Ταλαντώσεις ερωτήσεις κρίσεως

Ταλαντώσεις (Γενικές ερωτήσεις κρίσεως) 1. Σώµα εκτελεί γ.α.τ. Τη στιγµή t = 0 είναι x = 0 και υ > 0. Στη διάρκεια µιας εριόδου (Τ) η ταχύτητα του σώµατος αλλάζει φορά: α) δύο φορές, β) τρεις φορές, γ) τέσσερις φορές.. Σε ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων (L - C) ο υκνωτής είναι αρχικά φορτισµένος σε τάση V. Τη στιγµή (t 0 = 0) κλείνει ο διακότης και αρχίζει αµείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Τη στιγµή κατά την οοία η ενέργεια του υκνωτή και η ενέργεια του ηνίου συνδέονται µε τη σχέση: U (E) = 3U (B), ο ρυθµός µεταβολής της έντασης του ρεύµατος (di/dt) είναι: α)v/l, β) V/L, γ) V/L, δ) V/3L. 3. Σώµα, µάζας m, είναι στερεωµένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς K, ενώ το εάνω άκρο του είναι στερεωµένο σε "ταβάνι". Το σώµα εκτελεί κατακόρυφη γ.α.τ. Η δυναµική ενέργεια της γ.α.τ. και η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου ταυτίζονται: α) στην "άνω" άκρη της γ.α.τ., β) στην "κάτω" άκρη της γ.α.τ., γ) όταν το σώµα ερνά αό τη θέση ισορροίας της γ.α.τ., δ) σε καµία θέση της γ.α.τ.. Με βάση τα στοιχεία της ερώτησης, µε οια ροϋόθεση, όταν η µία µορφή δυναµικής ενέργειας είναι µηδέν (το οια θα το βρείτε εσείς) η άλλη µορφή δυναµικής ενέργειας είναι µέγιστη; Βοηθητικά στοιχεία: αρχική ειµήκυνση ελατηρίου στη θέση ισορροίας: l, λάτος γ.α.τ. Α. ιαλέξτε τη σωστή αάντηση αό τις ακόλουθες: α) l = (A/), β) Α = l, γ) Α =, δ) Α = ( l /). 1

5. Σώµα, µάζας m, είναι στερεωµένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς K, ενώ το εάνω άκρο του είναι στερεωµένο σε "ταβάνι". Το σώµα εκτελεί κατακόρυφη γ.α.τ. ίνονται: αρχική ειµήκυνση ελατηρίου στη θέση ισορροίας: l και λάτος γ.α.τ. Α, µε Α = l. Να συγκρίνετε τη δυναµική ενέργεια του ελατηρίου και τη δυναµική ενέργεια της γ.α.τ. στις δύο "άκρες" της γ.α.τ. ("άνω" και "κάτω"), U(ελατ)/U(γατ). ιαλέξτε τη σωστή αάντηση αό τις ακόλουθες: α) 1/1 και 1/, β) 1/ και 9/, γ) /1 και 3/, δ) 1/ και 9/. 6. Σε ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων (L - C) ο υκνωτής είναι αρχικά φορτισµένος σε τάση V. Τη στιγµή (t 0 = 0) κλείνει ο διακότης και αρχίζει αµείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Κάοια χρονική στιγµή (t) ο ρυθµός µεταβολής της έντασης του ρεύµατος δίνεται αό τη σχέση: α) (di/dt) = (Q/LC)ηµ(ωt), β) (di/dt) = - (Q/LC)συν(ωt), γ) (di/dt) = (Q/LC)συν(ωt). 7. Σε ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων (L - C) ο υκνωτής είναι αρχικά φορτισµένος σε τάση V. Τη στιγµή (t0 = 0) κλείνει ο διακότης και αρχίζει αµείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού εδίου (du (E) /dt) και ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του µαγνητικού εδίου (du (B) /dt), στη διάρκεια µιας εριόδου (Τ), είναι: α) µια (1) φορά ίσες, β) δύο () φορές ίσες, γ) τέσσερις () φορές ίσες, δ) δύο () φορές αντίθετες. 8. Ένα σώµα εκτελεί γ.α.τ. Τη στιγµή ου η σχέση για την κινητική και δυναµική ενέργεια είναι: K = 3U, το µέτρο της ειτάχυνσής του είναι: α) α = α(max), β) α = α(max)/, γ) α = α(max)/3, δ) α = 0.

9. Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση, τη στιγµή ου τα διανύσµατα της ειτάχυνσης και της δύναµης - αντίστασης είναι αντίρροα, τότε το σώµα: α) κινείται ρος "τα άκρα" της γ.α.τ., β) κινείται ρος τη θέση ισορροίας της γ.α.τ. 10. Ένα σώµα εκτελεί γ.α.τ. Για να άει αευθείας αό τη θέση µε αοµάκρυνση x 1 = + (A/), στη θέση µε αοµάκρυνση x = - (A/) χρειάζεται χρόνος: α) t = T/, β) t = T/3, γ) t = T/, δ) t = T/6. 11. Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση (µε τα στοιχεία ου µελετά η θεωρία του σχολικού βιβλίου), το σώµα ξεκινά αό τη µία "άκρη" (θετική) της ευθείας κίνησης (to = 0). Τότε η δύναµη αντίστασης εριγράφεται αό την εξίσωση: α) F(A T) = - (bωa)συν(ωt), β) F(A T) = + (bωa)ηµ(ωt). 1. Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση (µε τα στοιχεία ου µελετά η θεωρία του σχολικού βιβλίου), αν Α 0, Α 1, Α είναι τα τρία ρώτα διαδοχικά λάτη, τότε η σχέση ου τα συνδέει είναι: Α 1 = A0A. Η σχέση αυτή είναι σωστή ή όχι; Εξηγήστε. 13. Σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση, µε µικρή αόσβεση, το λάτος της ταλάντωσης του σώµατος (ταλαντωτή) είναι αντιστρόφως ανάλογο µε την αόλυτη τιµή της διαφοράς της ιδιοσυχνότητας του ταλαντωτή (f 0 ) και της συχνότητας του διεγέρτη (f δ ). Η ρόταση αυτή είναι σωστή ή λάθος; 3

1. Σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση το σώµα (m) (ταλαντωτής) εκτελεί ταλάντωση του ίδιου λάτους Α (>> Α 0 ) για δύο διαφορετικές τιµές της συχνότητας του διεγέρτη, οι οοίες διαφέρουν ολύ λίγο µεταξύ τους. Αυτό σηµαίνει ότι η αόσβεση του συστήµατος είναι: α) άρα ολύ µικρή (ρακτικά µηδενική), β) µέτρια, γ) µεγάλη. Σηµειώστε τη σωστή αάντηση και δικαιολογήστε τη, χρησιµοοιώντας τα κατάλληλα διαγράµµατα " λάτους Α - συχνότητας διεγέρτη f δ ". 15. Σώµα (m) (ταλαντωτής) εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση, µε µέτρια αόσβεση, ενώ η συχνότητα του διεγέρτη έχει σταθερή τιµή f δ = (f 0 /). Το λάτος της ταλάντωσης του σώµατος: α) αραµένει σταθερό, β) µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο, γ) αυξοµειώνεται. 16. Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις, οι οοίες γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας και οι οοίες εριγράφονται αό τις εξισώσεις: x 1 = 0,03ηµ(10t) και x = 0,05ηµ(10t+). Η εξίσωση ου εριγράφει τη "συνισταµένη κίνηση είναι: x = 0,0ηµ(10t+). Αυτό είναι σωστό ή λάθος; Εξηγήστε. 17. Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις, οι οοίες γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας και οι οοίες έχουν το ίδιο λάτος αλλά διαφορετικές συχνότητες. Η µία ταλάντωση έχει κυκλική συχνότητα ω 1 = 1000 (rad/s). Αν στη "συνισταµένη" κίνηση ο χρόνος ου µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών του λάτους είναι t = 0, s, τότε η δεύτερη ταλάντωση έχει συχνότητα: α) µόνο 505 Hz, β) µόνο 95 Hz, γ) ή 505 Hz ή 95 Hz.

18. Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις αρµονικές ταλαντώσεις, οι οοίες γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας και οι οοίες εριγράφονται αό τις εξισώσεις: x 1 = 0,06ηµ(10t), x = 0,03ηµ(10t+/) και x 3 = 0,0ηµ(10t+). Η "συνισταµένη" κίνηση εριγράφεται αό την εξίσωση: x = 0,05ηµ(10t+θ) µε εφθ = 3/. Συµφωνείτε µε αυτό ή όχι. Εξηγήστε. 19. Σε ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων (L - C) ο υκνωτής είναι αρχικά φορτισµένος µε φορτίο Q. Τη στιγµή (t0 = 0) κλείνει ο διακότης και αρχίζει αµείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Στη διάρκεια µιας εριόδου Τ, ο ρυθµός µεταβολής της έντασης του ρεύµατος (di/dt), είναι µέγιστος τις χρονικές στιγµές: α) 0, (Τ/), Τ ή β) (Τ/), (3Τ/). 0. Σώµα εκτελεί γ.α.τ. Τη στιγµή t=0 είναι x = +A. Στη διάρκεια µιας εριόδου (Τ) η ταχύτητα του σώµατος αλλάζει φορά: α) δύο φορές, β) τρεις φορές, γ) µία φορά. 1. Σε ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων (L - C) ο υκνωτής είναι αρχικά φορτισµένος µε φορτίο Q. Αν θεωρήσουµε για t 0 = 0 τη στιγµή κατά την οοία είναι U E = U B και 0 φ 0 <, τότε η εξίσωση ου εριγράφει το φορτίο είναι: α) q = Qσυν(ωt + /), β) q = Qσυν(ωt + 3/), γ) q = Qσυν(ωt + k/) µε k=1,3,5,7. Αν η σωστή αάντηση είναι η (γ), τότε µε οια ειλέον ληροφορία θα ήταν σωστή η αάντηση (α) ή η αάντηση (β);. Το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της ταχύτητας (dυ/dt) σώµατος, το οοίο εκτελεί γ.α.τ., είναι µέγιστο όταν: α) η ταχύτητά του είναι µέγιστη, β) η ταχύτητά του είναι µηδέν. 5

3. Σε ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων (L - C) το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της έντασης του ρεύµατος (di/dt) είναι µέγιστο όταν το φορτίο του υκνωτή: α) είναι µηδέν, β) είναι µέγιστο. Σηµειώστε τη σωστή αάντηση και δικαιλογήστε τη.. Σε ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων (L - C) το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της ενέργειας ηλεκτρικού εδίου του υκνωτή (du E /dt), στη διάρκεια µιας εριόδου (Τ), είναι µέγιστο: α) φορές, β) κάθε (Τ/8), αό τη στιγµή ου αρχίζει να εκφορτίζεται ο υκνωτής, γ) φορές, δ) κάθε (Τ/), αό τη στιγµή ου αρχίζει να εκφορτίζεται ο υκνωτής. Ποιες αό τις αραάνω ααντήσεις είναι σωστές; 5. ύο ιδανικά κυκλώµατα ηλεκτρικών ταλαντώσεων Α και Β έχουν στοιχεία (L - C) και (L - C), αντίστοιχα. Οι υκνωτές τους αρχικά είναι φορτισµένοι µε φορτίο Q. Κάοια στιγµή κλείνουν οι διακότες των κυκλωµάτων και αρχίζει αµείωτη ηλεκτρική ταλάντωση στο καθένα. Να σχεδιάσετε τα διαγράµµατα των ενεργειών µαγνητικού εδίου (U L ) σε συνάρτηση µε το χρόνο (t) για τα δύο κυκλώµατα [ U L = f(t) ]. 6. Για την ερίτωση των δύο κυκλωµάτων της ερώτησης 5, αν η εξίσωση ου εριγράφει την ένταση (i) του ρεύµατος στο κύκλωµα Α είναι: i = - I ηµ(ωt), τότε η εξίσωση ου εριγράφει την ένταση (i) του ρεύµατος στο κύκλωµα Β θα είναι: α) i = - I ηµ(ωt), β) i = - I ηµ(ωt), γ) i = - (½I) ηµ(½ωt). 6

7. Για την ερίτωση των δύο κυκλωµάτων της ερώτησης 5, αν στο κύκλω- µα Α η 1η στιγµή, µετά το κλείσιµο του διακότη, για την οοία ισχύει U E = U B είναι t = ¼ LC (εαληθεύστε το), τότε η αντίστοιχη στιγµή για το κύκλωµα Β (για την οοία ισχύει U E = U B ) θα είναι: α) t = LC, β) t = ½ LC, γ) t = LC. 8. Σώµα εκτελεί γ.α.τ. η οοία εριγράφεται αό την εξίσωση: x = 0,08 ηµ ( t). Τη στιγµή ου η ειτάχυνση του σώµατος έχει µέτρο: (t) α = (m/s ), τότε ο λόγος της κινητικής ρος τη δυναµική του ενέργεια 0,0 (t) είναι (K/U): α) ⅓, β) ⅛, γ) 1. 9. Σώµα εκτελεί γ.α.τ. η οοία εριγράφεται αό την εξίσωση: x(t) = 0,06 ηµ t. Τη στιγµή ου ο λόγος της κινητικής ρος τη δυναµική του ενέργεια είναι (K/U) (t) = 3, τότε το µέτρο της ειτάχυνσής του α (t) είναι: α) 0,03 (m/s ), β) 0,03 (m/s ), γ) 0,0 (m/s ) 7

30. Σώµα εκτελεί γ.α.τ. η οοία εριγράφεται αό την εξίσωση: x = 0,0 ηµ ( t). Τη στιγµή ου το µέτρο της ταχύτητάς του υ (t) είναι: (t) υ (t) = 0,0 (m/s), τότε το µέτρο της ειτάχυνσής του α (t) είναι: α) (m/s ), β) 8 10 (m/s ), γ) 8 3 10 (m/s ). 8 10 Λυµένες ασκήσεις στη σύνθεση ταλαντώσεων 31. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις οι οοίες γίνονται στην ίδια ευθεία, µε την ίδια συχνότητα και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Η εξίσωση ου εριγράφει τη µία ταλάντωση είναι: x1 = 0,0 ηµ ( t). Αν η εξίσωση ου εριγράφει τη συνισταµένη κίνηση είναι: x = 0,0 ηµ t + να βρεθεί η εξί- σωση x ου εριγράφει τη δεύτερη ταλάντωση. Οι τιµές είναι στο σύστηµα S.I. Λύση Για την ερίτωση της σύνθεσης ταλαντώσεων ου αναφερόµαστε, οι βασικές εξισώσεις ου ισχύουν είναι: A ηµφ A = A1 + A + A1A συνφ (1) και εφθ= A + A συνφ 1 () Οι άγνωστοί µας είναι το λάτος Α και η «γωνία» φ. Οι εξισώσεις (1) και () δεν «διευκολύνουν», τριγωνοµετρικά, τον υολογισµό των δύο αγνώστων. Γιαυτό θα χρησιµοοιήσουµε (και) την εξίσωση: x(t) = x1 + x (3) η οοία ισχύει για κάθε χρονική στιγµή, όου: x = A ηµ ( t +φ) = ηµ +φ () Ειδικότερα θα την εφαρµόσουµε για τη στιγµή t= 0. Έτσι η εξίσωση (3) µας δίνει: 0, 0 ηµ = 0 + A ηµφ = + ηµφ 0, 0 0 A 8

A ηµφ= 0,0 (5) Με βάση τώρα τις εξισώσεις () και (5) ( µε θ= εφ 1 = ) βρίσκουµε: 0,0 + A συνφ= 0,0 A συνφ= 0 (6) Αλλά εειδή A 0 ροκύτει ότι: συνφ= 0 δηλαδή: φ= (;) (0 φ ) Τελικά αό την εξίσωση (5) ροκύτει: A = 0,0(m). Έτσι η ζητούµενη εξίσωση είναι: x = 0,0 ηµ t +. ----------------------------------------------------------------- 3. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις οι οοίες γίνονται στην ίδια ευθεία, µε την ίδια συχνότητα και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Η εξίσω- ση ου εριγράφει τη µία ταλάντωση είναι: x1 = 0, 06 ηµ t. Αν η εξίσωση ου εριγράφει τη συνισταµένη κίνηση είναι: x = 0,06 ηµ t + 3 να βρεθεί η εξί- σωση x ου εριγράφει τη δεύτερη ταλάντωση. Οι τιµές είναι στο σύστηµα S.I. [ Α. x = 0,06 ηµ t + 3 ] 33. Σώµα εκτελεί γ.α.τ., λάτους A = 0,08 m. Ο λόγος των µέτρων της µέγιστης ταχύτητας ρος τη µέγιστη ειτάχυνση είναι: = (s;). Αν κάοια στιγµή το µε- τρο της ειτάχυνσης του σώµατος (στη διάρκεια της γ.α.τ.) είναι: υ α max max 9

, τότε ο λόγος της κινητικής ρος την ολική ενέργεια του σώµα- α = τος είναι: 10 (m / s ) α) K = 1, β) K = 3, γ) K = 1. E E E 10