Κατακόρυφα διαχρονικά δίκτυα Η ανάλυση διαχρονικών παρατηρήσεων γεωµετρικής χωροστάθµησης, βαρύτητας και βάσεων GPS στο δίκτυο της Βόλβης

Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Επιστηµονική Επετηρίδα Πολυτεχνικής Σχολής Χατζηδάκης Π. Νικόλαος Κατακόρυφα διαχρονικά δίκτυα Η ανάλυση διαχρονικών παρατηρήσεων γεωµετρικής χωροστάθµησης, βαρύτητας και βάσεων GPS στο δίκτυο της Βόλβης ιδακτορική ιατριβή που υποβλήθηκε στο Τµήµα Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του ΑΠΘ Τµήµα Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών Θεσσαλονίκη 7

Πρόλογος Η πρόγνωση του σεισµού είναι ένα από τα βασικότερα προβλήµατα που απασχολεί τις περισσότερες γεωεπιστήµες και απαιτεί διαχρονική παρακολούθηση διαφόρων φυσικών φαινοµένων που σχετίζονται τόσο µε ένα σεισµό όσο και µε την πρόγνωσή του. Κατά συνέπεια, οι κατακόρυφες µετακινήσεις αποτελούν ένα σηµαντικό στοιχείο διαχρονικής µελέτης και εξαγωγής συµπερασµάτων για πιθανές µεταβολές που οφείλονται σε τεκτονική διεργασία. Οι γεωδαιτικές παρατηρήσεις αποτελούν µία αξιόπιστη πηγή πληροφορίας για την περιγραφή των κατακόρυφων µικροµετακινήσεων µιας ενεργά τεκτονικά περιοχής. Στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής το πρόβληµα εστιάστηκε στο παραπάνω ζήτηµα αξιοποιώντας εργαλεία της στατιστικής ανάλυσης και των τοπογραφικών δικτύων µε το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας. Σκοπός ήταν η αξιοποίηση όλων των γεωδαιτικών παρατηρήσεων (βάσεις GPS, χωροσταθµικές οδεύσεις, απόλυτες τιµές βαρύτητας) για την εξαγωγή συµπερασµάτων στην λεκάνη της Μυγδονίας. Η εκπόνηση της διδακτορικής διατριβής άρχισε το Φεβρουάριο του 3 και διήρκησε περίπου πέντε (5) έτη. Αξίζει να σηµειωθεί ότι η συνολικότερη προσπάθεια άρχισε τον Ιανουάριο του 997 στα πλαίσια της διπλωµατικής εργασίας µε τίτλο Κατακόρυφα δίκτυα από την σκοπιά της Ολοκληρωµένης Γεωδαισίας και την διπλωµατική εργασία στα πλαίσια του µεταπτυχιακού προγράµµατος σπουδών µε τίτλο Οι συναρτήσεις συµµεταβλητότητας στην ταυτόχρονη συνόρθωση παρατηρήσεων GPS, χωροστάθµησης και ανωµαλιών βαρύτητας. Στο σηµείο αυτό έχω υποχρέωση να ευχαριστήσω θερµά τον καθηγητή και δάσκαλό µου κ. Ρωσσικόπουλο ηµήτριο, που η επιστηµονική του εµπειρία και κατάρτιση στα πλαίσια της σχέσης δασκάλου µαθητή µε βοήθησαν να ολοκληρωθώ ως νεαρός επιστήµονας. Επίσης θερµές ευχαριστίες εκφράζω σε όλα τα µέλη ΕΠ του Τοµέα Γεωδαισίας και Τοπογραφίας οι οποίοι από τα φοιτητικά µου χρόνια µου συνέβαλλαν στην ολοκλήρωση της επιστηµονικής µου ταυτότητας και φυσιογνωµίας και πιο συγκεκριµένα στους κ. ερµάνη Αθανάσιο, Καθηγητή ο οποίος παρότρυνε την συνέχιση της µεταπτυχιακής µου εργασίας και κ. Τζιαβό Ηλία, Καθηγητή για θέµατα που σχετίζονται µε το πεδίο βαρύτητας. Η παρούσα διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε στο Τµήµα Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών του ΑΠΘ. Η επταµελής εξεταστική επιτροπή είναι

.Ρωσσικόπουλος ηµήτριος, Καθηγητής ΑΠΘ, επιβλέπων. ερµάνης Αθανάσιος, Καθηγητής ΑΠΘ, µέλος συµβουλευτικής επιτροπής 3.Τζιαβός Ηλίας, Καθηγητής ΑΠΘ, µέλος συµβουλευτικής επιτροπής 4.Κατσάµπαλος Κωνσταντίνος, Καθηγητής ΑΠΘ 5.Φωτίου Αριστείδης, Καθηγητής ΑΠΘ 6.Τοκµακίδης Κωνσταντίνος, Αναπληρωτής Καθηγητής ΑΠΘ 7.Πικριδάς Χρήστος, Επίκουρος Καθηγητής ΑΠΘ

Summary Heght dfferences from geometrc levelng, gravty and GPS measurements carred out from 979 untl now n the network of Volv area are systematcally analyzed. Varous methods and algorthmc technques based on ntegrated approach are rgorously appled n order to extract a more relable estmaton of the vertcal components of the deformaton feld. Sgnals,.e. the gravty feld parameters, ther varatons n tme and the vertcal dsplacements are treated n a combned analytcalstochastc approach. Fnally the nterpretaton of the results at the nterestng area of the Volv Lake s attempted. The estmaton of dsplacement and especally the heght dfferences at Volv area s very mportant n Greece due to ts sesmc actvty. Volv area s located at northern Greece (Central Macedona) and 4Km from the cty of Thessalonk. Volv take up an area of X5km ncludng two lakes (Lagada and Volv) and s consdered as a geodynamcally nterestng area. The largest earthquake took place n May 3, 978 (Ms= 5.8), June 9, 978 (Ms= 5.) and June, 978 (Ms= 6.) followed by a seres of postsesmc actvty affected socally and fnancally the cty of Thessalonk. In order to study the geodynamcal behavour and nvestgate the crustal movements a geodetc and gravmetrc network was establshed wth 6 and 6 pllars respectvely. Classcal measurements are avalable for the epoch 979, gravty measurements took place n 979 and 999 whle GPS measurements performed n 994, 995, 996 and 3. Integrated geodesy n tme deals wth the analyss of the above observatons for the study of network geometry and ts varaton wth tme, when these observatons depend on the gravty feld of the earth and ts temporal varaton. Integrated adjustment has been ntroduced as a rgorous adjustment of observatons wth both geometrc and gravmetrc nformaton usng precse mathematcal goals. Furthermore, ntegrated geodesy s a method for the adjustment of observatons dependng not only on dscrete parameters but also on unknown functons. Parameters appearng n the mathematcal model can be treated as: a) determnstc b) stochastc c) analytcal stochastc way and these leads to an adjustment wth sgnals. Geodetc-gravmetrc network deals wth GPS baselnes, levelng and gravty observatons n dfferent epochs so orthometrc heghts are much easer to calculate. The object of the present dssertaton s the smultaneously analyss of GPS baselnes wth classcal geodetc observatons (angles and heght dfferences) and physcal data related to the gravty feld (devatons of the vertcal, ntensty of gravty feld) and/or sesmologcal data (geophyscal model, P waves) wth models of ntegrated geodesy, havng as man purpose the estmaton of orthometrc heghts. In the frst chapter nformatons are gven about the reference frames and the relatonshps between them. An extensve reference s made to concepts and defntons n relaton wth heghts. In the second chapter modellng alternatves n deformaton measurements are gven. In the thrd chapter the lnearzed observaton equatons are

analyzed for the global postonng system GPS, heght dfferences, gravty and sesmc waves. In the fourth chapter analytcal and stochastc models are presented for vertcal movements. Moreover, n the ffth chapter the covarance of the gravty feld s gven and the models of the covarance functons are presented (exponental, Relly, Mortz, Posson). In the sx chapter the heght dfferences n Volv area s presented. Sgnals s take for granted that are unchangeably from 994 unt 3 but gravty measurements whch took place n 979 and 999 are changed snce ponts are moved. That smplfes the mathematcal model and makes calculatons easer. In the end, we wll defne ntegrated geodesy as a powerful mathematcal tool whch manpulates physcal and geometrcal observatons measured n dfferent epochs makng sgnal connecton by the covarance gravty model. Heght dfferences calculated wth hgh accuracy. Also, the bggest heght dfferences occurred near to ponts whch ndcate the epcentre of the earthquakes. In the seven chapter conclusons are gven comng from dfferent solutons.

Στους γονείς µου, στην Βάσω και την Χρύσα Η γεωµετρία ενός τόπου είναι παράγωγο της σύστασής του. Εννοώ µ' αυτό τον όρο τη φύση της ύλης απ' όπου είναι πλασµένος, καθώς και τη φύση των λογής δυνάµεων που επέδρασαν και επιδρούν ακόµα απάνω του. Η φύση της ύλης ανάγεται στη χηµεία, που την κυβερνά, όπως όλα, ο Αριθµός. Αλλά το έργο των εξωτερικών δυνάµεων (της φωτιάς, του νερού, των σεισµών...), παρότι κι αν στα µάτια του ανθρώπου φαίνεται ωσάν ακυβέρνητο τυφλό και τυχαίο, είναι στο βάθος τόσο αυστηρά υπολογισµένο απ' τη Φύση όσο και η αύξηση του λεπτότερου πλάσµατος µέσα στο Σύµπαν. ηµήτρης Πικιώνης Συναισθηµατική Τοπογραφία 935

Περιεχόµενα. Εισαγωγή. Γενικά... Το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας.....3 Το αντικείµενο της συγκεκριµένης διατριβής.. 3. Επιφάνεια αναφοράς και υψόµετρα. Γενικά... 7. Το γεωειδές.. 7.3 Το ελλειψοειδές εκ περιστροφής. 8.4 υναµικό έλξης υναµικό βαρύτητας...5 υναµικά υψόµετρα...6 Ορθοµετρικά υψόµετρα... 3.7 Κανονικά υψόµετρα. 5.8 Σχέση σύνδεσης των υψοµέτρων.. 6 3. Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού των κατακόρυφων µετακινήσεων 3. Γενικά 9 3. Η µέθοδος της αναλυτικής παρεµβολής... 3.3 Η µέθοδος της σηµειακής προσαρµογής.. 3.4 Η ταυτόχρονη συνόρθωση των διαχρονικών παρατηρήσεων.. 3.5 Κατακόρυφες µετακινήσεις από επαναλαµβανόµενες µετρήσεις του πεδίου βαρύτητας... 5 4.Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 4. Η ολοκληρωµένη γεωδαισία και τα υψόµετρα. 3 4. Οι εξισώσεις παρατήρησης των διαχρονικών υψοµετρικών διαφορών.. 38 4.3 Στοχαστική αντιµετώπιση των µεταβολών του πεδίου βαρύτητας στον χώρο και τον χρόνο. 4 4.4 Κατακόρυφες µετακινήσεις σε αµετάβλητο πεδίο βαρύτητας. 43 4.5 Το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας και η χρήση γεωφυσικών δεδοµένων... 44 5. Συναρτήσεις συµµεταβλητότητας του πεδίου βαρύτητας 5. Γενικά... 47 5. Ο υπολογισµός της συνάρτησης συµµεταβλητότητας. 49 5.3 Η προσαρµογή της συνάρτησης συµµεταβλητότητας σε δεδοµένα του πεδίου βαρύτητας... 5 5.4 Οι συµµεταβλητότητες των σηµάτων.. 56 5.5 Χωροχρονική συνάρτηση συµµεταβλητότητας... 59 5.6 Προσαρµογή δεδοµένων και υπολογισµός των παραµέτρων χωροσχρονικών συναρτήσεων συµµεταβλητότητας του πεδίου βαρύτητας... 6 5.7 Η στοχαστική σύνδεση των µετακινήσεων και των σηµάτων του πεδίου βαρύτητας.. 6 6. Η εκτίµηση των κατακόρυφων µετακινήσεων στο δίκτυο της Βόλβης 6. Γενικά.. 65 6. Οι χωριστές συνορθώσεις ανά εποχή... 67 6.. Το χωροσταθµικό δίκτυο 67 6.. Το βαρυτηµετρικό δίκτυο... 68 6..3 Το δίκτυο GPS 7 6.3 Χωριστές συνορθώσεις των παρατηρήσεων GPS µε το µοντέλο της

ολοκληρωµένης γεωδαισίας στην στοχαστική αντιµετώπιση των σηµάτων.... 7 6.4 Ντετερµινιστική αντιµετώπιση των συντεταγµένων διατηρώντας το πεδίο βαρύτητας αµετάβλητο 76 7. Συµπεράσµατα Προτάσεις 83 Βιβλιογραφία... 87 Παράρτηµα 93

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ h: γεωµετρικό υψόµετρο H: ορθοµετρικό υψόµετρο N: αποχή του γεωειδούς V: δυναµικό έλξης Φ: φυγοκεντρικό δυναµικό W: δυναµικό της γήινης βαρύτητας a: µεγάλος ηµιάξονας του ΕΕΠ b: µικρός ηµιάξονας του ΕΕΠ γ: κανονική βαρύτητα km: γινόµενο σταθεράς παγκόσµιας έλξης µε την µάζα της γης ω: γωνία περιστροφής της γης V e : γήινο δυναµικό έλξης R: µέση ακτίνα της γης P nm : κανονικοποιηµένη συνάρτηση Legendre r,θ,λ: σφαιρικές πολικές συντεταγµένες g: βαρύτητα C p : γεωδυναµικός αριθµός ζ: ανωµαλία ύψους d: µήκος συσχέτισης S: απόσταση σηµείων Σ : µεταβλητότητα δt: χρονική διαφορά R : ρυθµός κατακόρυφης µετακίνησης Α : πλάτος παλίρροιας θ : φάση παλίροιας φ: γεωδαιτικό πλάτος λ: γεωδαιτικό µήκος ρ: µέση πυκνότητα στα ανώτερα στρώµατα της λιθόσφαιρας ε x,ε y,ε z : γωνίες στροφής µεταξύ του συστήµατος WGS84 και του συστήµατος της συνόρθωσης λ: συντελεστής κλίµακας Ν: ακτίνα καµπυλότητας Τ: διαταρακτικό δυναµικό δ ρ: σχετικό τροποσφαιρικό σφάλµα l: ενδιάµεσες αναγνώσεις στην σταδία X,Y,Z: καρτεσιανές συντεταγµένες v p : ταχύτητες σεισµικών κυµάτων C: εµπειρική συνάρτηση Κ g : συνάρτηση µοντέλο ανωµαλιών βαρύτητας A: αζιµούθιο µ: µέση τιµή

Εισαγωγή. Γενικά Η πρόγνωση του σεισµού είναι ένα από τα βασικότερα προβλήµατα που απασχολεί τις περισσότερες γεωεπιστήµες και απαιτεί τη διαχρονική παρακολούθηση διαφόρων φυσικών φαινοµένων που σχετίζονται µε τον σεισµό. Οι γεωδαιτικές µέθοδοι κατέχουν σηµαντική θέση ανάµεσα στις άλλες µεθόδους πρόγνωσης, καθώς οδηγούν σε αξιόπιστα και ασφαλή συµπεράσµατα. Βασίζονται στη δηµιουργία ενός γεωδαιτικού δικτύου, στη µέτρησή του σε διάφορές εποχές και στη µελέτη των διαχρονικών µεταβολών του σχήµατος και του µεγέθους του δικτύου. Ανάµεσα στα άλλα και οι κατακόρυφες µετακινήσεις αποτελούν ένα σηµαντικό στοιχείο διαχρονικής µελέτης και εξαγωγής συµπερασµάτων για µεταβολές που οφείλονται σε τεκτονική διεργασία. Τα τελευταία χρόνια οι µέθοδοι και οι τεχνικές των παρατηρήσεων παρουσιάζουν µία σηµαντική ανάπτυξη. Ανάλογη της προόδου αυτής είναι και η διαθεσιµότητα σε δεδοµένα. Ο µεγάλος αριθµός των διαθέσιµων δεδοµένων έχει επιδράσει θετικά σε ένα πλήθος γεωεπιστηµών που ασχολούνται µε το πρόβληµα των µικροµετακινήσεων και ιδιαίτερα όταν τα δεδοµένα αυτά αναφέρονται σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. Η επιστήµη της φυσικής γεωδαισίας ασχολείται κυρίως µε την µελέτη και την συµπεριφορά του γήινου πεδίου βαρύτητας. Άρα η βασική έννοια στην σύνδεση κλασσικών και σύγχρονων γεωδαιτικών παρατηρήσεων ή ετερογενών γεωδαιτικών δεδοµένων µε σεισµικά δεδοµένα (γεωφυσικά µοντέλα, ταχύτητες σεισµικών κυµάτων) µπορεί να γίνει µέσα από το πεδίο βαρύτητας ή πιο συγκεκριµένα µέσα από τα σήµατα του πεδίου βαρύτητας. Η ανάγκη δηµιουργίας λύσεων υψηλής ακρίβειας οδήγησε στην λογική επεξεργασίας δορυφορικών δεδοµένων (π.χ. βάσεις GPS) µε επίγειες κλασσικές µετρήσεις. Η ταυτόχρονη αντιµετώπιση των σύγχρονων δορυφορικών µετρήσεων µε επίγειες κλασσικές µετρήσεις αποτέλεσε ένα από τα σηµαντικότερα προβλήµατα και θα

Εισαγωγή οδηγήσει σε λειτουργικές λύσεις στον χώρο της γεωδαισίας µε ταχείες και ακριβείς µεθόδους. Η εξέλιξη της σύγχρονης τεχνολογίας µπορεί να βοηθήσει στην κατανόηση των κατακόρυφων µετακινήσεων και την άµεση παρακολούθηση τους. Στη διατριβή αυτή αναλύονται µέθοδοι επεξεργασίας ετερογενών και δεδοµένων που είναι διαθέσιµα σε διαφορετικές χρονικές περιόδους µε σκοπό τον προσδιορισµό κατακόρυφων µικροµετακινήσεων. ίνεται έµφαση στην ανάλυση των παρατηρήσεων γεωµετρικής χωροστάθµησης, της έντασης του πεδίου βαρύτητας και βάσεων GPS που έγιναν στο δίκτυο Βόλβης από το 98 µέχρι πρόσφατα. Γίνεται επίσης προσπάθεια σύνδεσης των γεωδαιτικών δεδοµένων µε γεωφυσικά µοντέλα και σεισµικά δεδοµένα. Για το σκοπό αυτό το δίκτυο Βόλβης αντιµετωπίζεται µε τις αρχές της ολοκληρωµένης γεωδαισίας.. Το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας Για την βέλτιστη επιλογή του µαθηµατικού µοντέλου κατά τους υπολογισµούς των δικτύων ελέγχου υψηλής ακρίβειας είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη, πέρα από τις γεωµετρικές παραµέτρους και οι παράµετροι που σχετίζονται µε το γήινο πεδίο βαρύτητας. Τα δίκτυα που υπολογίζονται µε αυτήν την λογική ονοµάζονται τρισδιάστατα ολοκληρωµένα δίκτυα. Στην τρισδιάστατη αντιµετώπιση των δικτύων η αλληλεπίδραση ανάµεσα στα µετρούµενα γεωµετρικά τους στοιχεία εκφράζεται µε την βοήθεια των συνιστωσών απόκλισης της κατακορύφου, που υπεισέρχονται στο µαθηµατικό µοντέλο των παρατηρήσεων ως νέες άγνωστοι παράµετροι. Οι συνιστώσες απόκλισης της κατακορύφου συνδέονται µε το διαταρακτικό δυναµικό. Τέτοιες παράµετροι οι οποίες εξαρτώνται από κάποια άγνωστη συνάρτηση, ονοµάζονται σήµατα. Η ιδέα της τρισδιάστατης αντιµετώπισης των δικτύων ξεκινάει το 878 από τον Bruns, όπου χρησιµοποιούνται επίγειες γεωµετρικές παρατηρήσεις και λαµβάνονται υπόψη οι αποκλίσεις της κατακορύφου. Θεµελιωτής της τρισδιάστατης ολοκληρωµένης γεωδαισίας είναι ο A.Maruss (95) που γενικεύει τη διαφορική γεωµετρία του Gauss στην τοπική µελέτη του γήινου πεδίου βαρύτητας. Την έννοια της ολοκληρωµένης γεωδαισίας αρχικά εισήγαγαν οι Eeg and Krarup (975), οι οποίοι έδωσαν την ιδέα για την ανάλυση όλων των δεδοµένων, που σχετίζονται τόσο µε το γήϊνο πεδίο βαρύτητας τη γης, όσο και µε τις κλασσικές γεωµετρικές γεωδαιτικές παρατηρήσεις, οι οποίες σχετίζονται µε την έννοια της βαρύτητας, µέσω της τοπικής διεύθυνσης της κατακορύφου. Στην εργασία τους επεκτείνονται στην συνόρθωση των παρατηρήσεων, όταν στις άγνωστες παραµέτρους του µοντέλου συµπεριλαµβάνονται και µεγέθη που σχετίζονται µε το γήϊνο πεδίο βαρύτητας (σήµατα). Στη συνέχεια από τον ερµάνη (979) τα σήµατα λαµβάνονται σαν άγνωστες παράµετροι που εξαρτώνται από κάποια άγνωστη συνάρτηση και γίνεται ανάλυση ενός γενικευµένου µοντέλου συνόρθωσης παρατηρήσεων. Η αντιµετώπιση των σηµάτων παρουσιάζεται ως ντετερµινιστική (άγνωστα τα σήµατα) αλλά και ως στοχαστική.

Εισαγωγή 3 Σύµφωνα µε τα παραπάνω, στην στοχαστική αντιµετώπιση των σηµάτων υπάρχει και η δυνατότητα της ταυτόχρονης χρησιµοποίησης πληροφορίας σχετικής µε το γήινο πεδίο βαρύτητας. Έτσι σαν επιπλέον παρατηρήσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν οι αστρονοµικές παρατηρήσεις, οι αποχές του γεωειδούς και οι απόλυτες (ή σχετικές) τιµές έντασης του πεδίου βαρύτητας. Η παραπάνω συµπλήρωση του µαθηµατικού µοντέλου επιλύει το πρόβληµα της αγνόησης της αλληλεξάρτησης των γεωµετρικών παραµέτρων µε ποσότητες του πεδίου βαρύτητας, πράγµα το οποίο συµβαίνει στα κλασσικά τοπογραφικά δίκτυα. Η εισαγωγή των σηµάτων και η µεταβολή τους στον χρόνο οδηγεί στα τετραδιάστατα ολοκληρωµένα δίκτυα (Hen 98, Ρωσσικόπουλος 986, Coller 988). Οι παρατηρήσεις δεν εξαρτώνται από την γεωµετρία και το πεδίο βαρύτητας σε κάποια συγκεκριµένη εποχή, αλλά και από το πεδίο των διαχρονικών τους µεταβολών. Τα σήµατα που εµφανίζονται είναι αφενός µεν οι συντεταγµένες των σηµείων σε κάθε εποχή ή οι διαχρονικές τους µεταβολές, και αφετέρου τα σήµατα του πεδίου βαρύτητας, ορισµένα στον χώρο και τον χρόνο, ή οι διαχρονικές τους µεταβολές. Απλοποίηση των τετραδιάστατων ολοκληρωµένων δικτύων αποτελούν τα κατακόρυφα διαχρονικά ολοκληρωµένα δίκτυα. Εφαρµογές αυτής της µορφής των δικτύων δόθηκαν από τους Hen (985), ερµάνης (994), Hatjdaks and Rosskopoulos ()..3 Το αντικείµενο της διατριβής Στην διδακτορική αυτή διατριβή γίνεται προσπάθεια υπολογισµού κατακόρυφων µετακινήσεων µε την βοήθεια δικτύων ολοκληρωµένης γεωδαισίας δηλαδή δικτύων υψηλής ακρίβειας που στοχεύουν στην ταυτόχρονη ανάλυση γεωµετρικών παρατηρήσεων µε παρατηρήσεις σχετικές µε το πεδίο βαρύτητας, σε αντίθεση µε τα κλασικά δίκτυα όπου τα δεδοµένα του πεδίου βαρύτητας θεωρούνται γνωστά, χωρίς σφάλµατα, και χρησιµοποιούνται για την αναγωγή των παρατηρήσεων. Το κύριο πρόβληµα που αντιµετωπίζεται είναι η ταυτόχρονη ανάλυση ετερογενών παρατηρήσεων που έγιναν στο δίκτυο Βόλβης σε διαφορετικές χρονικές περιόδους, µέσα από ένα µεταβλητό ή αµετάβλητο πεδίο βαρύτητας. Η εργασία αυτή λοιπόν έχει ως σκοπό την εξαγωγή συµπερασµάτων για την κατακόρυφη µετακίνηση της λεκάνης της Μυγδονίας, που βρίσκεται µεταξύ των λιµνών Βόλβη και Λαγκαδά, όπου παρουσιάζεται έντονη τεκτονική δραστηριότητα, λαµβάνοντας υπόψη τα γεωδαιτικά δεδοµένα που είναι διαθέσιµα στην περιοχή από το 979 µέχρι σήµερα. Ο κύριος σεισµός συνέβη στις Ιουνίου 978 µε µέγεθος Μ S = 6.5. Αξιοσηµείωτο είναι ότι εκείνη την περίοδο είχαν προηγηθεί δύο µεγάλοι σεισµοί µε µεγέθη Μ S = 5.8 (3.5.78) και Μ S = 5. (9.6.78) µε κύριο αποτέλεσµα την εµφάνιση γραµµών διάρρηξης στην επιφάνεια της γης. Το γεωδαιτικό δίκτυο αποτελείται από σηµεία εκ των οποίων τα 6 αποτελούσαν το αρχικό δίκτυο του 979. Το 994 προστέθηκαν άλλα τέσσερα (4) σηµεία. Αξίζει να σηµειωθεί ότι το δίκτυο είναι υψηλής ακριβείας και καταλαµβάνει έκταση x5 km περίπου.

Εισαγωγή 4 Το βαρυτηµετρικό δίκτυο εγκαταστάθηκε µε αφορµή το σεισµό της Θεσσαλονίκης (.6.78) λίγο µετά το συµβάν στην ευρύτερη περιοχή. Αφορά ένα σύνολο είκοσι πέντε (5) σηµείων όπου η γεωγραφική τους θέση περιλαµβάνεται µεταξύ των ορίων από o o o o 4 6 ϕ 4 8 έως 3 λ 3 7 περίπου. Οι παρατηρήσεις αφορούν χωροσταθµικές οδεύσεις κατά την περίοδο 979, παρατηρήσεις βαρύτητας για τις περιόδους 979, 98 και 999, ενώ κατά τις χρονικές εποχές 994, 995, 996 και 3 υπάρχουν παρατηρήσεις βάσεων GPS. Επιπλέον διαθέσιµο ήταν ένα πλέγµα ανωµαλιών βαρύτητας ελευθέρου αέρα µε στοιχεία o o o o 4 5 ϕ 4 και 5 λ 4 5. Ο αριθµός των τιµών ανωµαλιών βαρύτητας ελευθέρου αέρα ανέρχεται σε 576. Οι τιµές αυτές αναφέρονται στο διεθνές σύστηµα βαρύτητας IGSN7 και στο γεωδαιτικό ελλειψοειδές αναφοράς GRS8. Το διαθέσιµο πλέγµα τιµών ανωµαλιών ελευθέρου αέρα χρησιµοποιήθηκε για τον υπολογισµό των αγνώστων παραµέτρων (µεταβλητότητα σ g και µήκος συσχέτισης d) της συνάρτησης συµµεταβλητότητας. Όπως είναι γνωστό από τις µετρήσεις GPS προκύπτουν τα γεωµετρικά υψόµετρα (h), που αναφέρονται στο ελλειψοειδές του γεωδαιτικού συστήµατος που χρησιµοποιείται και όχι τα ορθοµετρικά (Η), που αναφέρονται στο γεωειδές. Η µετατροπή γίνεται µε την βοήθεια της σχέσης Η = h N, όπου Ν είναι το υψόµετρο του γεωειδούς. Αν και το σύστηµα GPS δίνει πληροφορία και για τις τρεις διαστάσεις, περίπου ίσης ακρίβειας, η ακρίβεια των ορθοµετρικών υψοµέτρων που προκύπτουν από παρατηρήσεις GPS και βαρύτητας, καθορίζεται από την ακρίβεια του γεωειδούς, η οποία στην καλύτερη περίπτωση για τοπικά γεωειδή είναι της τάξης των µερικών εκατοστών. Στην περίπτωση της ολοκληρωµένης γεωδαισίας τα υψόµετρα του γεωειδούς θεωρούνται άγνωστες παράµετροι που σχετίζονται µε το πεδίο βαρύτητας (σήµατα). Οι παρατηρήσεις του συστήµατος GPS αναλύονται διαχωρίζοντας την πληροφορία τη σχετική µε τη θέση των σηµείων του δικτύου σε ένα οριζόντιο (φ,λ) και ένα κατακόρυφο µέρος (h). Οι οριζόντιες συντεταγµένες (φ, λ) θεωρούνται γνωστές και τα άγνωστα γεωδαιτικά υψόµετρα διαχωρίζονται σε ορθοµετρικά (Η) και υψόµετρα του γεωειδούς (Ν) µέσω της σχέσης h = H + N. Για να είναι εκτιµήσιµα τα ορθοµετρικά υψόµετρα Η και οι αποχές του γεωειδούς Ν, αναλύονται ταυτόχρονα παρατηρήσεις γεωµετρικής χωροστάθµησης ή/και παρατηρήσεις σχετικές µε το πεδίο βαρύτητας σε ορισµένα σηµεία. Οι παρατηρήσεις του πεδίου βαρύτητας πρέπει να είναι µετρήσεις που έγιναν στην περιοχή (π.χ. της έντασης του πεδίου βαρύτητας). Στο επόµενο κεφάλαιο γίνεται µια σύντοµη αναφορά στον ορισµό των υψοµέτρων (δυναµικών, κανονικών, ορθοµετρικών και γεωδαιτικών) και των επιφανειών αναφοράς που ορίζει το καθένα. Στο τέλος του κεφαλαίου δίνεται ο τρόπος σύνδεσης των ορθοµετρικών και γεωµετρικών υψοµέτρων. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφέρονται οι µέθοδοι προσδιορισµού κατακόρυφων µικροµετακινήσεων που αναφέρονται στη σχετική βιβλιογραφία. Πιο συγκεκριµένα, γίνεται αναφορά στην εφαρµογή της αναλυτικής και στοχαστικής παρεµβολής, στην ταυτόχρονη ανάλυση των διαχρονικών παρατηρήσεων µε άγνωστες παραµέτρους τις µετακινήσεις καθώς και στον προσδιορισµό κατακόρυφων µετακινήσεων από δεδοµένα του πεδίου βαρύτητας. Στο τέταρτο κεφάλαιο δίνονται οι εξισώσεις παρατήρησης για τις βάσεις GPS, την απόλυτη

Εισαγωγή 5 τιµή βαρύτητας και τις χωροσταθµικές οδεύσεις για µία ή περισσότερες εποχές. Στο πέµπτο κεφάλαιο αντιµετωπίζεται το πρόβληµα επιλογής της συνάρτησης συµµεταβλητότητας του πεδίου βαρύτητας, ορισµένης στον χώρο ή στον χώρο και τον χρόνο. Επιπλέον, γίνεται προσαρµογή της συνάρτησης σε εµπειρικές τιµές δεδοµένων (κάνοντας χρήση του πλέγµατος ανωµαλιών βαρύτητας) και προσεγγίζεται η µεταβλητότητα βαρύτητας σ g µέσα από τα ίδια τα ετερογενή δεδοµένα (βάσεις GPS, χωροσταθµικά δεδοµένα και τιµές της βαρύτητας). Στο έκτο κεφάλαιο προσδιορίζονται οι κατακόρυφες µετακινήσεις από τις χωριστές συνορθώσεις τις κάθε εποχής ή την ταυτόχρονη συνόρθωση όλων των παρατηρήσεων µε το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας στην λεκάνη της Μυγδονίας. Στο έβδοµο κεφάλαιο δίνονται συµπεράσµατα που αφορούν στις µεθόδους συνόρθωσης και στην γεωφυσική ερµηνεία των αποτελεσµάτων. Για τη συνόρθωση των παρατηρήσεων του δικτύου Βόλβης µε το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας χρησιµοποιήθηκαν προγράµµατα σε γλώσσα Fortran PowerStaton v4., που προέκυψαν από προσαρµογή στο πρόγραµµα OHGPS (βλ. Χατζηδάκης και Πετρίδου 999) και στη συνέχεια συµπλήρωση για διαχρονικές παρατηρήσεις (στα πλαίσια της διατριβής αυτής) των προγραµµάτων ICONA του Τοµέα Γεωδαισίας και Τοπογραφίας.

Επιφάνειες αναφοράς και υψόµετρα. Γενικά Ο προσδιορισµός της θέσης ενός σηµείου γίνεται ως προς ένα σύστηµα αναφοράς. Η επιφάνεια αναφοράς είναι αυτή για την οποία το υψόµετρο είναι µηδέν. Στις γεωδαιτικές και τοπογραφικές εφαρµογές χρησιµοποιούνται επιφάνειες αναφοράς όπως αυτή του γεωειδούς, του σχεδόν γεωειδούς και του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής για τις οποίες αναφορά γίνεται παρακάτω. Όπως είναι γνωστό από τις µετρήσεις GPS προκύπτουν τα γεωµετρικά υψόµετρα (h), που αναφέρονται στο ελλειψοειδές του γεωδαιτικού συστήµατος που χρησιµοποιείται και όχι τα ορθοµετρικά (Η), που αναφέρονται στο γεωειδές. Η µετατροπή γίνεται µε την βοήθεια της σχέσης H = h N, όπου Ν είναι το υψόµετρο του γεωειδούς.. Το γεωειδές Κάθε σώµα στην επιφάνεια της γης υφίσταται την επίδραση της δύναµης έλξης F των µαζών της γης και της φυγόκεντρης δύναµης f λόγω περιστροφής της γης. Οι δυνάµεις αυτές είναι οι κλίσεις των αντίστοιχων δυναµικών της γης: του δυναµικού έλξης V και του φυγοκεντρικού δυναµικού Φ. Ισχύουν οι σχέσεις F = gradv, f =gradφ (.)

Επιφάνειες αναφοράς και υψόµετρα 8 Η συνολική δύναµη ανά µονάδα µάζας, δηλαδή η επιτάχυνση της βαρύτητας g, είναι το ανυσµατικό άθροισµα της δύναµης έλξης και της φυγόκεντρης δύναµης g = F + f = gradw (.) Έτσι ορίζεται το δυναµικό της γήινης βαρύτητας W για το οποίο ισχύει W = V + Φ (.3) Η ιδεατή στάθµη του νερού η οποία δεν συµπίπτει αναγκαστικά µε την µέση στάθµη της θάλασσας ονοµάζεται ισοδυναµική επιφάνεια και ισχύει η σχέση W(x, y,z) = σταθερό (.4) Η διεύθυνση του διανύσµατος της βαρύτητας σε κάθε σηµείο ορίζει την κατακόρυφη του τόπου. Η κατακόρυφη έχει την ιδιότητα να είναι κάθετη στην ισοδυναµική επιφάνεια του πεδίου βαρύτητας που διέρχεται από το συγκεκριµένο σηµείο. Σύµφωνα µε τον Gauss το γεωειδές αποτελεί προσέγγιση του µαθηµατικού σχήµατος της γης. Προκειµένου να περιγράψει την γη όρισε τo γεωειδές έτσι ώστε αυτό να προσεγγίζεται από την µέση στάθµη της θάλασσας. Το γεωειδές είναι η επιφάνεια βάσει της οποίας γίνονται οι µετρήσεις, οι υπολογισµοί και οι αναγωγές των µετρήσεων βαρύτητας..3 Το ελλειψοειδές εκ περιστροφής Το γεωειδές ως µαθηµατική επιφάνεια είναι πολύπλοκη. Για το λόγο αυτό η επιφάνεια του γεωειδούς είναι δύσχρηστη για τους σκοπούς της χαρτογραφίας και του προσδιορισµού θέσης. Έτσι εισήχθη µία εύκολη µαθηµατική επιφάνεια η οποία προκύπτει, αν περιστραφεί η έλλειψη γύρω από το µικρό της ηµιάξονα και περιγράφεται από την σχέση X + Y a + Z b = (.5) όπου a, b είναι ο µεγάλος και µικρός ηµιάξονας του ελλειψοειδούς. Ο άξονας Z έχει διεύθυνση προς τον Συµβατικό Επίγειο Πόλο (Conventonal Terrestral Pole

Επιφάνειες αναφοράς και υψόµετρα 9 CTP) του (984.) όπως αυτός προσδιορίστηκε από το BIH (Bureau Internatonal de l Heure). Αυτό έγινε προσδιορίζοντας τον συµβατικό επίγειο πόλο ως τη µέση διεύθυνση του άξονα περιστροφής της γης µεταξύ 9 και 95. Ο άξονας Χ έχει διεύθυνση προς την τοµή της επιφάνειας του µεσηµβρινού αναφοράς (µηδενικός µεσηµβρινός του BIH που προσδιορίστηκε την εποχή 984.) µε το επίπεδο του ισηµερινού. ιαφέρει από τον µεσηµβρινό του Greenwch κατά µερικά µέτρα. Ο άξονας Υ συµπληρώνει τους δύο προηγούµενους ώστε να είναι ορθογωνικός και να σχηµατίζει ένα δεξιόστροφο γεωδαιτικό σύστηµα αναφοράς. Η επιφάνεια της γης µπορεί να θεωρηθεί σφαιρική σε πρώτη προσέγγιση ή σαν ένα ΕΕΠ σε δεύτερη προσέγγιση. Επειδή το ΕΕΠ χρησιµοποιείται σαν µία επιφάνεια αναφοράς και αναγωγής των επιφανειακών παρατηρήσεων, αποτελεί το κανονικό σχήµα της γης. Στη φυσική γεωδαισία το ΕΕΠ χρησιµοποιείται ως µοντέλο του σχήµατος, αλλά και του πεδίου βαρύτητας της γης. Άρα, δεν είναι αρκετό να οριστούν µόνο οι διαστάσεις του ΕΕΠ, αλλά είναι απαραίτητο να οριστούν και οι παράµετροι που θα καθορίσουν το κανονικό πεδίο βαρύτητας του ΕΕΠ. Μπορεί να υποτεθεί ότι η µάζα που περικλείεται κάτω από την επιφάνεια του, είναι ίση µε τη µάζα της πραγµατικής γης και ότι περιστρέφεται µε τη γωνιακή ταχύτητα ω αυτής. Επίσης, σαν προϋπόθεση (χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο) µπορεί να υποτεθεί ότι η επιφάνεια του είναι ισοδυναµική επιφάνεια του κανονικού πεδίου βαρύτητας όπως ακριβώς µε το γεωειδές, το οποίο αποτελεί ισοδυναµική επιφάνεια του γήινου πεδίου βαρύτητας. Αυτό το οποίο πρέπει να αποφεύγεται είναι οι υποθέσεις για την κατανοµή των µαζών κάτω από την επιφάνεια του ΕΕΠ, γιατί το ίδιο ελκτικό πεδίο δηµιουργείται από άπειρες κατανοµές µαζών και πυκνοτήτων ή συνδυασµό αυτών κατά περίπτωση. Το ΕΕΠ περιγράφεται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του. Αυτά είναι οι ηµιάξονες a (µεγάλος), b (µικρός), το γινόµενο της σταθεράς της παγκόσµιας έλξης µε την µάζα της γης km και η ταχύτητα περιστροφής ω της γης. Οι ηµιάξονες α, b του ΕΕΠ ορίζουν το σχήµα του, το ΚΜ το πεδίο έλξης και το ω το φυγοκεντρικό δυναµικό. Η επιφάνεια του ΕΕΠ ορίζεται ως η ισοδυναµική επιφάνεια του κανονικού πεδίου βαρύτητας. Η δύναµη της κανονικής βαρύτητας γ του ΕΕΠ δεν αποτελεί κάποιο µέγεθος που να µπορεί να µετρηθεί στο πεδίο. Προσδιορίζεται µε κλειστές εκφράσεις, µία εκ των οποίων δόθηκε από τον Somglana aγ α cos φ + bγ b cos φ γ = (.6) a cos φ + b cos φ Οι ποσότητες γ a και γ b υπολογίζονται από τις σχέσεις

Επιφάνειες αναφοράς και υψόµετρα γ a γ b KM m me q = ( ) (.7) ab 6q KM me q = ( + ) (.8) a 3q και είναι οι τιµές της κανονικής βαρύτητας στον ισηµερινό και τους πόλους αντίστοιχα. Επιπλέον ισχύει ότι m q ab = ω KM, e E =, e = a E b και (.9) b q b E a E b = ( ) = (( + 3 ) tan( ) 3 ) (.) b E b b q = + E E a E 3 ( 3 )( tan( )) (.) b όπου E = a b είναι η γραµµική εκκεντρότητα και ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της γης. Η τιµή του ω σύµφωνα µε το συνέδριο της διεθνούς ένωσης Γεωδαισίας και Γεωφυσικής που έγινε στην Cambera το 979 είναι ίση µε 7.95* -5 rad / sec. Για ένα ΕΕΠ που περιγράφει την επιφάνεια της γης συνολικά, οι αποχές του γεωειδούς κυµαίνονται µεταξύ ± 5 m σε όλη την γήινη επιφάνεια. Για ένα ΕΕΠ προσαρµοσµένο σε ένα τοπικό γεωειδές οι τιµές είναι πολύ µικρότερες. Σκοπός είναι να προσαρµόζεται κάθε φορά το ΕΕΠ στο γεωειδές όσο το δυνατόν καλύτερα. Σε ιδανική περίπτωση η προσαρµογή αυτή θα ήταν βέλτιστη µε κάποιο κριτήριο προσαρµογής, όπως αυτό της ελαχιστοποίησης των τετραγώνων των υψοµέτρων του γεωειδούς ή/και των αποκλίσεων της κατακορύφου (Φωτίου και Λιβιεράτος ). Σχήµα. Υψόµετρα ελλειψοειδούς, γεωµετρικά και ορθοµετρικά υψόµετρα.

Επιφάνειες αναφοράς και υψόµετρα Τα σηµεία που βρίσκονται στην γήινη επιφάνεια χαρακτηρίζονται από τρεις συντεταγµένες: το µήκος, το πλάτος και το ύψος. Το µήκος και το πλάτος αναφέρονται σε ένα ΕΕΠ και ονοµάζονται γεωδαιτικό µήκος και πλάτος αντίστοιχα. Το υψόµετρο του σηµείου αναφέρεται στο ΕΕΠ όπως το γεωδαιτικό µήκος και πλάτος. Η κάθετη απόσταση του σηµείου από τη γήινη επιφάνεια στο ΕΕΠ ονοµάζεται ελλειψοειδές υψόµετρο (ή γεωµετρικό υψόµετρο) h (σχήµα ). Τα γεωµετρικά υψόµετρα υπολογίζονται απευθείας από το παγκόσµιο σύστηµα προσδιορισµού θέσης GPS, δεν απαιτούνται µετρήσεις βαρύτητας και έχουν καθαρά γεωµετρικό χαρακτήρα. Η διαφορά (απόκλιση) του γεωµετρικού υψοµέτρου από το ορθοµετρικό υψόµετρο (ή του γεωειδούς από το ελλειψοειδές εκ περιστροφής) ονοµάζεται αποχή του γεωειδούς ή υψόµετρο του γεωειδούς Ν..4 υναµικό έλξης υναµικό βαρύτητας Το γήινο δυναµικό έλξης µπορεί να εκφραστεί µέσω της σχέσης n+ n km R Ve (r,θ, λ) = ( ) Cnm Y nm (θλ) (.) R r n= m= n όπου r, θ, λ είναι οι σφαιρικές πολικές συντεταγµένες, km το γινόµενο σταθεράς παγκόσµιας έλξης µε την µάζα της γης, R η µέση ακτίνα της γης, C nm συντελεστής βαθµού n και σειράς m κάποιου γεωδυναµικού µοντέλου, Y nm η πλήρως κανονικοποιηµένη συνάρτηση σφαιρικών αρµονικών και για την οποία ισχύει ότι Pnm (cos θ) cos m λ, m Y nm ( θ, λ) = (.3) P n m (cos θ) sn m λ, m < και P nm είναι η κανονικοποιηµένη συνάρτηση Legendre. Η σχέση (.) αποτελεί τη λύση στο πρόβληµα των συνοριακών τιµών (π.χ. Heskanen and Mortz 967). Άρα υπολογίζεται το δυναµικό για σηµεία έξω και πάνω στην γήινη επιφάνεια. Επειδή η γη περιστρέφεται θα πρέπει να ληφθεί υπόψη το φυγοκεντρικό δυναµικό το οποία ισούται µε Φ (r,θ) = ωer sn θ (.4)

Επιφάνειες αναφοράς και υψόµετρα και συνεπώς το δυναµικό του πεδίου βαρύτητας δίνεται από την σχέση W(r,θ, λ) = V e (r,θ,λ) + Φ (r,θ) (.5) Η σχέση βαρύτητας δυναµικού είναι η εξής g = W (.6) όπου συµβολίζει τη βαθµίδα. Το διάνυσµα της βαρύτητας είναι κάθετο στην ισοδυναµική επιφάνεια και το µέτρο του ισούται µε T W g = g( r ) = Wx + Wy + Wz = (.7) r όπου W k η µερική παράγωγος W k W = και k = x,y,z. k.5 υναµικά υψόµετρα Το υψόµετρο πάνω από τη Μέση Στάθµη Θάλασσας (ΜΣΘ) προσδιορίζεται πιο εύκολα αν είναι υψόµετρο που αναφέρεται στο «γεωειδές». Στην πραγµατικότητα πρώτα προσδιορίζεται ένα τοπικό γεωειδές µε ένα γνωστό ( j) σηµείο (π.χ σηµείο παλιρροιογράφου) και το δυναµικό του πεδίου βαρύτητας P ( j) σε αυτήν την περίπτωση ισούται µε W (όχι απαραίτητα γνωστή τιµή). Η διαφορά ανάµεσα στο δυναµικό της επιφάνειας αναφοράς (π.χ. γεωειδές) µε το δυναµικό του σηµείου P του εδάφους καλείται γεωδυναµικός αριθµός και ισούται µε C (j) p = W W (.8) (j) p Ο γεωδυναµικός αριθµός είναι µοναδικός για κάθε σηµείο και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον προσδιορισµό υψοµέτρων του αντίστοιχου σηµείου.

Επιφάνειες αναφοράς και υψόµετρα 3 τοπογραφική επιφάνεια τελουροειδές τοπικό σχεδόν γεωειδές σχεδόν γεωειδές ελλειψοειδές εκ περιστροφής Σχήµα. «Σχεδόν γεωειδές» και τοπικό «σχεδόν γεωειδές». Ισχύει (Heskanen and Mortz 967) ότι (j) C dyn(j) p H p = (.9) γ H p dyn(j) όπου είναι το δυναµικό υψόµετρο σηµείου P (σχήµα ), γ η κανονική τιµή της βαρύτητας και ισούται µε 9.86993m/s στο GRS8 για φ=45. Επειδή η σχέση υπολογισµού των δυναµικών υψοµέτρων χρησιµοποιεί κανονική τιµή βαρύτητας για το σύνολο του δικτύου είναι εύκολος ο υπολογισµός τους αλλά απαιτούνται µεγαλύτερες διορθώσεις από τα κανονικά (ή ορθοµετρικά) υψόµετρα για τα οποία αναφορά γίνεται στα παρακάτω κεφάλαια. Επιπλέον τα δυναµικά υψόµετρα δεν υπολογίζονται απευθείας από το δορυφορικό σύστηµα προσδιορισµού θέσης GPS..6 Ορθοµετρικά υψόµετρα Η σχέση βαρύτητας δυναµικού µπορεί να γραφεί ολοκληρωµατικά

Επιφάνειες αναφοράς και υψόµετρα 4 (j) p = W P g ( σ) dσ P (j) σ W (.) όπου σ είναι η τυχαία διαδροµή του επικαµπύλιου ολοκληρώµατος από το (j) σηµείο P στο τοπικό γεωειδές. Ο γεωδυναµικός αριθµός ορίζεται από την σχέση R C p (j) p P = g ( σ) dσ P (j) σ C (.) όπου g είναι η µέτρηση της βαρύτητας και dσ η υψοµετρική διαφορά ανάµεσα (j) στα σηµεία P,. Θεωρώντας ότι η διαδροµή σ είναι κατά µήκος της P κατακορύφου, τότε (j) p P = g(h) dh P (j) k C (.) ιαιρώντας και πολλαπλασιάζοντας το δεξιό τµήµα της προηγούµενης σχέσης µε (j) το µήκος όλης της διαδροµής (= ) προκύπτει ότι H P (j) (j) CP H P = (.3) (j) g P όπου (j) P P = g(h) dh (j) H P (j) P g (.4) είναι η µέση τιµή βαρύτητας κατά µήκος της κατακορύφου. Το µήκος της απόστασης του σηµείου της γήινης επιφάνειας από το γεωειδές j κατά την γραµµή πτώσης ονοµάζεται ορθοµετρικό υψόµετρο και συµβολίζεται µε H. Η µέση τιµή της βαρύτητας δεν είναι εύκολο να υπολογιστεί γιατί δεν είναι απόλυτα γνωστή η κατανοµή των µαζών στο εσωτερικό της γης. Για να υπολογιστεί χρησιµοποιείται η αναγωγή του Pray όπου γίνεται µια προς τα κάτω ( j) P

Επιφάνειες αναφοράς και υψόµετρα 5 επέκταση αφαιρώντας πρώτα την πλάκα Bouguer πυκνότητας ρ. Έτσι προκύπτει ότι (Heskanen and Mortz 967) Pray(j) P P (j) (.44mgal/m HP g = g + ) (.5) Αντικαθιστώντας την (.5) στην (.3) προκύπτουν τα υψόµετρα Helmert και ισχύει ότι (j) Helmert(j) CP H P = (.6) Pray(j) g P.7 Κανονικά υψόµετρα Για κάθε σηµείο P της γήινης επιφάνειας, όπου το δυναµικό της πραγµατικής βαρύτητας είναι ίσο µε W P αντιστοιχεί ένα σηµείο Q επάνω στην κάθετη στο ΕΕΠ ευθεία που διέρχεται από το P, όπου το κανονικό δυναµικό ταυτίζεται µε το πραγµατικό. ηλαδή ισχύει ότι W =. Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων για P U Q το οποίο ισχύει η προηγούµενη σχέση ονοµάζεται τελουροειδές. Στην πραγµατικότητα το τελουροειδές (διάνυσµα γνωστών θέσεων r) ορίζεται από µία σειρά γνωστών παρατηρήσεων (γνωστές παρατηρήσεις αστρονοµικού πλάτους φ και µήκους λ, βαρύτητας g η/και δυναµικού W). Το τελουροειδές δεν είναι ισοδυναµική επιφάνεια ούτε του πραγµατικού ούτε του κανονικού πεδίου βαρύτητας. Το µήκος της απόστασης του σηµείου Q του τελουροειδές από το ελλειψοειδές εκ περιστροφής κατά την κάθετο ονοµάζεται κανονικό υψόµετρο και ισούται µε H * Q ( ) U W = (.7) γ Q όπου Q Q = γ(h ) dh * H * Q Q γ (.8)

Επιφάνειες αναφοράς και υψόµετρα 6 είναι η µέση τιµή της κανονικής βαρύτητας και Q είναι σηµείο πάνω στο ελλειψοειδές. Αν το τελουροειδές σχεδιαστεί σε απόσταση από το ελλειψοειδές όση είναι η απόσταση από την γήινη επιφάνεια, τότε προκύπτει το σχεδόν γεωειδές. Το σχεδόν γεωειδές ταυτίζεται µε το γεωειδές στην θάλασσα. Το σχεδόν γεωειδές και το γεωειδές χρησιµοποιούνται ως επιφάνειες αναφοράς για το προσδιορισµό υψοµέτρων σε ηπειρωτικές περιοχές και σε παγκόσµια κλίµακα. Το σηµείο Q βρίσκεται πάνω στο τελλουροειδές και η απόσταση γήινης επιφάνειας-τελουροειδούς ονοµάζεται ανωµαλία ύψους ζ p. Η ανωµαλία ύψους σε τοπική κλίµακα δηλαδή η απόσταση τοπικού «σχεδόν γεωειδούς» από το ΕΕΠ (σχήµα ) δίνεται από τη σχέση (j) (j) * U W ζ = + = + p ζ p H (j) ζ Q p (.9) γ (j) Q.8 Σχέση σύνδεσης υψοµέτρων Είναι σηµαντικό να ειπωθεί ότι τα κανονικά υψόµετρα όπως τα δυναµικά και τα ορθοµετρικά εξαρτώνται από το γεωδυναµικό αριθµό στο σηµείο P. Αντίθετα µε τα ορθοµετρικά υψόµετρα, τα κανονικά υψόµετρα µπορούν να προσδιοριστούν αν είναι γνωστή η τιµή του γ. Στα κανονικά υψόµετρα απαιτείται η τιµή του υψοµέτρου από το «σχεδόν γεωειδές» και όχι από το πραγµατικό γεωειδές. Η θεµελιώδης εξίσωση που συνδέει τα ελλειψοειδή υψόµετρα που προσδιορίζονται από το δορυφορικό σύστηµα προσδιορισµού θέσης GPS, µε τα ορθοµετρικά υψόµετρα και τα υψόµετρα του γεωειδούς είναι (Heskanen and Mortz 967) Q h = H + N (.3) Η γραµµικότητα της παραπάνω σχέσης ισχύει µε την προϋπόθεση ότι αγνοούνται οι αποκλίσεις τις κατακορύφου. Η διαφορά µεταξύ της κατακορύφου και της καθέτου στο ΕΕΠ ονοµάζεται απόκλιση της κατακορύφου. Έχει επικρατήσει να αναλύεται σε δύο συνιστώσες (ξ, η) κατά την διεύθυνση του µεσηµβρινού και του παράλληλου του σηµείου αντίστοιχα. Το µέγεθος και η απόκλιση της κατακορύφου µεταβάλλεται καθώς µεταβάλλεται η απόσταση. Οι αποκλίσεις της κατακορύφου επηρεάζουν γενικά τις αναγωγές των παρατηρήσεων πάνω στο ΕΕΠ. Η γνώση των τιµών τους είναι απαραίτητη ενώ η

Επιφάνειες αναφοράς και υψόµετρα 7 τάξη του µεγέθους τους είναι σχετικά µικρή. Οι αποκλίσεις της κατακορύφου είναι δυνατόν να αγνοούνται µόνο σε τοπική κλίµακα. Αποδεικνύεται (Jekel ) ότι το σφάλµα για το ελλειψοειδές υψόµετρο δίνεται από την σχέση δh = h snθ tanθ (.3) Σχήµα 3. Απόκλιση της κατακορύφου Ακόµη και αν η γωνία είναι ίση µε Θ= ο (σχήµα 3) και το ελλειψοειδές υψόµετρο h=km προκύπτει ότι το σφάλµα του ελλειψοειδούς υψοµέτρου ισούται µε δh=8mm και συνεπώς η διόρθωση της υψοµετρικής διαφοράς είναι ασήµαντη.

3 Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού των κατακόρυφων µετακινήσεων 3. Γενικά Πολλές γεωδαιτικές µέθοδοι αναφέρονται στην διεθνή βιβλιογραφία για την αντιµετώπιση κατακόρυφων µετακινήσεων. Η λογική αντιµετώπισης όλων αυτών των µεθόδων στηρίζεται κυρίως στην επεξεργασία γεωδαιτικών παρατηρήσεων διαφορετικών εποχών και στην ανάλυση των αποτελεσµάτων χρησιµοποιώντας κατάλληλα µαθηµατικά µοντέλα. Με τον όρο µαθηµατικό µοντέλο για την περιγραφή των µετακινήσεων εννοεί κανείς µία αναλυτική συνάρτηση που προσεγγίζει την άγνωστη συνάρτηση της µετακίνησης (αναλυτικό µοντέλο) ή µία συνάρτηση συµµεταβλητότητας που περιγράφει την στοχαστική συµπεριφορά των µετακινήσεων (στοχαστικό µοντέλο). Η επιλογή του µοντέλου εξαρτάται από το πλήθος και την κατανοµή των τιµών των µετακινήσεων που διαθέτει κανείς και από τις πληροφορίες σχετικά µε τον τρόπο παραµόρφωσης. Η χρησιµοποίηση του αναλυτικού ή στοχαστικού µοντέλου µπορεί να γίνει εξ αρχής στον αλγόριθµο της συνόρθωσης ή να χρησιµοποιηθεί σε ένα δεύτερο στάδιο όπου τα αποτελέσµατα της πρώτης συνόρθωσης θεωρούνται συνθετικές παρατηρήσεις στην δεύτερη συνόρθωση. Σύµφωνα λοιπόν µε τα παραπάνω, οι µέθοδοι αντιµετώπισης των κατακόρυφων µετακινήσεων είναι η αναλυτική παρεµβολή (π.χ. Chrzanowsk et al 983, Heck and Mazler 983), η µέθοδος της σηµειακής προσαρµογής (π.χ. ερµάνης 984, Kanngeser 983, Fky et al 996, Tschernng et al ) και η ταυτόχρονη συνόρθωση των διαχρονικών παρατηρήσεων, όπου οι µετακινήσεις εµφανίζονται ως άγνωστες παράµετροι και προσεγγίζονται από µια αναλυτική συνάρτηση (π.χ. Vancek et al 979, Ρωσσικόπουλος 986, 998). Στην τελευταία αυτή αντιµετώπιση µπορεί να συµπεριληφθεί και το µοντέλο

Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού παραµορφώσεων της ολοκληρωµένης γεωδαισίας, όπου συµµετέχουν ταυτόχρονα παρατηρήσεις του πεδίου βαρύτητας και εµφανίζονται ως άγνωστες παράµετροι εκτός από τις µετακινήσεις και οι µεταβολές του πεδίου βαρύτητας (Hen 985, Rosskopoulos 986, Coller 988, Dermans and Rosskopoulos 99, Musyka 999). Παρακάτω γίνεται µία προσπάθεια ανάλυσης και ταξινόµησης όλων αυτών των µεθόδων, όπως εµφανίζονται στη σχετική µε την ανάλυση των κατακόρυφων µετακινήσεων βιβλιογραφία. Με την περίπτωση της ολοκληρωµένης γεωδαισίας και τις εφαρµογές της στα κατακόρυφα δίκτυα θα ασχοληθούµε στο επόµενο κεφάλαιο. 3. Η µέθοδος της αναλυτικής παρεµβολής Στην µέθοδο της αναλυτικής παρεµβολής δεδοµένα εισόδου θεωρούνται οι διαχρονικές µεταβολές των υψοµέτρων (µετακινήσεις) των κορυφών του δικτύου που προέκυψαν από τις χωριστές συνορθώσεις των παρατηρήσεων της κάθε εποχής. Το πρόβληµα τίθεται ως εξής: ζητείται η βέλτιστη προσαρµογή µιας συνάρτησης, συνήθως πολυωνυµικού τύπου, της µορφής f = a... ϕ (3.) ϕ + aϕ + + a m m στις υψοµετρικές µεταβολές (ή και στις συντεταγµένες) των κορυφών του δικτύου. Στην παραπάνω συνάρτηση a (=,,,m) είναι οι άγνωστες παράµετροι που πρέπει να προσδιορισθούν και ϕ, =,,...,m είναι οι γνωστές συναρτήσεις βάσης (συναρτήσεις του χώρου, συνήθως σε προβλήµατα παρεµβολής). Σε µορφή πινάκων η προηγούµενη σχέση για όλα τα σηµεία γράφεται p = Fa και το σύστηµα των εξισώσεων παρατήρησης u = Fa + e (3.) όπου u είναι το διάνυσµα των υψοµετρικών µεταβολών, a το διάνυσµα των αγνώστων παραµέτρων της συνάρτησης και e είναι τα σφάλµατα που εκφράζουν την αβεβαιότητα του µοντέλου. Πίνακας. Αναλυτικά µοντέλα µετακινήσεων Πολυτετραγωνική µορφή Holdahl and Ηardy (979) m k = a k (x x k ) + (y y k ) + r Vancek et al. (979) r x ry a k= l= kl x k y l

Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού παραµορφώσεων Παραδείγµατα εφαρµογής της µεθόδου στην ανάλυση των κατακόρυφων µετακινήσεων δόθηκαν από τους Holdahl and Hardy (977), Vancek et al. (979). Στον πίνακα () δίνονται παραδείγµατα αναλυτικών συναρτήσεων οι οποίες είναι ορισµένες στον χώρο. Στο µοντέλο των Holdahl and Hardy (979) x, y είναι οι συντεταγµένες των άγνωστων σηµείων και x, y k k οι συντεταγµένες των γνωστών σηµείων. Η παράµετρος r δίνεται εµπειρικά από την σχέση r =.85d όπου d η µέση απόσταση µεταξύ όλων των σηµείων. Το πολυώνυµο αυτό εξαρτάται από την κατανοµή και το πλήθος των σηµείων. Επίσης για κάθε άγνωστο σηµείο πρέπει να αντιστρέφεται ένας πίνακας διαστάσεων kxk, όπου k ο αριθµός των γνωστών σηµείων. Τέλος η εκτίµηση της παραµέτρου.85 στον υπολογισµό της ποσότητας r είναι καθαρά εµπειρική και η πρόβλεψη δεν είναι ευαίσθητη στον υπολογισµό αυτής. Πρέπει να επισηµανθεί ότι οι συντελεστές a k είναι κοινοί για όλες τις εποχές των µετρήσεων και πρέπει να είναι ο αριθµός τους θεωρητικά µικρότερος από τις άγνωστες παραµέτρους που αντικαθίστανται. 3.3 Η µέθοδος της σηµειακής προσαρµογής Στη µέθοδο της σηµειακής προσαρµογής χρησιµοποιείται µια συνάρτηση συµµεταβλητότητας για την περιγραφή της στοχαστικής συµπεριφοράς των τιµών των µετακινήσεων, όπως ακριβώς και στην περίπτωση των εφαρµογών των σχετικών µε το πεδίο βαρύτητας (βλ. π.χ. Κατσάµπαλος και Τζιαβός, 99). Το πρόβληµα τίθεται ως εξής: ίδονται οι µεταβολές των υψοµετρικών διαφορών ή οι µεταβολές της έντασης του πεδίου βαρύτητας που προκύπτουν από χωριστές συνορθώσεις δύο εποχών. Ζητείται ο υπολογισµός των κατακόρυφων µετακινήσεων στα σηµεία του δικτύου ή σε άλλα σηµεία στην περιοχή του δικτύου, ή ο υπολογισµός ποσοτήτων που συνδέονται µε τις κατακόρυφες µετακινήσεις. Το σύστηµα των εξισώσεων παρατήρησης δίνεται από την σχέση b = Gs + v (3.3) όπου b ο πίνακας των ανηγµένων παρατηρήσεων, s τα σήµατα, G ο πίνακας των αγνώστων σηµάτων του πεδίου βαρύτητας και v τα σφάλµατα. Ανάλογα αν ληφθούν ή όχι υπόψη οι συµµεταβλητότητες των αρχικών δεδοµένων, έχουµε την εξοµαλυντική σηµειακή προσαρµογή µε συνθήκη ελαχιστοποίησης T T s K s + v W v = mn (3.4) όπου Κ είναι ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων των µετακινήσεων και W ο πίνακας βάρους των αρχικών δεδοµένων (υψοµετρικών διαφορών ή µεταβολών του πεδίου βαρύτητας) και την πιστή σηµειακή προσαρµογή αντίστοιχα

Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού παραµορφώσεων T s K s = mn (3.5) Τα στοιχεία του πίνακα Κ είναι οι τιµές της συνάρτησης συµµεταβλητότητας. Το πρόβληµα που προκύπτει εκτός από την επιλογή της συνάρτησης αυτής, είναι και η προσαρµογή της σε δειγµατικά δεδοµένα, εξαιτίας του µικρού πλήθους τέτοιων δεδοµένων που διαθέτουµε. Παραδείγµατα συναρτήσεων συµµεταβλητότητας για την περιγραφή της συµπεριφοράς των κατακόρυφων µετακινήσεων δόθηκαν από τους Ρωσσικόπουλο (986), Fky et al (996). Μία συνηθισµένη συνάρτηση συµµεταβλητότητας των µετακινήσεων ορισµένη στο χώρο (εκθετική συµπεριφορά) είναι η εξής K(S, τ) S σ = σ e S (3.6) όπου S είναι η οριζόντια απόσταση µεταξύ των σηµείων. Οι µεταβλητότητες σ, σ S είναι οι άγνωστοι παράµετροι, οι οποίες υπολογίζονται µε προσαρµογή της συνάρτησης σε κατάλληλα δειγµατικά δεδοµένα. Η παράµετρος σ ελέγχει την σχέση µετακίνηση τυχαίο σφάλµα ενώ η παράµετρος σ s ελέγχει την συσχέτιση των µετακινήσεων στο χώρο. 3.4 Η ταυτόχρονη συνόρθωση των διαχρονικών παρατηρήσεων Με την ταυτόχρονη συνόρθωση των διαχρονικών παρατηρήσεων (π.χ. Vancek et al. 979, Heck and Malzer 983, Holdahl and Hardy 977, Rosskopoulos 998, Kontny ) µπορούν να αναλυθούν παρατηρήσεις υψοµετρικές διαφορών, παρατηρήσεις GPS καθώς και παρατηρήσεις βαρύτητας. Το µαθηµατικό µοντέλο των εξισώσεων παρατηρήσης για όλες τις εποχές µέτρησης δίνεται από την σχέση b = A x + Bu + v (3.7) όπου Α, Β είναι οι πίνακες σχεδιασµού των συντεταγµένων στην εποχή αναφοράς t και των µετακινήσεων αντίστοιχα, x είναι το διάνυσµα των διορθώσεων των συντεταγµένων στην εποχή αναφοράς t και u είναι το διάνυσµα µετακίνησης. Οι µετακινήσεις u µπορούν να αντιµετωπιστούν α) ως ντετερµινιστικές άγνωστες παράµετροι (π.χ Kontny ) β) ως στοχαστικές παράµετροι µε την βοήθεια συνάρτησης συµµεταβλητότητας (π.χ Fky et al. 996) και γ) µε την βοήθεια αναλυτικών συναρτήσεων (π.χ Γούναρης 3). Στην στοχαστική αντιµετώπιση το κριτήριο ελάχιστων τετραγώνων δίνεται από την σχέση

Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού παραµορφώσεων 3 T T u = v Pv + u K u mn (3.8) όπου P είναι ο πίνακας βάρους των παρατηρήσεων και Κ u είναι ο πίνακας συµµεταβλητοτοτήτων των µετακινήσεων (π.χ. Ρωσσικόπουλος 986, Fky et al 996). Πίνακας.Στοχαστικά µοντέλα µετακινήσεων στον χώρο-χρόνο Ρωσσικόπουλος (986) K(S, τ) = σ e S τ (σ S + σ τ Fky et al (996) K (d) = { σˆ () + σˆ ()} h v s ) e d / L σ τ Η παράµετρος (πίνακας ) ελέγχει τον βαθµό συσχέτισης στον χρόνο. Από τους Fky et al. (996), για τον προσδιορισµό κατακόρυφων µετακινήσεων που προέκυψαν από παρατηρήσεις γεωµετρικής χωροστάθµησης, χρησιµοποιήθηκε η συνάρτηση συµµεταβλητότητας K h { σˆ () + σˆ ()} v s d / L (d) = e (3.9) όπου d είναι το µήκος συσχέτισης, L σταθερά (km) που υποδηλώνει το µέσο µήκος του συνόλου των χωροσταθµικών οδεύσεων, ενώ σ s (), σ () είναι οι µεταβλητότητες του σήµατος και του θορύβου (για d=) αντίστοιχα (mm/yr). Η µεταβλητότητα υπολογίζεται από την επίλυση όλων των χωροσταθµικών οδεύσεων µε την λογική της ταυτόχρονης συνόρθωσης, ενώ η µεταβλητότητα () υπολογίζεται από την προσαρµογή της εµπειρικής συνάρτησης στα δειγµατικά πεδία τιµών µετακίνησης. Στην αναλυτική αντιµετώπιση το διάνυσµα των µετακινήσεων περιγράφεται από την σχέση u = Fa και η (3.7) γίνεται σ s v σ v () b = A x + B Fa + v (3.) Η συνθήκη ελαχιστοποίησης σε αυτήν την περίπτωση δίνεται από την σχέση T v Pv = mn (3.) Η συνάρτηση µοντέλο µπορεί να είναι συνάρτηση του χώρου (π.χ. Holdahl and Hardy 979, Vancek et al. 979), του χρόνου (π.χ. Fky and Kato 999) ή συνάρτηση του χώρου και του χρόνου (π.χ. Snay et al. 983). Η επιλογή ενός από τα παραπάνω µοντέλα εξαρτάται από τις πληροφορίες που διαθέτει κανείς για την περιοχή παραµόρφωσης. Εάν για παράδειγµα ο φλοιός έχει υποστεί ρηγµάτωση τότε συνεπάγεται ότι εµφανίζει χωρική

Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού παραµορφώσεων 4 ασυνέχεια. Στην περίπτωση όπου είναι γνωστή ή όχι η θέση των ρηγµάτων, οι συντεταγµένες αντιµετωπίζονται ως ανεξάρτητες ή εξαρτηµένες στον χώρο. Επίσης ένας σεισµός δηµιουργεί χρονική ασυνέχεια. Αυτό σηµαίνει ότι εάν ανάµεσα σε δύο εποχές παρουσιάζονται ή όχι χρονικές ασυνέχειες οι συντεταγµένες εµφανίζονται ως ανεξάρτητες η εξαρτηµένες στον χρόνο. Πίνακας 3.Αναλυτικά µοντέλα µετακινήσεων ορισµένα στον χρόνο ή στον χώρο και τον χρόνο Snay et al. (983) r r x y rz rt k= l= m= n= a kl x k l y z m t n t Fky and Kato (999) H = H + δh + R δt+ A cos[ π(δt) θ ] Στα πολυώνυµα (πίνακας 3), εάν υποτεθεί ότι η τάξη του αγνώστων παραµέτρων είναι ίση µε ένα τότε σηµαίνει ότι η µετακίνηση είναι γραµµική προς το χρόνο. Στην περίπτωση όπου η τάξη των αγνώστων παραµέτρων είναι ίση µε δύο, τότε σηµαίνει ότι η µετακίνηση δεν είναι γραµµική ως προς το χρόνο. Στην περίπτωση, όπου η µετακίνηση είναι γραµµική ως προς τον χρόνο ισχύει ότι δ t H = δt f(x, y ) (3.) όπου δt = t - t. Στην περίπτωση όπου η µετακίνηση ενός υλικού σηµείου δεν είναι γραµµική ως προς τον χρόνο µία έκφραση περιγραφής των κατακόρυφων µετακινήσεων είναι δ H = δt f (x, y ) δt f (x, y ) (3.3) t + Από τους Fky and Kato (999) δόθηκε µοντέλο κατακόρυφων µετακινήσεων συναρτήσει στοιχείων από παλλιροιογράφους (πλάτος και γωνία φάσης) και περιγράφεται από την εξίσωση H t = H + δh + R δt+ A cos[ π(δt) θ ] (3.4) όπου H το προσεγγιστικό υψόµετρο την εποχή αναφοράς t, δh η διόρθωση του προσεγγιστικού υψοµέτρου την εποχή αναφοράς, δ t η χρονική διαφορά ανάµεσα στην εποχή t και t, R ο ρυθµός κατακόρυφης µετακίνησης γραµµικά µε το χρόνο ενώ A και θ είναι το πλάτος και η φάση της παλίρροιας αντίστοιχα, στοιχεία υπολογισµένα από τον παλιρροιογράφο εγκαταστηµένο στην ευρύτερη περιοχή µελέτης.

Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού παραµορφώσεων 5 Στην περίπτωση λοιπόν όπου οι µετακινήσεις είναι εξαρτηµένες στον χώρο και ανεξάρτητες στον χρόνο, τότε ο πίνακας F περιέχει τιµές της θέσης των σηµείων. Στην περίπτωση όπου οι µετακινήσεις είναι εξαρτηµένες στον χρόνο και ανεξάρτητες στον χώρο, τότε τα στοιχεία του πίνακα F είναι τιµές γνωστών συναρτήσεων του χρόνου. Στην περίπτωση όπου οι µετακινήσεις είναι εξαρτηµένες στον χρόνο, τότε τα στοιχεία του πίνακα F είναι τιµές γνωστών συναρτήσεων του χρόνου. Στην τελευταία περίπτωση όπου οι µετακινήσεις είναι εξαρτηµένες στον χρόνο (ή τον χώρο και τον χρόνο) ισχύει ότι. η εποχή αναφοράς δεν είναι κατ ανάγκη εποχή µέτρησης. οι παρατηρήσεις είναι δυνατόν να µην αναφέρονται σε εποχές µέτρησης του δικτύου. Ως εποχή δεν ορίζεται αναγκαστικά η εποχή µέτρησης του δικτύου, αλλά η t α εποχή που έγιναν µία ή περισσότερες µετρήσεις. Ένα από τα σηµαντικότερα προβλήµατα που παρουσιάζεται στον αλγόριθµο µε το απλό µοντέλο είναι ο ορισµός του συστήµατος αναφοράς, το οποίο ξεπερνιέται µε τον ορισµό κοινό προσεγγιστικών τιµών σε όλες τις εποχές µέτρησης. 3.5 Κατακόρυφες µετακινήσεις από επαναλαµβανόµενες µετρήσεις του πεδίου βαρύτητας Έστω η γήινη επιφάνεια και ένα σηµείο P πάνω στην γήινη επιφάνεια. Εάν θεωρηθεί ότι η γήινη µάζα Μ είναι σταθερή, τότε ισχύει ότι (Bro 983) W = W (3.5) όπου W, W η ισοδυναµική επιφάνεια για το υλικό σηµείο P την χρονική στιγµή t, t αντίστοιχα. Η προηγούµενη σχέση οφείλεται στην µη χρονική µεταβολή του πεδίου βαρύτητας και τυχόν κατακόρυφες µετακινήσεις της γήινης επιφάνειας δίνονται από την σχέση δh δw δw = (3.6) g g Η προηγούµενη κατακόρυφη µετακίνηση έχει θετική τιµή και δηµιουργείται κατά την διεύθυνση της κάθετης µετακίνησης του υψοµέτρου. Στην προηγούµενη σχέση δόθηκαν οι µεταβολές των υψοµέτρων οι οποίες είχαν ως κυρίαρχο στοιχείο τις µη µεταβολές των ισοδυναµικών επιφανειών, οι οποίες εκφράζουν στην πραγµατικότητα τις µη µεταβολές του πεδίου βαρύτητας. Το ζητούµενο είναι ότι το δυναµικό W είναι ποσότητα που δεν µπορεί να µετρηθεί απευθείας γι αυτό και εκφράζεται διαµέσου ποσοτήτων της βαρύτητας. Η µεταβολή της βαρύτητας η οποία οφείλεται σε καθαρά γεωµετρικές µεταβολές, δίνεται από την παρακάτω σχέση

Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού παραµορφώσεων 6 kmsn φ δ t g = δ t h (R + Z) 3 ή (3.7) δt g =.383δ t h (3.8) όπου Ζ=. Παραπλήσια τιµή για το λόγο δ tg δίνεται από τον Torge () και ισούται µε δ h t -.386mgal/m. Φαίνεται από την προηγούµενη σχέση ότι σχετικές παρατηρήσεις του πεδίου βαρύτητας µπορούν να αποδώσουν µε εξαιρετικά υψηλή ακρίβεια την υψοµετρική µεταβολή δύο σηµείων στην περίπτωση όπου ο φλοιός της γης παραµένει συµπαγής και αµετάβλητος. Οι παρατηρήσεις του πεδίου βαρύτητας επάνω στην επιφάνεια της γης καθορίζουν τις µεταβολές των υψοµετρικών διαφορών καλύτερα, έναντι των ισοδυναµικών επιφανειών οι οποίες είναι δύσκολο να περιγράψουν τις αντίστοιχες µεταβολές. Επειδή όµως το εσωτερικό της γης παρουσιάζει µία ελαστικότητα, η οποία οφείλεται στις επιδράσεις του πεδίου βαρύτητας της γης, θα πρέπει να εξεταστεί το πρόβληµα της µεταβολής των υψοµέτρων τόσο µε την λογική των ισοδυναµικών επιφανειών όσο και µε παρατηρηθείσες τιµές της βαρύτητας. Οι ελαστικές παραµορφώσεις µπορούν επίσης να περιγραφούν µε κολλώδη και ελαστικά (vsco elastc) µοντέλα. Όµως µε την χρήση αυτών των µοντέλων πρέπει να γίνουν πολλές υποθέσεις και για τον λόγο αυτό δεν µπορούν να χρησιµοποιηθούν γιατί δεν ανταποκρίνονται στην πραγµατικότητα. Επιπλέον, αν υπάρχει διαθέσιµη πληροφορία σχετικά µε το πεδίο βαρύτητας, η υψοµετρική διαφορά ανάµεσα στα σηµεία που µετακινήθηκαν, δίνεται από την σχέση ' ' * * [( W + δw ) ( W δw ' H '' = + )] (3.9) g ενώ η µεταβολή της υψοµετρικής διαφοράς ισούται µε δh - δh δh + δn - δ = N (3.) όπου ' δh = H'' H, δw = W W (3.) είναι η διαφορά των υψοµετρικών διαφορών των σηµείων και κατά της εποχές η µεταβολή του δυναµικού βαρύτητας αντίστοιχα. t, t και

Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού παραµορφώσεων 7 P' W'=W'p' P W=Wp W'=Wo MSL' W=Wo MSL Σχήµα. Η µεταβολή του σηµείου στον χρόνο και οι αντίστοιχες µεταβολές των ισοδυναµικών επιφανειών. Είναι γενικά γνωστό ότι οι κατακόρυφες µετακινήσεις επηρεάζονται από έναν αριθµό γεωλογικών επιδράσεων (π.χ. σεισµική δραστηριότητα, πυκνότητα, ιζηµατογενείς αποθέσεις κλπ). Επιπλέον, ο συνδυασµός της ελαστικής παραµόρφωσης καθώς και η µεταβολή του πεδίου βαρύτητας προκαλεί την πραγµατική κατακόρυφη µετακίνηση. Μοντέλα που συνδυάζουν την ελαστικότητα της γης (σε τοπική, περιφερειακή και παγκόσµια κλίµακα) µε µεταβολές του πεδίου βαρύτητας υπάρχουν στην διεθνή βιβλιογραφία της Γεωφυσικής (Whtcomb 976, Walsh and Rce 979, Heck and Mazler 983, Ρωσσικόπουλος 986, Torge, Abdelrahman et al. 993). Η κατακόρυφη µετακίνηση σε αυτήν την περίπτωση περιγράφεται από την σχέση kmsn φ δt g = ( πkρ)δ t h (R Z) 3 ή (3.) + δ t g = e + q (3.3) όπου e η κατακόρυφη µετακίνηση και q η επίδραση λόγω τοπικών αιτιών. Στον παρακάτω πίνακα συνδέονται οι παράµετροι της γεωµετρικής παραµόρφωσης µε τις παραµέτρους που εκφράζουν την µεταβολή του πεδίου βαρύτητας. Το σύστηµα αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν ένα σύστηµα αυστηρών πλεοναζουσών δεσµεύσεων στην αντιµετώπιση των µετακινήσεων και των µεταβολών των σηµάτων µέσω µιας αναλυτικής συνάρτησης, για την µεταξύ τους σύνδεση. Η συγκεκριµένη δέσµευση είναι της µορφής Hx = z και εξαρτάται από την θέση και από την πυκνότητα. Η τιµή της πυκνότητας είναι µία αντιπροσωπευτική τιµή και ισούται µε την µέση τιµή πυκνότητας των ανώτερων στρωµάτων της λιθόσφαιρας. Σηµαντικό ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι µεταβολές της γήινης βαρύτητας, που οφείλονται σε εσωτερικά γεωδυναµικά φαινόµενα. Οι µεταβολές της βαρύτητας, που συνοδεύουν την δράση των σεισµών και των ενεργών ηφαιστείων έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον ως πρόδροµα φαινόµενα. Οι µεταβολές που δηµιουργούνται προ και µετά την αντίστοιχη δράση, συµβάλλουν στην δηµιουργία των δυναµικών µοντέλων συσσώρευσης

Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού παραµορφώσεων 8 τάσεων και απελευθέρωσης αυτών µετά τους σεισµούς, καθώς και µετακίνησης µάγµατος και µεταβολής της πυκνότητας στα ενεργά ηφαίστεια. Κατά συνέπεια, οι διαχρονικές µετρήσεις της βαρύτητας συµβάλλουν σε ένα πλήθος διαδικασιών που εφαρµόζονται στην έρευνα και την πρόγνωση των σεισµών. Παρακάτω δίνονται αναλυτικές σχέσεις σύνδεσης της µεταβολής των υψών και των µετρήσεων του πεδίου βαρύτητας. Πίνακας 4. Μοντέλα σύνδεσης µετακινήσεων µε µετρήσεις του πεδίου βαρύτητας Walsh and Rce (979) Vancek et al. (979) Johnsen et al. (98) Heck and Mazler (983) Ρωσσικόπουλος (985) Abdelrahman (993) Torge () g t g t = δ tg = kπρδ δ N = a bδ h, R km t + t g t g t = δ tg = kπρ c δ t h c = R k + (d + δ t h) R k + d δ t h ρ δρ = δth d d t h ( ) δ g = a + b δ H a =,.5 < b < 3. 5 t t km sn φ δ tg = δth + δtδg 3 (R + Z) g(x, z) = (x Az q, g(max) = Az q + z ) 3 4πkρd / 3 3 / σφαίρα A = πkρd q = οριζόντιο κύλινδρο π kρh κατακό ρυφη πτώση όπου k η σταθερά παγκόσµιας έλξης, ρ η πυκνότητα, d η ακτίνα σφαίρας/κυλίνδρου που περιλαµβάνει την περιοχή µετακίνησης και z το βάθος του κυλίνδρου. Για κατακόρυφη κίνηση ισχύει η σχέση των Walsh and Rce g g = δ g = kπρ h δ g =.386δ h t t t t t δ t Στον πίνακα (4) φαίνονται αναλυτικές σχέσεις σύνδεσης της κατακόρυφης µετακίνησης µε το πεδίο βαρύτητας. Οι σχέσεις αυτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν στην ανάλυση των βαρυτηµετρικών δεδοµένων µε µεθόδους αναλυτικής παρεµβολής (π.χ Heck and Mazler 983) ή στην ταυτόχρονη συνόρθωση των διαχρονικών βαρυτηµετρικών παρατηρήσεων µε ένα διευρυµένο µοντέλο συνόρθωσης (π.χ. Γούναρης 3).

Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού παραµορφώσεων 9 Για την στοχαστική αντιµετώπιση των βαρυτηµετρικών δεδοµένων απαιτείται η δηµιουργία µίας συνάρτησης συµµεταβλητότητας που να συνδέει την κατακόρυφη µετακίνηση µε τις µεταβολές του πεδίου βαρύτητας. Από τον Tschernng (976) δόθηκε µοντέλο, όπου συνδυάζονται κατακόρυφες µεταβολές µε τις ανωµαλίες βαρύτητας και ισχύει ότι d h h (S) = σ kπρ 3/ [S + (d h ) ] Κ (3.4) όπου S είναι η απόσταση των δύο σηµείων, h είναι το βάθος στρώµατος ίδιας πυκνότητας, ρ η πυκνότητα, d το µήκος συσχέτισης, h οι κατακόρυφες µεταβολές και η σχέση σήµατος-µετακίνησης. Η παραπάνω σχέση συνδέει το αίτιο µε την κατακόρυφη µετακίνηση. Θεωρώντας ότι οι µόνες γεωφυσικές πληροφορίες είναι το εστιακό βάθος (σε Km), το µέγεθος σεισµού (σε Rchter) και το επίκεντρο ως θέση ( ελήµπασης 999, Παπαζάχος 997), προκύπτει ότι η µέγιστη τιµή του εύρους δύο σηµείων (θέση µόνιµων σταθµών) δίνεται όταν (Blewtt ) K d{max} = S{ max} = ± (d - h) (3.5) d Αυτό σηµαίνει ότι µπορεί να προηγηθεί σχεδιασµός (βελτιστοποίηση) δικτύου µε αποτέλεσµα την ελαχιστοποίηση του οικονοµικού κόστους και την µέγιστη ποιότητα των αποτελεσµάτων (ακρίβεια και αξιοπιστία). σ Πίνακας 5. Συναρτήσεις συµµεταβλητότητας για τη σύνδεση των κατακόρυφων µετακινήσεων µε τις µεταβολές του πεδίου βαρύτητας d h Tschernng (976) h (S) Κ = σ kπρ 3/ [S + (d h ) ] Kanngeser (983) Κ(S, τ) = σ e (bs + aτ ).5 Από τον Kanngeser (983) δόθηκε συνάρτηση που συνδέει τη µεταβολή των υψών µε την µεταβολή του πεδίου βαρύτητας µε δειγµατοληπτικές µεθόδους. Η επιλεγµένη συνάρτηση συµµεταβλητότητας µοντέλο έχει την µορφή Κ(S, τ) = σ e (bs + aτ ).5 (3.6)

Γεωδαιτικές µέθοδοι προσδιορισµού παραµορφώσεων 3 όπου η µεταβλητότητα τυχαίου σφάλµατος και σ a [,] είναι παράµετρος που εκφράζει την σχέση µετακίνησης είναι συντελεστής που ενσωµατώνει τις µεταβολές των σηµάτων του πεδίου βαρύτητας. Στην περίπτωση όπου οι µεταβολές των σηµάτων είναι µηδενικές και τα δεδοµένα (παρατηρήσεις βαρύτητας) παρουσιάζουν µεγάλη χρονική ασυνέχεια, η εξίσωση (3.6) διαµέσου της σχέσης (3.7, 3.) απλοποιείται και γίνεται Κ(S, τ) km S (R + z) 3 = σ e (3.7) ή Κ(S, τ) km kπρ S (R z) 3 σ e + = (3.8) Η επιλογή της αναλυτικής ή στοχαστικής συνάρτησης στην ανάλυση επαναλαµβανόµενων βαρυτηµετρικών δεδοµένων εξαρτάται από την κατανοµή και το πλήθος των δεδοµένων στην περιοχή µελέτης.

4 Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 4. Η ολοκληρωµένη γεωδαισία και τα υψόµετρα Για να εξαντληθούν οι δυνατότητες της καλύτερης δυνατής επιλογής του µαθηµατικού µοντέλου κατά τους υπολογισµούς των δικτύων ελέγχου µεγάλης ακρίβειας, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη, πέρα από τις γεωµετρικές, και οι παράµετροι από το γήινο πεδίο βαρύτητας. Το µαθηµατικό µοντέλο σε αυτήν την περίπτωση ονοµάζεται ολοκληρωµένο µαθηµατικό µοντέλο (ή διευρυµένο µαθηµατικό µοντέλο). ιάφορες εφαρµογές µε τη φιλοσοφία της ολοκληρωµένης γεωδαισίας δόθηκαν στα δίκτυα υψηλής ακρίβειας, στα εθνικά δίκτυα της ης τάξης, στα διαχρονικά δίκτυα για την παρακολούθηση παραµορφώσεων του στερεού φλοιού όπου οι γεωδαιτικές παρατηρήσεις αναλύονται ταυτόχρονα µε γεωδυναµικές πληροφορίες, στον προσδιορισµό του γεωειδούς, στο αντίστροφο βαρυτηµετρικό πρόβληµα, στη δορυφορική γεωδαισία κλπ. Η βασική ιδέα για συνδυασµό ετερογενών δεδοµένων δόθηκε κυρίως από τους Eeg and Krarup (975). Μετέπειτα επεξεργασία έγινε από τους Ρωσσικόπουλο (986), Hen (98), ερµάνη (994), Coller (988). Εφαρµογές της ολοκληρωµένης γεωδαισίας στα κατακόρυφα δίκτυα δόθηκαν από τους Hen(985), Mlbert(988), Χατζηδάκης (). Ένα σηµείο του γήινου ανάγλυφου ορίζεται από τις καρτεσιανές συντεταγµένες Χ, Υ, Ζ ή από τις ελλειψοειδείς συντεταγµένες λ, φ (γεωδαιτικό µήκος και πλάτος) και από την κάθετη απόστασή του h από το ελλειψοειδές (γεωµετρικό υψόµετρο). Η µετάβαση από τις καρτεσιανές στις γεωδαιτικές συντεταγµένες γίνεται µε την βοήθεια της σχέσης (π.χ ερ- µάνης 994) r = r E + hm (4.)

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 3 όπου N cosφcosλ r = [ X Y Z] T E, r = N cosφsn λ (4.) ( e )Nsn φ το διάνυσµα καρτεσιανών συντεταγµένων του σηµείου και της προβολής του πάνω στο ΕΕΠ αντίστοιχα, h είναι το ελλειψοειδές υψόµετρο, [ cosφ cosλ cosφ snλ ] Τ m = snφ (4.3) το διάνυσµα κατεύθυνσης της καθέτου από το σηµείο στο ελλειψοειδές εκ περιστροφής και N = a e sn φ (4.4) είναι η ακτίνα καµπυλότητας της πρώτης κάθετης τοµής στην µεσηµβρινή τοµή του ΕΕΠ του σηµείου µε συντεταγµένες ΧΥΖ, a ο µεγάλος ηµιάξονας και e η εκκεντρότητα του ελλειψοειδούς. Οι τιµές των παραµέτρων του ελλειψοειδούς αναφέρονται στο ελλειψοειδές του GRS 8. Στην εξίσωση (4.) αν ληφθεί υπόψη η σχέση σύνδεσης των υψοµέτρων h = H + N προκύπτει ότι r r = ( H+ N - h ) m = ( H+ T h ) m (4.5) γ όπου Η είναι το ορθοµετρικό υψόµετρο, Τ το διαταρακτικό δυναµικό και γ η τιµή της κανονικής βαρύτητας. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπτυχθούν οι εξισώσεις παρατήρησης για βάσεις GPS (παρατηρήσεις µε χαµηλό οικονοµικό κόστος που υλοποιούνται γρήγορα), της γεωµετρικής χωροστάθµησης και της έντασης του πεδίου βαρύτητας. Το διάνυσµα βάσης του GPS συνδέεται µε τις συντεταγµένες στο σύστηµα της συνόρθωσης µε την βοήθεια της σχέσης r GPS j όπου ε, ε = λr ε, ε, ε )( r r ) (4.6) x ε y, είναι οι γωνίες στροφής µεταξύ του συστήµατος WGS 84 και του συστήµατος της συνόρθωσης. ( x y z j z

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 33 Γραµµικοποιώντας την σχέση (4.6) και χρησιµοποιώντας την σχέση (4.5) προκύπτει υπό µορφή πινάκων η εξίσωση παρατήρησης για τις βάσεις GPS, η οποία είναι όπου δη [ ] [ ] b = m m + [ m m ] j,gps j δη j j N N j εx [ ] y x ( j ) y ( j ) z ( j ) ( j ) ε P r r P r r P r r r r + vj + εz δλ (4.7) b b b j,gps = rj r ( rj r ) + N ( m + m j ) (4.8) ενώ οι προσεγγιστικές συντεταγµένες r, r υπολογίζονται µε την βοήθεια της σχέσης j (N + h)cos φ cosλ (N + h)cosφcosλ r j r = (N h)cos φsn (N h)cosφsn + λ + λ (4.9) [( e )N + h]sn φ [( e )N + h]sn φ j Στην περίπτωση όπου το σύστηµα που χρησιµοποιείται είναι πολύ κοντά στο WGS 84, οι προσεγγιστικές τιµές των γωνιών στροφής ε, ε ε είναι πολύ κοντά στο µηδέν και οι πίνακες P, P x Py, z απλοποιούνται και γίνονται x y, P = = x =, Py, Pz (4.) Εδώ και πολύ καιρό το δορυφορικό σύστηµα GPS χρησιµοποιείται για τον προσδιορισµό της θέσης σε ένα τρισδιάστατο σύστηµα αναφοράς. Για βάσεις που το µήκος ξεπερνάει τα km η ακρίβεια για το γεωδαιτικό µήκος, πλάτος αλλά και το ύψος είναι καλύτερη από cm. Στην ακρίβεια προσδιορισµού του υψοµέτρου σηµαντικό ρόλο παίζει η τροπόσφαιρα, η οποία εκτείνεται από την επιφάνεια της γης µέχρι τα 5-8 χιλιόµετρα πάνω από την επιφάνεια της γης. Σε βάσεις µικρού µήκους το τροποσφαιρικό σφάλµα απαλείφεται κατά το σχετικό προσδιορισµό θέσης. Για τον λόγο αυτό είναι προτιµότερο να µην χρησιµοποιούνται µετεωρολογικά δεδοµένα στην περίπτωση µικρών δικτύων, όταν δηλαδή οι ατµοσφαιρικές z

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 34 συνθήκες είναι υψηλά συσχετισµένες. Σε µεγάλα δίκτυα ή σε δίκτυα µε µεγάλες υψοµετρικές διαφορές οι ατµοσφαιρικές διαφορές δεν µπορούν να συσχετισθούν. Η επίδραση της τροπόσφαιρας εκφράζεται από την υγρή και την ξηρή συνιστώσα. Η ξηρή συνιστώσα µοντελοποιείται πιο εύκολα από την υγρή συνιστώσα µε διάφορα µοντέλα και µε µία ακρίβεια ( ±% ). Η υγρή συνιστώσα εξαρτάται από το σύνολο των υδρατµών και αποτελεί το % της ολικής επίδρασης. Ένας τρόπος προσδιορισµού του υγρού παράγοντα είναι µε την βοήθεια κατάλληλων µετεωρολογικών οργάνων ή µε την µέτρηση ενός συντελεστή κλίµακας κατά την διεύθυνση του ζενίθ για κάθε διερχόµενο δορυφόρο. Έτσι η υψοµετρική διόρθωση εκφράζεται ως συνάρτηση της µέγιστης ζενίθειας απόστασης και δίνεται από την σχέση (Poutanen 4) δ ρ j δh = (4.) cosz max όπου δ ρ είναι το σχετικό τροποσφαιρικό σφάλµα. j Επειδή το τροποσφαιρικό σφάλµα αναπτύσσεται γρήγορα σε µικρές γωνίες, συνήθως ορίζεται τιµή γωνίας αποκοπής πάνω από 5 κατά την διάρκεια των µετρήσεων GPS. Επιπρόσθετα ένα σφάλµα που αφορά τα υψόµετρα είναι το σφάλµα κέντρωσης της κεραίας. Η θέση της κεραίας που δέχεται το σήµα εξαρτάται από την διεύθυνση και την συχνότητα του εισερχόµενου σήµατος. Εάν χρησιµοποιείται η ίδια κεραία σε ολόκληρο το δίκτυο τότε το σφάλµα απαλείφεται, σε οποιαδήποτε όµως άλλη περίπτωση χρήσης πολλών δεκτών το σφάλµα παραµένει. Η επίδραση αυτού του σφάλµατος είναι της τάξης των cm. Επίσης η µη χρήση εφηµερίδων ακριβείας καθώς και η αλλαγή του ύψους αποκοπής των δορυφόρων δηµιουργεί προβλήµατα στον υψοµετρικό προσδιορισµό. Τα υψόµετρα µπορεί να ειπωθεί ότι προκύπτουν από παρατηρήσεις ή προκύπτουν έµµεσα από υψοµετρικές διαφορές. Όσον αφορά τις παρατηρήσεις υψοµετρικών διαφορών, α- παιτούνται δυο σταδίες και ένας χωροβάτης, που τοποθετείται περίπου στο µέσο της απόστασης κάθε επί µέρους τµήµατος της χωροσταθµικής διαδροµής. Για τις υψοµετρικές διαφορές αυτού του τύπου ισχύει n l = (4.) PQ l = όπου l είναι οι ενδιάµεσες υψοµετρικές αναγνώσεις στην σταδία χωροσταθµικής όδευσης µήκους PQ. Αντί λοιπόν για απόλυτα υψόµετρα είναι προτιµότερο να χρησιµοποιηθούν υψοµετρικές διαφορές κάνοντας τις αντίστοιχες διορθώσεις γιατί η προηγούµενη σχέση µεταφέρει κάποια ελάχιστα σφάλµατα. Η σχέση τότε µετασχηµατίζεται και γίνεται

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 35 H PQ = H Q H P = lpq + µικρές διορθώσεις (4.3) Οι προαναφερθείσες διορθώσεις γίνονται µέσα από τις τιµές της βαρύτητας οι οποίες είναι µεγέθη διακριτά και πραγµατοποιούνται πάνω στην γήινη επιφάνεια. Είναι γνωστό ότι ι- σχύει (βλ. κεφ..6) PQ = C Q C P Q n = g(h)dh g l P k = C (4.4) όπου C είναι ο γεωδυναµικός αριθµός στο αντίστοιχο σηµείο κατά µήκος µίας χωροσταθ- µικής όδευσης µήκους PQ, g είναι η τιµή της έντασης του πεδίου βαρύτητας στο αντίστοιχο πεδίο. Πολλές φορές χρειάζεται αναγωγή της τιµής της βαρύτητας πάνω στο γεωειδές (διόρθωση ορθοµετρικών υψοµέτρων) που είναι η ισοδυναµική επιφάνεια των ορθοµετρικών υψοµέτρων. Το γεωειδές είναι η επιφάνεια που αναφέρονται τα ορθοµετρικά υψόµετρα. Τα τελευταία υψόµετρα χρησιµοποιούνται κυρίως για τα τοπογραφικά προβλήµατα, ενώ τα κανονικά υψόµετρα χρησιµοποιούνται θεωρώντας επιφάνεια αναφοράς το «σχεδόν γεωειδές». Παρακάτω δίνονται όλες οι διορθώσεις για τα δυναµικά, ορθοµετρικά και κανονικά υψόµετρα (Sneeuw ). Επειδή η βαθµίδα του Pray στη προς τα κάτω επέκταση είναι σταθερή και ισούται µε g h =.44mgal/m (4.5) η τιµή g για ένα σηµείο που απέχει απόσταση h (γεωµετρικό υψόµετρο) από το σηµείο µέτρησης P δίνεται από την σχέση g g = g + h (4.6) h

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 36 Πίνακας. Υψοµετρικές διαφορές και διορθώσεις αυτών (DC=διόρθωση δυναµικών υψοµέτρων, ΟC= διόρθωση ορθοµετρικών υψοµέτρων, NC= διόρθωση κανονικών υψοµέτρων) διαφορές µαθηµατική έκφραση διορθώσεις δυναµικών υψοµέτρων g γ H PQ = l PQ + DC PQ DCPQ = l γ ορθοµετρικών υψοµέτρων H PQ = l PQ + OC PQ OC PQ = DC PQ = g γ γ DC Q Q l + DC P P g P γ g Q γ + H P H Q γ γ κανονικών υψοµέτρων H PQ = l PQ + NC PQ NC PQ = g γ γ l γ P γ + γ n H P γ Q γ γ n H Q Πολλές φορές απαιτείται η τιµή της κανονικής βαρύτητας πάνω στο ΕΕΠ (διόρθωση κανονικών υψοµέτρων). Η τιµή αυτή µπορεί να προσδιοριστεί από την κανονική τιµή της βαρύτητας γ και την κατακόρυφη βαθµίδα της κανονικής βαρύτητας. Η σχέση της τιµής της κανονικής βαρύτητας στο ΕΕΠ σε αυτήν την περίπτωση δίνεται από τον τύπο (Heskanen and Mortz 967) όπου γ γ = γ + h (4.7) h γ / m h =.386mgal (4.8) και γ = 9.86993m/s η κανονική τιµή της βαρύτητας στο GRS8 για φ= 45. Πινακοποιηµένες οι προηγούµενες σχέσεις φαίνονται στον παρακάτω πίνακα

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 37 Πίνακας. Αναγωγές της µέτρησης της βαρύτητας αναγωγή Μαθηµατική έκφραση διάνυσµα µεταβολής στο γεωειδές g g g = g + h =.44mgal/m h h στο ελλειψοειδές γ γ γ = γ + h =.386mgal/m h h Για την γεωµετρική χωροστάθµηση χρησιµοποιείται η εξίσωση παρατήρησης που ισχύει και στα κλασσικά τοπογραφικά κατακόρυφα δίκτυα γιατί είναι πρακτικά αδύνατον σε κάθε επιµέρους χωροσταθµική όδευση να υπάρχει και παρατήρηση απόλυτης τιµής βαρύτητας. Συνεπώς ισχύει ότι l δη b j, Η = [ ] + vj δη (4.9) j Επειδή όµως η παραπάνω διόρθωση είναι σηµαντική ακόµη και για µικρές χωροσταθµικές οδεύσεις και δεν συµπεριλαµβάνεται στην προηγούµενη εξίσωση παρατήρησης, κρίνεται σκόπιµο η ανάλυση και η επεξεργασία τιµών βαρύτητας. Η µη γραµµική εξίσωση της βαρύτητας δίνεται από την σχέση T W g = g( r ) = Wx + Wy + Wz = (4.) r όπου W k η µερική παράγωγος W k W = και k = x,y,z. k Με γραµµικοποίηση κατά Taylor και µε την βοήθεια της σχέσης (4.5) προκύπτει ότι km km N b + [ δη ] + sn φ, g = sn φ 3 v 3 δg (R + Z ) (R Z + ) (4.)

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 38 όπου b km N (4.) b, g = g γ sn φ 3 (R + Z ) Ο λόγος χρησιµοποίησης τιµών βαρύτητας οφείλεται στο γεγονός ότι αναφέρονται στην επιφάνεια µέτρησης, εκεί δηλαδή που γίνονται και οι παρατηρήσεις GPS. Σε περίπτωση που χρησιµοποιηθούν ανωµαλίες ελευθέρου αέρα τότε θα πρέπει να αναχθούν οι παρατηρήσεις του GPS στην επιφάνεια του γεωειδούς δηλαδή στην ισοδυναµική επιφάνεια που αναφέρονται οι ανωµαλίες ελευθέρου αέρα και να χρησιµοποιηθεί συνάρτηση µοντέλο της ανωµαλίας βαρύτητας (Tschernng and Rapp 974, Tschernng et al.). Εκτός από τις παραπάνω παρατηρήσεις µπορεί να γίνει ανάλυση των αποκλίσεων της κατακορύφου η, ξ καθώς και της αποχής του γεωειδούς Ν. Αν και οι ποσότητες αυτές δεν παρατηρούνται α- πευθείας είναι χρήσιµες στην συνόρθωση για την εισαγωγή πληροφοριών από γεωειδές που υπάρχει στην περιοχή. 4. Οι εξισώσεις παρατήρησης των διαχρονικών υψοµετρικών διαφορών Η παράµετρος του χρόνου t (4 η διάσταση) λαµβάνεται συνήθως υπόψη µε την επανάληψη των παρατηρήσεων στο δίκτυο σε διαφορετικές χρονικές στιγµές, π.χ. κάθε έτος. Οι παρατηρήσεις κάθε εποχής συνορθώνονται ξεχωριστά και τα αποτελέσµατα (εκτιµήσεις υψοµέτρων) συγκρίνονται για να εντοπιστούν τυχόν µετατοπίσεις. Για να προσδιοριστεί το κατά πόσο οι µετατοπίσεις αυτές είναι πραγµατικές (και όχι φαινοµενικές που οφείλονται στη διαφορετική επίδραση των σφαλµάτων των παρατηρήσεων σε κάθε εποχή) εφαρµόζονται στατιστικοί έλεγχοι. Η προσέγγιση αυτή έχει ένα σοβαρό µειονέκτηµα: αγνοεί το γεγονός ότι η µετακίνηση σηµείων πάνω στην επιφάνεια της γης δεν µπορεί να είναι εντελώς αυθαίρετη. ύο γειτονικά σηµεία (που δεν χωρίζονται από ένα ρήγµα) θα έχουν παρόµοιες µετακινήσεις για την ίδια χρονική στιγµή, όπως παρόµοιες θα είναι και οι µετακινήσεις ενός σηµείου σε δύο γειτονικές χρονικές στιγµές. Γενικά οι µετακινήσεις σε δύο σηµεία θα είναι περισσότερο όµοιες όσο πιο κοντά βρίσκονται τα σηµεία και όσο πλησιέστερες είναι οι χρονικές στιγµές. Η αλληλεξάρτηση αυτή των µετακινήσεων, δηλαδή των διαφορών των υψοµέτρων δh(t) = h(t) h(t ) σε σχέση µε τα υψόµετρα µιας αρχικής στιγµής αναφοράς t, µπορεί να εκφραστεί µε δύο τρόπους, είτε ντετερµινιστικά, είτε στοχαστικά, αλλά και µε το συνδυασµό των δύο αυτών προσεγγίσεων. Στην ντετερµινιστική προσέγγιση οι µετακινήσεις δr θεωρούνται συναρτήσεις του χρόνου t και του τόπου r = r(t ) δηλαδή δ r = δr( r,t) (4.3)

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 39 Συνολικά, οι παράµετροι που εµφανίζονται στη συνόρθωση είναι οι αρχικές συντεταγ- µένες r των κορυφών του δικτύου τη στιγµή t, οι µετακινήσεις δr κάθε κορυφής για κάθε στιγµή παρατήρησης t, τα αρχικά σήµατα βαρύτητας τη στιγµή t και οι µεταβολές τους κατά τη στιγµή της παρατήρησης t. Οι µετακινήσεις δr(r,t), τα αρχικά σήµατα βαρύτητας s(r), και οι χρονικές µεταβολές τους δs(r,t) εξαρτώνται από αντίστοιχες άγνωστες συναρτήσεις του χώρου και του χρόνου, είναι δηλαδή σήµατα σύµφωνα µε την αντιµετώπιση της ολοκληρωµένης γεωδαισίας. Α- νάλογα µε τον τρόπο που αντιµετωπίζονται οι συναρτήσεις αυτές προκύπτουν διαφορετικά µοντέλα συνόρθωσης. Με την αναλυτική προσέγγιση εισάγονται νέες παράµετροι στο µοντέλο στη θέση των αντίστοιχων σηµάτων, ενώ η στοχαστική προσέγγιση απαιτεί την εισαγωγή κατάλληλων συναρτήσεων συµµεταβλητότητας. υνατή είναι και η υβριδική προσέγγιση, όπου οι άγνωστες συναρτήσεις αποτελούνται από ένα αναλυτικό µέρος (που εξαρτάται από άγνωστες παραµέτρους) και από ένα στοχαστικό µέρος. Επίσης είναι δυνατό για τις συναρτήσεις χωρο χρόνου δr(t,r), T(t,r) να χρησιµοποιηθεί διαφορετική προσέγγιση (αναλυτική, στοχαστική, υβριδική) για το χωρικό τους µέρος από ότι για το χρονικό. Επειδή τόσο οι µετακινήσεις όσο και οι µεταβολές του πεδίου βαρύτητας µε το χρόνο είναι πολύ µικρές, προτιµάται για το χρονικό µέρος η χρήση αναλυτικών συναρτήσεων µε λίγες άγνωστες παραµέτρους (π.χ. πολυώνυµα ως προς t, ου ή ου το πολύ βαθµού). Μια συστηµατική ανάλυση των διαφόρων µαθηµατικών µοντέλων και των αντίστοιχων µεθόδων συνόρθωσης που χρησιµοποιούνται στην τετραδιάσταση ολοκληρωµένη γεωδαισία έχει δοθεί από τον Ρωσσικόπουλο (986). Οι µέθοδοι στατιστικής αξιολόγησης των µοντέλων αυτών σε συγκεκριµένες εφαρµογές έχουν δοθεί από τους (Dermans and Rosskopoulos 99). Το µαθηµατικό µοντέλο για τις παρατηρήσεις των τετραδιάστατων δικτύων, αποτελεί γενίκευση του αντίστοιχου των τρισδιάστατων δικτύων µε εισαγωγή και της παραµέτρου του χρόνου. Όλες οι παρατηρήσεις συµπεριλαµβανοµένων και των παρατηρήσεων του πεδίου βαρύτητας για τα τρισδιάστατα ή τα κατακόρυφα δίκτυα µπορούν να αναλυθούν ταυτόχρονα χρησιµοποιώντας µοντέλο της µορφής b = A x + G s + v (4.4) όπου G ένας πίνακας βάρους των σηµάτων. Επιπλέον µπορούν να χρησιµοποιηθούν γεωφυσικές πληροφορίες που να περιγράφουν την µεταβολή του πεδίου βαρύτητας. Σε αυτήν την περίπτωση είναι απαραίτητη η χρήση ταχυτήτων πρωτευόντων σεισµικών κυµάτων και ενός γεωφυσικού µοντέλου (Hen 98a,b,985). Τα προηγούµενα δεδοµένα συνδέονται µε τα ετερογενή δεδοµένα που αναλύθηκαν (βάσεις GPS, γεωµετρική χωροστάθµηση και τι- µές βαρύτητας) µέσα από τα σήµατα του πεδίου βαρύτητας. Πριν αναφερθούν οι εξισώσεις παρατήρησης των βάσεων GPS, γεωµετρικής χωροστάθµησης και τιµών βαρύτητας στον χρόνο είναι καλό να τονιστεί ότι η σύνδεση ετερογε-

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 4 νών παρατηρήσεων σε διαφορετικές εποχές γίνεται µέσα από τα σήµατα του πεδίου βαρύτητας ή το πεδίο βαρύτητας (π.χ May 996, Salopek 998). Έστω λοιπόν οι χρονικοί περίοδοι t, t όπου έχουν γίνει παρατηρήσεις χωροστάθµησης, t = t, t η () () χρονική [ t = ] [ 3 4 ] (3) [ t, t ] περίοδος µε βασικές παρατηρήσεις τιµές βαρύτητας και t = η χρονική περίοδος µε παρατηρήσεις βάσεις GPS. Επειδή ισχύει ότι t z = t hsnϕ και σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι η βαρύτητα και το υψόµετρο έχουν γραµµική σχέση σύνδεσης (Heck and Mazler 983) αποδεικνύεται ότι 5 6 t 34 t t h.383 = t H, 34 h g 34 t 56 t h h 34 t g =, 56 z.383 t t 56 t h h 34 t g = (4.5) 56.383 z t Από τις προηγούµενες σχέσεις φαίνεται ότι η σύνδεση µεταξύ διαφορετικών εποχών µπορεί να γίνει µέσα από το πεδίο βαρύτητας ή πιο συγκεκριµένα µέσα από τα σήµατα του πεδίου βαρύτητας. Στην περίπτωση των εξισώσεων παρατήρησης µε το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας η έννοια του πεδίου βαρύτητας εισάγεται διαµέσου των σηµάτων του πεδίου βαρύτητας τα οποία διαχωρίζονται από την γεωµετρική πληροφορία. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο την σχέση (4.) προκύπτει ότι r & = h& m= (H& + N& ) m (4.6) Από την προηγούµενη σχέση συµπεραίνει κανείς ότι στα κατακόρυφα διαχρονικά δίκτυα της ολοκληρωµένης γεωδαισίας εκτός από την µεταβολή του ορθοµετρικού υψοµέτρου εµφανίζεται και η µεταβολή της αποχής του γεωειδούς (µεταβολή σήµατος). Συνοπτικά λοιπόν ισχύει ότι οι εξισώσεις παρατήρησης για βάσεις GPS, χωροσταθµικές οδεύσεις (LEV) και τιµές βαρύτητας (GRAV) δίνονται από την σχέση b b b GPS j LEV j GRAV (t) m (t) = (t) kmsn φ 3 (R + Z ) j δη δη m (t) + (t) kmsn φ 3 (R + Z ) δε δε y (t) [ P ( r r ) P ( r r ) P ( r r ) ( r r )] + v x j y m j j z j j m j x (t) δε z (t) δλ(t) δn (t) δn + j(t) δg (t) (4.7)

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 4 όταν και το πεδίο βαρύτητας είναι µεταβλητό, άρα και τα σήµατα µεταβάλλονται µε το χρόνο ή b b b GPS j LEV j GRAV (t) m (t) = (t) kmsn φ 3 (R + Z ) j δη δη m (t) + (t) kmsn φ 3 (R + Z ) δε δε y (t) [ P ( r r ) P ( r r ) P ( r r ) ( r r )] + v x j y m j j z j j m j x (t) δε z (t) δλ(t) δn δn + j δg (4.8) όταν το πεδίο βαρύτητας θεωρείται αµετάβλητο και οι διαφορές βαρύτητας που παρατηρούνται οφείλονται στις γεωµετρικές µεταβολές, οπότε τα σήµατα είναι σταθερά στο χρόνο και t =,,, n εποχή µέτρησης κάθε παρατήρησης που δεν συµπίπτουν αναγκαστικά. Επιπλέον ισχύει ότι GPS b b = r r + N m + m ) (4.9) b j Η j j b j j j ( j = H H (4.3) g b b km b = g γ Ν sn ϕ (4.3) 3 (R + Z) 4.3 Στοχαστική αντιµετώπιση των µεταβολών του πεδίου βαρύτητας στον χώρο και τον χρόνο Επειδή τα σήµατα σύµφωνα µε την προηγούµενη αντιµετώπιση είναι ασύνδετα µεταξύ τους στον χρόνο αποφασίσθηκε η ταυτόχρονη συνόρθωση όλων των παρατηρήσεων χρησιµοποιώντας µία χωροχρονική συνάρτηση συµµεταβλητότητας. Η µεταβολή του πεδίου βαρύτητας έχει σαν συνέπεια την µεταβολή των σηµάτων που προέρχονται από αυτό στον χρόνο. Οι εξισώσεις παρατήρησης που περιγράφουν το συγκεκριµένο πρόβληµα δίνονται από τις σχέσεις

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 4 + + = n n n n n n v v v s s s G G G x x x A A A b b b M M K M O M M K K M K M O M M K K M (4.3) και η συνθήκη ελαχιστοποίησης είναι β= β αβ α α= α α α = + n s T n T mn ) ( s K s v P v (4.33) όπου α =,,, n και β =,3,,n οι εποχές µέτρησης. Η επίλυση του παραπάνω συστήµατος δίνεται από την σχέση α α Τ α α α + = x x ) ~ ( ˆ u Ε Ε Ν x (4.34) όπου = = α T L M O M M L L E E E (4.35) Τ α α α α α α α α + = s x s s s x x x ) ( ~ N P N N N N (4.36) ) ˆ ( ) ( ~ s s s s s s x x x α γ= γ Τ α γ α α α α α α α + = s P u P N N u u (4.37) ) ˆ xˆ ( ) ( ˆ s s s x s s s α γ= γ Τ α Τ α α γ α γ α α α + = s P Ν u P N s (4.38) Ο πίνακας είναι ο υποπίνακας του αντιστρόφου που αναφέρονται στα σή- µατα και µεταξύ των εποχών και. Ο πίνακας Ε των εσωτερικών δεσµεύσεων ισχύει στην ντετερµινιστική αντιµετώπιση των σηµάτων. Στην στοχαστική αντιµετώπιση των σηµάτων η επιφάνεια αναφοράς ορίζεται µέσα από την ελαχιστοποίηση των σηµάτων. Σε τοπική όµως κλίµακα το διάνυσµα της βαρύτητας είναι σχεδόν παράλληλο σε όλα τα σηµεία και συνεπώς η ελαχιστοποίηση της ποσότητας δεν επαρκεί στον ορισµό της επιφάνειας αναφοράς. Για να ξεπεραστούν αριθµητικά προβλήµατα γίνεται χρήση του ί- διου πίνακα Ε των εσωτερικών δεσµεύσεων που χρησιµοποιήθηκε στην ντετερµινιστική ) αβ ( s K ) ( s K α s β s α t β t s K s T

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 43 αντιµετώπιση των σηµάτων. Η στοχαστική αντιµετώπιση των σηµάτων στο χώρο και τον χρόνο απαλείφει τον ορισµό διαφορετικών επιφανειών αναφοράς. Για την εποχή t t = α οι προηγούµενοι πίνακες απλοποιούνται και ισχύει ότι s s s s x x x ) ( ~ u P N N u u + = (4.39) ) ˆ ( ) ( ˆ s x s s s x Ν u P N s Τ + = (4.4) Επειδή τα σήµατα ορίζονται στον χώρο και τον χρόνο η συνάρτηση συµµεταβλητότητας µοντέλο περιέχει πληροφορία για τα σήµατα και θα πρέπει να πληρεί τις ιδιότητες της οµοιογένειας και της ισοτροπίας στις τρεις διαστάσεις. Αυτό γίνεται γιατί η συνάρτηση δεν αναφέρεται στην επιφάνεια του γεωειδούς, αλλά στην φυσική επιφάνεια του εδάφους. Τα σήµατα και οι µετακινήσεις µπορούν να αντιµετωπισθούν σαν ντετερµινιστικά µεγέθη ή σαν στοχαστικά µεγέθη ή µε την βοήθεια µιας αναλυτικής συνάρτησης. Η ταυτόχρονη ντετερµινιστική αντιµετώπιση στον χρόνο των µετακινήσεων και των σηµάτων του γήινου πεδίου βαρύτητας είναι ισοδύναµη µε την χωριστή συνόρθωση των παρατηρήσεων. Η στοχαστική προσέγγιση των µετακινήσεων και η ταυτόχρονη ντετερµινιστική των σηµάτων δεν έχει πρακτική αξία, επειδή περιπλέκεται υπερβολικά το υπολογιστικό πρόβληµα και χάνεται η πληροφορία εξαιτίας της συσχέτισης των σηµάτων του πεδίου βαρύτητας στο χρόνο. Εξάλλου, αν υπάρχει ασυνέχεια στις µεταβολές του πεδίου βαρύτητας, τότε θα υ- πήρχε και χρονική ασυνέχεια στις µετακινήσεις. Αντίθετα πρακτική αξία έχει η ντετερµινιστική αντιµετώπιση των µετακινήσεων και η ταυτόχρονη στοχαστική προσέγγιση των ση- µάτων του πεδίου βαρύτητας η οποία και εφαρµόσθηκε. 4.4 Κατακόρυφες µετακινήσεις σε αµετάβλητο πεδίο βαρύτητας Στην περίπτωση όπου οι µεταβολές στις τιµές βαρύτητας οφείλονται σε γεωµετρικές µεταβολές, τότε µπορεί να θεωρηθεί ότι το πεδίο βαρύτητας είναι αµετάβλητο. Αυτό σηµαίνει ότι τα σήµατα στον χρόνο είναι απόλυτα συσχετισµένα (Ρωσσικόπουλος 986). Στην περίπτωση αυτή το σύστηµα των κανονικών εξισώσεων δίνεται από την σχέση [] + + = n n n n n v v v s G G G x x x A A A b b b M M M K M O M M K K M (4.4) Οι συντεταγµένες των σηµείων στις διάφορες εποχές αντιµετωπίζονται είτε σαν µεγέθη στοχαστικά στον χώρο και ντετερµινιστικά στον χρόνο, ή ντετερµινιστικά στον χρόνο και

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 44 στοχαστικά στον χώρο, ή στοχαστικά στον χρόνο και τον χώρο ή ντετερµινιστικά στον χώρο και τον χρόνο. Η επίλυση του παραπάνω συστήµατος όπου οι συντεταγµένες αντιµετωπίζονται ως ντετερµινιστικές παράµετροι στον χώρο και τον χρόνο, γίνεται ελαχιστοποιώντας την συνθήκη n α= T T v P v + s K s = mn (4.4) α α και δίνεται από την σχέση όπου α s Τ ˆx = Ν + Ε Ε ) ( u Ν ˆ α α α s) (4.43) ( x x x s α α α Τ Τ N x = A P Α, = A P G, = A P b (4.44) α s Τ α s α α N x s α α α α u x α α ~ sˆ = N u~ (4.45) N ~ n t T Τ s = Ns + K s N x s ( N x + Ε ) α α αεα N xαs α= n t T Τ s = us + K s N x s ( N x + Ε ) α α αεα u xαs α= α α (4.46) u ~ (4.47) Η παραπάνω θεώρηση που αφορά των υπολογισµό ορθοµετρικών υψοµέτρων και σηµάτων που προέρχονται από το πεδίο βαρύτητας καθώς και των διαχρονικών µεταβολών τους περιπλέκει τα πράγµατα γιατί δηµιουργούνται έντονα υπολογιστικά προβλήµατα κατά τον υπολογισµό του δικτύου, τα οποία λύνονται µε την βοήθεια σύγχρονων υπολογιστών. Το αντιστάθµισµα όµως αυτής της υπολογιστικής επιβάρυνσης είναι η αυξηµένη αξιοπιστία των αποτελεσµάτων. 4.5 Το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας και η χρήση γεωφυσικών δεδοµένων Η συµπεριφορά της µάζας και η κατ επέκταση µεταβολή ή όχι της πυκνότητας αλλάζει από περιοχή σε περιοχή. Για να παρακολουθήσει κανείς ή όχι την συµπεριφορά του σεισµού πριν συµβεί το γεγονός είναι σηµαντική η µέτρηση και χρήση πρωτευόντων σεισµικών κυµάτων µε την βοήθεια του µοντέλου της ολοκληρωµένης γεωδαισίας. Με τον τρόπο αυτό εµπλουτίζεται η πληροφορία στην τεκτονικά ενεργά περιοχή και συνδυάζονται µε αυτόν τον τρόπο ετερογενείς γεωδαιτικές παρατηρήσεις µε σεισµικά δεδοµένα. Σχετική εργασία µε πλήρη και συστηµατική ανάλυση δόθηκε από τους Hen et al. (986). Η πυκνότητα

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 45 των πετρωµάτων µπορεί να µετρηθεί µε την βοήθεια ταχυτήτων πρωτευόντων σεισµικών κυµάτων και ισχύει ότι ρ = αv. (4.48) 5 p (Gardner et al 978, http://www.cflhd.gov) όπου ο συντελεστής α =. 3 όταν η ταχύτητα των σεισµικών κυµάτων v (P waves) δίνεται σε m/sec και ρ η πυκνότητα σε gr/cm 3. Η προηγούµενη σχέση είναι εµπειρική και ισχύει για βάθη µέχρι 3m. Επειδή η διαταραχή της βαρύτητας και η πυκνότητα συνδέονται γραµµικά ισχύει ότι (Gardner et al 978) δg = g γ = πk α v. 5 p h γ (4.49) ή υπό µορφή πινάκων ισχύει ότι [ δg] v.5 πkαv h γ = + (4.5) p Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι η σύνδεση ετερογενών γεωδαιτικών παρατηρήσεων και σεισµικών µετρήσεων στις ίδιες ή διαφορετικές εποχές µπορεί να γίνει µέσα από την λογική του σήµατος (διαταραχή της βαρύτητας). Οι ταχύτητες πρωτευόντων σεισµικών κυµάτων κατά την διάρκεια του σεισµού του 978 και τα αντίστοιχα βάρη των παρατηρήσεων δίνονται από τους Trantaflds et al (). Αυξάνοντας µε αυτόν τον τρόπο τους βαθµούς ελευθερίας δηλαδή χρησιµοποιώντας ένα γεωφυσικό µοντέλο και ταχύτητες σεισµικών κυ- µάτων επιδιώκει κανείς την απαλοιφή ή ελαχιστοποίηση των διαταράξεων γιατί αυξάνονται οι βαθµοί ελευθερίας και συνεπώς η πληροφορία στην περιοχή µελέτης της Βόλβης. Οι εξισώσεις παρατήρησης στην περίπτωση χρήσης βάσεων GPS και ταχυτήτων σεισµικών κυµάτων είναι οι εξής b A G v = [] x + [] s + (4.5) b G v Η επίλυση του παραπάνω συστήµατος τοποθετεί τις βάσεις για περαιτέρω αναζήτηση σε άλλα προβλήµατα που σχετίζονται µε µεγέθη όπως η πυκνότητα (αντίστροφο πρόβληµα) ή ο υπολογισµός του επικέντρου του σεισµού µέσα από το σήµα της διαταραχής της βαρύτητας που υπεισέρχεται ως άγνωστη παράµετρος στο πρόβληµα µας. Ικανή και αναγκαία

Κατακόρυφες µετακινήσεις µε τις µεθόδους της ολοκληρωµένης γεωδαισίας 46 συνθήκη για το προαναφερθέν αντίστροφο πρόβληµα είναι η χρήση σεισµολογικών και γεωφυσικών δεδοµένων όπου ο συνδυασµός τους µε ετερογενή γεωδαιτικά δεδοµένα µπορεί να γίνει µέσα από το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας. Για τα κλασικά κατακόρυφα δίκτυα η χρήση σεισµικών δεδοµένων σε συνδυασµό µε γεωφυσικά µοντέλα δεν έχει κανένα νόηµα γιατί ούτε βελτιώνεται η ακρίβεια των ορθοµετρικών υψοµέτρων ούτε υπεισέρχονται αλλαγές σε αυτά.

5 Οι συναρτήσεις συµµεταβλητότητας του πεδίου βαρύτητας 5. Γενικά Στα κλασσικά τοπογραφικά δίκτυα εµφανίζεται ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων των τυχαίων σφαλµάτων των παρατηρήσεων. Τα στοιχεία του προκύπτουν από την στατιστική επεξεργασία των παρατηρήσεων του συγκεκριµένου οργάνου που χρησιµοποιεί- Τ ται και δίνεται από τη σχέση: = Ε{ vv } Σ, επειδή Ε{ v } =. Ο πίνακας αυτός εισάγει στη συνόρθωση πληροφορίες σχετικές µε τη συµπεριφορά των τυχαίων σφαλµάτων, που υπεισέρχονται στις παρατηρήσεις. Στην αντιµετώπιση των κατακόρυφων δικτύων, από τη σκοπιά της ολοκληρωµένης γεωδαισίας, σχηµατίζεται εκτός από τον πίνακα συµµεταβλητοτήτων των τυχαίων σφαλµάτων των παρατηρήσεων και ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων των σηµάτων Κ, που προέρχονται από το γήινο πεδίο βαρύτητας. Ο πίνακας αυτός περιέχει πληροφορίες σχετικές µε τη συµπεριφορά των σηµάτων, ώστε να συνδεθούν κατ αρχήν τα σήµατα µεταξύ τους και να είναι δυνατός ο διαχωρισµός τους από τα τυχαία σφάλµατα. Οι συµ- µεταβλητότητες των σηµάτων είναι οι τιµές των αντίστοιχων συναρτήσεων συµµεταβλητότητας. Ο όρος συµµεταβλητότητα έχει διαφορετική σηµασία στην περίπτωση των τυχαίων σφαλµάτων και διαφορετική για τις ποσότητες που εξαρτώνται από το γήϊνο πεδίο βαρύτητας. Αν εφαρµοστεί ο τελεστής Ε{} της µαθηµατικής προσδοκίας στο διαταρακτικό δυναµικό, προκύπτει ότι ET { } = T. Με βασικό επιχείρηµα το ότι υπάρχει ένα µόνο συγκεκριµένο πεδίο βαρύτητας, υπάρχουν αµφισβητήσεις σχετικά µε τη στοχαστική αντιµετώπιση των σηµάτων. Το επιχείρηµα αυτό αντιµετωπίζεται µε τη βοήθεια της έννοιας της εργοδικότητας: οι τιµές της συνάρτησης µιας ποσότητας πάνω στην επιφάνεια ορισµού της, παίρνουν τη θέση των τιµών των τυχαίων συναρτήσεων πάνω στην επιφάνεια αυτή. Για το διαταρακτικό δυναµικό µπορεί να γραφεί Μ{Τ}=, όπου ο τελεστής Ε{ } της µαθηµατικής προσδοκίας αντικαταστάθηκε από τον τελεστή Μ{ } του µέσου όρου των τιµών της συνάρτησης του διαταρακτικού δυναµικού πάνω στην

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 48 επιφάνεια ορισµού της. Η συµµεταβλητότητα µεταξύ των τιµών του διαταρακτικού δυναµικού σε δύο σηµεία και είναι P ( j) ( r) ( rj) { P j στ, Τ = ΜΤ Τ } (5.) Πρακτικά είναι αδύνατο να βρεθεί συνάρτηση συµµεταβλητότητας χρησιµοποιώντας τη σχέση (5.), αφού είναι άγνωστες οι τιµές του διαταρακτικού δυναµικού σε όλη την επιφάνεια ορισµού της. Αυτό είναι φυσικό, υπό την προϋπόθεση ότι τα σήµατα θα µπορούσαν να υπολογιστούν, αν ήταν γνωστές οι τιµές. Αντί λοιπόν για τη θεωρητική συνάρτηση συµµεταβλητότητας, µπορούν να υπολογιστούν οι τιµές µιας εµπειρικής συνάρτησης συµµεταβλητότητας, αν είναι γνωστές οι τιµές του διαταρακτικού δυναµικού σε ένα πεπερασµένο αριθµό σηµείων. Οι τιµές του διαταρακτικού δυναµικού είναι άγνωστες, αντίθετα όµως είναι διαθέσι- µες τιµές της ανωµαλίας βαρύτητας. Αρχικά λοιπόν, υπολογίζονται διακριτές τιµές συµµεταβλητοτήτων των ανωµαλιών βαρύτητας, από τη στατιστική επεξεργασία σχετικών δεδοµένων. Στις τιµές αυτές προσαρµόζεται µία κατάλληλα επιλεγµένη συνάρτηση αναλυτικής µορφής. Η συνάρτηση αυτή καλείται συνάρτηση συµµεταβλητότητας- µοντέλο της ανωµαλίας βαρύτητας. Με τη βοήθεια της θεµελιώδους σχέσης της φυσικής γεωδαισίας (στη σφαιρική προσέγγιση) όπου T g = r r T, (5.) r = X + Y + Z r = R+ z + x + y ή ( ) για το παγκόσµιο σύστηµα συντεταγµένων ή για το τοπικό αντίστοιχα, υπολογίζεται η συνάρτηση συµµεταβλητότητας-µοντέλο του διαταρακτικού δυναµικού. Ο ορισµός της συνάρτησης συµµεταβλητότητας πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας, όταν εξετάζεται το πεδίο βαρύτητας σε όλη την επιφάνεια της γης, είναι ικανοποιητικός. Όταν όµως το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στο πεδίο βαρύτητας µιας µικρής περιοχής, τότε µια τοπική συνάρτηση συµµεταβλητότητας προσαρµόζεται καλύτερα, αφού επεξεργάζεται πιο πυκνή πληροφορία. Χρήσιµο είναι επίσης να προσεγγισθεί η επιφάνεια ορισµού της συνάρτησης από ένα επίπεδο, αφού οι αποστάσεις της περιοχής είναι πολύ µικρότερες σε σχέση µε την ακτίνα της γης. Ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων των σηµάτων πρέπει να είναι θετικά ορισµένος. Αναγκαία, αλλά όχι ικανή, συνθήκη γι αυτό είναι η συνάρτηση συµµεταβλητότητας να είναι θετικά ορισµένη. Άλλες ιδιότητες που πρέπει να ικανοποιεί η συνάρτηση είναι η οµοιογένεια και η ισοτροπία (Heskanen and Mortz 967). Όταν το πεδίο ορισµού των στοχαστικών συναρτήσεων είναι το επίπεδο ή οι τρεις διαστάσεις, ορίζονται ανάλογα οι οµογενείς και οι ισότροπες (µε την ευρεία έννοια) στοχαστικές συναρτήσεις για τις ο- ποίες η µέση συνάρτηση είναι σταθερή, m(p) = m = σταθ.

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 49 5. Ο υπολογισµός της συνάρτησης συµµεταβλητότητας Για τον υπολογισµό µιας συνάρτησης συµµεταβλητότητας σε τοπική κλίµακα ισχύουν τα ακόλουθα στάδια α) Υπολογισµός των εµπειρικών τιµών της συνάρτησης, από τη στατιστική ανάλυση σχετικών δεδοµένων σε διακριτά σηµεία β) Προσαρµογή του επιλεγµένου µοντέλου της συνάρτησης στις τιµές που προέκυψαν γ) Επέκταση της συνάρτησης στον ηµιχώρο πάνω από το επίπεδο ορισµού της, έτσι ώστε να διατηρεί τις ιδιότητες της οµοιογένειας και της ισοτροπίας στις τρεις διαστάσεις. Αυτό γίνεται επειδή τα άγνωστα σήµατα δεν αναφέρονται στο επίπεδο ορισµού της συνάρτησης, αλλά στη φυσική επιφάνεια του εδάφους. Στον πίνακα () δίνονται διάφορες επιλογές συναρτήσεων συµµεταβλητότητας του διαταρακτικού δυναµικού στο χώρο και οι αντίστοιχες συναρτήσεις συµµεταβλητότητας της ανωµαλίας βαρύτητας στο επίπεδο ορισµού της, για την προσαρµογή της συνάρτησης στα σχετικά δεδοµένα. Πίνακας.Μοντέλα συνάρτησης συµµεταβλητότητας της ανωµαλίας βαρύτητας και του διαταρακτικού δυναµικού σε επίπεδη προσέγγιση (Ρωσσικόπουλος, 986) Μοντέλο Ανωµαλίας βαρύτητας Κ g (S) ιαταρακτικού δυναµικού K(S,z) Εκθετική σ e g S d C (,) E Relly σ ( g S d )e S d C (,) R Mortz 3 σ d g d (S S + 5 d ) σ g S 3 d + (z + d) Posson 5 6d 9S σ (z + 4 d)d σ d g g 7 6 (S + (z + d) 3 ) (S + d ) C E (q, m) d = σg ( ) m k q ρ l m + q + k + m + q + k + ( ζ) Γ + ρ = ( ) ; m ; ) k F ( m! k! k + + ζ C d q l q k ( ) E (q, m) = σg ( ) Γ = ( ), = j k k! d R (q, S C m) = C E (q, m), ρ =, d ζ = ( z + z j ) d, j

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 5 F είναι η γενικευµένη υπεργεωµετρική συνάρτηση (βλ. π.χ. Abramowtz and Stegun, 97) F (a; c; x) a a(a + ) = + x + c c(c + ) x! + L 3 5... ( x ) Γ ( x) = (x )! όπου x f x Z ή Γ (x + ) = Γ( ) x Η υπεργεωµετρική συνάρτηση F που χρησιµοποιείται στις συναρτήσεις Relly και εκθετική βοηθάει να ξεπεραστούν τα αριθµητικά προβλήµατα. Στην περίπτωση που καταφύγει κανείς στην χρησιµοποίηση της οι τιµές του x προκύπτει κοντά στο µηδέν µε αποτέλεσµα οι τιµές για το Γ(x) να είναι απροσδιόριστες. Επιπλέον διαπιστώθηκε ότι στην περίπτωση χρησιµοποίησης της υπεργεωµετρικής συνάρτησης F οι τιµές είναι πολλαπλάσιες της µονάδος ή του.5. Αντίθετα στην περίπτωση χρησιµοποίησης της υπεργεωµετρικής συνάρτησης οι τιµές δεν είναι συµµετρικές µε αποτέλεσµα να υπάρχει δυσκολία στον προγραµµατισµό της συνάρτησης Γάµµα. F F 5.3 Η προσαρµογή της συνάρτησης συµµεταβλητότητας σε δεδοµένα του πεδίου βαρύτητας Οι εκτιµήσεις των τιµών της συνάρτησης συµµεταβλητότητας της ανωµαλίας βαρύτητας, προκύπτουν από την ανάλυση δεδοµένων σε διακριτά σηµεία, τα οποία είτε είναι οι κορυφές κάποιου καννάβου είτε κατανέµονται τυχαία. Η προσαρµογή ενός από τα µοντέλα που ορίστηκαν παραπάνω, για µία περιοχή µικρής έκτασης, µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους α) µε την χρησιµοποίηση των θεµελιωδών παραµέτρων (Mortz 98) β) µε την εφαρµογή της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Οι θεµελιώδεις παράµετροι που χαρακτηρίζουν µία συνάρτηση συµµεταβλητότητας (Mortz 98) είναι τρεις - η µεταβλητότητα σ - το µήκος συσχέτισης ξ και - ο συντελεστής καµπυλότητας χ Η µεταβλητότητα σ είναι η τιµή της συνάρτησης συµµεταβλητότητας για µηδενική απόσταση S=. Ισχύει δηλαδή ότι σ = Κ() (5.3)

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 5 Η µεταβλητότητα σ g της συνάρτησης συµµεταβλητότητας της ανωµαλίας βαρύτητας υπολογίζεται από τις αντίστοιχες τιµές, µε τη βοήθεια του τύπου σ = () (5.4) g K g Το µήκος συσχέτισης ξ είναι το µήκος για το οποίο η τιµή της συνάρτησης συµµεταβλητότητας γίνεται ίση µε το µισό της µεταβλητότητας σ, δηλαδή Κ ( ξ) σ = Κ() (5.5) Ο συντελεστής καµπυλότητας χ συνδέεται µε την καµπυλότητα κ της συνάρτησης Κ g στην τιµή S=, µέσω της σχέσης ξ χ = κ (5.6) σ g Η καµπυλότητα κ µιας συνάρτησης Κ δίνεται από τον τύπο κ= Κ ( + Κ ), όπου K = 3 / K S και K = Κ S (5.7) σ g Στη συγκεκριµένη περίπτωση επιλέγεται η βέλτιστη προσαρµογή της συνάρτησης συµµεταβλητότητας στις δειγµατικές τιµές. Άγνωστες παράµετροι της συνάρτησης είναι η µεταβλητότητα και το µήκος συσχέτισης d (ή ξ). Οι παράγωγοι που εµφανίζονται στο σύστηµα των κανονικών εξισώσεων είναι οι συντελεστές των αγνώστων στα αναπτύγµατα της σειράς Taylor και δίνονται στον συγκεντρωτικό πίνακα () για τις συναρτήσεις του πίνακα (). Αν ονοµαστεί µε ρ µία µέση απόσταση των σηµείων όπου είναι γνωστή η τιµή της βαρύτητας που βρίσκονται µέσα στον κύκλο (J είναι το σύνολο σηµείων που βρίσκονται στον κύκλο κέντρου και ακτίνας kρ), τότε οι εµπειρικές (δειγµατικές) τιµές της συνάρτησης δίνονται από την σχέση n C(kρ) = g g m = j J j (5.8) Το σύστηµα των κανονικών εξισώσεων για τη βέλτιστη προσαρµογή µιας από τις συναρτήσεις του πίνακα () στα εµπειρικά δεδοµένα που προκύπτουν από τη σχέση (5.8) παίρνει τη µορφή

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 5 q q q q δd$ u = u δσ$ (5.9)

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 53 Πίνακας. Βοηθητικές παράµετροι για την προσαρµογή της συνάρτησης συµµεταβλητότητας της ανωµαλίας βαρύτητας σε δειγµατικές τιµές (Ρωσσικόπουλος, 986) Μοντέλο Εκθετική Relly Mortz Posson K (S, z) (,) C C (, ) E R σ g (S 3 d + (d + / z) ) σ g 6(S 4 d + (d + 3 / z) ) S σ e d g (S) K g S 3 d S S σ d σ ( )e d g 5 / g (S + d ) d 5 σ d g d (S + 3S 7 / d ) K g σ ( ) g e S S S d d ( )e d 3 d S d 5 / (S + d ) 5 d d (S + 3S 7 / d ) K g d σ g S 3 d e S d S 4 d 3S S d.5s σ S d σ e d g 7 / g (S + d ) 5 d σ S g 4 d d (S + 5S 9 / d ) όπου δ d = d, δσ = () C() και d K g l K g q = (5.) k= d,s= kρ l K g K g q = (5.) = k d ( σ g ),S= kρ l K g q = (5.) 3 = k ( σ g ),S= kρ l K g ( ) u = C(S) K g (S) (5.3) k = d,s= kρ l K g u ( ) = C(S) K k= g (S) (5.4) ( σg ),S= kρ

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 54 Από την λύση του συστήµατος (5.9) των κανονικών εξισώσεων προκύπτουν οι ά- γνωστοι δ $d και δσ$ δ d $ = u q q q q q 3 3 και δσ$ = u q δd$ q 3 (5.5) Προσθέτοντας τις διορθώσεις δ d $, δσ$ στις προσεγγιστικές τιµές d και C(), προκύπτουν οι διορθωµένες τιµές d = d + dκαι, που αποτελούν τις δ $ K $ ( ) C( ) $ g = +δσ προσεγγιστικές τιµές σε µία επαναληπτική διαδικασία όλων των παραπάνω υπολογισµών, ακολουθώντας έτσι ένα σχήµα διαδοχικών προσεγγίσεων. Η επαναληπτική διαδικασία σταµατάει όταν η τιµή της διόρθωσης δ d $ είναι µικρότερη κατά απόλυτο τιµή από.m. Τα παραπάνω υλοποιήθηκαν µε το πρόγραµµα CD (Χατζηδάκης και Πετρίδου, 999), όπου ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να προσαρµόσει σε σειρές ανωµαλιών βαρύτητας ένα από τα τέσσερα µοντέλα συνάρτησης συµµεταβλητότητας. µεταβλητότητα (mgal) 8 6 4-55 65 75 33 385 44 495 55 3 4 5 6 7 8 9 απόσταση S(m) εµπειρική εκθετική Relly Mortz Posson Σχήµα. Προσαρµογή συνάρτησης µοντέλου στην δειγµατική συνάρτηση συµµεταβλητότητας Προς διάθεση της εν λόγω διατριβής βρίσκεται πλέγµα ανωµαλιών βαρύτητας ελευθέρου o o o o αέρα µε στοιχεία 4 5 ϕ 4 και 5 λ 4 5 αντίστοιχα. Ο αριθµός των µέσων τιµών ανωµαλιών βαρύτητας ανέρχεται σε 576. Οι τιµές αυτές αναφέρονται στο διεθνές σύστηµα βαρύτητας IGSN7 και στο γεωδαιτικό ελλειψοειδές αναφοράς GRS8. Με την χρησιµοποίηση του πλέγµατος ανωµαλιών βαρύτητας µέσω του προγράµµατος CRECOF (Ρωσσικόπουλος 986) υπολογίσθηκαν οι εµπειρικές τιµές των µεταβλητοτήτων της ανωµαλίας βαρύτητας για διάφορες αποστάσεις S οι οποίες σ g αναλυτικά δίνονται στον πίνακα 3α.

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 55 Πίνακας 3α. Οι εµπειρικές τιµές του πεδίου βαρύτητας στην περιοχή της Βόλβης για την προσαρµογή µιας συνάρτησης συµµεταβλητότητας: οι τιµές των µεταβλητοτήτων σ g (σε mgal ) για διάφορες αποστάσεις S=kρ (σε m, ρ=55 m). k S(m) σ g (mgal ). 88.97 55. 744.3. 644.534 3 65. 5.965 4. 4.35 5 75. 9.56 6 33. 3.8 7 385. 86.4 8 44. 5.3 9 495. 7.55 55. 86.95 Οι τιµές για την µεταβλητότητα της ανωµαλίας βαρύτητας και το µήκος συσχέτισης d για τα τέσσερα µοντέλα (εκθετικό, Relly, Mortz, Posson) για την περιοχή της Βόλβης, δίνονται στον πίνακα 3β. σ g Πίνακας 3β. Οι µεταβλητότητες σ g (σε mgal ) και τα µήκη συσχέτισης d (σε m) για τις τέσσερεις συναρτήσεις µοντέλα σ g (mgal ) µήκος συσχέτισης d (m) Εκθετική 777.38 66.794 Relly 79.56 3666.97 Mortz 789. 4874.483 Posson 763.4 6983.4 Στην στοχαστική αντιµετώπιση των σηµάτων ένα από τα βασικότερα θέµατα είναι η επιλογή της συνάρτησης συµµεταβλητότητας. Παρατηρώντας το µήκος συσχέτισης της εκθετικής συνάρτησης διαπιστώνει κανείς ότι είναι σαφώς µικρότερο από αυτό που προκύπτει για τις συναρτήσεις του Relly, Mortz, Posson. Αυτό σηµαίνει ότι µπορεί να χρησιµοποιηθεί (η εκθετική συνάρτηση) για περιοχές µελέτης µε έκταση όσο είναι της Βόλβης δηλαδή 5km. Από το παραπάνω πλέγµα και µε την λογική της σηµειακής προσαρµογής (Mortz 98, ερµάνης 984, Κατσάµπαλος και Τζιαβός 99) υπολογίσθηκαν οι ανωµαλίες βαρύτητας για τις κορυφές του γεωδαιτικού δικτύου. Από τις ανωµαλίες ελευθέρου αέρα υπολογίσθηκαν τιµές βαρύτητας και στην συνέχεια χρησιµοποιήθηκαν ως παρατηρήσεις στο µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας. Οι τιµές που προέκυψαν δίνονται στον πίνακα (3γ).

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 56 Πίνακας 3γ.Τιµές βαρύτητας/τυπικές αποκλίσεις (mgal) g 38 9863.86 ±8.33 54 9854.475 ±8.4 33 986.937 ±8.34 56 9867.76 ±8.9 44 988.3 ±8.34 64 9863.86 ±8.9 444 986.583 ±8.4 77 9893.55 ±8.4 45 985.3 ±8.4 46 98.865 ±8.4 5 9893.55 ±8.33 5 9869.865 ±8. Ο υπολογισµός παρατηρήσεων γίνεται γιατί για τον υπολογισµό ορθοµετρικών παρατηρήσεων απαιτείται πληροφορία σχετική µε το πεδίο βαρύτητας. Ο συλλογισµός αυτός GPS GRAV επαληθεύεται και µέσα από την σχέση σύνδεσης των υψοµέτρων H = h N, όπου ξεκαθαρίζεται ότι για τον υπολογισµό των ορθοµετρικών υψοµέτρων είναι απαιτητή, εκτός από την γεωµετρική πληροφορία που την παίρνει κανείς από µετρήσεις του GPS και πληροφορία σχετική µε το πεδίο βαρύτητας. Στην συνέχεια εξετάζεται ποιο µοντέλο δίνει καλύτερα αποτελέσµατα διορθώσεων α- ποχών του γεωειδούς για διαφορετικούς συνδυασµούς δεδοµένων. Επειδή οι διορθώσεις των αποχών του γεωειδούς για τα µοντέλα της εκθετικής συνάρτησης/relly και του Mortz/Posson είναι ίσες, έγινε διαχωρισµός σε δύο οµάδες συναρτήσεων. Έτσι δηµιουργήθηκε η οµάδα συναρτήσεων Ο (εκθετική, Relly) και η οµάδα συναρτήσεων Ο (Mortz, Posson). Για τις αντίστοιχες οµάδες συναρτήσεων τα σήµατα (διορθώσεις των υψοµέτρων του γεωειδούς) για παρατηρήσεις βάσεων GPS του 995 κάνοντας χρήση του µοντέλου της ολοκληρωµένης γεωδαισίας διατηρώντας το πεδίο βαρύτητας αµετάβλητο είναι Πίνακας 4. ιορθώσεις των αποχών του γεωειδούς δn(cm) κάνοντας χρήση των βάσεων GPS µε το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας θεωρώντας το πεδίο βαρύτητας αµετάβλητο. παρατηρήσεις GPS ιόρθωση αποχών γεωειδούς (cm) σηµείο Ο Ο 38. -.8 mn -. -.78 33. -.84 max. -.9 44 -. -.84 x. -.85 45 -.6 -.89 s..4 46 -.6 -.9 n = n = n = 5 -.6 -.78 54 -.7 -.88 64.5 -.8 77.9 -.86 444 -.7 -.89 Για τον προηγούµενο λόγο γίνεται ο έλεγχος της τυπικής απόκλισης της µέσης τιµής επιφανειών του γεωειδούς από την προσεγγιστική τιµή του γεωειδούς που λαµβάνει κανείς µέσα από ένα χάρτη γεωειδούς. Αντί λοιπόν να εξεταστεί εάν προσαρµόζεται καλά η συνάρτηση συµµεταβλητότητας των σηµάτων Κ πάνω στην εµπειρική συνάρτηση (εποπτικός έλεγχος), εξετάζονται τα σήµατα σ(t, Tj ) = K. G

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 57 Πίνακας 5.Έλεγχος σηµαντικότητας των διαφορών των µέσων τιµών των διορθώσεων των αποχών του γεωειδούς του πίνακα 4. Η : µ µ = Η α : µ µ σ σ αποδοχή:, άγνωστες t t α / ν t = x x s s + n n s s ( + ) (n ) 4 4 s + s GPS t 65.8 ν ν 9 Για επίπεδο σηµαντικότητας α =.5 προκύπτει ότι.5 t 9 =.6 (5.6) Από τον πίνακα 5 φαίνεται ότι στην χρήση παρατηρήσεων βάσεων GPS οι διαφορές µεταξύ των λύσεων που παρουσιάζονται στον πίνακα (4) είναι σηµαντικές. Παρατηρεί κανείς ότι στην περίπτωση όπου υπάρχουν µόνο παρατηρήσεις GPS η τυπική απόκλιση του δείγµατος των διορθώσεων των αποχών του γεωειδούς είναι µικρότερη για την ο- µάδα συναρτήσεων Ο. Για τον λόγο αυτό επιλέχθηκε η εκθετική συνάρτηση στην περιοχή της Βόλβης έκτασης x5km περίπου. Η επιλογή του µοντέλου και ο συνδυασµός των παρατηρήσεων είναι µία από τις πιο επίπονες εργασίες και όπως φαίνεται δεν µπορεί να γίνει εκ των προτέρων. Αυτό ση- µαίνει ότι σε κάθε περιοχή απαιτείται διενέργεια πολλαπλών επιλύσεων και δοκιµών µέχρι να αποφασισθεί ποιο µοντέλο θα χρησιµοποιηθεί. 5.4 Οι συµµεταβλητότητες των σηµάτων Στην περίπτωση ενός τοπικού συστήµατος αναφοράς και για περιοχές περιορισµένης έκτασης οι συµµεταβλητότητες των σηµάτων προκύπτουν από την συνάρτηση συµµεταβλητότητας του διαταρακτικού δυναµικού και την εφαρµογή του νόµου µετάδοσης των συµµεταβλητοτήτων στις σχέσεις T δ g = (5.7) z T N = (5.8) γ Οι συµµεταβλητότητες των σηµάτων δίνονται αναλυτικά για διαφορετικό/ίδιο ση- µείο και για τα τέσσερα µοντέλα (πίνακες 6,7). Οι τιµές γ, φ είναι µέσες τιµές στην πε-

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 58 ριοχή, S είναι η απόσταση δύο σηµείων και ισούται µε S = ( x x ) + ( y y ) j j, z = z + z j.οι συντεταγµένες (x, y, z) αναφέρονται στο σύστηµα αναφοράς που ορίζεται η συνάρτηση συµµεταβλητότητα. Παρατηρώντας την συνάρτηση συµµεταβλητότητας K διαπιστώνει κανείς ότι έχει τοπική δοµή δηλαδή είναι συνάρτηση των τοπικών συντεταγµένων (x, y, z). υσκολία παρατηρήθηκε στον προσδιορισµό των συµµεταβλητοτήτων των σηµάτων για το ίδιο σηµείο, δηλαδή όταν ο δείκτης j ταυτίζεται µε τον δείκτη. Για να υπολογιστούν τα στοιχεία του πίνακα K στο ίδιο σηµείο χρησιµοποιούνται οι περιορισµοί K = K και S η γωνία διεύθυνσης A j = (Χατζηδάκης και Πετρίδου, 999). Οι παράγωγοι που εµφανίζονται στις σχέσεις του πίνακα (6) αναπτύσσονται στον πίνακα 8. Οι σχέσεις αυτές χρησιµοποιούνται για τον σχηµατισµό του πίνακα Κ των συµµεταβλητοτήτων των σηµάτων. Στον πίνακα (8) υπολογίζονται οι µερικές παράγωγοι συναρτήσει των αποστάσεων. Αυτό γίνεται για να απαλειφθεί η απόσταση από τον παρονοµαστή που εµφανίζεται στις γενικές σχέσεις του πίνακα (6) όταν =j. Με τον τρόπο αυτό αποµακρύνονται προβλήµατα απροσδιοριστίας και έντονα αριθµητικά προβλήµατα. Επιπλέον αποφεύγεται ο µηδενισµός της πρώτης και δεύτερης παραγώγου στον πίνακα (8) απευθείας γιατί δηµιουργούνται εσφαλµένοι µαθηµατικοί αλγόριθµοι για τον υπολογισµό των συµµεταβλητοτήτων στο ίδιο σηµείο. Τέλος, πρέπει να δοθεί έµφαση στην συνάρτηση συµµεταβλητότητας σε τοπική κλί- µακα και στο ότι οι συντεταγµένες σε αυτό το σύστηµα είναι άγνωστες, πράγµα το ο- ποίο ξεπερνιέται µετατρέποντας της τοπικές συντεταγµένες σε γωνιακά µεγέθη µε την βοήθεια των σχέσεων x y sna =, cosa =, όπου S S x A = atan (5.9) y Επειδή η συνάρτηση συµµεταβλητότητας της ανωµαλίας βαρύτητας διατηρεί τις ι- διότητες της οµοιογένειας και της ισοτροπίας, η γωνία διεύθυνσης παραµένει σταθερή. Πίνακας 6. Η τοπική δοµή των συµµεταβλητοτήτων των σηµάτων σ ( Τ, Τ j ) = K σ ( δg, δg j ) = K K S K σ ( δg, Τ j ) = z σ( N, N j ) = K σ ( δg, g ) K K γ δ j = S K σ( δg, N j ) = γ z

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 59 Πίνακας 7. Η τοπική δοµή των µεταβλητοτήτων των σηµάτων (=j, Hatjdaks and Rosskopoulos, ) Μοντέλο Εκθετικό Relly Mortz Posson k + + d q l q k ( ζ) d σ σ ( Τ, Τ ) g d σ ( ) Γ( ) g C (q,) k= k! E d d + z σ ( δg, Τ ) C E (,) C σ g d R (,) 3 ( ) (d + z) d + z σ g d ( 6 d + σ g d ( 3 d + 3 ) d z 3 ) d z σ ( δg, δg ) C E (,) C R (3,) σ g ( d d + 3 ) z σ g ( d d + 4 ) z Πίνακας 8.Οι µερικές παράγωγοι των συναρτήσεων συµµεταβλητότητας (Ρωσσικόπουλος 986, Hatjdaks and Rosskopoulos ) K K Εκθετική 3 S [ C + C cos A] + SC (,) E SC (,) (y E j P (,) E y ) P (,) E S + [ C (,) + C (,) A] cos E C (,) (y E j P P E y ) K z C (,) E Relly C R (q +, m) = C E (q, m) Mortz (S 3 σ d S g + (d +.5 z) ) 3 σ d g (S S (d + + (d + z).5 z) ) (S σ d g 3 (d + (d + + z).5 z) ) Posson (S σ d g 4 (d + (d + + z)s.5 z) ) σ d g 4 (d + z) S.5(d + z) (S + (d + 3.5 z) ) 4 σ d g 3(S.5S (d + + (d + z).5 z) ) P = (y j y ) - (x j x ) Ο σχηµατισµός του πίνακα Κ είναι απαραίτητος στη στοχαστική αντιµετώπιση των σηµάτων, αφού περιέχει πληροφορίες σχετικές µε τη συµπεριφορά των σηµάτων, έτσι ώστε να είναι δυνατός και ο διαχωρισµός τους από τα τυχαία σφάλµατα.

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 6 5.5 Χωροχρονική συνάρτηση συµµεταβλητότητας Στην διαχρονική αντιµετώπιση των κατακόρυφων δικτύων εκτός από τα σήµατα που υπεισέρχονται από το πεδίο βαρύτητας εµφανίζονται σύµφωνα µε τις εξισώσεις παρατήρησης και σήµατα εξαιτίας των µεταβολών των σηµάτων το πεδίου βαρύτητας και εξαιτίας της κατακόρυφης µετακίνησης των σηµείων του δικτύου (Ρωσσικόπουλος, 986). Μία συνηθισµένη συνάρτηση συµµεταβλητότητας των σηµάτων ορισµένη στο χώρο και τον χρόνο για επίπεδη προσέγγιση δίνεται από την σχέση K(S, z, b τ τ ) = K(S, z) e (5.) Η συνάρτηση αυτή µπορεί να υπολογισθεί από την συνάρτηση µοντέλο της ανωµαλίας βαρύτητας και συνεπώς ισχύει ότι K b τ g (S, τ ) = K(S) e (5.) Η συνάρτηση K(S, z) που χρησιµοποιείται είναι η εκθετική, Relly, Mortz, Posson. Για την συγκεκριµένη επιλογή της σχέσης (5.), οι συµµεταβλητότητες των σηµάτων στο χώρο και στο χρόνο δίνονται από τη σχέση b τ σ (s k (r, t),s l (rj, t )) = σ(s k (r ),s l (rj)) e (5.) Οι συµµεταβλητότητες των σηµάτων για τα σηµεία της α εποχής και των j σηµείων της β εποχής δίνονται από τον πίνακα Κ Κ K Κ Κ Κ K Κ K = sαs (5.3) β M M O M Κ k Κ k K Κ kl Αναλυτικά ο κάθε υποπίνακας δίνεται από την σχέση α β α β σ( δg, δg j ) σ( δg, δtj ) K j = α β α β (5.4) σ( δt, δg j ) σ( δt, δtj ) στην περίπτωση που χρησιµοποιούνται µόνο παρατηρήσεις βάσεων GPS, βαρύτητας και χωροσταθµικών οδεύσεων. Στην στοχαστική αντιµετώπιση στο χώρο και τον χρόνο, ο πίνακας συµµεταβλητοτήτων των σηµάτων δίνεται από την σχέση

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 6 Κ s Κ Κ ss K ssnt T Κ s Κ Κ s s K ss nt K = s (5.5) M M O M T T Κ Κ Κ ssn t ss K n t sn t όπου n οι εποχές µέτρησης. t + 5.6 Προσαρµογή δεδοµένων και υπολογισµός των παραµέτρων των χωροχρονικών συναρτήσεων συµµεταβλητότητας του πεδίου βαρύτητας Η προσαρµογή της συνάρτησης συµµεταβλητότητας της ανωµαλίας βαρύτητας ορισµένης στον χώρο και τον χρόνο γίνεται µε όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, αφού ληφθεί υπόψη ότι α) εµφανίζεται ακόµη µία άγνωστη παράµετρος στο πρόβληµα, που είναι ο συντελεστής b β) οι τιµές των δειγµατικών τιµών δίνονται σε διάφορες εποχές H σχέση υπολογισµού της µεταβλητότητας της συνάρτησης συµµεταβλητότητας της ανωµαλίας βαρύτητας σε αυτήν την περίπτωση, δίνεται από την σχέση n m σ g = g (t α ) (5.6) nm = α= όπου n είναι ο αριθµός των παρατηρήσεων την εποχή και m ο αριθµός των εποχών. Η σχέση µε την οποία υπολογίζονται οι δειγµατικές τιµές της συνάρτησης συµµεταβλητότητας για αποστάσεις ρ, ρ,, lρ δίνεται από την σχέση t α C(k ρ) = T m n g (t α= = j J α ) g j (t α ) (5.7) όπου ρ είναι µία µέση απόσταση µεταξύ των σηµείων όπου υπάρχουν τιµές και ανωµαλίες βαρύτητας g, m είναι ο αριθµός των εποχών για τις οποίες υπάρχουν τιµές g, Τ είναι ο συνολικός αριθµός των όρων του αθροίσµατος και J είναι το σύνολο των ση- µείων που βρίσκονται σε κύκλο ακτίνας kρ και έχει κέντρο το σηµείο P. Αν ορισθεί µία µέση χρονική διάρκεια τότε προκύπτουν οι δειγµατικές τιµές της συνάρτησης συµµεταβλητότητας που είναι τ C(kρ, τ ) = T m n g(tα) g j(tβ) α= β Τ = j J (5.8)

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 6 όπου Τ είναι το σύνολο των τιµών εποχή lτ. Για l = ισχύει ότι g που παρατηρήθηκαν από την εποχή ως την t α C(kρ,) = C(kρ) (5.9) Με πραγµατικές τιµές για την περιοχή της Βόλβης και χρησιµοποιώντας τις χωροσταθµικές οδεύσεις (979), τις βάσεις GPS (994, 995, 996 και 3) και τιµές βαρύτητας που προέκυψαν µε την λογική της παρεµβολής στο πλέγµα ανωµαλιών βαρύτητας (πίνακας 3γ) προκύπτει µέσα από το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας στην ταυτόχρονη συνόρθωση θεωρώντας ότι το πεδίο βαρύτητας είναι αµετάβλητο ότι Σύµφωνα µε την σχέση των τυχαίων σφαλµάτων Εκθετικό µοντέλο σˆ ˆσ v ˆσ ˆσ s.655 839.453 838.798 T T vˆ Pvˆ + sˆ Ks sˆ = σ ˆ σˆ + σˆ n m + k v s s / d σt = σge ˆσ v και επειδή η εκτίµηση της µεταβλητότητας είναι πολύ µικρή, για S= µπορεί να υποτεθεί ότι σˆ T σˆ s σ ˆ σˆ (5.3) g s Με τον τρόπο αυτό τονίζεται ότι παράγεται µία νέα προσέγγιση της µεταβλητότητας της συνάρτησης συµµεταβλητότητας και αξιολόγηση της προσαρµογής στο πλέγµα ανωµαλιών βαρύτητας. Η αβεβαιότητα που προκύπτει από το γεγονός των λίγων παρατηρήσεων, καλύπτεται όπως φαίνεται από την ακρίβεια του µοντέλου της ολοκληρωµένης γεωδαισίας, ενώ στην περίπτωση της προσαρµογής η αβεβαιότητα απαλείφεται εξαιτίας του µεγάλου αριθµού δεδοµένων ανωµαλιών βαρύτητας που διατίθενται. Συγκεντρωτικά λοιπόν ισχύει ότι σ [mgal ] Μέθοδος d [m],σˆ g Εκθετικό µοντέλο 777.38 838.8 Προσαρµογή στο πλέγµα g FAA Μοντέλο ολοκληρω- µένης γεωδαισίας 66.794

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 63 Κάνοντας ολικό έλεγχο αξιοπιστίας µπορεί να ελεγχθεί κατά πόσο καλή είναι η προσαρµογή των τιµών των µεταβλητοτήτων (έµµεσα και του µήκους συσχέτισης) για τον υπολογισµό αυτών. Ο έλεγχος της µεταβλητότητας αναφοράς που προέκυψε από το πλέγµα ανωµαλιών βαρύτητας µε την τιµή που προέκυψε από το σύνολο των παρατηρήσεων κάνοντας χρήση του µοντέλου της ολοκληρωµένης γεωδαισίας δίνεται από την σχέση H : σ g σ, H α : σ g σ = (5.3) Η µηδενική υπόθεση γίνεται αποδεκτή όταν s α F =, F F f,f (5.3) s g Πιο συγκεκριµένα για την περιοχή της Βόλβης ισχύει ότι σˆ g σˆ α 838.8.5 F f,f F39,576.8.3 777.38 (5.33) Επειδή ο έλεγχος για επίπεδο σηµαντικότητας α=.5 είναι θετικός για το µοντέλο της εκθετικής συνάρτησης, σηµαίνει ότι η προσαρµογή είναι αξιόπιστη για την συνάρτηση συµµεταβλητότητας (εκθετικό µοντέλο) και δεν τίθεται ζήτηµα προβληµατικών παρατηρήσεων. 5.7 Η στοχαστική σύνδεση µετακινήσεων και των σηµάτων του πεδίου βαρύτητας Η σχέση (4.5) δείχνει ότι η σύνδεση ετερογενών γεωδαιτικών παρατηρήσεων µε ταχύτητες σεισµικών κυµάτων µετρηµένες στις ίδιες ή διαφορετικές εποχές κάνοντας χρήση ενός γεωφυσικού µοντέλου µπορεί να γίνει µέσα από την λογική του πεδίου βαρύτητας (διαταραχή της βαρύτητας). Αυξάνοντας µε αυτόν τον τρόπο τους βαθµούς ε- λευθερίας δηλαδή χρησιµοποιώντας ένα γεωφυσικό µοντέλο και ταχύτητες σεισµικών κυµάτων επιδιώκει κανείς την απαλοιφή ή ελαχιστοποίηση των σηµάτων. Όπως είναι γνωστό οι µετακινήσεις των σηµείων που συµβαίνουν στην επιφάνεια του εδάφους συνδέονται µε το αίτιο που συµβαίνει στο εσωτερικό της γης και κατ επέκταση µε τις µεταβολές των σηµάτων του πεδίου βαρύτητας. Αν το πεδίο βαρύτητας και συνεπώς τα σήµατα του πεδίου βαρύτητας είναι αµετάβλητα στον χρόνο, τότε ε- φαρµόζοντας τον νόµο µετάδοσης των µεταβλητοτήτων συµµεταβλητοτήτων στις µαθηµατικές εξισώσεις (3.7,3.) (οι οποίες προέκυψαν µε την βοήθεια γεωφυσικών µοντέλων), µπορούν να προκύψουν οι παραπάνω συσχετίσεις και να µπουν µέσα από αυ-

Οι συµµεταβλητότητες του πεδίου βαρύτητας 64 τήν την λογική στο πρόβληµα της συνόρθωσης. Αν εφαρµοστεί ο νόµος µετάδοσης στην σχέση (3.7) η οποία ξαναγράφεται T δ th = (5.34) b z σύµφωνα µε την σχέση (5.7) όπου η παράµετρος b του τύπου (5.34) παίρνει τιµή ανάλογα µε το µοντέλο που χρησιµοποιείται, π.χ. kmsn φ b = (5.35) 3 (R + Z) τότε προκύπτουν οι σχέσεις του πίνακα (9). Από τον Kanngeser (3.6) δόθηκε συνάρτηση συµµεταβλητότητας των κατακόρυφων µετακινήσεων και των µεταβολών της έ- ντασης του πεδίου βαρύτητας. Συµπερασµατικά ισχύει ότι Πίνακας 9. Η τοπική δοµή των συµµεταβλητοτήτων των µετακινήσεων µε τα σήµατα α β α β α β σ( δ t H, δth j ) = K σ( δ t H, Tj ) = σ( δg, Tj ) σ( δ t H, δg j ) = σ( δg, δg j ) b b όπου Κ µπορεί να είναι και µία από τις τέσσερις συναρτήσεις συµµεταβλητότητας που αναφέρθηκαν παραπάνω (εκθετική, Relly, Mortz, Posson) ενώ ο χρόνος στο δεξιό τµήµα των σχέσεων του πίνακα (9) κρύβεται µέσα στον συντελεστή b σύµφωνα µε την σχέση (5.34).

6 Η εκτίµηση των κατακόρυφων µετακινήσεων στο δίκτυο της Βόλβης 6. Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται η ανάλυση των παρατηρήσεων του δικτύου Βόλβης µε σκοπό την εκτίµηση των κατακόρυφων µετακινήσεων. Οι διαθέσιµες παρατηρήσεις που σχετίζονται µε τις κατακόρυφες µετακινήσεις είναι παρατηρήσεις γεωµετρικής χωροστάθµησης ενός τµήµατος του δικτύου που έγιναν το 979, παρατηρήσεις βαρύτητας τριών εποχών, 979, 98 και 999, και παρατηρήσεις GPS που καλύπτουν όλο το δίκτυο των εποχών 994, 995, 996 και 3. Κατ αρχήν γίνεται η συνόρθωση του δικτύου σε κάθε εποχή χωριστά. Αξιολογούνται στατιστικά οι παρατηρήσεις και γίνεται προσπάθεια σύγκρισης των αποτελεσµάτων µε σκοπό έναν αρχικό υπολογισµό των µετακινήσεων. Το δίκτυο GPS συνορθώνεται χωριστά για κάθε εποχή και µε το µοντέλο της ολοκληρωµένης γεωδαισίας, όπου ως άγνωστες παράµετροι εµφανίζονται τα ορθοµετρικά υψόµετρα και ως σήµατα τα υψόµετρα του γεωειδούς. Τα σήµατα αντιµετωπίζονται ως στοχαστικές παράµετροι και ως συνάρτηση συµµεταβλητότητας επιλέγεται η εκθετική συνάρτηση γιατί ανταποκρίνεται καλύτερα για έκταση Χ5km (έκταση της Βόλβης). Το διαθέσιµο πλέγµα τιµών ανωµαλιών ελευθέρου αέρα χρησιµοποιήθηκε για τον υπολογισµό των αγνώστων παραµέτρων (µεταβλητότητα µήκος συσχέτισης d) της συνάρτησης συµµεταβλητότητας. σ g και

66 Η εκτίµηση των κατακόρυφων µετακινήσεων στο δίκτυο της Βόλβης 4 4 LAGADAS 64 5 5 77 KORONIA LAKE 54 VOLVI LAKE 444 46 44 53 45 3 56 4 Cty of THESSALONIKI 38 33 54 3 THERMAIKOS GULF 6 Σχήµα. Το δίκτυο της Βόλβης δηµιουργήθηκε το 979 και αποτελούνταν από δεκάξι (6) σηµεία. Το 994 προστέθηκαν άλλα τέσσερα (4) σηµεία και σταδιακά το δίκτυο άρχισε να επεκτείνεται. Σήµερα το δίκτυο αποτελείται από σηµεία και καταλαµβάνει έκταση x5km περίπου. Η συνόρθωση των παραπάνω παρατηρήσεων του δικτύου Βόλβης έγινε µε το πρόγραµµα OHGPS (βλ. Πετρίδου και Χατζηδάκης 999) γραµµένο σε γλώσσα FortranPowerStaton v-4. και αποτελεί την υλοποίηση των αλγορίθµων συνόρθωσης ενός ολοκληρωµένου κατακόρυφου δικτύου. Το πρόγραµµα αυτό αντιµετωπίζει τα σήµατα από ντετερµινιστική και στοχαστική σκοπιά χρησιµοποιώντας σαν κανονικό πεδίο το µοντέλο των επίπεδων ισοδυναµικών επιφανειών. Το πρόγραµµα είναι δοµηµένο έτσι ώστε να επιδέχεται τροποποιήσεις, επεµβαίνοντας στις αντίστοιχες υπορουτίνες του κάθε φορά, µε σκοπό την χρησιµοποίηση άλλης µορφής κανονικού πεδίου. Το πρόγραµµα αυτό αποτελεί τροποποίηση σε γλώσσα FortranPowerStaton v-4 του προγράµµατος ICONA (Ρωσσικόπουλος 986) ώστε να αντιµετωπίζει µόνο τα κατακόρυφα δίκτυα (βλ. Πετρίδου και Χατζηδάκης 999) ή τα διαχρονικά ολοκληρωµένα κατακόρυφα δίκτυα. Έτσι, κύριο χαρακτηριστικό του προγράµµατος είναι η οικονοµία σε µνήµη Η.Υ., ώστε να µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε όσο το δυνατόν µεγαλύτερα δίκτυα. Άλλα χαρακτηριστικά του προγράµµατος είναι. Οι σταθµοί αναγνωρίζονται µε αριθµούς αυθαίρετους, που είναι ανεξάρτητοι από την διάταξη των σταθµών στην δηµιουργία των εξισώσεων παρατήρησης.. Χρησιµοποιούνται οι δείκτες (Ponter) µε την βοήθεια των οποίων υπολογίζονται όλες οι διαστάσεις των πινάκων, χωρίς να χρειάζεται η εντολή Parameter. Το τελευταίο υλοποιείται διαβάζοντας σειριακά τα αρχεία των προσεγγιστικών τιµών και των παρατηρήσεων.

Η εκτίµηση των κατακόρυφων µετακινήσεων στο δίκτυο της Βόλβης 67 3. ηµιουργείται το σύστηµα των κανονικών εξισώσεων µόνο για τις µη µηδενικές θέσεις, χωρίς να κατασκευαστεί ο πίνακας σχεδιασµού Α. 4. Αναλύονται και επεξεργάζονται παρατηρήσεις GPS. Επίσης, άλλες παρατηρήσεις που αναλύονται είναι οι κλασσικές παρατηρήσεις γεωµετρικής χωροστάθµησης, οι ζενίθειες αποστάσεις, παρατηρήσεις αποκλίσεων της κατακορύφου η και ξ, απόλυτες και σχετικές παρατηρήσεις βαρύτητας καθώς και παρατηρήσεις διαφοράς δυναµικού. Κρίνοντας τα παραπάνω διαπιστώνει κανείς ότι το πρόγραµµα γίνεται πιο ευέλικτο από τη στιγµή που ελαχιστοποιούνται οι λειτουργίες του χρήστη. Επιπλέον είναι πιο οικονοµικό όσον αφορά την µνήµη του υπολογιστή αλλά και χρονικά. Τέλος τα σφάλµατα στρογγύλευσης αποφεύγονται απευθείας κάνοντας πράξεις κατά το σχηµατισµό του συστήµατος των κανονικών εξισώσεων µόνο µε µη µηδενικά στοιχεία. Στα αποτελέσµατα της συνόρθωσης περιλαµβάνονται τα εξής Tα προσεγγιστικά υψόµετρα, οι διορθώσεις και τα συνορθωµένα υψόµετρα. Tα σήµατα (το διαταρακτικό δυναµικό ή και η διατάραξη της βαρύτητας) O αριθµός των περιόδων, ο συντελεστής κλίµακας και οι συνορθωµένες γωνίες στροφής του δορυφορικού συστήµατος GPS. Oι παρατηρήσεις, οι τιµές των σφαλµάτων, οι συνορθωµένες τιµές και οι τυπικές αποκλίσεις. H τιµή της µεταβλητότητας αναφοράς, η τιµή του ελάχιστου και οι βαθµοί ελευθερίας του δικτύου. Τα αποτελέσµατα των συνορθώσεων που αναφέρονται στο κεφάλαιο αυτό δίνονται στο παράρτηµα. 6. Οι χωριστές συνορθώσεις ανά εποχή 6.. Το χωροσταθµικό δίκτυο Οι παρατηρήσεις της γεωµετρικής χωροστάθµησης στην περιοχή της Βόλβης έγιναν λίγο µετά τον σεισµό (καλοκαίρι του 979) και συνοπτικά τα συνορθωµένα υψόµετρα και τα στατιστικά κριτήρια που επαναπροσδιορίστηκαν µε την βοήθεια του προγράµµατος DEROS ( ερµάνης και Ρωσσικόπουλος 98) δίνονται στον πίνακα (). Πίνακας. Ορθοµετρικά υψόµετρα (m) και οι τυπικές αποκλίσεις σε cm H 979 H 979 H 979 H 979 64.46 54 8.855 45 9.4 77 54.74 σ.5.5 σ.4.4 Το χωροσταθµικό δίκτυο της Βόλβης που µετρήθηκε το 979 αποτελούνταν από επτά (7) σηµεία εκ των οποίων συνορθώθηκαν εκ νέου οι παρατηρήσεις που αφορούσαν µόνο

Η εκτίµηση των κατακόρυφων µετακινήσεων στο δίκτυο της Βόλβης 68 τα τέσσερα σηµεία (64,45,54,77) όπως φαίνεται από τον πίνακα (). Αυτό έγινε γιατί τα υπόλοιπα τρία σηµεία αντικαταστάθηκαν ή καταστράφηκαν. Στο πίνακα () δίνονται τα στατιστικά στοιχεία που προέκυψαν από τη συνόρθωση του δικτύου των τεσσάρων (4) κορυφών. Πίνακας. Πίνακας στατιστικών στοιχείων της συνόρθωσης του χωροσταθµικού δικτύου του 979. Ως βάρη των παρατηρήσεων χρησιµοποιήθηκαν τα αντίστροφα των χιλιοµετρικών αποστάσεων των οδεύσεων. Έτσι οι a-posteror τιµές της µεταβλητότητας και της τυπικής απόκλισης εκφράζουν τις αντίστοιχες τιµές διπλής χωροστάθµησης ενός χιλιοµέτρου. Στατιστικά στοιχεία v T Pv.89 f σ (cm /km).47 σ (cm/km).378 6.. Το βαρυτηµετρικό δίκτυο Σε ένα σύνολο εικοσιέξι (6) σηµείων σε θέσεις διαφορετικές από αυτές των σηµείων του προηγούµενου δικτύου, µετρήθηκε ένα βαρυτηµετρικό δίκτυο. Οι συνορθωµένες τιµές της σχετικής βαρύτητας και οι τυπικές αποκλίσεις αυτών (σε mgal) των σταθµών του δικτύου της Μυγδονίας υπολογίσθηκαν στα πλαίσια παλιότερης ερευνητικής εργασίας (Γούναρης, 3) και δίνονται πινακοποιηµένα οι αντίστοιχες συνορθωµένες σχετικές τιµές βαρύτητας για τις εποχές 979, 98 και 999. Τα αποτελέσµατα δίνονται στον πίνακα (3). Σχήµα. Το βαρυτηµετρικό δίκτυο στην ευρύτερη περιοχή της Βόλβης Επειδή οι διαχρονικές µεταβολές της βαρύτητας σε τοπική κλίµακα είναι τύπου ελευθέρου αέρα, η µετατροπή τους σε αντίστοιχες υψοµετρικές µεταβολές γίνεται µέσα από την