ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΣΚΗΣΗ f (χ) συνχ 0 αλλά συνχ 0 συνχ συνχ συν0 χ κπ, κϵz τα οποία δεν αποτελούν διάστημα άρα η f είναι γνησίως αύξουσα ΑΣΚΗΣΗ Αν χ, χ ϵ[0,]τότε f(χ ) f(χ )αφού η f (χ) 0. Αν χ, χ ϵ[,] τότε f(χ ) f(χ )αφού η f (χ) 0 και αν χ ϵ[0,] και χ ϵ[,] τότε έχουμε f(χ ) f() f(χ ) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,] ΑΣΚΗΣΗ 3 Αφού f (χ)<0 η f (χ) είναι γνησίως φθίνουσα και επομένως με χ> f (χ) f () 0 άρα η f γνησίως φθίνουσα στο [,4]και επομένως με χ < 4 f(χ) f (4) 0 για χϵ(,4)αλλά f (4) 0 και επομένως f(χ) 0 χϵ[,4] ΑΣΚΗΣΗ 4 f (χ) 3χ + χ + λ με Δ 4 λ οπότε αν Δ > 0 λ θα έχω ότι f (χ) 0 για το εκτός των ριζών διάστημα που είναι ± λ ± 3λ και άρα γνησίως αύξουσα και όταν το χϵ 3λ, + 3λ τότε θα είναι γνησίως φθίνουσα. Όταν δε Δ 0 τότε η f (χ) 0 για κάθε λ και επομένως γνησίως αύξουσα (Σημείωση στη περίπτωση που το Δ0 τότε λ η f (χ) έχει μεμονωμένα σημεία μηδενισμού και επομένως είναι γνησίως αύξουσα.) ΑΣΚΗΣΗ 5 g (χ) f(χ)f (χ) + f(χ) f (χ)f (χ) f(χ)f (χ) + f(χ) f(χ) + f(χ) + f(χ) f(χ)f (χ) + f(χ) + f(χ) Αν χ> τότε αφού f (χ)>0 η f είναι γνησίως αύξουσα και επομένως f(χ)>f()0 Άρα g (χ)>0 και επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα [,0] Αν χ< τότε f(χ)<f()0 και αφού το σύνολο τιμών είναι το (-,+ ) θα έχω ότι -<f(χ)<0 - +<f(χ)+< < f(χ)+< και επομένως τελικά g (χ)<0 άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,]. ΑΣΚΗΣΗ 6 Από τη δοθείσα έχω f(χ)g(χ) f (χ)g(χ) + f(χ)g (χ) g (χ) f (χ)g(χ) < 0 διότι f(χ) Αφού f (χ)g(χ) > f (χ)g(χ) < 0 και από υπόθεση f(χ) > 0 ΑΣΚΗΣΗ 7 Ι. Θεωρώ τη συνάρτηση f(χ) ln + x και f (χ) x + + χ (χ + ) χ(χ + ) < 0 x
Αρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+ ) και επομένως f(χ) > f(χ) 0 Παρόμοια όταν χϵ(-,-) ΙΙ. f(χ) + χ τότε f (χ) e ln + χ ln + χ + χ + χ + χ + χ ln + χ + χ χ + χ + χ ln + x x + > 0 Αρα η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από το διαστήματα (-,-) και (0,+ ) ΙΙΙ Θεωρώ την (χ + ) g(χ) ln(χ + ) (χ + ) +, χ > που έχει g (χ) χ + + χ + χ + + χ χ + χ + (χ + ) χ + χ + > 0 Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (-,+ ) και επομένως θα ισχύει: (χ + ) g(χ) > g(χ) ln(χ + ) (χ + ) + > ln (χ + ) ln(χ + ) > (χ + ) + ΑΣΚΗΣΗ 8 Αν στη δοθείσα θέσω όπου χ0 έχω e () + f(0) μια προφανής τιμή για την f(0) είναι 0. Θεωρώ την εξίσωση e + χ που έχει τιμή προφανή χ 0. Θεωρώ την g(χ) e + χ g (χ) e + 0 άρα g είναι γνησίως αύξουσα και επομένως η χ 0 είναι μοναδική. Άρα f(0)0 Παραγωγίζοντας τη δοθείσα έχω: e f() f (χ) + f (χ) f (χ) e f() > 0 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. + f (χ) (e f() + ) ef() + ef() f (χ) (e f() 0 αφού f (χ) > 0 + ) Άρα η f (χ) γνησίως φθίνουσα. Έστω χ>0. Εφαρμόζω θεώρημα μέσης τιμής για την f στο [0,χ] και έχω: f(χ) f(0) f (ξ) f(χ) με 0 ξ χ και αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα χ χ f (0) f (ξ) f (χ) > f(χ) χ f (χ) χ f(χ) χf (χ) αφού χ > 0 Παρόμοια αν χ<0 εφαρμόζω Θεώρημα μέσης τιμής στο [χ,0]. Το ίσον ισχύει για χ0.
3 ΑΣΚΗΣΗ 9 Θεωρώ τη συνάρτηση g(χ) f(χ) + χlnχ χ τότε g() f() < 0 αφού 0<f(χ)< και g(e) f(e) elne e f(e) > 0. Αρα από Θ. Bolzano έχω ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξϵ(,e) ώστε g(ξ)0 f(ξ) + ξlnξ ξ 0 f(ξ) + ξlnξ ξ το οποίο αφού f (χ) 0 που σημαίνει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα άρα η g (χ) f (χ) + lnχ + 0 αφού χϵ[, e]που σημαίνει ότι η g είναι γνησίως αύξουσα ά το ξ είναι μοναδικό. ΑΣΚΗΣΗ 0 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το [, + )και f (χ) 3χ + > 0 με χ > χ Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα. Μία προφανής λύση είναι η χκαι αφού η f είναι γνησίως αύξουσα είναι μοναδική Το σύνολο τιμών θα είναι [ f(χ), f(χ)) [0, + )διότι χ + χ 0 και χ + χ χ + χ χ χ χ + χ χ χ χ + χ χ χ χ + χ χ χ χ + + 0 0 0 0 + ΑΣΚΗΣΗ f (χ) 3 ln 3 ln 0 διότι ln 3 0 αφού 3 <. Αρα η f είναι γνησίως φθίνουσα Μια προφανής λύση της εξίσωσης 3 + 4 3 3 6 είναι η χ και είναι ισοδύναμη με την 3 + 4 3 3 6 3 + 4 3 3 3 6 3 3 6 + 4 3 3 3 0 3 + 4 3 0 και επειδή η συνάρτηση f(χ) 3 + 4 3 είναι γνησίως φθίνουσα θα έχει μοναδική ρίζα την χ. ΑΣΚΗΣΗ Από την f (χ) χ συνχ f (χ)-χ+συνχ<0 Θεωρώ τη συνάρτηση g(χ) f(χ) χ + ημχ g (χ) f (χ) χ + συνχ < 0 Άρα g είναι γνησίως φθίνουσα και επομένως για χ 0 g(χ) g(0) f(χ) χ + ημχ f(0) 0 + ημ0 3
4 f(χ) χ + ημχ > 0 f(χ) > χ ημχ Προφανής λύση της f(χ)χ ημχ είναι χ0 και επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα θα είναι μοναδική (χ ημχ) χ ημχ + + διότι χ ημχ χ χ ημχ χ χ και επειδή χ χ 0 και χ από κριτήριο παρεμβολής θα έχω Άρα και f(χ) + ΑΣΚΗΣΗ 3 Λύση α + β + > α β ημχ 0 χ (β + )ln α + β + βln α β (β + )[ln(α + ) ln(β + )] β[lnα lnβ] 0 Έστω α<β. Θεωρώ τη συνάρτηση f(χ) (β + )[ln(χ + ) ln(β + )] β[lnχ lnβ] με χ > 0 και μελετώ τη συνάρτηση στο [χ, β]. Η f είναι συνεχής στο [χ, β] και παραγωγίσιμη διότι f (χ) (β + ) χ + β βχ + χ βχ β χ β 0 διότι χ β και χ 0. Αρα η f είναι χ χ(χ + ) χ(χ + ) γνησίως φθίνουσα στο[χ,β] για κάθε χ [α,β) και επομένως είναι και γνησίως φθίνουσα και στο [α,β]. Επομένως θα ισχύει: με α β f(α) f(β) (β + )[ln(α + ) ln(β + )] β[lnα lnβ] 0 (β + )[ln(α + ) ln(β + )] β[lnα lnβ] (β + )ln α + β + β ln α β ln α + β + ln α β α + β + > α β ΑΣΚΗΣΗ 4 g (χ) > χ g (χ) χ 0 0 g(χ) χ 0 0. Θεωρώ τη συνάρτηση f(χ) g(χ) χ 0 η οποία είναι γνησίως αύξουσα αφού f (χ) > 0. Επομένως με χ 0 f(χ) f(0) g(χ) χ χ g(0) g(χ) + 00 και επειδή 0 0 χ + 00 + και g(χ) + 0 Παρόμοια αν χ 0 f(χ) f(0) g(χ) χ χ g(0) g(χ) 0 0 + 00 χ Αλλά 0 + 00 και g(χ) γ. Αφού g(χ) + ησυνάρτηση κοντα στο + παίρνει θετικές τιμές και έστω g(χ ) > 0 Αφού g(χ) ησυνάρτηση κοντα στο παίρνει αρνητικές τιμές και έστω 4
5 g(χ ) < 0 Τότε η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [χ, χ ]και g(χ ) g(χ ) < 0 και επομένως από Θ. Β έχω μία τουλάχιστον ρίζα της g(χ) 0 στο (χ, χ ). Επειδή χ 0 και g (χ) > χ g (χ) 0 για κάθε χ R η g είναι γνησίως αύξουσα και επομένως η ρίζα είναι μοναδική ΑΣΚΗΣΗ 5 Λύση 3χ 4αχ + α 0 3χ 4αχ α 3χ α(4χ ) α Αν χ τότε η αρχική γίνεται 3 3χ 4χ με χ. α + α 0 3 0 που είναι αδύνατη και επομένως 6 η πιο πάνω ισοδυναμία είναι σωστή. Δηλαδή 3χ 4αχ + α 0 α 3χ 4χ Θεωρώ τη συνάρτηση f(χ) 3χ 4χ με Α f R. Και f (χ) χ (4χ ) 3χ χ (4χ ) 48χ χ 36χ (4χ ) χ χ (4χ ) χ (χ ) (4χ και ) f (χ) 0 χ (χ ) 0 χ 0 ή χ f(χ) χ + και f(χ) 3 χ 4 f(0) 0 και f() και σύνολα τιμών f(, 0) (, 0) f 0, (, 0) f, (, + ) αφού f(, + ) (, + ) περιπτώσεις f(χ) + και χ - 0 / αν α<0 τότε έχουμε δύο ρίζες μία στο (, 0) και μία στο 0, f(χ) και αν α0 έχουμε τετραπλή ρίζα την χ0 αν 0<α< δεν έχει ρίζες αφού το α δεν ανήκει σε κανένα από τα παραπάνω σύνολα τιμών αν α μία ρίζα την χ αν α> τότε έχουμε δύο ακριβώς ρίζες, μία στο, και μία στο (, + ) + f (χ) + 0 - - 0 + f(χ) - 0 + - + 5