ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες * θεώρηµα Solem-Noether * θεώρηµα του διπλού κεντροποιητή Αµέσως µετά θα εφαρµόσουµε τα αποτελέσµατα αυτά για να πάρουµε άλλα δύο φηµισµένα θεωρήµατα: την ταξινόµηση των παραγµατικών αλγεβρών διαίρεσης που έχουν πεπερασµένη διάσταση (Frobeus), και το γεγονός ότι κάθε πεπερασµένος δακτύλιος διαίρεσης είναι µεταθετικός (Wedderbur) 61 Θεώρηµα των Solem-Noether Έστω ένα σώµα και µια -άλγεβρα Το κέντρο της Α είναι C( ) = { x ax = xa a } Είναι µια µεταθετική υποάλγεβρα της Α που περιέχει το Η άλγεβρα Α λέγεται κεντρική αν C ( ) = δηλαδή αν το κέντρο είναι το µικρότερο δυνατό Υπενθυµίζουµε ότι µια άλγεβρα λέγεται απλή αν δεν έχει γνήσια µη τετριµµένα αµφίπλευρα ιδεώδη Παραδείγµατα 1 Η M ( ) είναι κεντρική -άλγεβρα αφού το κέντρο της είναι ( ( ) ) { } C M = ai a Η M ( ) είναι απλή Η άλγεβρα των quateros H (παράδειγµα 115) είναι κεντρική απλή - άλγεβρα 3 Η C ως -άλγεβρα είναι απλή αλλά όχι κεντρική ενώ ως C -άλγεβρα είναι απλή και κεντρική 4 Η πολυωνυµική άλγεβρα x [ ] δεν είναι ούτε κεντρική ούτε απλή 611 Θεώρηµα (Solem-Noether) Έστω µια κεντρική απλή -άλγεβρα πεπερασµένης διάστασης και Α, Β δύο απλές υποάλγεβρες της που περιέχουν το µοναδιαίο στοιχείο 1 του Έστω ώστε f (1) = 1 Τότε υπάρχει r µε την ιδιότητα f : ένας οµοµορφισµός -αλγεβρών τέτοιος

55 f ( a) = rar για κάθε a (1) 61 Πόρισµα Κάθε αυτοµορφισµός µιας κεντρικής απλής άλγεβρας πεπερασµένης διάστασης είναι της µορφής (1) Παρατηρήσεις Σε σχέση µε το προηγούµενο πόρισµα παρατηρούµε τα εξής 1 Η υπόθεση ότι η άλγεβρα είναι κεντρική είναι απαραίτητη Για παράδειγµα ο αυτοµορφισµός της µορφής (1) C C, z z (συζυγής του z) της -άλγεβρας C δεν είναι To πόρισµα µας πληροφορεί ότι η οµάδα των αυτοµορφισµών της - άλγεβρας M () είναι ισόµορφη µε τη GL ( )/ N, όπου { (,, ) ( ), 0} N = dag a a M a a (άσκηση) Σε σχέση µε τις υποθέσεις περί του µοναδιαίου στοιχείου στο Θεώρηµα των Solem-Noether, παρατηρούµε ότι για = M( ) M3( ), = M( ), = M3( ) η X 0 απεικόνιση f : M( ) M3( ), X, είναι οµοµορφισµός -αλγεβρών 0 0 αλλά όχι της µορφής (1) Στην απόδειξη του Θεωρήµατος 611 υπεισέρχεται µε ουσιαστικό τρόπο η έννοια του τανυστικού γινοµένου Υπενθυµίζουµε ότι αν Α, Β είναι -άλγεβρες, ο διανυσµατικός χώρος καθίσταται -άλγεβρα αν θέσουµε ( a b)( a b ) = aa bb 613 Λήµµα Έστω δακτύλιος και πρότυπα M και F όπου το F είναι ελεύθερο µε βάση Χ Τότε κάθε u M F γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως u m x = = 1, όπου m M και τα x X είναι ανά δύο διάφορα Απόδειξη: To ότι το u έχει µία έκφραση της ζητούµενης µορφής προκύπτει άµεσα

56 από το γεγονός ότι το Χ παράγει το F ως -πρότυπο Για τη µοναδικότητα, αν γράφουµε x = και M x = M Τότε υπάρχει ισοµορφισµός αβελιανών οµάδων : M F M x x X x X M F M ( x ) ( M x ) M x x X x X x X, όπου οι δύο τελευταίοι ισοµορφισµοί είναι από την παράγραφο 5 Ισχύει ( m y) = ( m), m M, όπου y y : M M είναι η εµφύτευση στην y συντεταγµένη Από τον ορισµό του y x X x ευθέως αθροίσµατος κάθε στοιχείο του M γράφεται µοναδικά στη µορφή x X x ( m x ) m1 ) + + x ( m ) = ( m1 x ) + + ( m x ) = x ( 1 1 όπου τα x είναι ανά δύο διάφορα στοιχεία του Χ Η µοναδικότητα προκύπτει από το γεγονός ότι ο είναι µονοµορφισµός Το παρακάτω αποτέλεσµα θα χρησιµοποιηθεί πολλές φορές 614 Θεώρηµα Έστω Α, Β απλές -άλγεβρες Αν η Α είναι κεντρική τότε η, = είναι απλή -άλγεβρα Απόδειξη: Έστω I 0 αµφίπλευρο ιδεώδες του Θα δείξουµε ότι I = Ισχυρισµός 1 v I {0} της µορφής v = 1 b, b Έστω προς στιγµή ότι ισχύει ο ισχυρισµός Το b είναι µη µηδενικό αµφίπλευρο ιδεώδες του Β Άρα = b Έχουµε ισότητες συνόλων 1 = 1 b = (1 )(1 b)(1 ) = (1 ) v(1 ), και συνεπώς 1 I Επίσης και συνεπώς = I = ( 1 )(1 ) ( 1 ) I I, Απόδειξη του Ισχυρισµού 1 Έστω Υ µια βάση του Β Έστω u I, u 0 u a y = = 1, (1) όπου a { 0}, y Y και τα y είναι ανά δύο διάφορα Επιλέγουµε µια έκφραση (1) µε ελάχιστο (καθώς το u 0 διατρέχει το Ι) Λόγω

57 της υπόθεσης της απλότητας έχουµε Άρα a 1 = 1 = a s, r 1 για κάποια r, s Θέτουµε v = ( r 1 ) u( s 1 ) I Εκτελώντας πράξεις έχουµε v = ( r, 1 )( a y )( s 1 ) Έστω = r a s y, = ras y + ras y 1 1 1 = 1 y1 + r as y () 1 a η ποσότητα στην τελευταία παρένθεση Για να δείξουµε τον ισχυρισµό 1 αρκεί να δείξουµε ότι οπότε θέτουµε a γιατί τότε θα έχουµε από την () b = y 1 + a y 1 1 1 1 v= y + a y = 1 y 1 + 1 a y 1 Επειδή η Α είναι κεντρική, αρκεί να δείξουµε ότι Ισχυρισµός a C() = 1 y 1 + a y, (3) 1 Απόδειξη: Έστω a Θέτουµε w = ( a 1 ) v v( a 1 ) I Αντικαθιστώντας το ν από τη () παίρνουµε

58 w = a y1 + a a y a y = ( a a a a) y 1 1 1 1 + aa y Από το ελάχιστο στον ορισµό του ν παίρνουµε w = 0 Από το Λήµµα 613 έπεται ότι a a aa = 0, δηλαδή a C() Για την απόδειξη των κύριων θεωρηµάτων αυτού του κεφαλαίου χρειαζόµαστε δύο επιπλέον αποτελέσµατα 615 Λήµµα Έστω µια -άλγεβρα διαίρεσης και Α µια -άλγεβρα πεπερασµένης διάστασης Τότε () η είναι -άλγεβρα του rt () αν η είναι κεντρική και η Α είναι απλή τότε η είναι απλή Απόδειξη: Σύµφωνα µε την παράγραφο 5, το την κατάσταση είναι το, είναι -πρότυπο γιατί έχουµε Από το Λήµµα 613 µία βάση του ως -πρότυπο 1 X, όπου το Χ είναι βάση του Α (ως διανυσµατικός χώρος) Άρα dm = dm < Κάθε ιδεώδες του είναι -πρότυπο και άρα είναι ελεύθερο µε τάξη dm ( ) (βλ παράγραφο 15) Άρα κάθε φθίνουσα ακολουθία ιδεωδών του είναι τελικά σταθερή () δ διαίρεσης απλή (Θεώρηµα 614) απλή 616 Λήµµα Έστω Α απλή -άλγεβρα πεπερασµένης διάστασης Αν Μ και Ν είναι Α- πρότυπα µε dm M = dm N, τότε M N ως Α-πρότυπα Απόδειξη: Η Α είναι του rt, αφού dm < Είναι και απλή Από το θεώρηµα Wedderbur-rt (κεφάλαιο 3), το Α έχει µοναδικό απλό πρότυπο (µε προσέγγιση ισοµορφισµού εννοείται), έστω L Έχουµε τότε m M L και N L, (που είναι ισοµορφισµοί Α-προτύπων) Από τη σχέση dm M = dm N παίρνουµε m = (αφού dm L <, γιατί το L είναι πηλίκο του Α) Άρα M N ως Α- πρότυπα

59 Απόδειξη του θεωρήµατος Solem-Noether έχουµε Ο είναι απλός δακτύλιος του rt Από το θεώρηµα Wedderbur-rt, = Ed (V ), όπου V είναι ένα -πρότυπο και το είναι δακτύλιος διαίρεσης Παρατηρούµε ότι το είναι κεντρική -άλγεβρα Πράγµατι, έχουµε = Ed ( V ) M ( ), όπου = dm V Άρα για τα κέντρα έχουµε op C( ) C( M ( )) = { dag( a,, a) a C( )} C( ) op op Όµως C ( ) = και συνεπώς C( ) Θεωρούµε τώρα την -άλγεβρα κεντρική, η Επειδή οι και Α είναι απλές και η είναι είναι απλή σύµφωνα µε το Θεώρηµα 614 Συνεπώς κάθε δύο -πρότυπα µε ίσες πεπερασµένες διαστάσεις ως -διανυσµατικοί χώροι είναι ισόµορφα (Λήµµα 616) Καθιστούµε το V ένα διαφορετικούς τρόπους: (*) ( d a) v = da( v) (**) ( d a) v = d[( f( a))( v)] -πρότυπο κατά δύο Παρατηρούµε ότι dm ( ) < γιατί αφενός dm < 0 (αφού και op dm < ) και αφετέρου dm < (αφού από M ( ) έπεται ότι dm dm < ) Άρα υπάρχει ισοµορφισµός αβελιανών οµάδων V V έτσι ώστε για κάθε d, a και v V, Θέτοντας a = 1 έχουµε r r( d a) v = ( d a) r( v) (3) r(( d 1) v) = ( d 1) r( v) (από (*) και (**)) rdv ( ) = d[ f(1)( rv ( ))] (υπόθεση στο f ) r ( dv) = dr( v), που ισχύει για κάθε v V Άρα r Ed V = Επαληθεύουµε τώρα ότι rar = f ( a) για κάθε a : Ισχύει

60 (*) (3) (**) ( ra)( v) = rav ( ( )) = r((1 av ) ) = (1 a) rv ( ) = f( arv ) ( ), για κάθε v V και άρα ra = f ( a) r 6 Θεώρηµα ιπλού Κεντροποιητή Έστω µια -άλγεβρα και στο είναι η υποάλγεβρα S ένα υποσύνολο του Ο κεντροποιητής του S C ( S) = C( S) : = { r rs = sr για κάθε s S} Ισχύει S C( C( S)) Το επόµενο θεώρηµα περιγράφει µια κατάσταση όπου ισχύει ισότητα 61 Θεώρηµα ( ιπλού κεντροποιητή) Έστω κεντρική απλή -άλγεβρα πεπερασµένης διάστασης και S απλή υποάλγεβρα Τότε ) C (S) είναι απλή -άλγεβρα ) dm dm S dm C( S) ) = C ( C( S)) = S Απόδειξη: ίνουµε πρώτα ένα χαρακτηρισµό του C (S) Η είναι απλή -άλγεβρα του rt Συνεπώς (θεώρηµα Wedderbur-rt) = Ed V, όπου το V είναι πεπερασµένης διάστασης -πρότυπο, -άλγεβρα διαίρεσης Το V γίνεται S πρότυπο µε δράση ( d s) v : = d( s( v)) = s( dv) Ισχυριζόµαστε ότι Ed SV C(S) Πράγµατι, έχουµε Αλλά Ed S = ( v) = { f Ed V f (( d s) v) = ( d s) f ( v), v V, d, s S} f (( d s) v) = ( d s) f ( v) f ( d( s( v)) = d( s( f ( v))) df ( s( v)) = d( s( f ( v)) f ( s( v)) = sf ( v) fs = sf f C( S) Ερχόµαστε τώρα στην απόδειξη των )-) ) Η S είναι απλή και η είναι απλή και κεντρική (όπως ακριβώς στην απόδειξη του θεωρήµατος Sole-Noether) Από το θεώρηµα 614, η S είναι απλή Είναι και του rt (λήµµα 615 ()) Από το θεώρηµα Wedderbur-rt παίρνουµε S = Ed (V ), όπου V είναι ένα -πρότυπο, -άλγεβρα διαίρεσης Επιπλέον

61 γνωρίζουµε ότι το V είναι το µοναδικό απλό κάποιο m Έχουµε S -πρότυπο Έτσι m V = ( V ) για C ( S) Ed ( V ) = Ed (( V ) = S S M ( Ed ( V )) M ( ), (4) m S m όπου ο τελευταίος ισοµορφισµός της (4) προέρχεται από την άσκηση 310 ) Από την (4) έχουµε m ) dm C( S) = m dm (5) και από V = ( V ) m m = dm V / dm V (6) Επειδή το V είναι ελεύθερο -πρότυπο και το είναι ελεύθερο -πρότυπο έχουµε dm V = dm V dm (7) Αντικαθιστώντας τις (7) και (6) στην (5) παίρνουµε dm C( S) = (dm V ) /(dm V ) dm Ο παρονοµαστής είναι dm Ed ( V ) = dm S = dm dm S και ο αριθµητής είναι (dm V dm ) Άρα dm C( S) = (dm V ) dm / dm S = dm Ed ( V ) / dm S = dm / dm S ) Έχουµε dm = dm S dm C( S) από το ) Γράφοντας την ίδια εξίσωση για C (S) στη θέση του S (η C (S) είναι βέβαια απλή από το ) παίρνουµε dm = dm C( S)dm C( C( S)) Από τις δύο εξισώσεις προκύπτει dm S = dm C( C( S)) Εφόσον ισχύει S C( C( S)) προκύπτει το ζητούµενο 63 Εφαρµογές Θα αποδείξουµε εδώ δύο σηµαντικά αποτελέσµατα

6 631 Θεώρηµα (Frobeus) Κάθε πραγµατική άλγεβρα διαίρεσης πεπερασµένης διάστασης είναι ισόµορφη µε µία από τις, C, H 63 Θεώρηµα (Wedderbur) Κάθε πεπερασµένος δακτύλιος διαίρεσης είναι µεταθετικός (δηλαδή σώµα) Ξεκινάµε µε προκαταρκτικά που αφορούν δακτύλιους διαίρεσης 633 Λήµµα Έστω δακτύλιος διαίρεσης Τότε ) Υπάρχει µέγιστο υπόσωµα του ) Κάθε µέγιστο υπόσωµα Κ περιέχει το κέντρο C () ) Για κάθε µέγιστο υπόσωµα Κ ισχύει C ( K) = K, όπου C (K) είναι ο κεντροποιητής του Κ στο Απόδειξη: ) Τυπική εφαρµογή του λήµµατος του Zor ) Αν υπάρχει d C( ), d K, τότε το σύνολο d( f ) K ( d) : = f ( x), g( x) K[ x], g( d) 0 g( d) είναι σώµα που περιέχει γνήσια το Κ, άτοπο ) Αφού το Κ είναι µεταθετικό σύνολο, ισχύει K C(K) Αν υπάρχει d C(K), d K, τότε το σύνολο K (d) είναι σώµα που περιέχει γνήσια το Κ, άτοπο Το προηγούµενο λήµµα µαζί µε το θεώρηµα του διπλού κεντροποιητή δίνει αµέσως την πρόταση 634 Πρόταση Έστω κεντρική -άλγεβρα διαίρεσης πεπερασµένης διάστασης και Κ µέγιστο υπόσωµα του Τότε dm = (dm K) Απόδειξη του θεωρήµατος 631 Έστω Κ µέγιστο υπόσωµα του Επειδή σωµάτων K / είναι αλγεβρική Άρα dm dm K = 1 ή K dm <, η επέκταση

63 1η περίπτωση dm K = 1 Έχουµε οπότε = K = και K C() = C ( ) = K Η πρόταση 634 δίνει dm = (dm K) 1, και άρα η περίπτωση dm K = K C( ) (α) C () = C Ισχύει K = C = C() και άρα (πρόταση 634) dm = (dm K) 1 = C() = C (β) C () = ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις (α) C () = C (β) C () = = C ( ) C( ) = Ισχύει K = C Θεωρούµε του -ισοµορφισµό f : K a + b a b K Από το θεώρηµα Sole-Noether, υπάρχει Ισχυριζόµαστε ότι x µε την ιδιότητα x( a + b) x = a b για κάθε a, b (9) x Πράγµατι, έχουµε x ( a + b) x = x( a b) x = a + b που σηµαίνει ότι x C( K) Έτσι x K (λήµµα 633) Τέλος η σχέση ) f ( x = x δίνει x Αν x > 0, τότε x = r, r x = ± r, άτοπο λόγω της (9) Άρα x < 0 Γράφουµε x = y, y Θέτουµε := x / y και : = Εύκολα ελέγχουµε ότι = = = = =, = =, = =

64 Ακόµα, η πρόταση 634 δίνει dm = (dm K) 4 Εύκολα ελέγχουµε ότι τα στοιχεία 1,,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα πάνω από το και άρα αποτελούν βάση = του ως -διανυσµατικός χώρος Άρα H 635 Λήµµα Έστω G πεπερασµένη οµάδα και Η γνήσια υποοµάδα της G Τότε G ghg g G 1 Απόδειξη: Έστω Χ το σύνολο των υποοµάδων της G Θεωρούµε τη δράση της G το Χ που δίνεται από τη σχέση G X ( g, H ) ghg X Από γνωστό θεώρηµα για δράσεις, ο πληθάριθµος της τροχιάς του H X είναι ο δείκτης [ G : GH ], όπου G H είναι ο σταθεροποιητής G H = { g G g H = H} Ο ορισµός της δράσης δίνει G H = N(H ) όπου N (H ) είναι ο κανονικοποιητής της Η στη G, N ( H ) = { g G ghg = H} Συµπέρασµα: για σταθερό Η, το πλήθος των διακεκριµένων υποοµάδων της G της µορφής ghg 1, g G, είναι [ G : N( H )] Μετράµε τώρα τα στοιχεία του συνόλου ghg g G που είναι διάφορα από το µοναδιαίο στοιχείο Το πλήθος τους είναι Άρα G [ G : N( H )]( H ) [ G : H ]( H ) (γιατί H N(H ) ) = G [ G : H ] (θεώρηµα Lagrage) < G (γιατί H G ) ghg g G 1 Παρατήρηση: Κάθε d κάποιο µέγιστο υπόσωµα του Πράγµατι το, όπου είναι δακτύλιος διαίρεσης περιέχεται σε d περιέχεται στο σώµα f ( d) ( d) = f ( x), g( x) [ x], g( d) 0, όπου = C() Τώρα το ζητούµενο g( d)

65 προκύπτει από µια τυπική εφαρµογή του λήµµατος του Zor πόδειξη του θεωρήµατος 63 Έστω Κ µέγιστο υπόσωµα του Θα δείξουµε ότι K = Έστω d Από την προηγούµενη παρατήρηση το d περιέχεται σε κάποιο σώµα Άρα ισχύει = K, Κ µέγιστο υπόσωµα K Ισχυρισµός: Κάθε δύο µέγιστα υποσώµατα του έχουν τον ίδιο πληθάριθµο Πράγµατι, έστω το κέντρο του οπότε το είναι σώµα που περιέχεται στο Κ (λήµµα 633) Ως -άλγεβρα η έχει προφανώς πεπερασµένη τάξη Η πρόταση 634 δίνει όπου το Κ dm =, = dm K Άρα K = q, όπου q = και = dm δεν εξαρτώνται από Τώρα από τη θεωρία Galos, υπενθυµίζουµε ότι κάθε δύο πεπερασµένα σώµατα της ίδιας τάξης είναι ισόµορφα και επιπλέον αν είναι επεκτάσεις του υπάρχει ισοµορφισµός που είναι ταυτοτικός στο Από το θεώρηµα Solem-Noether συµπεραίνουµε ότι κάθε δύο µέγιστα υποσώµατα του συνδέονται µε µια σχέση της µορφής K = xk x 1, x Συµπέρασµα: = xkx * x Λαµβάνοντας τις πολλαπλασιαστικές οµάδες έχουµε * = xk x * x * Από το λήµµα 635 αυτό είναι άτοπο εκτός αν * * K = Αλλά τότε K = Ασκήσεις 1 Υπάρχει πεπερασµένη οµάδα G ώστε η άλγεβρα [G] να είναι κεντρική; Υπάρχει ισοµορφισµός -αλγεβρών M m ( ) M ( ) M ( ) m

66 Υπόδειξη: Οι άλγεβρες M ( ) M ( ), M ( ) είναι απλές m m 3 Έστω Α κεντρική απλή -άλγεβρα και Β -άλγεβρα Τότε ) Kάθε αµφίπλευρο ιδεώδες του έχει τη µορφή I, όπου το Ι είναι αµφίπλευρο ιδεώδες του Β ) C( ) = 1 C( ) 4 Έστω κεντρική -άλγεβρα διαίρεσης πεπερασµένης διάστασης Αν a, b έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο πάνω από το, τότε κάποιο x a = xbx για 5 Έστω δακτύλιος Μια προσθετική απεικόνιση d : λέγεται παραγώγιση αν d ( ab) = ad( b) + d( a) b για κάθε a, b Μια παραγώγιση λέγεται εσωτερική αν είναι της µορφής d( x) = xc cx για κάποιο c Αποδείξετε ότι κάθε -γραµµική παραγώγιση µιας πεπερασµένης διάστασης κεντρικής απλής -άλγεβρας είναι εσωτερική Υπόδειξη: Solem-Noether στις υποάλγεβρες της M ( ) r 0 r d( r) = r, = r 0 r 0 r 6 ) Το τανυστικό γινόµενο δύο -αλγεβρών διαίρεσης είναι πάντοτε -άλγεβρα διαίρεσης για κάθε ; ) Έστω, δύο -άλγεβρες διαίρεσης πεπερασµένης διάστασης Αν η είναι κεντρική και επιπλέον µκδ (dm, dm ) = 1, τότε η είναι -άλγεβρα διαίρεσης 7 Ταξινοµήσετε τους ηµιαπλούς δακτυλίους που έχουν 1999 στοιχεία Το ίδιο για 000 στοιχεία 8 Έστω απλή -άλγεβρα ώστε στο τη δοµή προτύπου έτσι ώστε op

67 C( ) Ed ( ) op 9 Έστω Είναι δυνατόν η -άλγεβρα M ( H ) να περιέχει υπόσωµα Κ µε K και C ( K) = K ; 10 Έστω Α, Β µιγδικοί πίνακες Αν ο Α αντιµετατίθεται µε κάθε πίνακα µε τον οποίο ο Β αντιµετατίθεται, τότε ο Α είναι πολυώνυµο του Β