/8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το ακόλουθο (D): μετασχηματίζοντάς το σε πολικές Τα όρια ολοκλήρωσης σε πολικές συντεταγμένες είναι: r και 4 Έτσι / / I y dyd r rdrd /4 Θέτουμε u r du rdr Τότε είναι r rdr udu u r Επομένως / / / I r d.47868 / /4
Άσκηση (Μονάδες.5) F yz j y z kˆ Δείξτε ότι το πεδίο yz ˆ i ˆ βρείτε τη συνάρτηση δυναμικού f του πεδίου. είναι συντηρητικό. Στη συνέχεια Λύση: Είναι y z z y z yz y y z z y z yzy y z Επομένως το πεδίο είναι συντηρητικό. Για την εύρεση της συνάρτησης δυναμικού f εργαζόμαστε ως εξής: Είναι f y z Ολοκληρώνοντας τη σχέση αυτή ως προς παίρνουμε: f ( yz,, ) yz gyz (, ) όπου g μία άγνωστη, προς το παρόν, συνάρτηση των y και z Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση ως προς y παίρνουμε: f y g y Είναι επίσης f y yz Εξισώνοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις παίρνουμε g y yz και ολοκληρώνοντας ως προς y παίρνουμε g( y, z) y z h( z) όπου h μία άγνωστη, προς το παρόν, συνάρτηση του z Επομένως μέχρι στιγμής έχουμε f yz y z yz hz (,, ) ( )
Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση ως προς z παίρνουμε: f z z y h z Είναι επίσης f y z z Εξισώνοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις παίρνουμε h και ολοκληρώνοντας ως προς z παίρνουμε z hz ( ) z c με c R Άρα τελικώς η συνάρτηση δυναμικού είναι η ακόλουθη f ( yz,, ) yz yzz c Άσκηση (Μονάδες ) Δείξτε ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα Green για να μετατρέψετε σε διπλό ολοκλήρωμα το ακόλουθο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα: I dydy, όπου c το τρίγωνο με κορυφές τα c σημεία (,), (,), (,). Στη συνέχεια απλώς διατυπώστε το διπλό ολοκλήρωμα που προκύπτει χωρίς να υπολογίσετε την τιμή του. Λύση Το χωρίο ολοκλήρωσης (R) είναι το ακόλουθο: Γ R Α Β Tο θεώρημα Green γράφεται ως: C N M Md Ndy da y R
Στην περίπτωσή μας είναι N M επομένως y, y M, N y Έτσι I dydy yda c R Το χωρίο ολοκλήρωσης είναι και οριζόντια και κάθετα απλό. Επιλέγουμε να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς y και έπειτα ως προς. H ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α,Γ έχει κλίση, επομένως είναι η y Έτσι θα έχουμε I ydyd Άσκηση 4 (Μονάδες ) Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του βαθμωτού πεδίου f(, y) y κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όπου Α=(,), Β=(,) με τις εξής διαφορετικές παραμετρήσεις: a) t, y t, t [,] και b) sin, t y sin, t t [, /] Λύση t t d dy I f(, y) ds f ( t), y( t) dt dt dt c t t 5 I tt dt 6 a) b) / / sin t sin t 5 I sin tsin t cos tdt sin tsin t d(sin t) 6 / Άσκηση 5 (Μονάδες ) Δίνεται ο πίνακας 5 5 6 7 4 Υπολογίστε τη βαθμίδα του πίνακα Α, το μηδενοχώρο του, τη διάστασή αυτού και μία βάση του. 4
Λύση: 5 5 5 5 r r r r rr r4 r4 r 6 7 6 7 7 5 4 4 4 5 5 7 4 r r r r4 r4 r 7 5 / 4/ 4 4 5 5 r4 r4 r / 4/ U / 4/ / 4/ Έχουμε οδηγούς άρα R(A)= Είναι n=5, επομένως dimn(a)=5 R(A)= O μηδενοχώρος αποτελείται από το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος: A O A 4 5 ή ισοδύναμα του U 4 5 Εκτελώντας τις πράξεις καταλήγουμε στo ομογενές σύστημα 4 55 4 5 4 45 5
Έχουμε ελεύθερες μεταβλητές τις και 5 Επομένως η λύση του συστήματος μπορεί να γραφεί ως st s 6 t, s, tr 4 4t 5 t Άρα ο μηδενοχώρος του Α είναι ο N( A) s t, s, 6 t,4 t, t : s, t R Η βάση του μηδενοχώρου θα αποτελείται από διανύσματα (όσα το dim N( A ) ) Για να βρούμε μία βάση του μηδενοχώρου θέτουμε, στη γενική λύση του ομογενούς συστήματος, με τη σειρά κάθε παράμετρο ίση με τη μονάδα μηδενίζοντας τις υπόλοιπες παραμέτρους: s=, t= => (,,,,) s=,t= => (,, 6,4,) Επομένως το σύνολο, 6 4 αποτελεί μία βάση του μηδενοχώρου. Άσκηση 6 (Μονάδες.5) Δίνεται ο πίνακας A Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα καθώς και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων A και B A A I Λύση pa( ) det( AI) 4 p A ( ) 6
Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: A I O A I O Ο πίνακας συντελεστών του συστήματος δίνει με απαλοιφή Gauss: Επομένως καταλήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: Έχουμε μία ελεύθερη μεταβλητή επομένως η γενική λύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: t t, t R t Έτσι κάθε ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή έχει την παραπάνω μορφή, όμως με t γιατί δεν ορίζεται μηδενικό ιδιοδιάνυσμα. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην δεύτερη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιλύσουμε το ομογενές σύστημα: A I O A I O Ο πίνακας συντελεστών του συστήματος δίνει με απαλοιφή Gauss: Επομένως καταλήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: Έχουμε μία ελεύθερη μεταβλητή επομένως η γενική λύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: t t, t R t 7
Έτσι κάθε ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή έχει την παραπάνω μορφή, όμως με t O πίνακας Α είναι με δύο διακριτές ιδιοτιμές επομένως υπάρχει ο αντίστροφός του, για τον οποίο τα ίδια ιδιοδιανύσματα που υπολογίσαμε για τις ιδιοτιμές και του Α, αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές / και / του πίνακα A Επίσης τα ίδια ιδιοδιανύσματα που υπολογίσαμε για τις ιδιοτιμές και του Α, αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές και 6 του πίνακα B Άσκηση 7 (Μονάδες ) 9 Δίνονται οι ιδιοτιμές του πίνακα A :,,. Επίσης δίνεται ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή : v (,,) Αν ο πίνακας Α διαγωνοποιείται να βρεθεί ο πίνακας P που τον διαγωνοποιεί. Επίσης να δοθεί και ο διαγώνιος πίνακας D. Λύση: O πίνακας είναι συμμετρικός και επομένως διαγωνοποιείται. Αρκεί να βρούμε γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα που αντιστοιχούν στην διπλή ιδιοτιμή, Λύνουμε το ομογενές σύστημα: ( A I ) O O πίνακας συντελεστών του συστήματος δίνει με απαλοιφή Gauss: 9 9 9 r r r r r r Επομένως το ισοδύναμο σύστημα γίνεται μία εξίσωση: 9 με δύο ελεύθερες μεταβλητές Έτσι το σύνολο των ιδιoδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην, είναι το 8
s t s, s, t R s t, s, tr t με s,t όχι ταυτόχρονα Επομένως στην, αντιστοιχούν τα γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα: v (,, ) και v (,,) Έτσι, ο πίνακας που διαγωνοποιεί τον Α θα έχει σαν στήλες του τα διανύσματα v, v, v : P. Τότε A PDP με D Άσκηση 8 (Μονάδες ) Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R με T(, y) ( y, y) Να βρεθεί ο πίνακας αναπαράστασης [ T ] S ως προς τη βάση S { v (,), v (,)} Λύση: Αρχικά Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του τυχαίου διανύσματος (, y ) του (, y) avbv (, y) a(,) b(,) ab y a b Λύνουμε το σύστημα ως προς ab, και παίρνουμε: y 7 b y 7 Άρα (, y) yv yv για κάθε,y () 7 7 R ως προς τη βάση Στη συνέχεια βρίσκουμε τις εικόνες των διανυσμάτων βάσης από τον τύπο του μετασχηματισμού: Tv ( ) T(,) (,7) () { v, v }: 9
Tv ( ) T(,) ( 7,) () Εφαρμόζοντας στις σχέσεις () και () την (), γράφουμε τις εικόνες των v,v ως γραμμικό συνδυασμό της βάσης S : Tv ( ) vv Tv ( ) vv Γράφουμε τις συντεταγμένες του κάθε διανύσματος ως στήλες του πίνακα αναπαράστασης και παίρνουμε: [ T ] S Άσκηση 9 (Μονάδες ) Δίνονται τα διανύσματα: v,,, v,,, v,, Αν είναι δυνατόν, βρείτε όλες τις τιμές R έτσι ώστε τα διανύσματα v, v, v να είναι γραμμικά εξαρτημένα. Αν δεν υπάρχει τέτοια τιμή εξηγήστε το λόγο. Λύση: Δημιουργούμε τον πίνακα Α με γραμμές τα διανύσματα v, v, v : A με απαλοιφή Gauss παίρνουμε: r r r r r r r r r Για να είναι τα διανύσματα v, v, v θα πρέπει