Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Χαρακτηριστικά των Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Η κατανόηση των παρακάτω εννοιών: Ευαισθησία συστήματος σε μεταβολές παραμέτρων Σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση Τύπος συστήματος Τυπολόγιο 4

Περιεχόμενα ενότητας Ευαισθησία συστήματος σε μεταβολές παραμέτρων Σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση Τύπος συστήματος Τυπολόγιο Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης Ασκήσεις για λύση 5

Ευαισθησία συστημάτων σε μεταβολές παραμέτρων - εισαγωγή Σε ένα σύστημα ανοικτού βρόχου όλες οι μεταβολές που παρατηρούνται στο περιβάλλον του έχουν ως αποτέλεσμα μία μείωση της ακρίβειας της εξόδου του αντίστοιχου συστήματος. Σε ένα σύστημα κλειστού βρόχου λόγω της ανίχνευσης των μεταβολών της διεργασίας το σύστημα προβαίνει αυτόματα στη διόρθωση των σφαλμάτων που εμφανίζονται στην έξοδο του. Επομένως η ευαισθησία ενός συστήματος στις διάφορες μεταβολές των παραμέτρων του έχει ιδιαίτερη σημασία. Ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα των συστημάτων ελέγχου κλειστού βρόχου είναι η δυνατότητα μείωσης της ευαισθησίας τους. 6

Ευαισθησία συστημάτων σε μεταβολές παραμέτρων - ορισμός Η ευαισθησία (sensitivity) ενός συστήματος ορίζεται ως ο λόγος της μεταβολής της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος προς τη μεταβολή της συνάρτησης μεταφοράς μιας παραμέτρου για πολύ μικρές μεταβολές. Ένα από τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα των συστημάτων ελέγχου είναι η δυνατότητα της μείωσης της επίδρασης των μεταβολών των παραμέτρων του με την προσθήκη βρόχου ανατροφοδότησης. 7

Ευαισθησία συστημάτων σε μεταβολές παραμέτρων -Παράδειγμα Για το κλειστό σύστημα του παρακάτω Σχήματος 1 να μελετηθεί η ευαισθησία του ως προς τις μεταβολές των G(s) και H(s). Σχήμα 1 8

Ευαισθησία συστημάτων σε μεταβολές παραμέτρων ΛΥΣΗ Παραδείγματος (1) 9

Ευαισθησία συστημάτων σε μεταβολές παραμέτρων ΛΥΣΗ Παραδείγματος (2) Η ευαισθησία του συστήματος ως προς τις μεταβολές του Η(s) θα είναι: Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι για G( s) H( s) 1η ευαισθησία τείνει στο ένα. Δηλαδή όσο αυξάνεται το πλάτος της συνάρτησης μεταφοράς, G( s) H( s) τότε η ευαισθησία του συστήματος τείνει στη μονάδα και οι μεταβολές της H(s) επηρεάζουν άμεσα την έξοδο του συστήματος. Επομένως είναι σημαντικό να χρησιμοποιούμε ως στοιχεία ανατροφοδότησης, εκείνα τα στοιχεία που δεν επηρεάζονται από τις διάφορες μεταβολές του περιβάλλοντος ή που μπορούν να παραμείνουν σταθερά. 10

Σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση εισαγωγή (1) Ένας σημαντικός παράγοντας που αφορά στη λειτουργία των συστημάτων ελέγχου και πρέπει να εξετάζεται αντιστοιχεί στο σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση (steady state error) το οποίο εμφανίζεται στην έξοδο του συστήματος αφού παρέλθει η περίοδος της μεταβατικής απόκρισης. Η μόνιμη κατάσταση έχει ιδιαίτερη σημασία εφόσον η σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου αποσκοπεί ώστε μεταξύ των άλλων η έξοδος του να έχει μία προκαθορισμένη μόνιμη κατάσταση η οποία είναι συνήθως η συνάρτηση εισόδου. Ας σημειώσουμε ότι το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ενός ευσταθούς συστήματος κλειστού βρόχου είναι συνήθως πολύ μικρότερο από το αντίστοιχο σφάλμα που εμφανίζεται σε ένα σύστημα ανοικτού βρόχου. 11

Σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση εισαγωγή (2) 12

Σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση Θα δώσουμε τους τύπους υπολογισμού του σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση και για τα τρία είδη των σημάτων διέγερσης: (Βηματική Συνάρτηση Εισόδου, είσοδος Συνάρτησης Κλίσης ή είσοδος Ράμπας, είσοδος Παραβολικής Συνάρτησης ή είσοδος Επιτάχυνσης) αλλά και για οποιαδήποτε μορφή διέγερσης. I. για διέγερση της μορφής: II. για οποιαδήποτε μορφή διέγερσης εισαγωγή (5) 15

1. Είσοδος βηματική 16

2. Είσοδος αναρριχητική 17

3. Είσοδος παραβολική 18

ii) Είσοδος οποιασδήποτε μορφής (1) 19

ii) Είσοδος οποιασδήποτε μορφής (2) 20

Τύπος συστήματος (1) Το πλήθος των ολοκληρωτών που αντιστοιχούν σε ένα σύστημα, συμβολίζεται συνήθως με ένα αριθμό που δηλώνει ουσιαστικά τον τύπο του συστήματος (type of control system) ο οποίος ισούται απλά με l. Τα διάφορα συστήματα ελέγχου περιγράφονται συνήθως συναρτήσει του αντίστοιχου τύπου καθώς και των συντελεστών των σφαλμάτων στη μόνιμη κατάσταση k, k p V k a 21

Τύπος συστήματος (2) Έστω ότι η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου G(s)H(s) του συστήματος του Σχήματος 1 έχει τη μορφή: 22

Για μοναδιαία ανατροφοδότηση Unity Feedback 23

Τύπος συστήματος - παρατηρήσεις Από την προηγούμενη παράγραφο διαπιστώσαμε ότι το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ενός συστήματος προσδιορίζεται με τη βοήθεια της μορφής της αντίστοιχης συνάρτησης μεταφοράς της οποίας η γενική μορφή δίνεται από τον τύπο (18). Επομένως η τιμή της συνάρτησης μεταφοράς καθώς η μεταβλητή s τείνει στο 0, εξαρτάται από το πλήθος των ολοκληρωτών. Αν ο αριθμός l είναι μεγαλύτερος του μηδενός, τότε η τιμή G(0) τείνει στο άπειρο, οπότε η τιμή του σφάλματος θέσης στη μόνιμη κατάσταση τείνει στο μηδέν. 24

Σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση Πίνακας 1 25

Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης Χαρακτηριστικά των Σ.Α.Ε.: ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑ ΣΕ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 26

Άσκηση 1 Δίνεται το διάγραμμα ροής σημάτων συστήματος ελέγχου στο παρακάτω σχήμα. α) Με το διακόπτη στη θέση ON να μελετηθεί η ευαισθησία του συστήματος ως προς τις μεταβολές του. β) Με το διακόπτη στη θέση OFF να βρεθούν οι σταθερές σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης καθώς και τα αντίστοιχα σφάλματα στη μόνιμη κατάσταση. 27

Λύση της άσκησης 1 (1) α) Διακόπτης στη θέση ON: Υπολογισμός της συνάρτησης μεταφοράς με τον τύπο του Mason. 28

Λύση της άσκησης 1 (2) 29

Άσκηση 2 Το διπλανό σχήμα απεικονίζει το δομικό διάγραμμα του σερβομηχανισμού θέσης με την προσθήκη P-D ελεγκτή. α) Με τι ισούται το σφάλμα ταχύτητας του συστήματος και πως μπορεί να γίνει ελάχιστο. β) Να βρεθούν οι ευαισθησίες ως προς τις μεταβολές των Kc και J και να εκφραστούν συμπεράσματα. 33

Λύση της άσκησης 2 (1) α) Υπολογίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου G(s)H(s): 34

Λύση της άσκησης 2 (3) β) i) Η ευαισθησία του συστήματος ως προς τις μεταβολές του κc δίνεται από τη σχέση: F(s) είναι η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος.. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος 36

Άσκηση 3 Για το σύστημα ελέγχου του παρακάτω σχήματος να βρεθούν τα σφάλματα μόνιμης κατάστασης για είσοδο της μορφής: i) Μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης, ii) Μοναδιαίας αναρριχητικής συνάρτησης και iii) Μοναδιαίας παραβολικής συνάρτησης. 39

Άσκηση 4 Θεωρείστε το κλειστό σύστημα του παρακάτω σχήματος: Έστω ότι η είσοδος, Ω(s) είναι μηδέν και η διαταραχή, N(s) είναι βηματική συνάρτηση πλάτους Α (N(s)=A/s). Για να πετύχουμε: α) μηδενικό σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση και β) την ευστάθεια του συστήματος, ποιος από τους προτεινόμενους ρυθμιστές είναι ο καλύτερος. i) Gc(s)=k, ii) Gc(s)=k/s, iii) Gc(s)=kp + k/s 43

Λύση της άσκησης 4 (1) Θα διακρίνουμε 3 περιπτώσεις για τις τιμές της παραμέτρου κ που θα πάρει ο ελεγκτής Gc(s). 44

Λύση της άσκησης 4 (4) Τέλος υπολογίζουμε το σφάλμα μόνιμης κατάστασης που ονομάζεται σε αυτήν την περίπτωση και σφάλμα θέσης επειδή έχουμε βηματική διέγερση. 47

Άσκηση 5 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάζεται το δομικό διάγραμμα συστήματος ελέγχου κίνησης αεροσκάφους. Να βρεθεί το σφάλμα μόνιμης κατάστασης για βηματική είσοδο 54

Λύση της άσκησης 5 (1) Θα βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς βρόχου με απλοποίηση του δομικού διαγράμματος. Σχεδιάζουμε το μερικά απλοποιημένο διάγραμμα. 55

Λύση της άσκησης 5 (3) Σχεδιάζουμε το απλοποιημένο δομικό διάγραμμα από το οποίο προκύπτει η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου G(s)H(s). 57

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Άσκηση 1 60

Άσκηση 2 61

Άσκηση 3 62

Άσκηση 4 63

Τέλος Ενότητας