Ολοκλήρωση συναρτήσεων με τιμές σε χώρους Baach Αν (Ω, S, µ είναι χώρος μέτρου και (X, είναι χώρος Baach, μια συνάρτηση F : Ω X θα λέγεται ασθενώς μετρήσιμη (αντίστοιχα, ασθενώς ολοκληρώσιμη αν για κάθε φ X η συνάρτηση φ F : Ω C είναι μετρήσιμη (αντίστοιχα, ολοκληρώσιμη. Λέμε ότι το ολοκλήρωμα F dµ υπάρχει αν υπάρχει ένα στοιχείο y X ώστε ( δηλ. φ φ(y = F (ωdµ(ω = φ(f (ωdµ(ω φ(f (ωdµ(ω για κάθε φ X. Ας σημειώσουμε ότι, αν το F dµ υπάρχει, τότε είναι μοναδικό, γιατί αν ένα y X ικανοποιεί φ(y = φ(f (ωdµ(ω για κάθε φ X τότε φ(y = φ(y για κάθε φ X και συνεπώς y = y από το Θεώρημα Hah-Baach. Θεώρημα 1 Εστω Q συμπαγής χώρος Hausdorff (π.χ. συμπαγής μετρικός, X χώρος Baach και µ ένα κανονικό μέτρο Borel πιθανότητας στον Q. Για κάθε συνεχή συνάρτηση F : Q X το ολοκλήρωμα F dµ υπάρχει και ανήκει στην κλειστή κυρτή θήκη του συνόλου τιμών F (Q της F. Επιπλέον ισχύει η ανισότητα F (ωdµ(ω F (ω dµ(ω (γνωστή και ως «ανισότητα Mikowski για ολοκληρώματα». Απόδειξη Θεωρούμε τον X ως πραγματικό χώρο Baach. Κατ αρχήν κάθε συνεχής συνάρτηση F : Q X είναι ασθενώς µ-ολοκληρώσιμη, αφού για κάθε φ X η φ F : Q R είναι συνεχής, άρα µ-ολοκληρώσιμη. Γράφουμε H = cov(f (Q. Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει ένα στοιχείο y H ώστε φ(y = φ(f (ωdµ(ω ( για κάθε φ X. Η ιδέα είναι η ακόλουθη: Αν φ X, ο αριθμός m := φ(f (ωdµ(ω είναι η µ-μέση τιμή της φ F (το µ είναι μέτρο πιθανότητας άρα ανήκει στην κυρτή θήκη του συνόλου φ(f (Q των τιμών της φ F. Υπάρχουν λοιπόν t 1 = φ(f (ω 1, t 2 = φ(f (ω 2 και λ [0, 1] ώστε m = λt 1 + (1 λt 2. Δηλαδή φ(f (ωdµ(ω = λt 1 + (1 λt 2 = λφ(f (ω 1 + (1 λφ(f (ω 2 = φ(λf (ω 1 + (1 λf (ω 2 αφού η φ είναι γραμμική. Βρήκαμε λοιπόν ένα στοιχείο y φ = λf (ω 1 + (1 λf (ω 2 του cov(f (Q ώστε φ(f (ωdµ(ω = φ(y φ. Θα δείξουμε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο L X υπάρχει ένα y L H που ικανοποιεί την ( για κάθε φ L ταυτόχρονα. 1
Και τέλος με ένα επιχείρημα συμπάγειας θα δείξουμε ότι υπάρχει ένα y H που ικανοποιεί την ( για κάθε φ X ταυτόχρονα. Εστω λοιπόν L = {φ 1,..., φ } X. Ονομάζω Φ την γραμμική απεικόνιση y Φ(y = (φ 1 (y,..., φ (y : X R και θέτω K = Φ(F (Q. Είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του R (αφού η Φ F είναι συνεχής και το Q συμπαγές. Ορίζω m i := φ i (F (ωdµ(ω, 1 i και m := (m 1,..., m R. Ισχυρισμός Το m ανήκει στην κυρτή θήκη covk του K. Απόδειξη Εστω (t 1,..., t / covk. Υπάρχει τότε μια γραμμική μορφή ψ : R R και ένα c R που τα διαχωρίζει, δηλαδή ψ(u 1,..., u c < ψ(t 1,..., t για κάθε (u 1,..., u covk. Ξέρουμε όμως ότι η γραμμική μορφή ψ είναι της μορφής ψ(x 1,..., x = c i x i (όπου (x 1,..., x R για κατάλληλο (c 1,..., c R, οπότε c i u i c < c i t i για κάθε (u 1,..., u covk. Επομένως, για κάθε ω Q, εφόσον Φ(F (ω = (φ 1 (F (ω,..., φ (F (ω K, έχουμε c i φ i (F (ω c < c i t i. και ολοκληρώνοντας ως προς το μέτρο πιθανότητας µ, ( ( c i φ i (F (ω dµ(ω cµ(k < c i t i µ(k Δείξαμε λοιπόν ότι covk. δηλαδή c i c i m i < φ i (F (ωdµ(ω < c i t i. c i t i, επομένως (m 1,..., m (t 1,..., t, άρα (m 1,..., m Αφού m covk, υπάρχουν ω 1,... ω m Q και λ 1,... λ m 0 με λ k = 1 ώστε m = λk Φ(F (ω k. Αλλά η Φ είναι γραμμική, άρα m = Φ( λ k F (ω k. Βρήκαμε λοιπόν ένα y L := λk F (ω k covf (Q = H ώστε m = Φ(y L, δηλαδή (m 1,..., m = (φ 1 (y L,..., φ (y L. 2
Με άλλα λόγια, το y L H ικανοποιεί την ( για κάθε φ L. Δείξαμε λοιπόν ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο L X το σύνολο E L := {y H : φ(y = φ F dµ για κάθε φ L} είναι μη κενό, και είναι εύκολο να δει κανείς ότι είναι κλειστό (επειδή οι φ X είναι συνεχείς. Παρατηρούμε τώρα ότι η οικογένεια {E L : L X πεπερασμένο} έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής: πράγματι, αν L 1,... L m είναι πεπερασμένα υποσύνολα του X, η τομή τους m E L i είναι μη κενή, γιατί ισούται με E L όπου L = m L i, πεπερασμένο. Επειδή το σύνολο H είναι συμπαγές (από το θεώρημα του Mazur έπεται ότι η τομή {EL : L X πεπερασμένο} δεν είναι κενή. Εχουμε τελειώσει, αφού ένα y X που ανήκει στην τομή αυτή ανήκει στην κλειστή κυρτή θήκη H των τιμών F (Q της F και ικανοποιεί φ(y = φ F dµ για κάθε φ X, είναι δηλαδή το ζητούμενο ολοκλήρωμα F dµ. Για την τελευταία ανισότητα, παρατηρούμε ότι αν y = F dµ, τότε για κάθε φ X έχουμε φ(y = φ(f (ωdµ(ω φ(f (ω dµ(ω φ F (ω dµ(ω (από τον ορισμό της φ και συνεπώς sup{ φ(y : φ X, φ 1} F (ω dµ(ω. Ομως από το Θεώρημα Hah - Baach ξέρουμε ότι sup{ φ(y : φ X, φ 1} = y, οπότε έχουμε δείξει ότι F (ωdµ(ω = y F (ω dµ(ω. Θεώρημα 2 (Mazur Αν (X, είναι χώρος Baach και K X είναι -συμπαγές, τότε η κλειστή κυρτή θήκη cov(k του K είναι -συμπαγής. Απόδειξη Η ιδέα είναι η ακόλουθη: αφού το K είναι συμπαγές υποσύνολο μετρικού χώρου, είναι ολικά φραγμένο, δηλαδή «προσεγγίζεται» από ένα πεπερασμένο σύνολο K 1. Η κυρτή θήκη H 1 του πεπερασμένου αυτού συνόλου φαίνεται εύκολα ότι είναι συμπαγής, άρα ολικά φραγμένη. Τέλος, η κυρτή θήκη H = cov(k του K «προσεγγίζεται» από την κυρτή θήκη H 1 του K 1, άρα είναι και αυτή ολικά φραγμένη. 3
Αναλυτικά: Για κάθε ɛ > 0 το K καλύπτεται από πεπερασμένο πλήθος ανοικτές μπάλες B(x 1, ɛ/2,..., B(x, ɛ/2. Επομένως, αν ονομάσουμε K 1 το (πεπερασμένο σύνολο των κέντρων {x 1,..., x }, έχουμε K K 1 + B(0, ɛ/2 (* (κάθε y K ανήκει σε κάποια B(x k, ɛ/2 άρα y = x k + (y x k K 1 + B(0, ɛ/2. Παρατηρούμε τώρα ότι κάθε στοιχείο x H «προσεγγίζεται» από στοιχεία της κυρτής θήκης H 1 := cov(k 1 του K 1. Πράγματι, το x είναι κυρτός συνδυασμός κάποιων στοιχείων του K: υπάρχει m N και y 1,..., y m K ώστε x = m m c i y i, όπου c i 0 και c i = 1. Ομως κάθε y i K είναι ɛ/2-κοντά σε κάποιο z i K 1, από την (. Επεται ότι το x είναι ɛ/2-κοντά στο z = m c i z i που ανήκει στο cov(k 1 = H 1 : m c i z i Δείξαμε λοιπόν ότι m c i y i ( m m ɛ c i z i y i < c i 2 = ɛ 2. H H 1 + B(0, ɛ/2. Ομως, επειδή το K 1 είναι πεπερασμένο σύνολο, η κυρτή του θήκη είναι συμπαγής. Πράγματι, κάθε y H 1 είναι κυρτός συνδυασμός των συγκεκριμένων {x 1,..., x }, υπάρχουν δηλαδή λ 1,..., λ μη αρνητικά με λ k = 1 ώστε y = k λ kx k. Δηλαδή το H 1 είναι η εικόνα ψ(s του συνόλου S := {(λ 1,..., λ R : λ i 0, λ k = 1} μέσω της απεικόνισης ψ : R X : (λ 1,..., λ k λ kx k. Αλλά το S είναι κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του R, άρα είναι συμπαγές, και η ψ είναι συνεχής συνάρτηση, άρα το H 1 = ψ(s είναι συμπαγές υποσύνολο του X. Συνεπώς το H 1 είναι ολικά φραγμένο: υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο K 2 X ώστε Τότε όμως H 1 K 2 + B(0, ɛ/2. H K 2 + B(0, ɛ (για κάθε x H υπάρχει y H 1 ώστε x y < ɛ/2 και για το y υπάρχει u K 2 ώστε y u < ɛ/2, άρα x u < ɛ πράγμα που σημαίνει ότι το H είναι ολικά φραγμένο. Κατά συνέπεια η κλειστή του θήκη είναι συμπαγής. Για να ολοκληρώσουμε συναρτήσεις όπως η t f(tg t g L p (R, χρειαζόμαστε μια επέκταση του Θεωρήματος 1: : R L p (R (όπου f L 1 (R και Θεώρημα 3 Εστω X χώρος Baach, Ω τοπικά συμπαγής χώρος Hausdorff (π.χ. Ω = R και µ ένα κανονικό μέτρο Borel στον Ω. Για κάθε L 1 -συνάρτηση f : Ω C και κάθε συνεχή και φραγμένη συνάρτηση G : Ω X το ολοκλήρωμα fgdµ υπάρχει και ανήκει στην κλειστή γραμμική θήκη του συνόλου τιμών της G. Επιπλέον ισχύει η ανισότητα f(ωg(ωdµ(ω sup G(ω X f(ω dµ(ω. X ω 4
Απόδειξη Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση F : ω f(ωg(ω : Ω X είναι ασθενώς ολοκληρώσιμη, εφόσον για κάθε φ X η συνάρτηση φ F : Ω C : ω f(ωφ(g(ω είναι ολοκληρώσιμη, καθώς είναι γινόμενο μιας ολοκληρώσιμης (της f και μιας συνεχούς και φραγμένης (της φ G. Τώρα, εφόσον f L 1 (Ω, µ, υπάρχει ακολουθία συνεχών συναρτήσεων f : Ω C με συμπαγή φορέα, έστω Q := suppf, ώστε f f 1 0. Οι συναρτήσεις F : ω µ(q f (ωg(ω : Q X είναι συνεχείς, με συμπαγές πεδίο ορισμού, το μέτρο ν = 1 µ(q µ είναι μέτρο πιθανότητας στον Q (θυμίζω ότι µ(q < συνεπώς από το Θεώρημα 1 το ολοκλήρωμα f (ωg(ωdµ(ω = F (ωdν (ω υπάρχει στον X και ανήκει στην κλειστή κυρτή θήκη του συνόλου {F (ω : ω Q }. Ομως cov{f (ω : ω Q } spa{g(ω : ω Q } spa{g(ω : ω Ω} και συνεπώς για κάθε N το ολοκλήρωμα f (ωg(ωdµ(ω ανήκει στην κλειστή γραμμική θήκη spa{g(ω : ω Ω}. Ισχυρισμός Η ακολουθία (y όπου y = f Gdµ είναι βασική στον X. Πράγματι, εφόσον η G είναι φραγμένη, υπάρχει M ώστε G(ω X M για κάθε ω Ω, οπότε έχουμε f Gdµ f m Gdµ f (ωg(ω f m (ωg(ω X dµ(ω X = f (ω f m (ω G(ω X dµ(ω M f (ω f m (ω dµ(ω αλλά η (f είναι βασική στον L 1 (Ω, µ, οπότε δείξαμε ότι η (y είναι βασική στον X. Εστω y = lim y. Για κάθε φ X έχουμε ( φ(y = lim φ(y = lim φ = lim = φ(f (ωg(ωdµ(ω = lim f(ωφ(g(ωdµ(ω, f (ωg(ωdµ(ω f (ωφ(g(ωdµ(ω γιατί f (ωφ(g(ωdµ(ω f(ωφ(g(ωdµ(ω M f f 1 0. Δείξαμε λοιπόν ότι υπάρχει ένα y X ώστε για κάθε φ X να έχουμε φ(y = f(ωφ(g(ωdµ(ω = φ(f(ωg(ωdµ(ω. Επομένως, το f Gdµ υπάρχει και ισούται με y = lim κάθε y ανήκει στην spa{g(ω : ω Ω}. y, άρα ανήκει στην spa{g(ω : ω Ω}, αφού 5