ΜΑΘΗΜΑ 8ο
Έλεγχος των Phillip Perron Είδαμε στον έλεγχο των Dickey Fuller ότι για το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων προτείνουν την επαύξηση της εξίσωσης με επιπλέον όρους τωνδιαφορώντηςεξαρτημένηςμεταβλητής. Οι Phillip Perron (1988) πρότειναν έναν άλλο τρόπο για την αντιμετώπιση του προβλήματος της αυτοσυσχέτισης με τη διόρθωση του στατιστικού του συντελεστή δ 2 της μεταβλητής Χ -1 της εξίσωσης ΔX δ + δ + X + 0 1 δ 2 1 e Με άλλα λόγια η μεθοδολογία των Phillip Perron αντιμετωπίσει μία πιθανή μη τυχαιότητα των καταλοίπων τροποποιώντας την κατανομή με τη βοήθεια μη παραμετρικών μεθόδων. Η τροποποίηση αυτή στην κατανομή λαμβάνει υπόψη της τόσο την αυτοσυσχέτιση μιας άγνωστης τάξης στα κατάλοιπα, όσο και την ετεροσκεδαστικότητα.
Το στατιστικό των Phillip Perron ακολουθεί την ίδια ασυμπτωτική κατανομή με το στατιστικό των Dickey Fuller, άρα για τον έλεγχο των Phillip Perron ισχύουν οι ίδιες κρίσιμες τιμές με αυτές που ισχύουν στους ελέγχους των Dickey Fuller. Εδώ πρέπει να αναφέρουμε ότι ενώ για τον έλεγχο των Dickey Fuller βρίσκουμε τον κατάλληλο αριθμό των όρων για της διαφορές της εξαρτημένης μεταβλητής, στον έλεγχο των Phillip Perron πρέπει να οριστεί η υστέρηση p της διόρθωσης των Newey We (1994) που αναφέρεται στον αριθμό τωνπεριόδωντηςαυτοσυσχέτισης. Ο αριθμός αυτός p των υστερήσεων δίνεται από τον παρακάτω τύπο:
p μικρότεροςακέραιος 4 n 100 2 9 όπου η το μέγεθος του δείγματος.. Ο έλεγχος των Dickey Fuller (DF) υποθέτει ότι οι διαταρακτικοί όροι δεν αυτοσυσχετίζονται και έχουν σταθερή διακύμανση. Οι Phillip Perron (PP) πρότειναν έναν έλεγχο ο οποίος βασίζεται στις εξισώσεις των Dickey Fuller, καθώς επίσης και σε μία μη παραμετρική μέθοδο, ενώ λαμβάνει υπόψη τις αυτοσυσχετίσεις υψηλών τάξεων. Όπως στους ελέγχους των DF έτσι και στους ελέγχους των PP, ηεκτιμημένηεξίσωσημπορείνα περικλείει μόνο σταθερά ή σταθερά και χρονική τάση ανάλογα με την περίπτωση που εξετάζουμε.
Χρησιμοποιώντας τα στοιχεία της μεταβλητής της εθνικής ιδιωτικής κατανάλωσης να ελεγχθεί η στασιμότητα χρησιμοποιώντας τους ελέγχους DF και PP. Έστω ότι η μορφή της συνάρτησης των Dickey Fuller είναι η παρακάτω: ΔC ρ δ 0 + δ 2C 1 + β iδc i + i 1 e όπου: i 1,2,...ρ ο αριθμός των χρονικών υστερήσεων. Από τον έλεγχο για τη μορφή της παραπάνω συνάρτησης βρήκαμε ότι για ρ 2 έχουμε την καλύτερη μορφή της συνάρτησης. Από την εκτίμηση της συνάρτησης βρήκαμε ότι ο συντελεστής δ 2 της μεταβλητής NPC -1 έχει το στατιστικό 0.00217.
Έστω ότι η μορφή της συνάρτησης των Dickey Fuller είναι η παρακάτω: ΔC ρ δ 0 + δ 1 + δ 2C 1 + β iδc i + i 1 e όπου: i 1,2,...ρ ο αριθμός των χρονικών υστερήσεων. Από τον έλεγχο για τη μορφή της παραπάνω συνάρτησης βρήκαμε ότι για ρ 2 έχουμε την καλύτερη μορφή της συνάρτησης. Από την εκτίμηση της συνάρτησης βρήκαμε ότι ο συντελεστής δ 2 της μεταβλητής NPC -1 έχει το στατιστικό -2.4366.
Πίνακας: Έλεγχος των ADF και PP για την κατανάλωση Επίπεδο σημαντικότητας Σταθερά χωρίς τάση [ δ2 0.002172] Dickey - Fuller Σταθερά με τάση [ δ2-2.43656] Σταθερά χωρίς τάση [ δ2 0.269688] Phillip - Perron Σταθερά με τάση [ δ2-3.10004] 1% -3.8877-4.6193-3.8304-4.5348 5% -3.0521-3.7119-3.0294-3.6746 10% -2.6672-3.2964-2.6552-3.2762
Από τα αποτελέσματα του παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι και οι δύο έλεγχοι (ADF και PP) αποδέχονται τη μηδενική υπόθεση. Επομένως η χρονική σειράς της κατανάλωσης της ελληνικής οικονομίας παρουσιάζει μοναδιαία ρίζα, δηλαδή είναι μη στάσιμη χρονική σειρά. Επίσης από τον ίδιο πίνακα παρατηρούμε ότι οι κρίσιμες τιμές του MacKinnon είναι σχεδόν ίδιες με αυτές που παρουσιάζουν οι Phillip Perron. Κάτι που επίσης μπορεί να επισημανθεί στον πίνακα αυτό είναι ότι οι λόγοι ADF για το συντελεστή δ 2 είναι μικρότεροι από τους λόγους PP για τον ίδιο συντελεστή. Αυτό σημαίνει ότι με τον έλεγχο των Phillip Perron έχουμε μεγαλύτερη πιθανότητα να μη απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση για μοναδιαία ρίζα στη μεταβλητή που εξετάζουμε.
Εποχικές μοναδιαίες ρίζες Πολλές φορές το φαινόμενο που μελετάται είναι δυνατόν να επηρεάζεται από τη χρονική περίοδο στην οποία αναφέρεται. Η μελέτη τέτοιων εποχικών επιδράσεων δεν μπορεί να γίνει με τη διερεύνηση ετήσιων χρονικών σειρών, αλλά με την αντίστοιχη μικρότερη του έτους χρονική μονάδα μέτρησης των στοιχείων. Η χρησιμοποίηση των ψευδομεταβλητών βοηθά για τη μέτρηση και την απαλοιφή αυτών των εποχικών επιδράσεων και χρησιμοποιήθηκε από όλους σχεδόν τους ερευνητές. Όταν μία χρονική σειρά Χ μετράται φορές το χρόνο, οι Dickey e. al. (1984) πρότειναν τη χρησιμοποίηση της παρακάτω εξίσωσης παλινδρόμησης:
όπου και όπου τα αποτελούν εκτιμήσεις των που λαμβάνονται από την παρακάτω παλινδρόμηση: + Δ + Ζ Ζ Δ p X 1 ε δ δ Ζ Ζ Ζ Δ Ζ h X X 1 ˆλ λˆ λ
Δ X h 1 λ Δ Οι Oborn e. al. (1998) αντί για τη χρησιμοποίηση του Δ Ζ ως εξαρτημένης μεταβλητής στην εξίσωση της παλινδρόμησης πρότειναν τη μεταβλητή Δ X. Στην απλή περίπτωση που είναι καθαρά προσδιοριστικό το εποχικό σχήμα μιας χρονικής σειράς Χ και μετράται φορές ανά χρονική περίοδο, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η παρακάτω εξίσωση παλινδρόμησης. Δ nˆ X + δnˆ n p 1 + δ Δ nˆ + 1 ε
nˆ όπου είναι τα εκτιμημένα κατάλοιπα των που προήλθαν από την παρακάτω εξίσωση παλινδρόμησης. n X α + 1 1 α D + n όπου D αποτελούν 1 ψευδομεταβλητές. Δηλαδή, με άλλα λόγια το nˆ θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι αποτελεί μία εποχικά προσαρμοσμένη χρονικήσειράκαιθαμπορούσεναχρησιμοποιηθεί στη θέση της Χ.
Στη συνέχεια, για τον έλεγχο των μοναδιαίων ριζών χρησιμοποιούνται οι συνηθισμένοι έλεγχοι των Dickey Fuller (1979) σχετικά με το συντελεστή δ. Πρέπει να σημειώσουμε εδώ ότι στην περίπτωση που η προς διερεύνηση χρονική σειρά προέρχεται από εκτίμηση (όπως η χρονική σειρά nˆ ), τότε τα στατιστικά των Dickey Fuller και MacKinnon, δεν είναι αξιόπιστα. Αυτό συμβαίνει επειδή ο συντελεστής δ παρουσιάζει μία μεροληψία προς τις χαμηλότερες τιμές, ή με άλλα λόγια παρουσιάζει μία μεροληψία προς τη στασιμότητα, οπότεμεταστατιστικάτων Dickey Fullerκαι MacKinnon, είναι πολύ πιθανόν να απορριφθεί εσφαλμένα η μηδενική υπόθεση. Στις περιπτώσεις αυτές είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούνται τα στατιστικά των Davinon and MacKinnon (1993), τα οποία είναι περισσότερο αρνητικά.
Αν η χρονική σειρά είναι εκφρασμένη σε τριμηνιαία στοιχεία, οπότε επειδή η μεταβλητή αυτή έχει τέσσερα επίπεδα ( 4) μπορούμε να κατασκευάσουμε τρεις ψευδομεταβλητές ( 1 3) ως εξής: 1, D2 0 όταν η περ ίοδος όταν η περ ίοδος αναφ έρεται στο δεύτερο τρί μηνο δεν αναφέρεται στο δεύτερο τρί μηνο 1, D3 0 όταν όταν η περίοδος η περίοδος αναφέρεται στο τρίτο τρίμηνο δεν αναφέρεται στο τρίτο τρίμηνο 1, D4 0 όταν η περίοδος όταν η περίοδος αναφέ ρεται στο τέταρτο τρίμηνο δεν αναφέρεται στο τέταρτο τρίμηνο
Αν η χρονική σειρά είναι εκφρασμένη σε μηνιαία στοιχεία, τότε η μεταβλητή έχει δώδεκα επίπεδα ( 12) οπότε με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να κατασκευάσουμε ένδεκα ψευδομεταβλητές ( 1 11).