Ασκήσεις στην Θεωρία Ομάδων 2 Μαίου 2014 Άσκηση 1 Δίνεται μια ομάδα G τάξης n και a 1, a 2,..., a n G. Δείξτε ότι υπάρχουν k, m N τέτοια ώστε 1 k m n και a k a 2...a m = 1. Άσκηση 2 Δίνεται μια ομάδα G και δύο υποομάδες K και H της G. Δείξτε ότι η HK είναι υποομάδα της G αν και μόνον αν HK = KH. Άσκηση 3 Δείξτε ότι μια ομάδα με εκθέτη 2 είναι αβελιανή. Άσκηση 4 Δίνεται μια ομάδα G και μια γνήσια υποομάδα H της G. Δείξτε ότι η < G H = G. Άσκηση 5 Δίνεται μια ομάδα G και δύο υποομάδες K και H της G. Θέτουμε G : H = m, G : K = n. Δείξτε ότι αν (m, n) = 1, τότε G : (H K) = mn. Άσκηση 6 Δείξτε ότι n N υπάρχει πεπερασμένο πλήθος ομάδων τάξης n. Άσκηση 7 Δίνεται μια ομάδα G και μια γνήσια υποομάδα H της G. Δείξτε ότι αν η H έχει δείκτη 2 στην G, τότε είναι κανονική. Άσκηση 8 Δίνεται μια ομάδα G και μια κανονική υποομάδα H της G. Δείξτε ότι η C G (H) είναι κανονική υποομάδα της G. ( ) 1 2 3 4 5 Άσκηση 9 Δίνεται η μετάθεση ρ = της S 2 4 5 1 3 5. Δείξτε ότι η ρ έχει τάξη 6. Είναι η ρ ισόμορϕη με την S 3 ; 1
( ) 1 2 3 4 5 6 Άσκηση 10 Δίνονται οι μεταθέσεις σ = και ( ) 3 1 4 5 6 2 1 2 3 4 5 6 τ = της S 2 4 1 3 6 5 6. Υπολογίστε τα στοιχεία στ, στ 2, στσ 1, σ 100 και τους αριθμούς σ, τ 2. Άσκηση 11 Βρείτε όλες τις υποομάδες της D 3. Άσκηση 12 Βρείτε όλες τις υποομάδες της D 4. Ποιές απο αυτές είναι κανονικές; Άσκηση 13 Δίνονται δύο πρώτοι αριθμοί p, q. Βρείτε το πλήθος των γεννητόρων της Z pq. Άσκηση 14 Βρείτε τους ομομορϕισμούς απο την Z 2 Z 2 στην Z 2. Άσκηση 15 Βρείτε τους ομομορϕισμούς απο την Z 2 Z 3 στην Z 6. Άσκηση 16 Δίνεται μια ομάδα G και s G τέτοιο ώστε S = G. Δείξτε ότι αν ϕ, ψ είναι ομομορϕισμοί απο την G σε μια ομάδα H, τότε ϕ = ψ αν και μόνον αν ϕ(s) = ψ(s) για κάθε s S. Άσκηση 17 Δίνεται μια μη αβελιανή ομάδα G. Δείξτε ότι η G/Z(G) δεν είναι κυκλική. Άσκηση 18 Δίνεται μια ομάδα G με τάξη p 2, όπου p πρώτος. Δείξτε ότι η G είναι αβελιανή. Άσκηση 19 Δίνεται μια αβελιανή ομάδα G τάξης n και r N με (n, r) = 1. Δείξτε ότι η απεικόνιση ϕ : G G που ορίζεται ϕ(g) = g r είναι ομομορϕισμός. ( ) 0 1 Άσκηση 20 Θεωρούμε τα στοιχεία a =, b = 1 0 GL(2, R). Βρείτε τις τάξεις των στοιχείων a, b, ab. ( ) της 1 1 Άσκηση 21 Θεωρούμε δύο ομάδες G, G και H G, H G. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας ομομορϕισμός ϕ τέτοιος ώστε ϕ(h) H. Δείξτε ότι υπάρχει ένας ομομορϕισμός ϕ : G/H G /H τέτοιος ώστε ϕ π = π ϕ, όπου π (αντιστ. π ) είναι η κανονική απεικόνιση G G/H (αντιστ. G G /H ). 2
Άσκηση 22 Βρείτε δύο αβελιανές ομάδες K και H και μια υποομάδα N της K H τέτοια ώστε N H = N K = 1, N {1. Άσκηση 23 Δίνεται μια πεπερασμένη ομάδα G. Δείξτε ότι αν Aut(G) = {1 τότε G 2. Άσκηση 24 Δίνονται δύο ομάδες H, K με H = m, K = n. Δείξτε ότι αν (m, n) = 1 τότε Aut(H K) = Aut(H) Aut(K). Άσκηση 25 Δείξτε ότι S n /A n {1, 1. Είναι η S n το ημιευθύ γινόμενο της A n με την {1, 1; Άσκηση 26 Υπολογίστε τις ομάδες Z(GL(2, R)), Z(SL(2, R)), Z(GL(n, R)), Z(SL(n, R)). Άσκηση 27 Δείξτε ότι GL(n, R)/SL(n, R) (R, ). Είναι η GL(n, R) το ημιευθύ γινόμενο της SL(n, R) με την (R, ); Άσκηση 28 Δείξτε ότι Z m Z n Z mn αν και μόνον αν (m, n) = 1. Άσκηση 29 Δείξτε ότι μια άπειρη κυκλική ομάδα δεν είναι το ευθύ γινόμενο δύο γνήσιων υποομάδων της. Άσκηση 30 Θέτουμε T = a b : a R, c R, b R 1 b A = a 0 D = : b R : a R, c R. Δείξτε ότι οι T, A, D είναι ομάδες με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Δείξτε ότι A T και ότι T/A D. Είναι η T το ημιευθύ γινόμενο της A με την D; 3
Άσκηση 31 Θέτουμε a b G = GL(2, R) = c d T = Βρείτε τις ομάδες C G (T ), N G (T ). Άσκηση 32 Θέτουμε a b G = GL(2, R) = c d : a, b, c, d R, ad bc 0, a b : a R, c R, b R. T = Βρείτε τις ομάδες C G (T ), N G (T ). Άσκηση 33 Θέτουμε a b G = GL(2, R) = c d H (12) = Βρείτε τις ομάδες C G (T ), N G (T ). : a, b, c, d R, ad bc 0, a 0 : a R, c R. : a, b, c, d R, ad bc 0, a 0 : a R, c R. Άσκηση 34 Θέτουμε a b G = : a R, b R a 0 H = : a R 1 b K = : b R. Δείξτε ότι οι G, H, K είναι ομάδες με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Δείξτε ότι K G και ότι η G είναι το ημιευθύ γινόμενο της H με την K. 4
Άσκηση 35 Υπολογίστε την Aut(Z p ) για p πρώτο. Άσκηση 36 Δείξτε ότι αν H = Z 3, K = Z 2 ισομορϕικές G ώστε η ακολουθία υπάρχουν ακριβώς δύο μη να είναι ακριβής. 1 H G K 1 Άσκηση 37 Δείξτε ότι αν H = Z 2, K = Z 3 υπάρχει ακριβώς μία G ώστε η ακολουθία να είναι ακριβής. 1 H G K 1 Άσκηση 38 Δίνεται μια υποομάδα G της S n. Δείξτε ότι αν η G περιέχει μια περιττή μετάθεση τότε η τάξη της G είναι άρτιος και το πλήθος των περιττών μεταθέσεων της G είναι G /2. Άσκηση 39 Δίνεται μια ομάδα G και τρείς κανονικές υποομάδες A, B, C της G με A B. Δείξτε ότι αν A C = B C και AC = BC τότε A = B. Άσκηση 40 Δείξτε ότι δεν υπάρχει απλή ομάδα τάξης 56. Άσκηση 41 Δείξτε ότι δεν υπάρχει απλή ομάδα τάξης 312. Άσκηση 42 Δίνεται μια πεπερασμένη ομάδα G και μια p-sylow υποομάδα P της G. Δείξτε ότι η P είναι η μοναδική p-sylow υποομάδα της G αν και μόνον αν P G. Άσκηση 43 Δίνεται μια πεπερασμένη ομάδα G, μια υποομάδα H της G και μια p-sylow υποομάδα P της G. Δείξτε ότι αν H G, P H, τότε P G. Άσκηση 44 Δείξτε ότι μια ομάδα τάξης p 2 q όπου p, q είναι πρώτοι περιέχει μια γνήσια κανονική υποομάδα διάϕορη της {1. Άσκηση 45 Δίνεται μια ομάδα τάξης p 2 q όπου p, q είναι πρώτοι. Υποθέτουμε ότι q < p και ότι ο q δεν διαιρεί τον p 2 1. Δείξτε ότι η G είναι αβελιανή. 5
Άσκηση 46 Δίνεται μια ομάδα πεπερασμένης τάξης G και μια γνήσια υποομάδα H της G. Δείξτε ότι g G ghg 1 G. Άσκηση 47 Δίνεται μια ομάδα πεπερασμένης τάξης G και δύο υποομάδες H και K της G. Δείξτε ότι HK = H K H K. Άσκηση 48 Δίνεται μια μηδενοδύναμη ομάδα πεπερασμένης τάξης G και μια υποομάδα H της G. Δείξτε ότι αν η H είναι μεγιστική, τότε H G και ο G/H είναι πρώτος. Άσκηση 49 Δίνεται μια μηδενοδύναμη ομάδα πεπερασμένης τάξης G και μια υποομάδα H της G. Δείξτε ότι αν η H είναι μεγιστική, τότε H G και ο G/H είναι πρώτος. Άσκηση 50 Δείξτε ότι η D n είναι επιλύσιμη. Είναι η D n μηδενοδύναμη; Άσκηση 51 Δίνεται μια ομάδα G τάξης pq όπου p, q είναι πρώτοι p q. Δείξτε ότι η G είναι επιλύσιμη. Άσκηση 52 Δίνεται μια ομάδα G τάξης p k όπου p είναι πρώτος. Δείξτε ότι η G είναι επιλύσιμη. Άσκηση 53 Δίνεται μια ομάδα G τάξης p 2 q όπου p, q είναι πρώτοι. Δείξτε ότι η G είναι επιλύσιμη. Άσκηση 54 Δίνεται μια ομάδα G τάξης pq n όπου p, q είναι πρώτοι με p < q. Δείξτε ότι η G είναι επιλύσιμη. Άσκηση 55 Δείξτε ότι αν η Aut(G) είναι μηδενοδύναμη, τότε και η G είναι μηδενοδύναμη. Άσκηση 56 Δείξτε ότι αν H G και H και G/H είναι επιλύσιμες, τότε η G είναι επιλύσιμη. Άσκηση 57 Αν H G και H και G/H είναι μηδενοδύναμες, είναι η G μηδενοδύναμη; 6
Άσκηση 58 Θέτουμε T n = {A GL(n, R) : a ij = 0 i > j R n = {A T n : a ii = 0 i = 1, 2,..., n. Δείξτε ότι η T n είναι επιλύσιμη αλλά όχι μηδενοδύναμη. Δείξτε ότι η R n είναι μηδενοδύναμη. Άσκηση 59 Δίνεται μια ομάδα G και δύο υποομάδες H και K της G. Δείξτε ότι αν οι H και K είναι επιλύσιμες και H G τότε η HK είναι επιλύσιμη. Άσκηση 60 Δείξτε ότι η S 4 είναι επιλύσιμη. Άσκηση 61 Δίνεται μια ομάδα G. Ενα στοιχείο x G λέγεται μη-γεννήτορας αν: Y G, < Y {x >= G < Y >= G. Εστω Φ(G) η τομή των μεγιστικών υποομάδων της G. Δείξτε ότι: 1. Φ(G) G. 2. Αν G <, τότε η Φ(G) είναι μηδενοδύναμη. 3. Φ(G) = {x G : x μη-γεννήτορας 7