Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά ότι οι Z,, είναι χώροι Μια απεικόνιση : [, ) + καλείται νόρµα αν για κάθε x, y (i) x = x= (ii) λx = λ x, λ K (iii) x + y x + y Αν ο έχει νόρµα (δεν ισχύει πάντα) τότε λέµε ότι ο είναι νορµικός χώρος και ορίζεται η µετρική Το σύνολο [ ) d:, + : d x, y = x y ε ( x) = { y : y x < ε} καλείται ανοικτή περιοχή (ή γειτονιά) κέντρου x και ακτίνας ε Θεωρώντας ότι ένα υποσύνολο του είναι ανοικτό αν και µόνον αν είναι (πιθανώς αριθµήσιµη) ένωση ανοικτών περιοχών όπως παραπάνω προκύπτει µε φυσικό τρόπο µια τοπολογία στο x συγκλίνει στο (σε στοιχείο Τότε λέµε ότι η ακολουθία { } x ), αν ε > > < ε : x x Επίσης λέµε ότι η σειρά x συγκλίνει απόλυτα αν = 1 x = 1 < Ακόµη λέµε ότι µια απεικόνιση f : είναι συνεχής αν για κάθε x ισχύει ( x ) x x f ( x) f ( x ) ε > δ = δ ε > < < δ < ε, : - 176 -

Στην παραπάνω ο είναι νορµικός χώρος µε νόρµα Αν A είναι υποσύνολο ενός νορµικού (ή και τοπολογικού) χώρου, συµβολίζου- µε µε A την κλειστότητα του A, δηλαδή το A µαζί µε τα σηµεία συσσώρευσής του Προφανώς A = A αν και µόνον αν το A είναι κλειστό Ορισµός Β1 Ενα υποσύνολο A (αριθµήσιµο ή όχι) ενός νορµικού (ή και τοπολογικού) χώρου καλείται πυκνό στο, αν A = Ορισµός Β Ενας νορµικός χώρος καλείται πλήρης ή Baach αν κάθε ακολoυθία Cauchy στο συγκλίνει στο, δηλαδή ( ε ε) > :, m> x x < lim x = x m Προφανώς κάθε χώρος Baach είναι κλειστός αλλά και κάθε κλειστός υπόχωρος χώρου Baach είναι επίσης χώρος Baach Επικεντρωνόµαστε σε χώρους Baach επειδή αυτοί οι χώροι είναι αρκετά «πλούσιοι» (εφόσον περιέχουν και όρια) και χρησιµεύουν ως ένα στέρεο µαθηµατικό µοντέλο µελέτης διαφόρων φυσικών φαινοµένων Οι χώροι Baach που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι απειροδιάστατοι και χρειάζεται κάποια προσοχή όσον αφορά τη γενίκευση της έννοιας της βάσης σε τέτοιους χώρους Στο εξής θεωρούµε ότι ο είναι χώρος Baach Οταν γράφουµε lim x = x εννοούµε ότι η σύγκλιση είναι ως προς τη νόρµα του εκτός αν κάτι δηλώνεται κάτι διαφορετικό Ορισµός Β3 Eστω { ϕ } Φ= είναι µια οικογένεια στοιχείων του B (αριθµήσιµη ή όχι) και K = ή Καλούµε γραµµικό περίβληµα του Φ (ή γραµµική θήκη του Φ ), συµβολικά, B ( Φ ) = { ϕ: } spa c c K τον υπόχωρο του που περιλαµβάνει όλους τους πεπερασµένους γραµµικούς συνδυασµούς στοιχείων του Φ (µε την έννοια ότι a = εκτός πεπερασµένου πλήθους συντελεστών) - 177 -

Ορισµός Β4 Αν υπάρχει αριθµήσιµη οικογένεια Φ = { ϕ } έτσι ώστε spa( Φ ) είναι πυκνό στο τότε ο καλείται διαχωρίσιµος Ορισµός Β5 Eστω { ϕ } Φ= είναι µια οικογένεια στοιχείων του B (αριθµήσιµη ή όχι) Λέµε ότι η Φ είναι γραµµικά ανεξάρτητη (ή τα στοιχεία της είναι γραµµικώς ανεξάρτητα), αν cϕ = c = B Σηµείωση Με τον ορισµό που δώσαµε, αν η Φ είναι γραµµικά ανεξάρτητη τότε και κάθε πεπερασµένο υποσύνολό της είναι γραµµικά ανεξάρτητο Το αντίστροφο όµως δεν ισχύει Ορισµός Β6 Λέµε ότι µια αριθµήσιµη οικογένεια Φ = { ϕ } είναι µια βάση Schauder στο, αν υπάρχει µοναδική ακολουθία c= c K τέτοια ώστε συντελεστών { } µε την έννοια f = c ϕ, N lim f cϕ = N = 1 Σηµείωση (α) Η σύγκλιση της παραπάνω σειράς επηρεάζεται απ τη «διάταξη» της Φ ηλαδή, δεν ισχύει ότι κάθε αναδιάταξη της σειράς συγκλίνει παρά µόνον κάτω υπό επιπλέον συνθήκες πάνω στη Φ Στην περίπτωση απειροδιάστατων χώρων ακόµη κι η απόλυτη σύγκλιση µιας σειράς συναρτήσεων δε διασφαλίζει το γεγονός ότι κάθε αναδιάταξη της σειράς συγκλίνει (β) Ακόµη και αν ο είναι διαχωρίσιµος µπορεί να µην έχει βάση Schauder Αν όµως έχει βάση Schauder τότε είναι διαχωρίσιµος (γ) Με βάση τα παραπάνω η ακολουθία Φ είναι µια βάση στον spa Φ = αν είναι γραµµικά ανεξάρτητη και - 178 -

Β Tελεστές και συναρτησιακά Ορισµός Β7 Κάθε απεικόνιση T : τέτοια ώστε,,, T λ x+ µ y = λ T x + µ T y x y λ µ K καλείται γραµµικός τελεστής Γραµµικοί τελεστές της µορφής T : K καλούνται γραµµικά συναρτησιακά Στο εξής για απλότητα µιλάµε για τελεστές (ή συναρτησιακά) και γράφουµε Tx αντί T( x ) Εστω, είναι νορµικοί χώροι µε νόρµες και T : είναι τελεστής Το σύνολο και αντιστοίχως = { : = } Ker T x Tx καλείται πυρήνας του T και είναι υπόχωρος του Ο T είναι 1-1 Ker T = Το σύνολο αν και µόνον αν { } = { : = } R T y y Tx x καλείται εικόνα του T και είναι υπόχωρος του Αν ο T είναι 1-1, τότε ο T είναι αντιστρέψιµος µε την έννοια ότι ορίζεται ο αντίστροφος τελεστής ο οποίος είναι επίσης γραµµικός = =, 1 1 T : R T : T y x y Tx Ορισµός Β8 Ενας τελεστής T : καλείται φραγµένος αν υπάρχει θετική σταθερά M τέτοια ώστε Πρόταση Β1 Tx M x x Ο τελεστής T : είναι συνεχής στο αν και µόνον αν είναι φραγµένος στο - 179 -

Απόδειξη Αν ο T είναι συνεχής στο τότε είναι συνεχής και στο στοιχείο Αρα υπάρχει δ > έτσι ώστε x δ Tx 1 Εστω δ x z = Τότε z x δ Tx = δ, άρα Tz 1 Αλλά 1 Tz =, x 1 οπότε Tx x, άρα ο T είναι φραγµένος Αντιστρόφως, έστω δ ότι ο T είναι φραγµένος και x Για κάθε ε > και y µε < y x < ε έχουµε Ty Tx = T y x M y x < Mε Αρα ο T είναι συνεχής Συµβολίζουµε µε (, ) το γραµµικό χώρο όλων των φραγµένων τελεστών T : πάνω απ το σώµα K = ή µε τις συνήθεις πράξεις Αν, ) Καλούµε δυϊκό = γράφουµε (αντί χώρο του το γραµµικό χώρο όλων των φραγµένων συναρτησιακών T : K πάνω απ το σώµα K Η απεικόνιση [ ) T { Tx x x } :,, + : = sup : µε 1 είναι είναι µια νόρµα στο (, ) νόρµα του T και συµβολίζουµε απλά µε T που στο εξής καλούµε συνήθη Αποδεικνύεται ότι αν ο είναι χώρος Baach τότε και ο (, ) είναι επίσης χώρος Baach (ως προς τη νόρµα ) Τέλος είναι εύκολο να δούµε ότι Tx T x x Αν S (, ) και T (, Z) T S: Z, συµβολικά TS Επιπλέον TS (, Z ) ορίζεται ο σύνθετος τελεστής και - 18 -

TS T S Ο τελεστής T : καλείται ισοµορφισµός αν είναι 1-1 και επί του Τότε οι χώροι, καλούνται ισόµορφοι Ο T καλείται ισοµετρικός ισοµορφισµός αν είναι ισοµορφισµός και ισοµετρία (δηλ x = Tx ) Τότε οι, καλούνται ισοµετρικά ισόµορφοι 1 Σηµειώνουµε ότι αν T (, ) είναι 1-1 και επί, τότε T (, ) Θεώρηµα Β1 Εστω είναι νορµικός χώρος και είναι χώρος Baach Aν D είναι πυκνός υπόχωρος του και ο τελεστής T : D είναι φραγµένος, τότε: (α) υπάρχει µοναδικός φραγµένος τελεστής T : που επεκτείνει τον T σ όλο το (β) T = T Απόδειξη (α) Εστω x, x Εφόσον ο D είναι πυκνός στο, x,{ x } D έτσι ώστε lim x = x και υπάρχουν ακολουθίες { } lim x = x αντιστοίχως Λόγω συνεχείας του και { } T οι ακολουθίες { Tx } Tx είναι Cauchy άρα συγκλίνουν στο στα στοιχεία y και y αντιστοίχως Εστω T Tx= y= T x : : lim D που συγκλίνει στο x είναι µοναδική επέκταση του T για κάθε ακολουθία { x } Τότε ο T (β) Προφανώς T T Εστω ε 1/ π 1 έτσι ώστε Tx ( 1 ε ) T Εφόσον το D είναι πυκνό υπάρχει σηµείο z D τέτοιο ώστε z x ε Τότε Tx Tz ε T, άρα Tz ( 1 ε ) T Επίσης z 1+ ε, άρα < < Τότε υπάρχει x - 181 -

Tz 1 ε T T T, ε z 1+ ε Β3 Χώροι ilert Συζυγής τελεστής Oρθοκανονικές βάσεις Μια απεικόνιση, : K καλείται εσωτερικό γινόµενο αν για κάθε x, y ισχύουν (i) x, y = y, x (ii) ax, y = a x, y, a K (iii) x + yz, = xz, + yz, (iv) xx, και xx, = x= Τότε ο καλείται χώρος µε εσωτερικό γινόµενο Για παράδειγµα η απεικόνιση, : : x, y x y = k = 1 είναι το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο στο χώρο { x ( x,, 1 x ) T : xi } = = µε στοιχεία διανύσµατα στήλες Ισοδύναµα γράφουµε k k x, y y x = i, όπου y είναι ο συζυγής ανάστροφος του στοιχείου y και η πράξη i δηλώνει γινόµενο πινάκων Αν είναι χώρος µε εσωτερικό γινόµενο, τότε για κάθε x, y ισχύει η ανισότητα Cauchy-Schwartz x, y x y Ορισµός Β9 Ενας χώρος Βaach µε εσωτερικό γινόµενο, και νόρµα [ ) :, + : x = x, x καλείται χώρος ilert Στο εξής συµβολίζουµε µε ένα χώρο ilert υο στοιχεία - 18 -

x, y καλούνται κάθετα αν xy, = και ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρηµα x + y = x + y Αν A ορίζουµε { :, } A = y x y = x A να είναι το ορθογώνιο συµπλήρωµα του A (στον ) Σηµειώνου- µε ότι ο A είναι κλειστός υπόχωρος του και Προφανώς = { } και { } A A = Τέλος: αν A είναι πυκνό στο τότε A = { } Αν ax, ay, a x y Πρόταση Β = =, διότι x y { } Εστω E είναι κλειστός υπόχωρος του Τότε = E E = Με άλλα λόγια, οι E, E είναι κλειστοί υπόχωροι του µε τοµή το µηδενικό στοιχείο του και κάθε στοιχείο του αναλύεται µε µοναδικό τρόπο ως άθροισµα δυο κάθετων µεταξύ τους στοιχείων των υποχώρων E, E Θεώρηµα Β (Riesz) Για κάθε στοιχείο Λ y = y x, Λ υπάρχει µοναδικό στοιχείο x έτσι ώστε Ας θυµηθούµε τώρα την ακόλουθη ισότητα από τη γραµµική άλγεβρα: m Aν A: είναι ένας m πίνακας και A : m είναι ο - 183 -

συζυγής ανάστροφος του A (δηλ y είναι διανύσµατα στήλες έχουµε: A = A ), τότε αν i, j j, i m x και Ax, y = y Ax = y A x= A y x= x, A y m Η ισότητα αυτή γενικεύεται και για τελεστές σε απειροδιάστατους χώρους ilert Πράγµατι, έστω T ( 1, ) όπου 1, είναι χώροι ilert µε εσωτερικά γινόµενα, και, αντιστοίχως 1 Σταθεροποιούµε προς στιγµήν τυχαίο στοιχείο y και ορίζουµε την απεικόνιση g : : g x = Tx, y y 1 y Η g y είναι γραµµική και φραγµένη άρα ανήκει στο δυϊκό χώρο 1 Από το Θεώρηµα αναπαράστασης του Riesz (βλ Θεώρηµα Β1), υπάρχει στοιχείο z = z 1 τέτοιο ώστε y και ορίζεται ο τελεστής g y =, z y 1 άρα T T y = z, : 1: y Tx, y = x, T y x 1, y 1 Ο τελεστής T είναι µοναδικός διότι αν υπήρχε και άλλος, έστω τότε = x, T Λ y x T y =Λ y Επιπλέον ισχύει η ακόλουθη Πρόταση Β3 1 1 Εστω T (, ) Υπάρχει µοναδικός τελεστής T (, ) 1 καλείται συζυγής του T έτσι ώστε 1 Λ, που - 184 -

και Tx y = x T y x y,,, 1 T = T Είναι εύκολο να δούµε ότι R( T ) = R( T ) Ker T = Ker T και ( ) R( T ) ( ) R( T ) Ker T = Ker T = Σηµειωτέον ότι ο πυρήνας Ker ( T ) είναι κλειστός αν και µόνον αν ο T είναι φραγµένος Επίσης: ( T T ) T T + = +, 1 1 TS S T ( T ) =, = T, 1 ( T ) ( T ) 1 =, υπό την προϋπόθεση ότι οι παραπάνω τελεστές ορίζονται Εστω T Ο T καλείται ορθοκανονικός αν TT = T T = I, όπου I είναι ο ταυτοτικός τελεστής Πρόταση Β4 Εστω είναι µιγαδικός χώρος ilert και T Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (β 1 ) Ο T είναι ορθοκανονικός (β ) R( T) (β 3 ) R( T) = και TxTy, = xy, xy, = και Tx = x x - 185 -

Ορισµός Β11 Μια οικογένεια { ϕ } Φ = (αριθµήσιµη ή όχι) καλείται ορθογώνια αν ϕa, ϕ = a Επιπλέον, αν ϕ = 1 τότε η Φ καλείται ορθοκανονική B Κάθε ορθογώνια οικογένεια Φ (µε µη µηδενικά στοιχεία) είναι γραµµικά ανεξάρτητη διότι c ϕ = c ϕ, ϕ a = a c ϕ a, ϕ a = a ca = a Ορισµός Β1 Μια οικογένεια { φ } Φ = καλείται Βessel αν υπάρχει θετική σταθερά C τέτοια ώστε B f, φ C f f Είναι εύκολο να δούµε ότι κάθε ορθοκανονική οικογένεια Φ= ϕ είναι Bessel Επιπλέον, αν f και { } B { } τότε η ακολουθία f : K: c f = f, ϕ, f B της f και το ανάπτυγµα καλείται ακολουθία συντελεστών Fourier f ϕ, ϕ καλείται (γενικευµένη) σειρά Fourier της f Θεώρηµα Β3 Εστω, είναι νορµικοί χώροι, ο είναι χώρος Baach και f : είναι φραγµένος τελεστής Αν f είναι ισοµετρία πάνω σε πυκνό σύνολο D του και η εικόνα f ( D ) είναι πυκνή στο, τότε ο τελεστής f επεκτείνεται σε µια ισοµετρία σ όλο η οποία είναι επί του Απόδειξη Εστω y Εφόσον το f ( D ) είναι πυκνό στο, D lim f x = y Αρα η υπάρχει ακολουθία { x } έτσι ώστε - 186 -

{ } ακολουθία f ( x ) στο D και η ακολουθία { } είναι Cauchy Εφόσον η f είναι ισοµετρία x είναι Cauchy και αφού ο είναι χλωρος Baach, υπάρχει x έτσι ώστε lim x = x Τότε λόγω συνεχείας της f έχουµε lim f x = f x = y Αρα η f είναι επί Η επέκταση σε ισοµετρία είναι άµεση συνέπεια της συνέχειας της f και της πυκνότητας των D και f ( D ) Eστω { B } { } B = x= x x < : είναι ο χώρος των τετραγωνικά αθροίσιµων ακολουθιών µε νόρµα x 1/ = ( B) ( x ) Παρατήρηση Σηµειώνουµε ότι Αν { ϕ } { a A a } x = sup x : A B, A πεπερασµενο Φ= είναι µια ορθοκανονική οικογένεια και B ( Φ) = { } T : spa B : Tf f, ϕ, τότε o T είναι ισοµετρία, άρα από το θεώρηµα Β3 επεκτείνεται στο Αρα ισχύει: spa( Φ ) σε µια ισοµετρία επί του χώρου Θεώρηµα Β4 Εστω { ϕ } B B Φ= είναι µια ορθοκανονική οικογένεια Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες: (α) Η { ϕ } (β) spa Φ= είναι µια ορθοκανονική βάση του B Φ = (γ) f = f, ϕ f (ταυτότητα Parseval) (δ) f, g = f, ϕ g, ϕ f, g - 187 -

Αποδεικνύεται ότι κάθε χώρος ilert έχει ορθοκανονική βάση Φ= ϕ (όχι κατ ανάγκην αριθµήσιµη) Αρα: { } B Κάθε χώρος ilert είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε το χώρο των τετραγωνικά αθροίσιµων ακολουθιών { x} : x < Β4 Μερικά από τα βασικά θεωρήµατα συναρτησιακής ανάλυσης Συζυγής τελεστής σε χώρους Baach Θεώρηµα Β5 (Ηah-Baach) Eστω M είναι υπόχωρος γραµµικού χώρου και p είναι µια ηµινόρµα στο (δηλαδή ισχύουν όλες οι ιδιότητες της νόρµας εκτός της p( x) = x= ) Αν T : M K είναι συναρτησιακό µε Tx p x x M, τότε το T επεκτείνεται σ ένα συναρτησιακό T : K µε Πόρισµα Β1 Tx p( x) ( x ) Eστω είναι νορµικός χώρος και x Λ: K έτσι ώστε Υπάρχει συναρτησιακό ( x ) Λ = x και Λy y y Εστω είναι χώρος Baach και είναι ο δυϊκός χώρος του, δηλαδή ο χώρος όλων των φραγµένων συναρτησιακών Λ: K: Λ=Λ x Στο εξής θα χρησιµοποιούµε και το συµβολισµό Λ x= x, Λ Aν Λ είναι η συνήθης νόρµα του Λ, τότε { } x = sup Λx : Λ µε Λ 1 Η παραπάνω ισότητα ισχύει γιατί αφ ενός Λx Λ x και αφ ετέρου από το Πόρισµα Β1 για x υπάρχει Λ τέτοιο ώστε - 188 -

Λ x = x Αρα για κάθε x, η απεικόνιση φ φ x : K: x Λ =, Λ x είναι φραγµένο συναρτησιακό που ανήκει στο δεύτερο δυϊκό χώρο ( ) : = του µε νόρµα ίση µε x Ετσι η απεικόνιση είναι ισοµετρία φ φ : : x =, Λ x Εστω T (, ) Για κάθε στοιχείο του δυϊκού χώρου Η απεικόνιση Λ ο σύνθετος τελεστής Λ T είναι Ετσι ορίζεται µια απεικόνιση T T Λ =Λ T : : T καλείται συζυγής τελεστής του T Τότε έχουµε Αρα Tx, Λ =Λ T x = T Λ x = x, T Λ Tx,, Λ = x T Λ Η παραπάνω είναι η γενίκευση της έννοιας του συζυγούς τελεστή σε χώρους Baach Απoδεικνύεται ότι ο T είναι γραµµικός και επιπλέον T = T Θεώρηµα Β6 (Αρχή του οµοιόµορφα φραγµένου) Eστω είναι χώρος Baach, είναι νορµικός χώρος και F είναι µια συλλογή φραγµένων τελεστών T : έτσι ώστε για κάθε x ισχύει sup Tx < Tότε T F sup T F T <, όπου T είναι η συνήθης νόρµα του τελεστή T - 189 -