ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Κεφάλαιο Υπολογισμός παραμορφωσιακών μεγεθών Σύνοψη Οι ασκήσεις του κεφαλαίου αυτού αφορούν τις μεθόδους υπολογισμού (α) μεμονωμένων μεγεθών παραμόρφωσης (Ομάδα Ι), δηλαδή μετατοπίσεων και στροφών σε συγκεκριμένα σημεία του εκάστοτε φορέα και (β) ελαστικών γραμμών (Ομάδα Κ), δηλαδή της παραμορφωμένης κατάστασης ολόκληρου του φορέα. Ως παραδείγματα χρησιμοποιούνται διάφοροι επίπεδοι και χωρικοί φορείς (δοκός, ημιπλαίσιο, πλαίσιο, δικτύωμα) με ακλόνητες ή ελαστικές στηρίξεις/πακτώσεις και με φορτίσεις που περιλαμβάνουν τόσο εξωτερικά φορτία (συγκεντρωμένες ή/και κατανεμημένες δυνάμεις) όσο και καταναγκασμούς (ομοιόμορφη/ανομοιόμορφη θερμοκρασιακή φόρτιση και καταναγκασμένες βυθίσεις). Για τον υπολογισμό μεμονωμένων παραμορφωσιακών μεγεθών εφαρμόζεται η μέθοδος των βοηθητικών μοναδιαίων δυνάμεων, δηλαδή η αρχή των συμπληρωματικών δυνατών έργων (ΑΣΔΕ), ενώ για τον υπολογισμό των ελαστικών γραμμών εφαρμόζεται η μέθοδος των συναρτήσεων ω σε συνδυασμό με την ΑΣΔΕ. Προαπαιτούμενη γνώση Απαραίτητη είναι η προηγούμενη μελέτη και κατανόηση της σχετικής με το παρόν κεφάλαιο θεωρίας, όπως αυτή παρουσιάζεται σε βιβλία Στατικής των Κατασκευών (βλ. π.χ. [] και []). Οπωσδήποτε απαιτείται η κατανόηση των μεθόδων υπολογισμού μεγεθών έντασης, η εφαρμογή των οποίων παρουσιάστηκε στις ασκήσεις των προηγηθέντων κεφαλαίων.
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο. Υπολογισμός μεμονωμένων παραμορφωσιακών μεγεθών (Ομάδα Ι) Για τους παρακάτω ισοστατικούς φορείς να υπολογιστούν τα ζητούμενα παραμορφωσιακά μεγέθη εφαρμόζοντας τη μέθοδο των συμπληρωματικών δυνατών έργων. I Για το απεικονιζόμενο αμφιέρειστο ημιπλαίσιο ζητούνται οι μετακινήσεις u, και φ του κόμβου για τις εξής περιπτώσεις: Α. Για τη γενική περίπτωση (ΕΙ=πεπερ., GA =πεπερ., ΕΑ=πεπερ.): Ø Λόγω q και n. Β. Υπό τις παραδοχές της ατμησίας (GA Ø) και της ατένειας (ΕAØ): Ø Β) Λόγω q και n (Να γίνει σύγκριση με τη γενική περίπτωση). Ø Β) Λόγω q και n, αν η στήριξη είναι κατακορύφως ενδόσιμη ελαστικά. Ø Β) Λόγω ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t σε ολόκληρο το φορέα. Ø Β) Λόγω ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t σε ολόκληρο το φορέα. Ø Β) Λόγω της καταναγκασμένης βύθισης της στήριξης. Για τις περιπτώσεις των καταγκασμών t, t και να σχεδιαστεί (ποιοτικά) η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο φορέας. S S L L Y,φ X,u Z, q =kn/m n=kn/m t= o C t = o C h =.m L=cm L. EI =. knm GA S =. kn EA =. kn o α = [/ C] t. c N = kn/m
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Για την απεικονιζόμενη αρθρωτή δοκό ζητούνται η μετακίνηση η διαφορά στροφών φ G και στην άρθρωση G για τις εξής περιπτώσεις: Α. Για τη γενική περίπτωση (ΕΙ=πεπερ., GA =πεπερ., ΕΑ=πεπερ.): Ø Λόγω των δεδομένων εξωτερικών φορτίων. Β. Υπό τις παραδοχές της ατμησίας (GA Ø) και της ατένειας (ΕAØ): Ø Β) Λόγω των δεδομένων εξωτερικών φορτίων (Να γίνει σύγκριση με τη γενική περίπτωση). Ø Β) Λόγω των εξωτερικών φορτίων, αν η στήριξη είναι κατακορύφως ενδόσιμη ελαστικά. Ø Β) Λόγω ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t σε όλο το μήκος της δοκού. Ø Β) Λόγω ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t σε όλο το μήκος της δοκού. Ø Β) Λόγω της καταναγκασμένης βύθισης της στήριξης. Για τις περιπτώσεις των καταγκασμών t, t και να σχεδιαστεί (ποιοτικά) η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο φορέας. S S L L G I Y,φ X,u Z, c N = P Z =kn kn/m... q=kn/m P X =kn G.. L... P X =kn t = o C t = o C L = cm EI =. knm a GA Sa = kn EA = kn a b=.8 EI knm GA Sb = EA b = kn kn ha=.m hb=.m α ta= o [ / C] α = [/ o tb C] a b
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Για το απεικονιζόμενο άτμητο και ατενές τριαρθρωτό πλαίσιο να υπολογιστεί η μεταβολή u της οριζόντιας απόστασης των σημείων a και b: ab Ø λόγω του φορτίου p, Ø λόγω της ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t Ø λόγω της ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t Ø λόγω της καταναγκασμένης βύθισης της στήριξης. Για τις περιπτώσεις των καταγκασμών t, t στο ζύγωμα, και να σχεδιαστεί στο ζύγωμα, (ποιοτικά) η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται το πλαίσιο. L L I.. a Y,φ X,u Z,.. p=kn/m b.. L=cm t = o C t = o C h Στύλοι: EI =. knm Σ Ζύγωμα: EI Ζ =. knm Ζ =.m GA SØ EA Ø α = o [ / C] t Για το απεικονιζόμενο απλό τριγωνικό δικτύωμα ζητούνται η βύθιση και η στροφή χορδής ψ : Ø λόγω του φορτίου P, Z Ø λόγω της ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t σε όλες τις ράβδους. I.. Y,φ X,u Z, P Z =kn t = o C EA = kn α o t = [/ C]..
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Για τον απεικονιζόμενο ισοστατικό, άτμητο και ατενή χωρικό φορέα υπό τα δεδομένα φορτία να υπολογιστούν η μετατόπιση του κόμβου, η στροφή φ του κόμβου και η στροφή χορδής ψ X τμήματος. X (στο επίπεδο YZ) του. y z x x z y I Y,,φ Υ X,u,φ Z,,φ Ζ X Κυλινδρική άρθρωση kn 8kN x y z. kn.. EI EI y = knm GA SØ EA Ø z = GIT= knm Για το απεικονιζόμενο ισοστατικό, άτμητο και ατενές ημιπλαίσιο με ελαστική πάκτωση στον κόμβο να υπολογιστεί η βύθιση της άρθρωσης λόγω του δεδομένου οριζόντιου φορτίου. I c M Υ,φ X,u Z, P X =kn.. EI =. knm GA SØ EA Ø c = knm/rad M..
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Ι Για τον υπολογισμό των ζητούμενων μετακινήσεων εφαρμόζεται η αρχή των συμπληρωματικών δυνατών έργων (ΑΣΔΕ, βλ. π.χ. [], παράγρ... και 9.). () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό τη δεδομένη φόρτιση Οι αντιδράσεις στήριξης και τα φορτία διατομής λόγω q και n έχουν ήδη υπολογιστεί στην Άσκηση Η/ και δίνονται στο παρακάτω σχήμα: n A X = Z X. A Z =kn A Z q=kn/m n=kn/m =kn q. maxm= M(x) [knm] παραβολή ου βαθμού Q(x) [kn] N(x) [kn] Αντιδράσεις στήριξης και φορτία διατομής λόγω q και n () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό την κατάλληλη μοναδιαία δυνατή φόρτιση Ι. Μοναδιαίο δυνατό φορτίο Ρ Χ = για τον υπολογισμό της u Οι αντιδράσεις στήριξης και τα φορτία διατομής λόγω P X = δίνονται στο ακόλουθο σχήμα: P X = / / / / M(x)[m] Q (x) [] N(x) [] Αντιδράσεις στήριξης και φορτία διατομής λόγω P X = ΙΙ. Μοναδιαίο δυνατό φορτίο Ρ Z = για τον υπολογισμό της Οι αντιδράσεις στήριξης και τα φορτία διατομής λόγω P Z = δίνονται στο ακόλουθο σχήμα:
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο P Z = M(x)[m] Q (x) [] Αντιδράσεις στήριξης και φορτία διατομής λόγω P Ζ = N(x) [] ΙΙΙ. Μοναδιαίο δυνατό φορτίο M L = για τον υπολογισμό της φ Οι αντιδράσεις στήριξης και τα φορτία διατομής λόγω Μ L =, δίνονται στο ακόλουθο σχήμα: M L = / / M (x) [] Q(x) [/m] / N (x) [/m] / Αντιδράσεις στήριξης και φορτία διατομής λόγω Μ L = Ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής για τις τρεις παραπάνω δυνατές φορτίσεις έγινε, κατά τα γνωστά, με τη βοήθεια των συνθηκών ισορροπίας και τη μέθοδο των κυκλικών διαχωριστικών τομών. () Άθροιση όλων των παραγόμενων συμπληρωματικών δυνατών έργων, εξίσωσή τους με το μηδέν και επίλυση ως προς τη ζητούμενη μετακίνηση Ι. Υπολογισμός της u Α. Γενική περίπτωση (πεπερ. ΕΙ, GA S, ΕΑ) Λόγω q και n: Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διαγράμματα των φορτίων διατομής λόγω q και n,αφενός και λόγω P X = αφετέρου, παίρνουμε βάσει της ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος: u (M M )dx (M M)dx EI (Q Q )dx (Q Q)dx GA S (N N)dx (N N)dx EA u =. /... / 7
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο...79 m Παρατηρήσεις:... Η πραγματική και δυνατή ολοκλήρωση αφορά μόνο στα δομικά στοιχεία για τα οποία το εκάστοτε φορτίο διατομής είναι μη μηδενικό για αμφότερες τις θεωρούμενες φορτίσεις. Οι αντιδράσεις στήριξης δεν υπεισέρχονται στον υπολογισμό της u, διότι οι στηρίξεις είναι ακλόνητες. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η συνεισφορά των διατμητικών παραμορφώσεων είναι μηδενική. Η συνεισφορά των αξονικών παραμορφώσεων είναι μικρή σε σχέση με εκείνη των καμπτικών παραμορφώσεων. Β. Άτμητος και ατενής φορέας (ΕΙ=πεπερ., GA S Ø, ΕΑØ) Β) Λόγω q και n: Στην περίπτωση του άτμητου και ατενούς φορέα μηδενίζονται όλες οι τυχόν συνεισφορές από διατμητικές και αξονικές παραμορφώσεις, δηλαδή τα δυνατά έργα τεμνουσών και αξονικών δυνάμεων είναι εξ ορισμού μηδενικά. Συνεπώς, σύμφωνα με τους παραπάνω υπολογισμούς παίρνουμε: u =. m Η τιμή αυτή είναι κατά [(..79)/.79] %=.9% μεγαλύτερη έναντι της τιμής της u στην γενική περίπτωση πεπερασμένων ελαστικών ιδιοτήτων. Β) Λόγω q και n, αν η στήριξη είναι κατακορύφως ενδόσιμη ελαστικά: Στην περίπτωση αυτή παράγεται πρόσθετο συμπληρωματικό δυνατό έργο από τη δυνατή αντίδραση στήριξης Α Ζ =(/) στην κατακόρυφη πραγματική μετατόπιση: kn m m. A c kn Z Z N Σύμφωνα με την ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) παίρνουμε: u.. Παρατηρήσεις: A Z. A c. / Z N 9. m Η ενδοσιμότητα της στήριξης επηρεάζει στη συγκεκριμένη περίπτωση σημαντικά την τιμή της οριζόντιας μετατόπισης, έχουμε δηλαδή αλλαγή προσήμου. Στην έκφραση των συμπληρωματικών δυνατών έργων χρησιμοποιήθηκε ο όρος Α Ζ ( Α Ζ /c N ) αντί του όρου Ν ΕΖ ( Ν ΕΖ /c N ), αφού λόγω Ν ΕΖ =Α Ζ μας δίνει ακριβώς την ίδια τιμή. Β) Λόγω ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t: Στην περίπτωση αυτή συμπληρωματικό δυνατό έργο παράγει η δυνατή αξονική δύναμη Ν (x) επί των πραγματικών αξονικών παραμορφώσεων ε t (x)=α t t= o C. Σύμφωνα με την ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος παίρνουμε: / x α t]dx [ N x α t t u [N t]dx.. m. 8
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Λόγω της ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t όπως και λόγω οποιουδήποτε άλλου καταναγκασμού ο ισοστατικός φορέας παραμένει άτονος. Συνεπώς, εκτός από τις αξονικές παραμορφώσεις (εδώ επιμηκύνσεις λόγω t > o C) τα δομικά στοιχεία δεν εμφανίζουν άλλες παραμορφώσεις και η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο φορέας έχει την εξής μορφή: u φ u> u Βιντεοπαρουσίαση αυτής της άσκησης στο YouTube: https://youtu.be/hbdg_lfmk Παραμορφωμένη κατάσταση λόγω t Ο αναγνώστης καλείται να απαντήσει στις εξής απλές ερωτήσεις: Γιατί ο κόμβος μετατοπίζεται προς τα επάνω; Γιατί η μετατόπιση u είναι μεγαλύτερη από την u ; Γιατί ο κόμβος εμφανίζει αρνητική (δεξιόστροφη) στροφή; Β) Λόγω ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης Δt: Στην περίπτωση αυτή συμπληρωματικό δυνατό έργο παράγει η δυνατή ροπή κάμψης Μ (x) επί των πραγματικών καμπυλοτήτων κ t (x)=α t (Δt/h)= (/.)=.7 Σύμφωνα με την ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος παίρνουμε: α t α t t t u M x dx M x dx h h =.7..7...7..7. Λόγω της ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης Δt όπως και λόγω οποιουδήποτε άλλου καταναγκασμού ο ισοστατικός φορέας παραμένει άτονος. Συνεπώς, εκτός από τις θετικές καμπυλότητες (λόγω Δt> o C) τα δομικά στοιχεία δεν εμφανίζουν άλλες παραμορφώσεις και η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο φορέας έχει την εξής μορφή: m 9
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο u u =u = φ Βιντεοπαρουσίαση αυτής της άσκησης στο YouTube: https://youtu.be/bw_ewaig Παραμορφωμένη κατάσταση λόγω Δt Ο αναγνώστης καλείται να απαντήσει στις εξής απλές ερωτήσεις: Γιατί ο κόμβος δεν μετατοπίζεται κατακορύφως; Γιατί η οριζόντια μετατόπιση u είναι ίση με την u ; Γιατί ο κόμβος εμφανίζει αρνητική δεξιόστροφη στροφή; Β) Λόγω της καταναγκασμένης βύθισης L της στήριξης : Στην περίπτωση αυτή συμπληρωματικό δυνατό έργο παράγει η δυνατή αντίδραση στήριξης Α Z επί της πραγματικής καταναγκασμένης βύθισης L =cm. Σύμφωνα με την ΑΣΔΕ ([], εξ. (9..)) παίρνουμε: u A..m mm Z L Λόγω της καταναγκασμένης βύθισης L όπως και λόγω οποιουδήποτε άλλου καταναγκασμού ο ισοστατικός φορέας παραμένει άτονος. Συνεπώς, τα δομικά του στοιχεία παραμένουν παντελώς απαραμόρφωτα και η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο φορέας έχει την εξής μορφή: = u φ u =u L =cm Παραμορφωμένη κατάσταση λόγω L Ο αναγνώστης καλείται να απαντήσει στις εξής απλές ερωτήσεις: Γιατί ο κόμβος δεν μετατοπίζεται κατακορύφως; Γιατί η οριζόντια μετατόπιση u είναι ίση με την u ; Γιατί ο κόμβος εμφανίζει αρνητική (δεξιόστροφη) στροφή; ΙΙ. Υπολογισμός της Α. Γενική περίπτωση (πεπερ. ΕΙ, GA S, ΕΑ) Λόγω q και n: Χρησιμοποιώντας τα γνωστά διαγράμματα των φορτίων διατομής λόγω q και n, και λόγω P Z = παίρνουμε βάσει της ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος:
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο EI (M M )dx (M M)dx GA S (Q Q )dx (Q Q)dx EA (N N)dx (N N)dx EA (N N)dx =.... m Παρατήρηση: Η βύθιση του κόμβου επηρεάζεται αποκλειστικά από την δυστένεια ΕΑ. Β. Άτμητος και ατενής φορέας (ΕΙ=πεπερ., GA S Ø, ΕΑØ) Β) Λόγω q και n: Στην περίπτωση αυτή ισχύει σύμφωνα με την προηγούμενη παρατήρηση: = Β) Λόγω q και n, αν η στήριξη είναι κατακορύφως ενδόσιμη ελαστικά: Στην περίπτωση αυτή πρέπει να ληφθεί υπόψη το πρόσθετο συμπληρωματικό δυνατό έργο που παράγεται από τη δυνατή αντίδραση Α Z στην κατακόρυφη πραγματική μετατόπιση: A c kn Z Z N Συνεπώς, έχουμε: kn m m. A Z A c m Z N Β) Λόγω ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t: x α t]dx [ N x α t t [N t]dx..8 m Παραμορφωμένη κατάσταση: βλ. προηγηθέν σχήμα.. = Β) Λόγω ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης Δt: M α t t x dx M x dx h t α h t Παρατηρούμε ότι η ανομοιόμορφη θερμοκρασιακή φόρτιση Δt δεν επηρεάζει την βύθιση του κόμβου : =. Παραμορφωμένη κατάσταση: βλ. προηγηθέν σχήμα. Β) Λόγω της καταναγκασμένης βύθισης L της στήριξης : A. Z L Παραμορφωμένη κατάσταση: βλ. προηγηθέν σχήμα.
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΙΙΙ. Υπολογισμός της φ Α. Γενική περίπτωση (πεπερ. ΕΙ, GA S, ΕΑ) Λόγω q και n: Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διαγράμματα των φορτίων διατομής λόγω q και n (Σχ. ) και λόγω Μ L = (Σχ. ) παίρνουμε βάσει της ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος: φ GA EA EI S (N (M ( Q M )dx Q )dx N)dx (N (M M)dx (Q Q)dx N)dx φ =... / /....9 rad. Β. Άτμητος και ατενής φορέας (ΕΙ=πεπερ., GA S Ø, ΕΑØ) Β) Λόγω q και n: Μηδενίζοντας στον προηγούμενο υπολογισμό της φ τη συνεισφορά των αξονικών παραμορφώσεων παίρνουμε (Σημ.: Η συνεισφορά των διατμητικών παραμορφώσεων ήταν ούτως ή άλλως μηδενική): φ =. rad Β) Λόγω q και n, αν η στήριξη είναι κατακορύφως ενδόσιμη ελαστικά: Στην περίπτωση αυτή πρέπει να ληφθεί υπόψη το πρόσθετο συμπληρωματικό δυνατό έργο που παράγεται από τη δυνατή αντίδραση Α Z ν =(/) ν στην κατακόρυφη πραγματική μετατόπιση: Z A Z c N kn Συνεπώς, έχουμε: φ. A Z kn m m. A c.. rad Z Β) Λόγω ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t: N x α t]dx [ N x α t t φ [N t]dx /. =
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. Παραμορφωμένη κατάσταση: βλ. προηγηθέν σχήμα. Β) Λόγω ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης Δt: α t α t t t φ M x dx M x dx h h rad =.7...7 rad Παραμορφωμένη κατάσταση: βλ. προηγηθέν σχήμα. Β) Λόγω της καταναγκασμένης βύθισης L της στήριξης : φ A. rad Z L Παραμορφωμένη κατάσταση: προηγηθέν σχήμα.
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Ι Για τον υπολογισμό των ζητούμενων μετακινήσεων εφαρμόζεται η αρχή των συμπληρωματικών δυνατών έργων (ΑΣΔΕ, βλ. π.χ. [], παράγρ... και 9.). () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό τη δεδομένη φόρτιση Έχουν ήδη υπολογιστεί στην Άσκηση Η/ και παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα: X Z P =kn Z = kn A X A Z =7.kN.. P=kN X. q=kn/m G..... P =kn A 9.8kN A = 7.8kN Z = Z X.7 M(x) [knm]. G.. 7.. 7. 7. 7. Q(x) [kn] 7.8.8 9.8 G. N(x) [kn] G Αντιδράσεις στήριξης και φορτία διατομής λόγω των δεδομένων εξωτερικών φορτίων () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό την κατάλληλη μοναδιαία δυνατή φόρτιση Ι. Μοναδιαίο δυνατό φορτίο Ρ ZG = για τον υπολογισμό της G
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.7 P = ZG G.7 M (x) [m].7. Q (x) [].7 N (x) [] Αντιδράσεις στήριξης και φορτία διατομής λόγω P ZG = ΙΙ. Μοναδιαία δυνατή φόρτιση ΔM LG = για τον υπολογισμό της Δφ G M LG =.7. G.8 M(x) [].9 Q (x) [/m].7.8 N (x) [/m] Αντιδράσεις στήριξης και φορτία διατομής λόγω ΔM LG = Ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής για τις δύο παραπάνω δυνατές φορτίσεις γίνεται, κατά τα γνωστά, με τη βοήθεια των συνθηκών ισορροπίας και τη μέθοδο των κυκλικών διαχωριστικών τομών. () Άθροιση όλων των παραγόμενων συμπληρωματικών δυνατών έργων, εξίσωσή τους με το μηδέν και επίλυση ως προς τη ζητούμενη μετακίνηση Ι. Υπολογισμός της G Α. Γενική περίπτωση (πεπερ. ΕΙ, GA S, ΕΑ) Λόγω Ρ και q: Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διαγράμματα των φορτίων διατομής λόγω Ρ και q (Σχ. ) και λόγω P ZG = (Σχ. ) παίρνουμε βάσει της ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος: G M M dx Q EI Q dx N GA S N dx EA Παρατηρούμε κατ αρχάς ότι η αξονική δύναμη Ν (x) είναι παντού μηδενική. Αυτό σημαίνει ότι οι
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο αξονικές παραμορφώσεις της δοκού δεν επηρεάζουν την τιμή της ζητούμενης μετατόπισης G. Επίσης, παρατηρούμε ότι οι ροπές M (x) και οι τέμνουσες Q (x) είναι μηδενικές στο τμήμα G της δοκού. Αυτό σημαίνει ότι οι παραμορφώσεις του τμήματος G της δοκού δεν επηρεάζουν καθόλου την τιμή της G. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η ολοκλήρωση αφορά μόνο ροπές και τέμνουσες των τμημάτων και G: G EI a G G M Mdx Q Q GA Sa dx = EIa...7.7 7..7 GA Sa 7...8......... = EI a..7...7..7.7 7. GA Sa.8......7......7......7..9.7 7...7.8. 7...7 9.. 7..9 m 8..7 Παρατηρήσεις: Η βύθιση G είναι πρακτικά μηδενική: G =.9 m=.9mm. Η συνεισφορά των διατμητικών παραμορφώσεων (.7 ) είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με τη συνεισφορά των καμπτικών παραμορφώσεων (. ). Οι αντιδράσεις στήριξης δεν υπεισέρχονται στον υπολογισμό της G, διότι οι στηρίξεις είναι ακλόνητες. Β. Άτμητος και ατενής φορέας (ΕΙ=πεπερ., GA S Ø, ΕΑØ) Β) Λόγω Ρ και q: Στην περίπτωση του άτμητου και ατενούς φορέα μηδενίζονται όλες οι τυχόν συνεισφορές από διατμητικές και αξονικές παραμορφώσεις, δηλαδή τα δυνατά έργα τεμνουσών και αξονικών
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο δυνάμεων είναι εξ ορισμού μηδενικά. Συνεπώς, σύμφωνα με τους παραπάνω υπολογισμούς παίρνουμε: G =. m Παρατηρούμε ότι υπό τη δεδομένη φόρτιση η άρθρωση G μετατοπίζεται προς τα επάνω. Β) Λόγω P και q, αν η στήριξη είναι κατακορύφως ενδόσιμη ελαστικά: Στην περίπτωση αυτή παράγεται πρόσθετο συμπληρωματικό δυνατό έργο από τη δυνατή αντίδραση στήριξης Α Ζ =.7 στην κατακόρυφη πραγματική μετατόπιση: kn m 7. m. Z A Z c N 7.kN Βάσει της ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) παίρνουμε:. A A c..7 G. Z.7 7. Z N.78 m Παρατηρούμε ότι η ελαστική έδραση του κόμβου οδηγεί υπό τη δεδομένη φόρτιση σε περαιτέρω ανύψωση (κατά.78. =.7 m) της άρθρωσης G. Η περαιτέρω αυτή μετατόπιση είναι κατά μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από την ανύψωση λόγω κάμψης της δοκού (. m). Τέλος, επισημαίνεται ότι στην έκφραση των συμπληρωματικών δυνατών έργων χρησιμοποιήθηκε ο όρος Α Ζ (Α Ζ /c N ) αντί του όρου Ν ΕΖ (Ν ΕΖ /c N ), αφού λόγω Ν ΕΖ =Α Ζ μας δίνει ακριβώς την ίδια τιμή. Β) Λόγω ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t: Στην περίπτωση αυτή συμπληρωματικό δυνατό έργο παράγει η δυνατή αξονική δύναμη Ν (x) επί των πραγματικών αξονικών παραμορφώσεων ε, t (x)=α t t= ο C. Επειδή, όμως, η Ν (x) είναι μηδενική σε όλον το φορέα παίρνουμε: G = δηλαδή η αυξομείωση της θερμοκρασίας t δεν προκαλεί κατακόρυφη μετατόπιση στο σημείο G, ούτε σε κανένα άλλο σημείο της αρθρωτής δοκού. Λόγω της ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t όπως και λόγω οποιουδήποτε άλλου καταναγκασμού η ισοστατική αρθρωτή δοκός παραμένει άτονη. Συνεπώς, εκτός από τις αξονικές παραμορφώσεις επιμηκύνσεις λόγω t> o C, τα διάφορα τμήματα της δεν εμφανίζουν άλλες παραμορφώσεις και η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται η δοκός είναι η εξής: G Παραμορφωμένη κατάσταση λόγω t Β) Λόγω ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης Δt: Στην περίπτωση αυτή συμπληρωματικό δυνατό έργο παράγει η δυνατή ροπή κάμψης Μ (x) επί των πραγματικών καμπυλοτήτων κ ta (x)=α t (Δt/h a )= (/.)=.7 στο τμήμα G και κ tb (x)=α t (Δt/h b )= (/.)=8 στο τμήμα G. Επειδή, όμως, η Μ (x) είναι μηδενική στο τμήμα G ( Σχ. ), περιοριζόμαστε στο τμήμα G και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος παίρνουμε: G G M α t h α t h t t x dx M x dx M x a u G = α t t L G u = α t t L =. =. =.mm =.mm a G a α t t dx h 7
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. =.7..7....7...7. 7..7.7mm Λόγω της ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης Δt όπως και λόγω οποιουδήποτε άλλου καταναγκασμού ο ισοστατικός φορέας παραμένει άτονος. Συνεπώς, εκτός από τις θετικές καμπυλότητες, λόγω Δt> o C, τα δομικά στοιχεία δεν εμφανίζουν άλλες παραμορφώσεις και η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο φορέας έχει την εξής μορφή: φ G > G G =.7mm < Παραμορφωμένη κατάσταση λόγω Δt Μικρή άσκηση: (α) Εξηγήστε με εποπτικό τρόπο, γιατί το σημείο G μετατοπίζεται προς τα πάνω, και (β) τεκμηριώστε υπολογιστικά ότι το σημείο μετατοπίζεται επίσης προς τα επάνω. Β) Λόγω της καταναγκασμένης βύθισης L της στήριξης : Στην περίπτωση αυτή συμπληρωματικό δυνατό έργο παράγει η δυνατή αντίδραση στήριξης Α Z επί της πραγματικής καταναγκασμένης βύθισης L =cm. Βάσει της ΑΣΔΕ ([], εξ. (9..)) παίρνουμε: G A Z L.7..m mm Λόγω της καταναγκασμένης βύθισης L όπως και λόγω οποιουδήποτε άλλου καταναγκασμού ο ισοστατικός φορέας παραμένει άτονος. Συνεπώς, τα δομικά του στοιχεία παραμένουν παντελώς απαραμόρφωτα και η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο φορέας έχει την εξής μορφή: L =cm G φ G < Παραμορφωμένη κατάσταση λόγω L Ερώτηση: Σε ποια παραδοχή οφείλεται το γεγονός ότι ο κόμβος, καθώς και όλοι οι άλλοι κόμβοι της δοκού, εμφανίζουν μηδενική οριζόντια μετατόπιση; ΙΙ. Υπολογισμός της διαφοράς στροφών Δφ G στην άρθρωση G Α. Γενική περίπτωση (πεπερ. ΕΙ, GA S, ΕΑ) Λόγω Ρ και q: Χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα των φορτίων διατομής λόγω των δεδομένων εξωτερικών φορτίων (Σχ. ) και λόγω M LG = (Σχ. ) παίρνουμε βάσει της ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος: 8
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο φ G M M dx Q EI Q GA S dx N N dx EA Παρατηρούμε κατ αρχάς ότι η αξονική δύναμη Ν (x) είναι παντού μηδενική. Αυτό σημαίνει ότι οι αξονικές παραμορφώσεις της δοκού δεν επηρεάζουν την τιμή της ζητούμενης διαφοράς στροφών Δφ G. Επίσης, παρατηρούμε ότι οι ροπές M (x) και οι τέμνουσες Q (x) είναι μηδενικές στο τμήμα της δοκού. Αυτό σημαίνει ότι οι παραμορφώσεις του τμήματος της δοκού δεν επηρεάζουν καθόλου την τιμή της Δφ G. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η ολοκλήρωση αφορά μόνο ροπές και τέμνουσες των τμημάτων, G και G: φ G EI a G M M dx M M dx M M EI b G dx GA Sa G Q Q dx Q Q dx Q Q GA Sb G dx.9.9 = EI.7 a.7.... EIb 7... 7. GA Sa.8...7.8.8 7. GA. Sb 7.....8...9.7..9...7.9..8...7 7..7. 9.. 7.7 8.8. 7. 8.97 7...8..8 8.79.8 7...8 7....8..89.8...8. από κάμψη από διάτμηση rad 9
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Παρατήρηση: Η συνεισφορά των διατμητικών παραμορφώσεων (.8 rad) είναι κατ απόλυτη τιμή πολύ μικρότερη των καμπτικών παραμορφώσεων (. rad). Β. Άτμητος και ατενής φορέας (ΕΙ=πεπερ., GA S Ø, ΕΑØ) Β) Λόγω των δεδομένων εξωτερικών φορτίων: Στην περίπτωση του άτμητου και ατενούς φορέα μηδενίζονται όλες οι τυχόν συνεισφορές από διατμητικές και αξονικές παραμορφώσεις, δηλαδή τα δυνατά έργα τεμνουσών και αξονικών δυνάμεων είναι εξ ορισμού μηδενικά. Συνεπώς, σύμφωνα με τους παραπάνω υπολογισμούς παίρνουμε: Δφ G =. rad Παρατηρούμε ότι η διαφορά στροφών Δφ G είναι θετική και, συνεπώς, το γόνατο που σχηματίζει στο σημείο της άρθρωσης G η ελαστική γραμμή δείχνει προς τα επάνω. Β) Λόγω των δεδομένων εξωτερικών φορτίων, αν η στήριξη είναι κατακορύφως ενδόσιμη ελαστικά: Στην περίπτωση αυτή παράγεται πρόσθετο συμπληρωματικό δυνατό έργο από τη δυνατή αντίδραση στήριξης Α Ζ =.7 στην κατακόρυφη πραγματική μετατόπιση: A c 7.kN kn m 7. m Z Z N Βάσει της ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) παίρνουμε: φ G.. A Z. A c..7 7. Z N.7 rad Παρατηρούμε ότι η ελαστική στήριξη του κόμβου οδηγεί υπό τη δεδομένη φόρτιση σε αύξηση κατά (. rad) της Δφ G, η οποία μάλιστα είναι πολλαπλάσια της αρχικής τιμής (. rad) της Δφ G. Υπενθυμίζεται, επίσης, ότι στην έκφραση των συμπληρωματικών δυνατών έργων χρησιμοποιήθηκε ο όρος Α Ζ ( Α Ζ /c N ) αντί του όρου Ν ΕΖ ( Ν ΕΖ /c N ), αφού λόγω Ν ΕΖ =Α Ζ μας δίνει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα. Β) Λόγω ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t: φ G [N x α t t]dx Δηλαδή η αυξομείωση της θερμοκρασίας t, δεν προκαλεί διαφορά στροφών στο σημείο G, όπως άλλωστε δεν προκαλεί στροφές και κατακόρυφες μετατοπίσεις σε κανένα άλλο σημείο της αρθρωτής δοκού. Β) Λόγω ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης Δt: φ G M α t h G α t h t t x dx M x dx M x a a G α t t dx h b.9 =.7..9.7. 8.
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο..9.7. 8..9.7.9... rad Β) Λόγω της καταναγκασμένης βύθισης L της στήριξης : φ G A Z L.. 9.9 rad
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Ι Για τον υπολογισμό των ζητούμενων μετακινήσεων εφαρμόζεται η αρχή των συμπληρωματικών δυνατών έργων (ΑΣΔΕ, βλ. π.χ. [], παράγρ... και 9.). () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό τη δεδομένη φόρτιση Έχουν ήδη υπολογιστεί στην Άσκηση Η/. Εφόσον ο φορέας είναι άτμητος και ατενής, οι μόνες μη μηδενικές ελαστικές παραμορφώσεις είναι οι καμπτικές. Συνεπώς, αρκεί για τον υπολογισμό οποιουδήποτε μεγέθους μετακίνησης λόγω p, η γνώση των ροπών κάμψης Μ(x) και των αντιστοίχων καμπυλοτήτων κ(x)=μ(x)/ei(x). p=kn/m. a b. Z X. A X =8.kN. =9.kN A Z A X.. A Z=8.kN =8.kN 7. 9.7.78 M a =. a b M b =8.7 9.7 M(x) [knm] Αντιδράσεις στήριξης και ροπές κάμψης του δεδομένου άτμητου και ατενούς φορέα () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό την κατάλληλη μοναδιαία δυνατή φόρτιση Μοναδιαία δυνατή φόρτιση Ρ Χa = Ρ Χb = για τον υπολογισμό της Δu ab
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. P Xa = a Z X b. P Xb =.8...98. M (x) [m]...... Αντιδράσεις στήριξης και ροπές κάμψης λόγω Ρ Χa = Ρ Χb = Ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των ροπών κάμψης γίνεται, κατά τα γνωστά, με τη βοήθεια των συνθηκών ισορροπίας και τη μέθοδο των κυκλικών διαχωριστικών τομών. () Άθροιση όλων των παραγόμενων συμπληρωματικών δυνατών έργων, εξίσωσή τους με το μηδέν και επίλυση ως προς τη ζητούμενη μετακίνηση Υπολογισμός της Δu ab Λόγω του φορτίου p: Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διαγράμματα των φορτίων διατομής λόγω p (Σχ. ) και λόγω Ρ Χa = Ρ Χb = (Σχ. ), παίρνουμε βάσει της ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος: u ab EI Σ M Mdx M Mdx EI Z M Mdx..78.. =.8... 7..98 8.7...8...78 7. 9.7.
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο........ 7...8 7..8..98 8.7..98 8.7. 8.7..78.98.78. 9.7.8... 7..78.8.8 7...78...8..7.8..88 9.87 9.97.8 m. Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η οριζόντια απόσταση των σημείων a και b αυξάνεται υπό την επήρεια του φορτίου p. Πως εξηγείται αυτό εποπτικά; Σημειώνεται ότι οι αντιδράσεις στήριξης δεν υπεισέρχονται στον υπολογισμό του Δu ab, διότι οι στηρίξεις είναι ακλόνητες και, συνεπώς, ο υπολογισμός της Δu ab δεν προϋποθέτει τη γνώση τους. Λόγω ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t : Στην περίπτωση αυτή συμπληρωματικό δυνατό έργο παράγει η δυνατή αξονική δύναμη Ν (x), που αναπτύσσεται στο ζύγωμα λόγω της δυνατής φόρτισης Ρ Χa =Ρ Χb =, επί των πραγματικών αξονικών παραμορφώσεων ε t (x)=α t t= o C του ζυγώματος. Η Ν (x) είναι, προφανώς, σταθερή σε όλο το μήκος του ζυγώματος και υπολογίζεται εύκολα από την εξής κυκλική διαχωριστική τομή:.. P Xa = a Z N X F X N A X P Xa....79 Βάσει της ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) παίρνουμε: u ab.79 N x α t dx N t σταθερές α L..79 t t m.8mm Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η θερμοκρασιακή φόρτιση t προκαλεί αύξηση της οριζόντιας απόστασης των σημείων a και b. Πως εξηγείται αυτό εποπτικά;
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Λόγω της ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t όπως και λόγω οποιουδήποτε άλλου καταναγκασμού ο ισοστατικός φορέας παραμένει άτονος. Συνεπώς, εκτός από την αξονική παραμόρφωση επιμήκυνση, λόγω t > o C του ζυγώματος, τα δομικά στοιχεία του φορέα δεν εμφανίζουν άλλες παραμορφώσεις και η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο φορέας είναι η εξής: L α t t L = = Παραμορφωμένη κατάσταση λόγω t Ο αναγνώστης καλείται να απαντήσει στις εξής απλές ερωτήσεις: Βάσει ποιών παραδοχών προκύπτουν μηδενικές κατακόρυφες μετατοπίσεις =, = των κόμβων και ; Πώς εξηγείται εποπτικά το γεγονός ότι το σημείο μετατοπίζεται προς τα επάνω; Λόγω ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης Δt : Στην περίπτωση αυτή συμπληρωματικό δυνατό έργο παράγει η δυνατή ροπή κάμψης Μ (x) που αναπτύσσεται στο ζύγωμα λόγω της δυνατής φόρτισης Ρ Χa =Ρ Χb = επί των πραγματικών καμπυλοτήτων κ t (x)=α t (Δt/h Z )= (/.)=.7 Βάσει της ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος παίρνουμε:.8. u ab M x Z α t t dx h =.7...7.8.. m Λόγω της ανομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης Δt όπως και λόγω οποιουδήποτε άλλου καταναγκασμού το ισοστατικό τριαρθρωτό πλαίσιο παραμένει άτονο. Συνεπώς, εκτός από τις θετικές καμπυλότητες λόγω Δt > o C, τα δομικά στοιχεία δεν εμφανίζουν άλλες παραμορφώσεις και η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο φορέας είναι η εξής:
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο u =u u u =u Παραμορφωμένη κατάσταση λόγω Δt Μικρή άσκηση: Πώς εξηγείται εποπτικά το γεγονός ότι το σημείο μετατοπίζεται προς τα επάνω, και ότι το ζύγωμα μετατοπίζεται προς τα δεξιά; Λόγω της καταναγκασμένης βύθισης L της στήριξης : Στην περίπτωση αυτή συμπληρωματικό δυνατό έργο παράγει η δυνατή αντίδραση στήριξης Α Z επί της πραγματικής καταναγκασμένης βύθισης L =cm. Βάσει της ΑΣΔΕ (βλ. π.χ. [], εξ. (9..)) παίρνουμε: u ab A Z L...8m.8mm Λόγω της καταναγκασμένης βύθισης L όπως και λόγω οποιουδήποτε άλλου καταναγκασμού ο ισοστατικός φορέας παραμένει άτονος. Συνεπώς, τα δομικά του στοιχεία παραμένουν παντελώς απαραμόρφωτα και η παραμορφωμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο φορέας έχει την εξής μορφή: u φ u= u u=u cm = cm L Παραμορφωμένη κατάσταση λόγω L Ο αναγνώστης καλείται να απαντήσει στις εξής απλές ερωτήσεις: Γιατί ο κόμβος δεν μετατοπίζεται κατακορύφως; Γιατί η οριζόντια μετατόπιση u είναι ίση με την u ; Η διαφορά στροφών Δφ είναι μηδενική ή όχι;
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Ι Για τον υπολογισμό των ζητούμενων μετακινήσεων εφαρμόζεται η αρχή των συμπληρωματικών δυνατών έργων (ΑΣΔΕ, βλ. π.χ. [], παράγρ... και 9.). () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό τη δεδομένη φόρτιση Έχουν ήδη υπολογιστεί στην Άσκηση Η8/ και παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα:. A X. =kn β α Z X γ P Z =kn EA = kn A X =kn A Z =kn.. Αντιδράσεις στήριξης και αξονικές δυνάμεις του δεδομένου δικτυωτού φορέα 8.88.. () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό την κατάλληλη μοναδιαία δυνατή φόρτιση Ι. Μοναδιαίο δυνατό φορτίο Ρ Z = για τον υπολογισμό της N [kn]..8.... Z X P Z =.. N (x) [].. Αντιδράσεις στήριξης και αξονικές δυνάμεις λόγω P Z = ΙΙ. Μοναδιαία δυνατή φόρτιση Ρ Z = Ρ Z = για τον υπολογισμό της ψ. P Z = P Z =.8.... Z X.. N (x) []. Αντιδράσεις στήριξης και αξονικές δυνάμεις λόγω P Z = P Z = 7
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των αξονικών δυνάμεων των ράβδων για τις δύο παραπάνω δυνατές φορτίσεις γίνεται, κατά τα γνωστά, με τη βοήθεια των συνθηκών ισορροπίας και τη μέθοδο των κυκλικών διαχωριστικών τομών. () Άθροιση όλων των παραγόμενων συμπληρωματικών δυνατών έργων, εξίσωσή τους με το μηδέν και επίλυση ως προς τη ζητούμενη μετακίνηση Ι. Υπολογισμός της Λόγω P Z =kn: Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διαγράμματα των αξονικών δυνάμεων, λόγω P Z =kn (Σχ. ) και λόγω P Z = (Σχ. ), παίρνουμε βάσει του πίνακα (τελευταία στήλη): N ik N L ik EA ik ik όπου το άθροισμα εκτείνεται σε όλες τις ράβδους ik του δικτυωτού φορέα. Λόγω ΕΑ ik =ΕΑ= kn έχουμε: EA..8 8.88.... cosβ cosγ..... cosα.. 8..8.. m.8mm Παρατηρούμε ότι, όπως διαισθητικά αναμέναμε, ο κόμβος μετατοπίζεται προς τα κάτω. Σημειώνεται ότι οι αντιδράσεις στήριξης δεν υπεισέρχονται στον υπολογισμό της, διότι οι στηρίξεις είναι ακλόνητες και, συνεπώς, ο υπολογισμός της δεν προϋποθέτει τη γνώση τους. Λόγω ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t: Βάσει του πίνακα. (τελευταία στήλη) έχουμε: N α t L ik t ik ik όπου και πάλι το άθροισμα εκτείνεται σε όλες τις ράβδους ik του δικτυωτού φορέα. Λόγω t ik =t= o C παίρνουμε: α t.. t..8... cosβ cosγ. cosα... 8 8 8. m.mm Παρατηρούμε ότι η θετική θερμοκρασιακή φόρτιση t συνεπάγεται ανύψωση του κόμβου κατά.mm. ΙΙ. Υπολογισμός της ψ Λόγω P Z =kn: Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω διαγράμματα των αξονικών δυνάμεων, λόγω P Z =kn (Σχ. ) και λόγω P Z = P Z = (Σχ. ), παίρνουμε βάσει του πίνακα. (τελευταία στήλη): ψ L N N ik L ik ik EA ik 8
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο όπου το άθροισμα εκτείνεται σε όλες τις ράβδους ik του δικτυωτού φορέα: ψ L. EA..8 8.9....... cosβ... 8.. cosα. cosγ. rad Το αρνητικό πρόσημο της ψ σημαίνει ότι η ράβδος στρέφεται κατά την έννοια των δεικτών του ρολογιού. Γιατί; Λόγω ομοιόμορφης θερμοκρασιακής φόρτισης t: ψ L α t L t. t N α t L N L ik t ik ik ik ik..8..... cosα. cosβ 8 8 8 α L t.. cosγ Παρατηρούμε ότι η θετική θερμοκρασιακή φόρτιση t δεν προκαλεί στροφή της ράβδου. 9
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Ι Για τον υπολογισμό των ζητούμενων μετακινήσεων εφαρμόζεται η αρχή των συμπληρωματικών δυνατών έργων (ΑΣΔΕ, βλ. π.χ. [], παράγρ... και 9.). () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό τη δεδομένη φόρτιση. Y,φ Υ Z,φ x y z X,φ Ζ X x z y. kn 8kN. kn x y z. Δεδομένος φορέας και φόρτιση Οι αντιδράσεις στήριξης και τα φορτία διατομής έχουν ήδη υπολογιστεί στην Άσκηση Θ/ και παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα: 9 9 (ανάποδα για λόγους ευκρίνειας) X Y Z M (x) = M (x) [knm] T x M (x) [knm] y M z (x) [knm] Ροπές στρέψης Μ Τ και κάμψης Μ y, M z του δεδομένου άτμητου και ατενούς χωρικού φορέα Εφόσον ο φορέας είναι άτμητος και ατενής, οι μόνες μη μηδενικές ελαστικές παραμορφώσεις είναι οι καμπτικές και οι στρεπτικές. Συνεπώς, αρκεί για τον υπολογισμό οποιουδήποτε μεγέθους μετακίνησης, λόγω της δεδομένης φόρτισης, η γνώση των ροπών κάμψης Μ y (x), M z (x) και στρέψης Μ x (x)=m Τ (x), καθώς βέβαια και των αντιστοίχων καμπυλοτήτων κ y (x)=μ y (x)/ei y (x), κ z (x)=μ z (x)/ei z (x) και συστροφών ζ(x)= Μ T (x)/gi T (x). Σημείωση: Επειδή όλες οι στηρίξεις είναι ακλόνητες και μη ελαστικά ενδόσιμες, οι αντιδράσεις στήριξης δεν υπεισέρχονται στον υπολογισμό των συμπληρωματικών δυνατών έργων και, συνεπώς, η γνώση τους δεν είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό των ζητούμενων μεγεθών μετακίνησης. () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό την κατάλληλη μοναδιαία δυνατή φόρτιση Για τον λόγο που αναφέρθηκε πιο πάνω, οι αντιδράσεις στήριξης δεν χρειάζεται να υπολογιστούν.
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Ι. Μοναδιαίο δυνατό φορτίο Ρ Z = για τον υπολογισμό της Ζ P Z = Y Z X y M (x) [m] Ροπές κάμψης και στρέψης λόγω P Z = Όλες οι υπόλοιπες ροπές κάμψης Μ z (x) και στρέψης Μ Τ (x) είναι μηδενικές. ΙΙ. Μοναδιαίο δυνατό φορτίο Μ XL = για τον υπολογισμό της φ X Y X Z M XL = T x M (x) = M (x) [] Ροπές κάμψης και στρέψης λόγω M XL = Οι ροπές κάμψης Μ y (x), Μ z (x) είναι μηδενικές. ΙIΙ. Μοναδιαία δυνατή φόρτιση για τον υπολογισμό της ψ X Y P Y = X Z P = Y M T (x) = M x (x) [m] y M (x) [m] Ροπές κάμψης και στρέψης λόγω Ρ Υ =Ρ Υ = Οι ροπές κάμψης Μ z (x) είναι μηδενικές.
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο () Άθροιση όλων των παραγόμενων συμπληρωματικών δυνατών έργων, εξίσωσή τους με το μηδέν και επίλυση ως προς τη ζητούμενη μετακίνηση Ι. Υπολογισμός της Ζ Χρησιμοποιώντας τα προηγηθέντα διαγράμματα ροπών κάμψης και στρέψης λόγω της δεδομένης φόρτισης και λόγω P Z =, παίρνουμε βάσει της ΑΣΔΕ (βλ. [], εξ. (9..)) και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος: Z y EI y M M dx y...mm. ΙΙ. Υπολογισμός της φ Χ Χρησιμοποιώντας προηγηθέντα διαγράμματα ροπών κάμψης και στρέψης λόγω της δεδομένης φόρτισης και λόγω M XL =, παίρνουμε: φ X T GI T M M dx T. 9. 9 rad ΙΙΙ. Υπολογισμός της ψ Χ Χρησιμοποιώντας προηγηθέντα διαγράμματα ροπών κάμψης και στρέψης λόγω της δεδομένης φόρτισης και λόγω Ρ Υ =Ρ Υ = παίρνουμε: ψ X L GI T M M dx M M T T y y EI y dx =.. 9 9.... 9. 9... rad
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Ι Για τον υπολογισμό των ζητούμενων μετακινήσεων εφαρμόζεται η αρχή των συμπληρωματικών δυνατών έργων (ΑΣΔΕ, βλ. π.χ. [], παράγρ... και 9.). () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό τη δεδομένη φόρτιση Eδώ αρκεί ο υπολογισμός της ροπής ελαστικής πάκτωσης Μ Ε στο σημείο και του διαγράμματος ροπών κάμψης Μ(x). Γιατί; Z X M E=kNm P X=kN.. M(x) [knm].. Ροπές κάμψης και ροπή ελαστικής πάκτωσης λόγω της δεδομένης φόρτισης () Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής του φορέα υπό την κατάλληλη μοναδιαία δυνατή φόρτιση Μοναδιαίο δυνατό φορτίο Ρ Z = για τον υπολογισμό της M E = A Z=kN P= Z. Z X. M (x) [m].. Ροπές κάμψης και ροπή ελαστικής πάκτωσης λόγω του δυνατού φορτίου Ρ Ζ = () Άθροιση όλων των παραγόμενων συμπληρωματικών δυνατών έργων, εξίσωσή τους με το μηδέν και επίλυση ως προς τη ζητούμενη μετακίνηση Βάσει της ΑΣΔΕ ( [], εξ. (9..)) και με τη βοήθεια του Πίνακα του Παραρτήματος παίρνουμε: EI M M dx M E M c E M =.......m
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο. Υπολογισμός ελαστικών γραμμών (Ομάδα Κ) Για τους παρακάτω ισοστατικούς φορείς, να υπολογιστούν οι ζητούμενες ελαστικές γραμμές εφαρμόζοντας τη μέθοδο των συναρτήσεων ω σε συνδυασμό με την αρχή των συμπληρωματικών δυνατών έργων (ΑΣΔΕ). Ζητείται η ελαστική γραμμή (x) της δοκού. Ερώτηση: Πώς μεταβάλλεται η (x), αν η στήριξη θεωρηθεί κατακορύφως ενδόσιμη ελαστικά; q =kn/m K n=kn/m Z, X,u. EI=. knm GA SØ EA Ø. c N = kn/m Ζητείται η ελαστική γραμμή (x) του τμήματος της αρθρωτής δοκού. Z, X,u q=kn/m K =kn P Z.. PX. =kn G..... P X =kn EI =. knm GA SØ EA Ø
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Ζητείται η ελαστική γραμμή (x) του ζυγώματος. p=kn/m K.. Z, X,u. Στύλοι: EI =. knm Σ Ζύγωμα: EI =. Ζ knm... GA SØ EA Ø Ζητείται η ελαστική γραμμή (x) του ζυγώματος.. K Y, X,u Z, Κυλινδρική άρθρωση kn y z 8kN x x,u y, z, x z y kn... EI = y EI z = GA SØ EA Ø GI T = knm knm Η απεικονιζόμενη μονοπροέχουσα χαλύβδινη δοκός IPB8 φορτίζεται με Ρ=kN στο άκρο. Να υπολογιστεί η ελαστική γραμμή (x) αγνοώντας τις διατμητικές παραμορφώσεις. K Z, X,u IPB8 St7 P =kn 7.. EI = σταθ. GA SØ EA Ø
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Για τον ελαστικά πακτωμένο στο αριστερό άκρο και ελαστικά εδραζόμενο στο σημείο φορέα του σχήματος (χαλύβδινη δοκός IPB8, St7) να υπολογιστεί η ελαστική γραμμή (x) αγνοώντας τις διατμητικές παραμορφώσεις. K Z, X,u c M IPB8 St7 c N P =kn.... EI= σταθ. GA SØ EA Ø c N = kn/m c M = knm/rad
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Πριν την παρουσίαση των λύσεων, παρατίθενται χάριν διευκόλυνσης του σπουδαστή τα επί μέρους βήματα που περιλαμβάνει ο υπολογισμός ελαστικών γραμμών με τη βοήθεια των συναρτήσεων ω και της αρχής των συμπληρωματικών έργων (ΑΣΔΕ): () Προσδιορίζεται το διάγραμμα των ροπών κάμψης Μ(x) του φορέα υπό τη δεδομένη φόρτιση (φορτία και καταναγκασμοί). Σε ισοστατικούς φορείς οι ροπές, λόγω καταναγκασμών, είναι βέβαια μηδενικές. () Υποδιαιρείται ο φορέας σε ένα πλήθος κατάλληλα επιλεγμένων στοιχείων αβ, βγ, γδ,, τα οποία πρέπει να είναι ευθύγραμμα, να έχει καθένα τους σταθερή δυσκαμψία ΕΙ και το διάγραμμα ροπών τους Μ(x) να μπορεί να συντεθεί από τους βασικούς τύπους διαγραμμάτων που περιλαμβάνονται σε διαθέσιμους πίνακες (βλ. Παράρτημα, Πίν. α). Αυτό σημαίνει ότι οι κόμβοι α, β, γ, δ, που προσδιορίζουν αρχή και τέλος κάθε στοιχείου πρέπει να επιλέγονται με τρόπο τέτοιο, ώστε η μεταξύ αυτών καμπτική παραμόρφωση της δοκού να μπορεί να ταυτιστεί με την ελαστική γραμμή μιας αμφιέρειστης δοκού (αβ, βγ, γδ,...) που φέρει τα ίδια φορτία. () Υπολογισμός των βυθίσεων α, β, γ, δ,... των κόμβων α, β, γ, δ, κάθετα στον άξονα x, δηλαδή κατά την έννοια της ζητούμενης ελαστικής γραμμής (x), εφόσον αυτές είναι διάφορες του μηδενός. () Προσδιορισμός της κλείουσας της ελαστικής γραμμής, η οποία προκύπτει ως η γραμμή που συνδέει ευθύγραμμα τους μετατοπισμένους κόμβους, δηλαδή ως η πολυγωνική γραμμή κλ (x) με τεταγμένες τις μετατοπίσεις α, β, γ, δ στις θέσεις των κόμβων α, β, γ, δ,.... () Κάθε ένα από τα δομικά στοιχεία αβ, βγ, γδ, θεωρείται ως αμφιέρειστη δοκός, της οποίας η ελαστική γραμμή αμφ (x) υπολογίζεται κάνοντας χρήση των αριθμητικών πινάκων των συναρτήσεων ω (βλ. Πίνακες α και β του Παραρτήματος). () Επαλληλία, δηλαδή αλγεβρική πρόσθεση, των τιμών των βυθίσεων που υπολογίστηκαν στα προηγούμενα βήματα και. Με διαφορετική διατύπωση: Οι ελαστικές γραμμές των αμφιερείστων δοκών αβ, βγ, γδ,... του βήματος () «κρεμιούνται» στην κλείουσα της ελαστικής γραμμής, συνθέτοντας έτσι τη ζητούμενη τελική ελαστική γραμμή του ισοστατικού φορέα (x)= κλ (x) αμφ (x). Σημείωση : Γωνίες στροφής Ο πίνακας α του Παραρτήματος περιέχει εκτός από τις συναρτήσεις ω και τύπους για τον υπολογισμό των γωνιών στροφής τ α =φ αμφαριστ και τ β =φ αμφδεξ που αναπτύσσονται στα άκρα μιας αμφιέρειστης δοκού αβ. Αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουμε τις στροφές φ α, φ β των σημείων α, β, γ, δ, ή να ελέγξουμε τις τιμές γωνιών στροφής που υπολογίστηκαν προηγουμένως με άλλον τρόπο. Βέβαια, εκτός από τις στροφές τ α και τ β λόγω της ελαστικής παραμόρφωσης του τμήματος αβ, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη και η στροφή ψ=ψ αβ =( α β )/L της χορδής του. Έτσι, οι τελικές (συνολικές) στροφές φ α, φ β στα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος υπολογίζονται από τους τύπους: φ α ψ τ α, φ β ψ τ Σημείωση : Χωρικοί φορείς Επειδή χωρικά δομικά στοιχεία που είναι ευθύγραμμα και έχουν σταθερή δυσκαμψία περιγράφονται σε κάθε επίπεδο κάμψης (xy ή xz) από διαφορικές εξισώσεις, που είναι ακριβώς ανάλογες με τις διαφορικές εξισώσεις των αντίστοιχων επίπεδων γραμμικών στοιχείων, οι συναρτήσεις ω μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για τον υπολογισμό ελαστικών γραμμών χωρικών γραμμικών φορέων ξεχωριστά για κάθε ένα από τα δύο επίπεδα xy και xz. β 7
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Κ Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. () Υπολογισμός του διαγράμματος ροπών κάμψης Μ(x) Το διάγραμμα ροπών κάμψης του δεδομένου φορέα έχει υπολογιστεί στην Άσκηση Η/ και παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα: maxm= A Z=kN M(x) [knm] παραβολή ου βαθμού Z, X,u Αντιδράσεις στήριξης και ροπές κάμψης του δεδομένου φορέα Παρατηρούμε ότι το διάγραμμα ροπών στη δοκό, που μας ενδιαφέρει εδώ, ταυτίζεται με το διάγραμμα ροπών μιας αμφιέρειστης δοκού υπό το ίδιο φορτίο. Σημειώνεται, επίσης, ότι οι ροπές Μ(x) του ισοστατικού φορέα δεν επηρεάζονται από την ενδεχόμενη ενδοσιμότητα της στήριξης. ()()() Υπολογισμός των βυθίσεων στα χαρακτηριστικά σημεία και προσδιορισμός της κλείουσας Στην περίπτωσή μας έχουμε ένα μόνο στοιχείο, δηλαδή την ευθύγραμμη δοκό σταθερής δυσκαμψίας, και δύο χαρακτηριστικά σημεία: τους κόμβους και. Ο κόμβος είναι ακλόνητα εδραζόμενος και, συνεπώς, =. Ο κόμβος έχει στην εξεταζόμενη περίπτωση του ατενούς φορέα (ΕΑØ) επίσης μηδενική κατακόρυφη μετατόπιση: = = (βλ. Άσκηση Ι). Έτσι, η κλείουσα της ελαστικής γραμμής έχει μηδενικές τεταγμένες, δηλαδή ταυτίζεται με τον απαραμόρφωτο άξονα x της δοκού. ()() Υπολογισμός των ελαστικών γραμμών των επιμέρους τμημάτων θεωρούμενων ως αμφιέρειστωn και επαλληλία Για το ένα και μοναδικό τμήμα του φορέα μας παίρνουμε για την ελαστική γραμμή (x) βάσει του Πίνακα α (σειρά ) του Παραρτήματος: maxm= x ξ=x/l L=L =. παραβολή ου βαθμού ξ. όπου : ω M L EI. P ξ ω ξ P ω P m ξ ω P Με τη βοήθεια του Πίνακα β, ο οποίος περιέχει τις αριθμητικές τιμές της συνάρτησης ω, P υπολογίζουμε τις βυθίσεις σε επαρκώς πυκνά σημεία της δοκού, π.χ. στα δέκατα σημεία της: 8
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο x [m] ξ [ ]=x/. ω P (ξ)=.ω P [mm] Κόμβος :....98....8.7.8...9...97.7.......97.7..7..9.8.8.8.7..9.98. Κόμβος :. x,ξ άξονας συμμετρίας κλείουσα.... (ξ) [mm].7.9.7.7.7...9. Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία (βλ. π.χ. [], παράγρ. 9..), ο Πίνακας α μας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουμε και τις γωνίες στροφής φ αρ και φ δεξ στα άκρα του εκάστοτε θεωρούμενου αμφιέρειστου τμήματος ik. Για την περίπτωση μας έχουμε: φ ψ M L τ i EI.. Σημ.: Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι ο κόμβος στρέφεται κατά την έννοια των δεικτών του ρολογιού. Διαπιστώνουμε ότι η τιμή αυτή συμπίπτει πράγματι με την τιμή της στροφής φ που υπολογίσαμε στην Άσκηση Ι, για τον άτμητο και ατενή φορέα. Επίσης, λόγω της συμμετρίας της ελαστικής γραμμής ισχύει φ =φ, με πρόσημο βάσει συστήματος αναφοράς. Τέλος, σημειώνεται ότι αν η στήριξη θεωρηθεί κατακορύφως ενδόσιμη ελαστικά, οι μεν ροπές Μ(x) του τμήματος παραμένουν αμετάβλητες, αφού οι ελαστικές ιδιότητες δεν επηρεάζουν τα εντασιακά μεγέθη ισοστατικών φορέων, η δε κατακόρυφη μετατόπιση του κόμβου παύει να είναι μηδενική και παίρνει την τιμή (βλ. Άσκηση Ι): AZ cn m Συνεπώς, η κλείουσα της ελαστικής γραμμής δεν έχει πλέον μηδενικές τεταγμένες, αλλά τη μορφή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: rad 9
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο x,ξ. βυθίσεις κλείουσας κλ(ξ) [mm].........=(/).. κλείουσα Κλείουσα της ελαστικής γραμμής Η τελική ελαστική γραμμή προκύπτει με επαλληλία, δηλαδή αλγεβρική άθροιση, των βυθίσεων λόγω κλείουσας και έχει την ακόλουθη μορφή: τελική ελαστική γραμμή (ξ) [mm] x,ξ....8 Ελαστική γραμμή..7.7 φ αρ >..9...7.7.....7.7..9.....7.8.7 κλείουσα. Στην περίπτωση αυτή η στροφή στο αριστερό άκρο ισούται με: φ αρ ψ τ i L τ i... δηλαδή ο κόμβος στρέφεται ενάντια στη φορά των δεικτών του ρολογιού. rad
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Κ Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. () Υπολογισμός του διαγράμματος ροπών κάμψης Μ(x) Το διάγραμμα ροπών κάμψης του δεδομένου φορέα έχει ήδη υπολογιστεί στην Άσκηση Η/ και παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα: M(x) [knm].7 X,u Z, G... 7.. Ροπές κάμψης του δεδομένου φορέα Εδώ ενδιαφέρει μόνο το τμήμα του διαγράμματος M(x), αφού για το τμήμα αυτό ζητείται η ελαστική γραμμή. ()()() Υπολογισμός των βυθίσεων στα χαρακτηριστικά σημεία και προσδιορισμός της κλείουσας Το τμήμα θεωρείται για τις ανάγκες του υπολογισμού της ελαστικής του γραμμής ως ένα στοιχείο, διότι όχι μόνο είναι ευθύγραμμο και σταθερής δυσκαμψίας ΕΙ αλλά το διάγραμμα ροπών του μπορεί να συντεθεί από τους βασικούς τύπους διαγραμμάτων που περιλαμβάνονται στον πίνακα α του Παραρτήματος ως εξής:.7 M a =.7 =.... M b =. (..7/).. Δεδομένου ότι τα σημεία και εδράζονται ακλόνητα, και συνεπώς = =, η κλείουσα της ελαστικής γραμμής έχει μηδενικές τεταγμένες, δηλαδή ταυτίζεται με τον απαραμόρφωτο άξονα της δοκού. ()() Υπολογισμός των ελαστικών γραμμών των επιμέρους τμημάτων θεωρούμενων ως αμφιέρειστων και επαλληλία Για το ένα και μοναδικό τμήμα του φορέα μας, παίρνουμε για την ελαστική γραμμή (x) βάσει του Πίνακα α (σειρές και ) του Παραρτήματος:
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο a) M= M a =.7 a ξ M L EI. ω.7 ω L=. x ξ=x/l όπου : ω 9. ξ ξ ω m b) M = M b =... L=. x ξ=x/l b ξ όπου : ω M L EI. 7.78 ω ω ξ ξ ω m και συνολικά: ξ ξ ξ a 9. b ω 7.78 ω Με τη βοήθεια του Πίνακα β του Παραρτήματος, ο οποίος περιέχει τις αριθμητικές τιμές των συναρτήσεων ω και ω Δ, υπολογίζουμε τις βυθίσεις σε επαρκώς πυκνά σημεία της δοκού, π.χ. στα δέκατα σημεία της: x [m] ξ= x/. ω ω a =9. ω b =7.78 ω = a b [mm] Κόμβος :....99.9.89...8..9.8......7.79..8.89....9..78. Κόμβος :..7.7.778....8.9.7.78.9.8.7.7.79.8.8.7..8.88.8.9....9.7.9... Κόμβος :. x,ξ 8.7 κλείουσα.8... ελαστική γραμμή. (ξ) [mm].89...9...7 Ελαστική γραμμή Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία (βλ. π.χ. [], παράγρ. 9..), ο Πίνακας α μας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουμε και τις γωνίες στροφής φ αρ και φ δεξ στα άκρα του εκάστοτε θεωρούμενου
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο αμφιέρειστου τμήματος ik. Για την περίπτωσή μας, όπου η κλείουσα είναι μηδενική (ψ =) παίρνουμε (βλ. σειρές και του Πίνακα α): Κόμβος : Κόμβος : a b a b φ φ a b ψ. ψ τ τ ia ib. και συνολικά: φ φ a b ψ ψ τ τ ka kb τ τ φ τ τ ka kb ia EI.7 ib...7 EI M..7 M L L. M L 9. EI M L. EI rad rad 8.7 φ rad.8 rad
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Κ Ακολουθούνται τα βήματα υπολογισμού που περιγράφηκαν στην αρχή της παραγράφου.. () Υπολογισμός του διαγράμματος ροπών κάμψης Μ(x) Το διάγραμμα ροπών κάμψης του δεδομένου φορέα έχει ήδη υπολογιστεί στην Άσκηση Η/: 7. 9.7.78 9.7 X,u Z, M(x) [knm] Αντιδράσεις στήριξης και ροπές κάμψης του δεδομένου φορέα Εδώ ενδιαφέρει μόνο το τμήμα του διαγράμματος M(x), αφού για το τμήμα αυτό ζητείται η ελαστική γραμμή. ()()() Υπολογισμός των βυθίσεων στα χαρακτηριστικά σημεία και προσδιορισμός της κλείουσας Το τμήμα θεωρείται για τις ανάγκες του υπολογισμού της ελαστικής του γραμμής ως ένα στοιχείο, διότι όχι μόνο είναι ευθύγραμμο και σταθερής δυσκαμψίας ΕΙ αλλά το διάγραμμα ροπών του μπορεί να συντεθεί από τους βασικούς τύπους διαγραμμάτων που περιλαμβάνονται στον πίνακα α του Παραρτήματος ως εξής:.78 7. 9.7 =... M b =.78(7.) =8. M =7. a M c =9.7 Λόγω της παραδοχής της ατένειας, οι βυθίσεις των άκρων του στοιχείου είναι μηδενικές: = = και συνεπώς η κλείουσα της ελαστικής γραμμής έχει μηδενικές τεταγμένες, δηλαδή ταυτίζεται με τον απαραμόρφωτο άξονα της δοκού. ()() Υπολογισμός των ελαστικών γραμμών των επιμέρους τμημάτων θεωρούμενων ως αμφιέρειστων και επαλληλία Για το ένα και μοναδικό τμήμα του φορέα μας, παίρνουμε για την ΕΙπλάσια ελαστική γραμμή (x) βάσει του Πίνακα α (σειρές, και ) του Παραρτήματος: a) M= M a =7. x ξ=x/l L =. EI a όπου : ξ ω R M L ξ ξ ω R 98. ω R
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο b) x ξ=x/l M= M b =8. L =. EI b όπου : ξ ω M L ξ ξ ω 8. ω c) x ξ=x/l M=M c =9.7 L =. EI c ξ όπου : ω P M L ξ ω ξ P 78. ω ξ P και συνολικά: EI ξ EI ξ ξ ξ a 98. ω R b 8. ω c 78. ω P Με τη βοήθεια του Πίνακα β του Παραρτήματος, ο οποίος περιέχει τις αριθμητικές τιμές των συναρτήσεων ω R, ω και ω, υπολογίζουμε τις βυθίσεις σε επαρκώς πυκνά σημεία της δοκού, P π.χ. στα δέκατα σημεία της, και σχεδιάζουμε την ελαστική γραμμή: x ξ= ω R ω ω P EI(ξ)=98.ω R [m] x/. 8ω 78.ω P Κόμβος :.......9.99.98 7.8...9.8.7....7......97 7.8....7. 9.7...8.97.9..7..7...8..88.8.9..9.9.7.98.8 Κόμβος :.....7.77...9.7...8. x,ξ κλείουσα. ελαστική γραμμή (ξ) [mm] Όπως άμεσα γίνεται αντιληπτό, η παραπάνω ελαστική γραμμή δεν μπορεί παρά να είναι λανθασμένη, διότι το κατακόρυφο συνεχές φορτίο p, το οποίο φορτίζει το ζύγωμα του πλαισίου κατά την έννοια του άξονα Ζ, δεν είναι δυνατόν να προκαλεί αντίθετες, αρνητικές μετατοπίσεις. Μια προσεκτική ματιά στη διαδικασία υπολογισμού που ακολουθήθηκε, αποκαλύπτει ότι το λάθος
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο οφείλεται στη θεώρηση ολόκληρου του ζυγώματος ως ενός ενιαίου στοιχείου, παρά το γεγονός ότι στο σημείο παρεμβάλλεται μία άρθρωση. Προκειμένου να υπολογιστεί σωστά η ζητούμενη ελαστική γραμμή του ζυγώματος, θα πρέπει: (α) να χωριστεί το ζύγωμα στα δύο επί μέρους τμήματα και, (β) να υπολογιστεί η βύθιση του σημείου προκειμένου να προσδιοριστούν οι κλείουσες των τμημάτων αυτών, (γ) για κάθε ένα από τμήματα και να γίνει ο υπολογισμός της ελαστικής τους γραμμής θεωρώντας τα ως αμφιέρειστα και, τέλος, (δ) να «κρεμαστούν» οι δύο επί μέρους ελαστικές γραμμές στην υπολογισθείσα κλείουσα. Για τις κλείουσες των τμημάτων και παίρνουμε: x,ξ.. βυθίσεις κλείουσας κλ (ξ) [mm]..9..8.7.7...87 Κλείουσα της ελαστικής γραμμής Τμήμα : Για το τμήμα του φορέα μας το διάγραμμα ροπών του μπορεί να συντεθεί από τους βασικούς τύπους διαγραμμάτων που περιλαμβάνονται στον Πίνακα α του Παραρτήματος ως εξής: 7. (. )/8 =.7 =. 7....7 Έτσι, βάσει του Πίνακα α του Παραρτήματος παίρνουμε: a) b) 7. L=. x ξ=x/l x ξ=x/l L=..7 τ ia a ξ ω.98 ω mm EI όπου : ω τ ib b M L M L. EI ξ ξ ξ, τ ka. ξ ω.87 ω mm όπου : ω τ kb EI P EI M L ξ ξ P ξ M L.8 P και συνολικά: ξ ξ ξ.98 ω.87 ω a b P