Θέμα Εαναλητικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Α. Αν α>0 με α, τότε για οοιουσδήοτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log ( θ θ ) = log θ + log θ (7 μονάδες) α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση. α. Aν το ολυώνυμο P() έχει αράγοντα το (+), τότε P()=0 Σ Λ β. Το γινόμενο δύο ολυωνύμων ιδίου βαθμού είναι άντα ολυώνυμο διλασίου βαθμού Σ Λ γ. Αν D + 5 Dy = 0, το σύστημα είναι αδύνατο. Σ Λ δ. Η συνάρτηση f()=ημ, έχει ερίοδο Τ=. Σ Λ ( μονάδες ανά ερώτημα) Γ. Το εδίο ορισμού της συνάρτησης f () = log ( ln( ) ) είναι το: α. (, + ) β. (, + ) γ. (,] δ. (,+ ) Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση. 0 Γ. Η αράσταση Α= l+ log 6 log ισούται με: α. β. log γ. log 6 δ. Να ειλέξετε τη σωστή αάντηση. (4 μονάδες) (4 μονάδες) Θέμα β Δίνονται οι συναρτήσεις f() = ηµ () και g() = α συν( β + ). 6 Η g() έχει μέγιστη τιμή το και τέμνει τον άξονα y y στο. Α. Να βρείτε τους α,β R, ώστε η γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f() και g() να μην έχουν κοινά σημεία. (8 μονάδες) Β. Για α= και β= να κάνετε την γραφική αράσταση των συναρτήσεων f() και g() και με την βοήθεια του σχήματος να βρείτε την εξίσωση της κοινής τους εφατομένης. (7 μονάδες) Γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της συνάρτησης f () με την ευθεία 5 y= 4 ηµ ( ) σφ ( ) + ηµ ( ), στο διάστημα, 6 4 4 4. Ποια η αόσταση μεταξύ των σημείων με την μικρότερη και μεγαλύτερη τετμημένη; (0 μονάδες)
Θέμα λ + y + = +λ Δίνεται το σύστημα:, όου λ. λ +λ y + 6 = 6 λ y + 6 Α. Να βρείτε τις λύσεις του συστήματος για τις διάφορες τιμές του λ R. (5 μονάδες) Β. Να βρεθεί η ρίζα γ της εξίσωσης 5 = + 45 (). (5 μονάδες) Γ. Δίνεται ότι το ολυώνυμο Ρ() όταν διαιρεθεί με το ( ) δίνει υόλοιο (γ 0), όου γ η ρίζα της εξίσωσης (), Ρ( 6)= και η εξίσωση Ρ() 5Ρ(5 ) Ρ(Ρ())=0 έχει ρίζα το =. Να βρείτε το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() με το ( )( ). (8 μονάδες) 6 λ λ Δ. Να λυθεί η εξίσωση = 7, λ R και για την μοναδική θετική ρίζα λ λ λ ου βρήκατε να αοδείξετε ότι το άθροισμα των συντεταγμένων του σημείου Α ου τέμνονται οι ευθείες το συστήματος είναι: 4. (7 μονάδες) Θέμα 4 Δίνεται η συνάρτηση f (t) = ln(t t 5t ) ln(t + ) Α. Να βρείτε το εδίο ορισμού της. (7 μονάδες) Β. Να αλοοιήσετε τον τύο της f(t). ( μονάδες) ln 4 + ln(4 + 5 ) Γ Να λύσετε την εξίσωση = ln(e 0 ) (9 μονάδες) Γ Αν χ η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης του ροηγούμενου ερωτήματος, να βρείτε τις τιμές του t για τις οοίες f(t)< ln( +4). (6 μονάδες) Καλή Ειτυχία στις Εξετάσεις!!!
Ααντήσεις Διαγωνίσματος Θέμα Α. σελ. 75 σχολικού Β. α Λ (P( )=0), β Σ γ Σ (D=0 και D y =5), δ Λ ( Τ= = = ω ) Γ. α (Πρέει >0 > και ln( )>0 > >) Γ. β Θέμα 0 0 l+ log 6 log = log0 + (log + log ) log = 0 = (log0 + log ) + log log = log 0 + log (log 0 log ) = log Α. β Ma g() = α+ = (). Η C g τέμνει τον y y στο 6, β άρα g(0) = α συν ( ) = α=. Η () β β + = = 6 6 6 β = β= ή β=. Για α= και β= f() = ηµ () και g() = + συν( + ) f() = g() ηµ () = + συν( + ) ηµ () = + ηµ () 6 4ηµ = + ηµ 5ηµ = 5 ηµ = ηµ = ηµ = κ+ η = κ+ = κ+, κ Για α= και β= f() = ηµ () και g() = + συν ( + ) f() = g() ηµ () = συν ( + ) ηµ () = ηµ () 6 4ηµ = ηµ ηµ = 5 > αδύνατη. Άρα α= και β=.
Β. f() = ηµ () Ma=5 Min= T = = ω g() = + συν( + ) = + ηµ () Ma= Min=0 T = = ω Άρα η κοινή εφατομένη όως φαίνεται στο σχήμα είναι η ευθεία y=. 7 y 6 f() 5 4 0.75.5.5.75.5.5 0.75 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.75.5.5.75.5 g() - - - Γ. ( ) f () = ηµ = 9 ηµ + 4ηµ ηµ ( ) = συν = ηµ ( ) = 6 6 6 4 σφ( ) = σφ = σφ ( ) = 4 4 4 5 6 ηµ ( ) = ηµ = ηµ (4 ) = ηµ ( ) = ηµ ( ) = 4 4 4 4 4 5 Άρα y= 4 ηµ ( ) σφ ( ) + 4 ηµ ( ) = 4 + 4 = 4 6 4 4 4 Τελικά y = 4 Λύνουμε την εξίσωση f ()=y 9 ηµ + 4ηµ =4 4ηµ ηµ + 5 = 0 () θέτουμε ημ=t, t [,] Άρα η () γίνεται: 4t ± 8 0 t+5=0 = 44 80 = 64 και t, = t = > αορ. και t = δεκτή. 8 8
ηµ = ηµ = ηµ = κ + ή = κ+ 6 6 6 5 = κ + ή = κ +, κ. 8 8 7 7 0 < κ+ < < κ+ < < κ< < k <. Άρα κ= 4 8 4 8 6 8 7 7 Για κ= = + = 8 8 5 5 78 < κ+ < < κ+ < < κ< < k <. Άρα κ=0, 4 8 4 8 6 8 7 7 5 5 7 Για κ=0 = και για κ= = + =. 8 8 8 5 7 Οι ρίζες κατά αύξουσα σειρά:,, 8 8 8 Τα τρία σημεία τομής της f () με την ευθεία y=4 είναι: 5 7 Α,4, Β,4, Γ,4 8 8 8 7 5 (ΑΓ)= = = 8 8 8 Ας δούμε την λύση και γραφικά: 6 y 5 4 Α Β Γ 0.5.5.75.5.5 0.75 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.75.5.5.75.5.5 - - - -4
Θέμα Λύση λ + y + = +λ ( λ ) + y =λ Α. λ +λ y + 6 = 6 λ y + 6 ( λ 6) + ( λ + )y = 6 λ 6 λ D = = ( λ )( λ + ) (λ 6) =λ + λ λ 4 λ+ 6 =λ λ λ+ = λ 6 λ + ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) =λ λ λ = λ λ = λ λ λ+ λ = = λ λ + λ =λ + λ λ λ+ =λ λ λ+ = 6λ 6 λ + D ( )( ) (6 6) 6 6 4 4 ( ) 4( ) ( )( 4) ( )( )( ) =λ λ λ = λ λ = λ λ λ+ λ λ = = λ λ λ λ = λ λ λ+ λ λ λ+ = λ 6 6λ 6 D y ( )(6 6) ( )( 6) 6 6 ( 6 6) 6 8 9 6 9 6 ( ) ( )( ) = λ λ+ λ + λ = λ λ+ = λ λ+ = λ λ Στη συνέχεια βρίσκουμε τις τιμές της αραμέτρου λ, για τις οοίες είναι D= 0. Έχουμε: D = 0 ( λ )( ή λ ή )( λ+ ) = 0 λ= λ= λ= Διακρίνουμε εριτώσεις ανάλογα με τις τιμές της αραμέτρου λ: Αν λ καιλ καιλ, τότε είναι D 0 και εομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση, την: D ( λ )( λ )( λ+ ) λ+ = = = D ( λ )( λ )( λ+ ) λ+ Dy ( λ )( λ ) y = = = D ( λ )( λ )( λ+ ) λ+ λ+ Δηλαδή: (, y) =, λ+ λ+, λ. Αν λ=, D=D =D y =0 και το σύστημα γίνεται: 0+ y= y= y= 0 + 6y = 6 6y = 6 Αντικαθιστώντας σε μία αό τις δύο εξισώσεις, αίρνουμε 0 = 0 ου σημαίνει ότι το. Άρα οι λύσεις του συστήματος για λ= είναι άειρες και θα έχουν την (, y) = κ,, με. μορφή: ( ) Αν λ=, D=D =D y =0 και το σύστημα γίνεται: + y= 0 + y= 0 = ί y ουε ό ναι α ριστο + y= 0 + y= 0 Άρα οι λύσεις του συστήματος για λ= είναι άειρες και θα έχουν την μορφή: (, y) = κκ,, με. ( )
Αν λ=, τότε το σύστημα γίνεται: + y = + y = ουείναιαδύνατο 9 + y = + y = 4 Β. 5 = + 45 5 = + 4 5 5 5 9 4 5 9 = 5 + 5 = 5 = 5 5 5 5 5 5 4 = = 4 5 5. Άρα γ=4. Γ. Αό την υόθεση έχουμε ότι Ρ() = γ 0 Ρ()= 6 και Ρ(Ρ())=Ρ( 6)=. Ρ() 5Ρ(5 ) Ρ(Ρ())=0 Ρ() 5Ρ(5 ) =0 Ρ() 5Ρ() =0 Ρ()+0 =0 Ρ()= 4. Το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() με το ( )( ) θα είναι ολυώνυμο το ολύ ρώτου βαθμού, δηλαδή υ()=α+β, α,β R = P() = ( ) () +υ() P() = 0 () +υ() α+β= 6 = P() = ( ) () +υ() P() = 0 () +υ() α+β= 4 α+β= 6 α+β= 6 α= 8 α= 8 και α+β= 6 4 +β= 6 β= 0 α+β= 4 α β= 4 Τελικά υ()=8 0. 6 λ λ Δ. = 7 λ λ 6 λ =7( λ ) λ 6 7λ + 6= 0 με λ Θέτω λ =t >0 και η εξίσωση γίνεται t 7t+6=0 Κάνοντας σχήμα horner με το έχουμε: 0-7 6-6 t 7t+6=0 (t )(t +t 6)=0 t =0 ή t +t 6=0-6 0 t= ή t= ή t= (αορρίτεται) τελικά λ = λ= ± και αφού λ, λ= ή λ = λ= ±. Για λ= το σύστημα έχει μοναδική λύση. Δηλαδή αριστάνει δυο ευθείες ου λ+ + τέμνονται στο σημείο Α, =Α, λ+ λ+ + + +y= + + 5 ( + 5)( + = = ) = 4 + + + ( + )( )
Θέμα 4 Α. Πρέει t t 5t >0 και t+>0. Κάνοντας σχήμα horner για την ρώτη ανίσωση με το έχουμε: 5 άρα t t 5t >0 (t+)(t t )>0 ± 5 Δ=5 και t = η t = t = 4 0 και t t =(t )(t+ )=(t+)(t ) t + t+ 0 + + + t t + 0 0 + (t+)(t t ) 0 0 0 + Τελικά έχουμε ότι t t 5t >0 t> και t+>0 t> To εδίο ορισμού της f(t) είναι το διάστημα [, + ). Β. f (t) = ln[(t + )(t t )] ln(t + ) = (t + )(t + )(t ) ln (t + ) = ln(t + )(t ). Γ. Πρέει ln(e 0 ) e 0 e 0 log log Με αυτόν τον εριορισμό η αρχική εξίσωση γίνεται: ln 4 + ln(4 + 5 ) = ln(e 0 ) ln(4 + 5 ) = ln( 0 ) + 5 = 5 + = θέτω 5 5 5 =κ>0 άρα η εξίσωση γίνεται κ -κ+=0 κ= ή κ= δηλαδή = =0 ή 5 5 = ln ln ln = = 5 ln 5 Γ. Εειδή ln <0 και ln <0 η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης είναι η =0 5 αφού ln ln 5 >0. Η f(t)<ln( +4) ln(t+)(t )<ln4 (t+)(t )<4 t t 6<0 <t<.