Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή Γραμμική Απεικόνιση ή Γραμμική Συνάρτηση ή Μορφισμός ή Ομομορφισμός +, Είναι μία συνάρτηση μεταξύ δύο F-διανυσματικών χώρων V, W η οποία διατηρεί τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού, δηλ. ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις: Οι πράξεις όπως ορίζονται στον V +, Οι πράξεις όπως ορίζονται στον W Πεδίο Ορισμού Ta ( + b) Ta ( ) + Tb ( ), ab, V Tka ( ) kta ( ), a Vk, F T( ku + lv ) kt ( u) + lt ( v), uv, V, kl, F V O V T W W V Αν Ενδομορφισμός ή Γραμμικός Τελεστής Οι δύο παραπάνω σχέσεις μπορούν να αντικατασταθούν από την: v Tv () O W Εικόνα (ή Εύρος ή Σύνολο Τιμών) TV ( ) ή Im( T) Παρατήρηση: Είναι πάντοτε TO ( ) O, T( v) Tv () V W

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί (Παραδείγματα) Ο μηδενικός μετασχηματισμός T: V W, Tv () O, v V Ο ταυτοτικός μετασχηματισμός W I : V V, I () v v, v V V Ο πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα m T : R R, T( x) A x, x R V m Κάθε πίνακας ορίζει ένα Γρ. Μετασχηματισμό με Im T RA ( ) H παράγωγος μίας συνάρτησης To ολοκλήρωμα μίας συνάρτησης Προσοχή: D C R C R D f f 1 : ( ) ( ), ( ) ' b l: C( R) R, l( f) f( x) dx π.χ. Ο T : R R, T ( x) ax + b δέν είναι Γραμμικός Μετασχηματισμός ενώ ο S : R R, S( x) ax είναι Γραμμικός Μετασχηματισμός a

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί ως Διανυσματικός Χώρος Το σύνολο όλων των Γραμμικών Μετασχηματισμών από τον V στον W: HomF ( V, W ) αποτελεί F-διανυσματικό χώρο διάστασης: (dim V)(dim W) Επομένως και το σύνολο όλων των ενδομορφισμών του V: Ed ( V ) Hom ( V, V ) F F αποτελεί F-διανυσματικό χώρο διάστασης: (dim V )

Δημιουργία Γραμμικών Μετασχηματισμών από άλλους Γραμμικούς Μετασχηματισμούς Το άθροισμα δύο Γραμμικών Συναρτήσεων U, S: V U είναι επίσης Γραμμική Συνάρτηση. Η σύνθεση S T : U δύο Γραμμικών Συναρτήσεων T : U V, S: V T + S: V U ( T+ S)( v) Tv () + Sv () Το γινόμενο αριθμού με Γραμμική Συνάρτηση ( α T )() v at () v είναι επίσης Γραμμική Συνάρτηση. ( S T)( u) : STu ( ( )) είναι επίσης Γραμμική Συνάρτηση. Γράφεται και ως γινόμενο: ST: U a U T, Sµονοµορϕισµο ί S Tµονοµορϕισµ ός T, Sεπιµορϕισµοί S Tεπιµορϕισµ ός

Γραμμικός Μετασχηματισμός ορισμένος από μία βάση Αν U { } B v, v,..., v Γραμμικός Μετασχηματισμός μία βάση του V Tv ( ), Tv ( ),..., Tv ( ) οι εικόνες των διανυσμάτων της βάσης Β Τότε για κάθε στοιχείο θα είναι: w V w av 1 1+ av +... + av Tw ( ) atv ( ) + atv ( ) +... + atv ( ) 1 δηλ. Ένας Γραμμικός Μετασχηματισμός του V καθορίζεται πλήρως από τις εικόνες μίας βάσης του V

Πυρήνας / Εικόνα Γραμμικού Μετασχηματισμού Πυρήνας (Kerel) { } ker( T) v V: Tv ( ) OW Αποτελεί F-διανυσματικό υποχώρο του V Εικόνα (Image) ή Εύρος (Rage) ή rage( T ) ήt( V) { } Im( T) w W: w Tv ( ), v V Αποτελεί F-διανυσματικό υποχώρο του W Αντίστροφη εικόνα ενός στοιχείου { } T 1 ( w) v V: Tv () w

Μονομορφισμός / Επιμορφισμός / Ίσομορφισμος / Αύτομορφισμος Μονομορφισμός: Αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση (1-1) dddddd(imtt) ddddddvv επίσης ker( T) { O V } dimv dimw Επιμορφισμός: Συνάρτηση Επί f(v)w rrrrrrrr TT dddddddd dim(imtt) dddddddd ΙmT W επίσης dimw dimv Ισομορφισμός: 1-1 και Επί (Μονομορφισμός και επιμορφισμός) Ισόμορφοι χώροι: V W επίσης Αυτομορφισμός: Ισομορφισμός V V W dimv dimw Κάθε F-διανυσματικός χώρος V διάστασης είναι ισόμορφος με τον διανυσματικό χώρο F π.χ. P[ x] + 1 m M m ( )

Μονομορφισμός / Επιμορφισμός Μονομορφισμός Όχι Μονομορφισμός Επιμορφισμός Όχι Επιμορφισμός

Προτάσεις Έστω ένας μονομορφισμός Αν τα v1, v,..., v V Tv ( ), Tv ( ),..., Tv ( ) W είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε και τα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, και ισχύει ότι spa{ v, v,..., v } spa{ T ( v ), T ( v ),..., T ( v )} Έστω ένας επιμορφισμός Αν V spa{ v1, v,..., v } τότε W spatv { ( 1), Tv ( ),..., Tv ( )} T V Γενικότερα, για κάθε Γραμμικό Μετασχηματισμό : με V spa{ v1, v,..., v } ισχύει ότι Im( ) { ( ), ( ),..., ( )} T spatv1 Tv Tv

Αντίστροφος Γραμμικός Μετασχηματισμός Ο Γραμμικός Μετασχηματισμός καλείται αντιστρέψιμος αν T 1 : W V υπάρχει ο αντίστροφος μετασχηματισμός του Ο T 1 είναι και ο ίδιος Γραμμικός Mετασχηματισμός και έχει την ιδιότητα: 1 1 και T T I V T T I W Ο Γραμμικός Μετασχηματισμός είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν είναι ισομορφισμός (ο είναι επίσης ισομορφισμός) T 1 Αν ο Γραμμικός Μετασχηματισμός είναι αντιστρέψιμος και ισχύει T 1 : W V ( 1) 1 είναι αντιστρέψιμος τότε και ο T T Για τη σύνθεση αντιστρέψιμων Γραμμικών Μετασχηματισμών ισχύει η σχέση ( ) 1 1 1 S T T S

Προτάσεις Μηδενικότητα του Τ ( ) ( ) dimv dim ker ( T) + dim Im ( T) Βαθμίδα του Τ dim( V + W) + dim( V W) dimv + dimw { v, v,..., v } V { w, w,..., w } W Αν τα αν τα είναι μία βάση του V (με dimv) και είναι τυχαία διανύσματα του W τότε ορίζεται πάντοτε και με μοναδικό τρόπο μία γραμμική συνάρτηση T: V W, Tv ( ) w 1 i V W { v1, v,..., v } V { Tv ( ), Tv ( ),..., Tv ( )} W Αν και τo είναι μία βάση του V, τότε τo i i είναι μία βάση του W

Αναπαράσταση διανύσματος ως προς βάση Έστω ένας διανυσματικός χώρος V διάστασης και μία βάση του B v1 v v x kv + kv + + kv 1... ( ) [ x] k, k,, k B {,,..., } Ένα τυχαίο διάνυσμα x του V γράφεται με μοναδικό τρόπο ως Αναπαράσταση του διανύσματος x ως προς τη βάση Β: k [ ] : V R B Τα καλούνται συντεταγμένες του διανύσματος ως προς τη βάση Β i ή ρb Παρατήρηση: Μία βάση αποτελεί στην πραγματικότητα μία λίστα διανυσμάτων και όχι ένα σύνολο διανυσμάτων, δηλαδή έχει σημασία η σειρά γραφής τους. x H συνάρτηση [ ] B είναι Γραμμικός Μετασχηματισμός Αν V R και Β είναι η κανονική του βάση E τότε [ x] E x

Πίνακας Αναπαράστασης Γραμμικού Μετασχηματισμού Κάθε Γραμμικός Μετασχηματισμός μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα πίνακα και αντιστρόφως κάθε πίνακας εκφράζει ένα Γραμμικό Μετασχηματισμό dimv dimw m B1 { v1, v,..., v } B { w, w,..., w m } Πίνακας αναπαράστασης του T ως προς τις βάσεις και B 1 B [ T ] B, B a a a a...... a a a a... a 11 1 1 m1 m m Βάση του V Tv ( 1) aw 11 1 + aw +... + am 1wm Tv ( ) aw 1 1 + aw +... + amwm... Tv ( ) aw 1 1+ aw +... + amwm Βάση του W Αν B B B [ T ] B γράφεται απλά ως αν επιπλέον B η κανονική βάση γράφεται απλά ως [ T ] ή E [ T ] Ανάλογα με τις βάσεις που επιλέγουμε, παίρνουμε διαφορετικούς πίνακες αναπαράστασης για τον ίδιο γραμμικό μετασχηματισμό

Ένας τρόπος υπολογισμού του Πίνακα Αναπαράστασης Γραμμικού Μετασχηματισμού dim Βάση του V Βάση του W B1 { v1, v,..., v } B { w, w,..., w m } V dimw m Τα διανύσματα της B ως στήλες Οι εικόνες της B 1 ως στήλες w1 w... wm Tv ( 1) Tv ( )... Tv ( ) 1 0... 0 a a... a 0 1... 0 a a... a Gauss Jorda I m 0 0... 1 a a... a Ταυτοτικός πίνακας 11 1 1 m1 m m [ T ] B 1, B

Ιδιότητες Πίνακα Αναπαράστασης Έστω οι Γραμμικοί Μετασχηματισμοί: T, S Τότε ισχύουν τα ακόλουθα [ T + S] [ T] + [ S] [ kt ] k[ T ], k F [ S T] [ S][ T] ker( T) N([ T]) Im( T) R([ T]) rak( T ) rak([ T ]) ullity( T ) ullity([ T ]) (όπου ορίζονται οι πράξεις) I : V V O πίνακας αναπαράστασης του ταυτοτικού μετασχηματισμού V ως προς μία βάση του V είναι ο ταυτοτικός πίνακας I ανεξαρτήτως της βάσης, (dimv) Για έναν αυτομορφισμό αντίστροφου μετασχηματισμού V T 1 ο πίνακας αναπαράστασης του είναι ο [ ] 1 T

Μονομορφισμός / Επιμορφισμός Έστω ένας γραμμικός μετασχηματισμός: Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα Ο Τ είναι μονομορφισμός T( x) Om [ T ] ker( T) { O } ullity( T ) 0 rak( T ) T : R x O Το σύστημα έχει μοναδική λύση την τετριμμένη Οι στήλες του είναι γραμμικά ανεξάρτητες R m Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα Ο Τ είναι επιμορφισμός Το σύστημα έχει λύση για κάθε Οι στήλες του παράγουν (spa) τον Im( T) rak T R m T( x) b [ T ] ή R([ T]) ullity( T ) m ( ) m R m R m b R m

Πίνακας Μετάβασης ή Αλλαγής Βάσης I : V V V dimv Ταυτοτικός Μετασχηματισμός 1 η Βάση του V η Βάση του V B1 { v1, v,..., v } B { w, w,..., w } Πίνακας μετάβασης από την B1 στην B P B Τετράγωνος πίνακας x Ταυτίζεται με: [ I V ] B1, B B v1 a11w1 + a1w +... + a 1w v a1w1 + aw +... + aw... v a1 w1+ aw +... + aw a a... a a a... a a a... a 11 1 1 Ισχύει: P P P 1 B B B B 1 P 1 B B B B 1

Ένας τρόπος υπολογισμού του Πίνακα Αλλαγής Βάσης B1 { v1, v,..., v } B { w, w,..., w } Τοποθετούμε τα διανύσματα των βάσεων ως στήλες πινάκων P1 v1 v v P w1 w w τότε P B B P P 1 1 και P B B 1 P P 1 Παρατήρηση Γενικά αν επιθυμούμε αλλαγή βάσης από οποιαδήποτε βάση προς την κανονική βάση Ε τότε απλώς PB E v1 v v B { v1, v,..., v }

Συντεταγμένες και Πίνακας Αναπαράστασης Έστω οι βάσεις των V, W είναι B1 και B αντίστοιχα τότε οι συντεταγμένες k1, k,..., k l1, l,..., l m Tv () W l1 k1 l k [ T ] B 1, B lm k ως προς Β1 ενός διανύσματος και οι συντεταγμένες ως προς Β του συνδέονται με τη σχέση: VW, R ή [ Tv] T [ v] 1, () [ ] B B, B B 1 B B VW, v V Αν και οι κανονικές βάσεις των τότε είναι απλά: Tv () [ Tv ]

Συντεταγμένες και Πίνακας Αλλαγής Βάσης Έστω ένας διανυσματικός χώρος V και δύο βάσεις του Β1, Β τότε οι συντεταγμένες και οι συντεταγμένες συνδέονται με τη σχέση: k1, k,..., k l1, l,..., l ως προς Β1 ενός διανύσματος του ίδιου διανύσματος ως προς Β v V I : V V V [ ] I V B, B l1 k1 l k P B1 B l k [ I () v ] [ I ] [ v] V B V B, B [ v] P [ v] B 1 ή B B B 1 B

Όμοιοι Πίνακες Οι πίνακες, M AB αν υπάρχει αντιστρέψιμος τέτοιος ώστε B P M καλούνται όμοιοι 1 P AP Θα είναι επίσης και A με 1 Q BQ Q P 1 Ιδιότητες όμοιων πινάκων Αν δύο πίνακες είναι όμοιοι και ο ένας είναι αντιστρέψιμος τότε είναι και ο άλλος αντιστρέψιμος. det(a)det(b) rak(a)rak(b) tr(a)tr(b) Προσοχή: Τα αντίστροφα αυτών των προτάσεων δεν ισχύουν αναγκαστικά. Οι A,B έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο και τις ίδιες ιδιοτιμές Οι πίνακες αναπαράστασης ενός ενδομορφισμού διαφορετικές βάσεις του είναι όμοιοι V ως προς

Αλλαγή Βάσης και Ομοιότητα B, B : V Ξεκινούμε εδώ και κινούμαστε κατά την φορά των βελών πολλαπλασιάζοντας πάντοτε από αριστερά τους πίνακες [ T ] B V TV ( ) T B ή ή 1 1,, PB 1 B I P 1 I B B1 T V TV ( ) B 1 [ T ] B1 [ T] [ I ] [ T] [ I ] P [ T] P B B, B B 1 B, B B B B B B Βάσεις του V Επιθυμούμε να βρούμε τη σχέση που συνδέει τους πίνακες [ T ] B1 και [ T ] B 1 [ T] B PB B [ T] B PB B Επειδή: P 1 1 B B PB B 1 [ ] B B I : V V 1 I : ( ) ( ) TV TV I 1 B B 1 [ I ] B B T I T I Οι πίνακες [ T ] B1 και [ T ] B είναι όμοιοι. Βάση B Βάση B 1 Εκφράζει τη σύνθεση 1

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί στο επίπεδο T : R R u Te ( 1) T(1, 0) v Te ( ) T(0,1) Κάθε Γραμμικός Μετασχηματισμός έχει την ιδιότητα να αφήνει ανεπηρέαστη την αρχή των αξόνων και να διατηρεί τις ευθείες ενός πλέγματος παράλληλες και ισαπέχουσες. Η μεταβολή στο εμβαδό ενός κελιού ισούται με ( T ) det [ ] Αρνητική τιμή σημαίνει ότι ο Μετασχηματισμός στέλνει το e στα δεξιά του e 1 Μηδενική τιμή σημαίνει ότι το κελί εκφυλίσετε σε μία ευθεία ή ένα σημείο. (Μείωση διαστάσεων)

Ειδικοί Γραμμικοί Μετασχηματισμοί στο επίπεδο Διαστολή - Συστολή T : R R, T ( x, y) ( ax, ay), a R a > 1 Στροφή a 0 [ T ] ιαστολή 0 a a < 1 Συστολή T R R Txy x y x y :, (, ) ( cosθ si θ, siθ + cos θ) cosθ siθ [ T ] siθ cosθ (Οι πίνακες αναπαράστασης δίνονται ως προς την κανονική βάση του R ) θ

Ειδικοί Γραμμικοί Μετασχηματισμοί στο επίπεδο Προβολή πάνω σε ευθεία (Οι πίνακες αναπαράστασης δίνονται ως προς την κανονική βάση του R ) T R R Txy x θ + y θ θ x θ θ + y θ :, (, ) ( cos si cos, si cos si ) [ T ] cos θ siθcosθ siθcosθ si θ θ Ισχύει: Δεν υπάρχει ο [ T] [ T] T 1 Στρέβλωση S R R S x y x + ay y S : R R, S ( x, y) ( x, bx + y) x :, x(, ) (, ) y y [ S ] x 1 a 0 1 [ ] S y 1 0 b 1 Στρέβλωση παράλληλα στον άξονα x x Στρέβλωση παράλληλα στον άξονα y y

Ειδικοί Γραμμικοί Μετασχηματισμοί στο επίπεδο