1)q s 1 (q 1) έπεται ότι η κυκλική οµάδα Z p r Z q s ϑα έχει p r 1 (p 1)q s 1 (q 1) το πλήθος γεννήτορες. 5.5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα ϑα δούµε την ταξινόµηση των κυκλικών οµάδων, µέσω οικείων µοντέλων. Υπενθυµίζουµε ότι : (1) Η οµάδα (Z, +) είναι µια άπειρη κυκλική οµάδα. (2) 2, η οµάδα (Z, +) είναι κυκλική τάξης.

245 Ιδιαίτερα ϑα δούµε ότι κάθε άπειρη κυκλική οµάδα είναι «ισόµορφη» µε την (Z, +), και κάθε πεπε- ϱασµένη κυκλική οµάδα τάξης είναι «ισόµορφη» µε την (Z, +). Ορισµός 5.16. Μια απεικόνιση f : G G µεταξύ δύο οµάδων G και G καλείται ισοµορφισµός αν : (1) Η f είναι 1-1 και επί. (2) x, y G: f(xy) = f(x)f(y). Η δεύτερη συνθήκη του παραπάνω ορισµού δείχνει ότι ένας ισοµορφισµός f : G G στέλνει γινόµενα xy στοιχείων x, y της G σε γινόµενα f(x)f(y) των εικόνων f(x), f(y) των στοιχείων x, y µέσω της f στην G. Σηµειώνουµε ότι, χάριν ευκολίας του συµβολισµού, συµβολίζουµε µε το ίδιο σύµβολο την πράξη στις οµάδες G και G. Γενικά αν είναι η πράξη της G και η πράξη της G, τότε η συνθήκη (2) του Ορισµού 5.16 γράφεται : f(x y) = f(x) f(y). Ασκηση 281. Εστω f : G H ένας ισοµορφισµός µεταξύ δύο οµάδων G και H. Τότε να δείξετε ότι η απεικόνιση f 1 : H G είναι ισοµορφισµός. Συµβολίζουµε µε Grp τη συλλογή όλων των οµάδων. Ασκηση 282. Να δείξετε ότι η ακόλουθη σχέση στη συλλογή Grp: G 1, G 2 Grp : G 1 = G2 υπάρχει ισοµορφισµός f : G 1 G 2 είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί της συλλογής Grp. ύο οµάδες G 1 και G 2 καλούνται ισόµορφες αν G 1 = G2. Οπως ϑα δούµε αργότερα ισόµορφες οµάδες έχουν τις ίδιες δοµικές ιδιότητες και το µόνο που τις διαφοροποιεί είναι η ενδεχόµενη διαφορετική ϕύση, όνοµα, συµβολισµός, των στοιχείων τους ή της πράξης µε την οποία είναι εφοδιασµένη η κάθε µια. Θεώρηµα 5.17. Εστω G µια κυκλική οµάδα. (1) Αν η G είναι άπειρη, τότε η G είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα των ακεραίων : G = (Z, +) (2) Αν η G είναι πεπερασµένη τάξης, τότε η G είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα των ακεραίων modulo : G = (Z, +) (3) ύο κυκλικές οµάδες είναι ισόµορφες αν και µόνιν αν έχουν την ίδια τάξη : G 1 = G2 o(g 1 ) = o(g 2 ) Απόδειξη. Βλέπε Θεωρήµατα 14.1, 14.4, και 14.7. Για περισσότερες λεπτοµέρειες αναφορικά µε τις ϐασικές ιδιότητες οµοµορφισµών και ισοµορφισµών οµάδων, παραπέµπουµε στις ενότητες 13, 14, και 15.

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης «Αλγεβρικές Δομές Ι». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1248. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommos.org/liceses/by-sa/4.0/.