1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της παράστασης. D R () 15 4 () 6 6 6 ( 1) () ή 1 () > 1 > > 1 Το πρόσηµο της και η κυρτότητα της παρουσιάζονται στον πίνακα 1 + () + () Σηµείο καµπής είναι το Α(1, (1)) (1, ), αφού η µηδενίζεται στο 1 και εναλλάσσει πρόσηµο εκατέρωθέν του.
1.ii) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση g() είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της παράστασης. D g R 6 ( ) 4 4 g () 6 9 + 6 + 6 6 6 6 4 6 ( + 6)4 5 5 g () 6 + 1 4 8 8 5 6 4 8 6 4 6 g () 4 4 + 6 4 4 ή g () > 4 > ( 4) > ( )( + ) > Το πρόσηµο της g και η κυρτότητα της g παρουσιάζονται στον πίνακα + g () + + g () Σηµεία καµπής είναι τα Α(, g( )), Β(, g()), αφού η g µηδενίζεται σ αυτά και εναλλάσσει πρόσηµο εκατέρωθέν τους.
.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () e 1 είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της παράστασης. D R () 1 e + e 1 (1 ) () ( e 1 ) ( e 1 ) e 1 ( e 1 e 1 ) e 1 1 e + e 1 1 e e 1 1 e ( ) Το πρόσηµο της και η κυρτότητα της παρουσιάζονται στον πίνακα + () + () Σηµείο καµπής είναι το Α(, ()) (, ), αφού η µηδενίζεται στο και e εναλλάσσει πρόσηµο εκατέρωθέν του.
4.ii) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση g() (ln 5) είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της παράστασης. D (, + ) g () (ln 5) + 1 4ln 1 + 4ln 8 g () 4(ln + 1) 8 4ln + 4 8 4ln 4 4(ln 1) Το πρόσηµο της g και η κυρτότητα της g παρουσιάζονται στον πίνακα e + g () + g () Σηµείο καµπής είναι το Α(e, g(e)) (e, e ), αφού η g µηδενίζεται στο e και εναλλάσσει πρόσηµο εκατέρωθέν του.
5.iii) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση h() + < + + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της παράστασης. + ( ) ( ) h h h h ( ) ( ) + + 1 1 + + 1 1 ( ) 1, 1, + ( + ) + + Άρα h (), δηλαδή η C έχει εφαπτοµένη στο σηµείο Β(, h ()) (, 1) Είναι h () 6, < + > 6, h και h () 6, < 6 + 6, > Το πρόσηµο της h και η κυρτότητα της h παρουσιάζονται στον πίνακα 1 + h () + h () Σηµείο καµπής είναι το Α(1, h(1)) (1, ), αφού η h µηδενίζεται στο 1 και εναλλάσσει πρόσηµο εκατέρωθέν του. Επίσης σηµείο καµπής είναι το Β(, h()) (, 1), αφού η C h έχει εφαπτοµένη στο Β και η h εναλλάσσει πρόσηµο εκατέρωθεν του.
6.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () e είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της παράστασης. D R () () ( e ( ) e ) ( e e + e ( e (1 + ( )) ) ) e (1 ) e ( 1) () 1 1 ή Το πρόσηµο της και η κυρτότητα της παρουσιάζονται στον πίνακα () + + () + Σηµείο καµπής είναι τα σηµεία Α( αφού η µηδενίζεται στις θέσεις πρόσηµο εκατέρωθέν τους., ( )) ( Β(, ( )) ( και, 1, e ) 1 e ) και, και εναλλάσσει
7.ii) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση g() εφ, ( π, π ) είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της παράστασης. g () 1 συν g () 1 ( συν ) 1 4 4 συν συν g () ηµ ( συν ηµ ) 1 ηµ συν Το πρόσηµο της g και η κυρτότητα της g παρουσιάζονται στον πίνακα π g () + g () π Σηµείο καµπής είναι το Α(, g()) (, ), αφού η g µηδενίζεται στο και εναλλάσσει πρόσηµο εκατέρωθέν του.
8.iii) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση h() είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της παράστασης. h() + <,, ( ) ( ) h h ( ) ( ) h h + Άρα h (), δηλαδή η h (), <, > ( ). + C h έχει εφαπτοµένη στο σηµείο Β(, h ()) (, ) και h (), <, > Το πρόσηµο της h και η κυρτότητα της h παρουσιάζονται στον πίνακα + h () + h () Σηµείο καµπής είναι το Β(, h()) (, ), αφού η και η h εναλλάσσει πρόσηµο εκατέρωθεν του. C h έχει εφαπτοµένη στο Β
9 5. Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική S(t) παράσταση C της συνάρτησης θέσεως S(t) ενός κινητού που κινείται πάνω σε έναν άξονα. αν η C παρουσιάζει t O t 1 t t καµπή τις χρονικές στιγµές t και 1 t, να βρείτε : i) Πότε το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά και πότε κατά την αρνητική φορά. ii) Πότε η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται και πότε µειώνεται. i) Στο διάστηµα [, t ] η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, άρα το κινητό κινείται κατά την αρνητική φορά. Στο διάστηµα [ t, + ) η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, άρα το κινητό κινείται κατά τη θετική φορά. ii) Στο διάστηµα [, t 1 ] η συνάρτηση S στρέφει τα κοίλα κάτω, άρα η συνάρτηση S (t) υ(t) είναι γνησίως φθίνουσα, εποµένως η ταχύτητα του κινητού µειώνεται. Στο διάστηµα [ t 1, t ] η συνάρτηση S στρέφει τα κοίλα άνω, άρα η συνάρτηση S (t) υ(t) είναι γνησίως αύξουσα, εποµένως η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται. Στο διάστηµα [ t, + ) η συνάρτηση S στρέφει τα κοίλα κάτω, άρα η συνάρτηση S (t) υ(t) είναι γνησίως φθίνουσα, εποµένως η ταχύτητα του κινητού µειώνεται.
1 Β Οµάδας 1. Να βρείτε τα σηµεία καµπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () + 1 και να αποδείξετε ότι δύο από αυτά είναι συµµετρικά ως προς το τρίτο. D R () () + ( + 1) 1 1 ( + 1) (1 ) ( + 1) (1 )[( + 1) ] 4 ( + 1) + + ( + 1) ( 1) (1 )( 1) 4 ( + 1) (1 ). ( + 1) 4+ 4 ( + 1) 6 ( + 1) ( ) ( + 1) () ( ) ή η Το πρόσηµο της και η κυρτότητα της παρουσιάζονται στον πίνακα + () + + () ( ) + 1, (), ( ) 4 + 1 4 Σηµείο καµπής είναι το Α(, ), αφού η µηδενίζεται στο 4 εναλλάσσει πρόσηµο εκατέρωθέν του. Οµοίως για τα σηµεία Β(, ) και Γ(, 4 ) Τα σηµεία Α, Γ είναι συµµετρικά ως προς το Β(, ), διότι έχουν αντίθετες συντεταγµένες. και
11. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης () e α έχει για κάθε τιµή του α R, ακριβώς ένα σηµείο καµπής που βρίσκεται στην παραβολή y +. D R () e α () e α () e α e α 1 e α e α α Το πρόσηµο της και η κυρτότητα της παρουσιάζονται στον πίνακα α + () + () (α) e α α α α Σηµείο καµπής είναι το Α(α, α ), αφού η µηδενίζεται στο α και εναλλάσσει πρόσηµο εκατέρωθέν του. Οι συντεταγµένες του σηµείου Α επαληθεύουν την εξίσωση y + (όπου y θέτουµε α και όπου θέτουµε α), άρα το Α ανήκει στην παραβολή y +.
1. Να αποδείξετε ότι για κάθε α (, ) η συνάρτηση 4 () α + 6 + + 1 είναι κυρτή σε όλο το R D R () 4 6α + 1 + () 1 1α + 1 1( α + 1) α 4 <, αφού α (, ) Άρα το τριώνυµο α + 1 είναι θετικό για κάθε R. Εποµένως () > για κάθε R κυρτή στο R
1 4. ίνεται η συνάρτηση () +. i) Να αποδείξετε ότι η παρουσιάζει ένα τοπικό µέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σηµείο καµπής. ii) Αν 1, είναι οι θέσεις των τοπικών ακρότατων και η θέση του i) D R σηµείου καµπής, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α( 1, ( 1)), Β(, ( )), και Γ(, ( )), είναι συνευθειακά. () 6, () ή () 6 6, () 1 Το πρόσηµο των,, η µονοτονία, τα ακρότατα και η κυρτότητα της παρουσιάζονται στον πίνακα 1 + () + + () + + () H παρουσιάζει : Στη θέση 1 τοπικό µέγιστο () κορυφής Α(, ) Στη θέση τοπικό ελάχιστο () + 8 1 + κορυφής Β(, ) Στη θέση 1 σηµείο καµπής Γ(1, (1)) Γ(1, ), αφού (1) 1 1 + ii) Αρκεί να αποδείξουµε ότι λ ΑΒ λ ΑΓ 1 που ισχύει
14 5. Έστω µια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο (, ), για την οποία ισχύει () () + Να αποδείξετε ότι η δεν έχει σηµεία καµπής. () () + ( () () + ) () () () + () () () + (() () () + ) () () + () () () + 1 (1) Έστω ότι η έχει σηµείο καµπής στη θέση ο. Τότε ( ο ). Για ο η (1) ( ο ) ( ο ) + ( ο ) ( ο ) ( ο ) + 1 [ ( ο ) ] + + +1 [ ( ο ) ] + 1 που είναι άτοπο.