Το πρόβληµα των δύο σταθερών κέντρων

Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Τµήµα Φυσικής Παύλος Παναγιωτίδης Το πρόβληµα των δύο σταθερών κέντρων.5. 3.5 -.5 -. -.5.5..5. -.5 - -. - -3 -.5.6.8....6.8 Πτυχιακή εργασία Επιβλέπων καθηγητής Γ. Βουγιατζής Ιούνιος

Περίληψη: Μελετήσαµε τις τροχιές σώµατος αµελητέας µάζας στο βαρυτικό πεδίο που δηµιουργείται από δύο ελκτικά κέντρα σε σταθερές θέσεις. Είδαµε τα είδη των τροχιών που προκύπτουν, και το πώς αυτές οι τροχιές διαφοροποιούνται καθώς περνάµε από το αδρανειακό, στο περιστρεφόµενο σύστηµα. Εισαγωγή: Το πρόβληµα των δύο σταθερών κέντρων µελετήθηκε αρχικά από τον Euler το 76. Περιγράφει την κίνηση ενός σώµατος αµελητέας µάζας στο πεδίο που δηµιουργείται από δύο βαρυτικά κέντρα σε σταθερές θέσεις. Στην ουράνια µηχανική, το µοντέλο αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη µελέτη της κίνησης ενός δορυφόρου στο βαρυτικό πεδίο δύο βαρύτερων σωµάτων, παραδείγµατος χάρη της γης και της σελήνης, ή δύο αστέρων. Παραλλαγή του µοντέλου µπορεί να χρησιµοποιηθεί και στο µικρόκοσµο, για τη µελέτη της κίνησης ενός ηλεκτρονίου στο πεδίο δύο πυρήνων. Η υπόθεση ότι οι δύο πυρήνες είναι σταθεροί είναι γνωστή σαν προσέγγιση των Born-Oppenheimer. Στην παρούσα εργασία µελετήσαµε το πρόβληµα στις δύο διαστάσεις, θεωρώντας αρχικά ότι τα δύο σώµατα είναι σταθερά, και στη συνέχεια ότι περιστρέφονται. Παρά τις απλουστεύσεις, οι εξισώσεις κίνησης δεν λύνονται αναλυτικά οπότε καταφύγαµε σε αριθµητικές λύσεις. Χρησιµοποιώντας ελλειπτικές συντεταγµένες, αποδεικνύεται ότι το αδρανειακό σύστηµα είναι ολοκληρώσιµο. Αυτό έχει σαν συνέπεια τη δυνατότητα να διαχωρίσουµε τις τροχιές σε κατηγορίες ανάλογα µε τη µορφή τους και µε τη βοήθεια των ολοκληρωµάτων να προσδιορίσουµε τη µορφή µιας τροχιάς αν γνωρίζουµε τις αρχικές συνθήκες της. Αντίθετα, το περιστρεφόµενο σύστηµα δεν είναι ολοκληρώσιµο. Έτσι, αφού βρούµε τις εξισώσεις κίνησης, χρησιµοποιούµε τοµές Poincare για να βγάλουµε κάποια συµπεράσµατα για τα είδη των τροχιών, για το πώς αυτές συµπεριφέρονται ανάλογα µε την ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος και το πώς οι τροχιές διαφοροποιούνται από το αδρανειακό σύστηµα στο περιστρεφόµενο.

Περιεχόµενα. Περιγραφή του προβλήµατος...3. Ολοκληρώµατα της κίνησης...5 3. Κατηγοριοποίηση των τροχιών...7. Τροχιές στο περιστρεφόµενο σύστηµα...3. Τοµές Poincare...7 βιβλιογραφία...9 3

. Περιγραφή του προβλήµατος Θεωρούµε το δισδιάστατο επίπεδο -y και στις θέσεις (-,) και (,) δύο σώµατα που δρουν σαν ελκτικά κέντρα, µε συντελεστές µάζας a = Gmκαι a = Gm αντίστοιχα. Το βαρυτικό πεδίο που δηµιουργείται είναι ίσο µε όπου a = µ, α ( µ ) =,( [,] V(, y) α α = (.) r r µ είναι η παράµετρος µάζας, καθορίζει τον λόγο της µάζας του ενός ελκτικού κέντρου προς τον άλλο) και ( ) r y ( ) = + +, r = + y. Θεωρούµε τρίτο σώµα µοναδιαίας µάζας που κινείται στο πεδίο (σχήµα ). y. P.5 r r r α α -. -.5.5. -.5 -. σχήµα α-περιγραφή του συστήµατος σχήµα β-δυναµικό για ίσες µάζες στις δύο διαστάσεις

Από τους τύπους V = V y = y (.) βρίσκουµε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης του συστήµατος (( ) ) α ( ) (( ) ) α ( ) + = (.3) 3/ 3/ + y + + y.. α y α y y = + y + + y 3/ 3/ (( ) ) ( ) ( ) Λύνοντας αριθµητικά έχουµε παραδείγµατα τροχιών, όπως αυτά των σχηµάτων έως. (.) -3 - - 3 - - σχήµα -τροχιά εκτός των ελκτικών κέντρων -3 - - 3 - - σχήµα 3 τροχιά που τέµνει τον άξονα των ελκτικών κέντρων 5

.5..5 -.5 -. -.5.5..5. -.5 -. -.5 σχήµα -τροχιά γύρω από το ένα σώµα Όπως φαίνεται από τα παραδείγµατα, οι τροχιές διαφοροποιούνται ως προς την πορεία που ακολουθούν στον χώρο. Υπάρχουν περιπτώσεις που το σώµα περνά από την περιοχή του ενός ελκτικού κέντρου σε αυτήν του άλλου, ενώ σε άλλες τροχιές περιορίζονται στην περιοχή του ενός ελκτικού κέντρου.. Ολοκληρώµατα κίνησης Η χαµιλτονιανή συνάρτηση (.) αποτελεί ολοκλήρωµα της κίνησης και ισούται µε την ενέργεια Ε. Για να δείξουµε ότι υπάρχει και δεύτερο ολοκλήρωµα, οπότε το σύστηµα θα είναι ολοκληρώσιµο, γράφουµε τη χαµιλτονιανή στις ηµι-ελλειπτικές συντεταγµένες (ξ,η) για τις οποίες ισχύει: ξ r + r = και η r r = (.) Οι καρτεσιανές συντεταγµένες, ως συναρτήσεις των (ξ,η), δίνονται από τις σχέσεις: Η Λαγκρανζιανή του συστήµατος είναι η = ξη (.) y = sign( y) ( ξ )( η ) (.3) = ξη + ηξ (.) ( ξ ) ηη + ( η ) ξξ y = y (.5) a a L= ( + y ) + + r r (.6) 6

η οποία στις συντεταγµένες (ξ,η) γίνεται L = + + + + ( ξ ) ηη ( η ) ξξ + a a ( ξη ηξ ) ( ξ )( η ) r r (.7) Από την (.7) υπολογίζουµε τις ορµές p p ξ η L = = ξ ξ ξ η ξ L = = η η ξ η η (.8) Οπότε η χαµιλτονιανή στις νέες συντεταγµένες γίνεται: H( ξ, η, pξ, pη) = p ξξ + p ηη L= ( ξ ) p ( ) p ξ + αξ + η η βη ξ η (.9) όπου a= a+ a = και β = α α = µ. Παρατηρούµε ότι στις νέες συντεταγµένες η χαµιλτονιανή έχει την διαχωρίσιµη µορφή: H = ( H H ) ξ η σταθ ξ η + = (.) όπου ( ) Hξ = ξ pξ αξ (.) ( ) Hη = η pη βη (.) Από την (.) έχουµε ( ξ η ) = + ξ = η + (.3) H Hξ Hη H Hξ H Hη θέτουµε Kξ Hξ Hξ = και Kη Hη Hη = + (.) και επειδή για τις αγκύλες Poisson ισχύει: H Kξ H Kξ [ H, Kξ ] = = ξ p p ξ ξ ξ H Kη H Kη και [ H, Kη ] = =, η p p η η η 7

οι ποσότητες K ξ και K η είναι ολοκληρώµατα της κίνησης. Από τις (.) και (.3) προκύπτει ότι K ξ Hηξ + Hξη = Kη = γ ξ η (.5) µε την ποσότητα γ να αποτελεί το δεύτερο ολοκλήρωµα της κίνησης. 3. Κατηγοριοποίηση τροχιών Το επόµενο βήµα είναι να βρούµε για ποιες τιµές των ολοκληρωµάτων γ και E, άρα και για ποιες αρχικές συνθήκες παράγονται τα διάφορα είδη των τροχιών. Θα βρούµε δηλαδή τους περιορισµούς στις επιτρεπτές τιµές των µεταβλητών (ξ,η) που παράγονται ανάλογα µε τις τιµές των γ και Ε. Από τις εξισώσεις (.) και επειδή H = E = σταθ, όπου E η ενέργεια του συστήµατος, προκύπτουν οι: ( ) Kξ = Eξ ξ pξ + αξ = γ (3.) ( ) Kη = Eη + η pη βη = γ (3.) Αν λύσουµε ως προς τις ορµές και µε a = και β = µ θα έχουµε: / pξ = ξ ξ γ + + ( ξ ) / ( E ) pη = η µ η γ ( η ) / ( E (8 ) ) / (3.3) (3.) Για να είναι πραγµατικές οι ορµές p ξ και p η θα πρέπει τα πολυώνυµα: f ( E ) ( ) = ( ) + + ξ ξ ξ ξ γ (3.5) και ( E ) g( η) = ( η ) η (8µ ) η γ (3.6) να είναι µεγαλύτερα του µηδενός, από όπου θα προκύψουν οι κατηγορίες των τροχιών (θυµίζουµε ότι για τις δεσµευµένες καταστάσεις ισχύει πάντα Ε < ). Θα ασχοληθούµε πρώτα µε την ανίσωση g( η). Το πολυώνυµο g( η) έχει µ + ± µ + µ Εγ τέσσερις ρίζες, τις, και τις η ± =. Το αν θα είναι Ε πραγµατικές οι η ± καθορίζεται από την τιµή της υπόριζης ποσότητας µ + µ Ε γ. 8

µ + µ Αν µ + µ Ε γ < γ <, τότε οι η ± δεν είναι πραγµατικές, και η Ε µορφή του πολυωνύµου είναι (σχήµατα 8. και 8.) και οι επιτρεπτές τιµές του η είναι µεταξύ και - (να σηµειωθεί ότι για µεγάλα η, το πολυώνυµο είναι αρνητικό). ghηl ghηl..3..5. -. -.5.5. η -. -.5.5. η -.5 -. σχήµα 8. - µ =.5 E =.5 γ =.6 σχήµα 8.- µ =.5 E =.5 γ =..5 ghηl..5 -. -.5.5. η -.5 -. -.5 -. σχήµα 9 - µ =.5, Ε =.5, γ =. µ + µ Στην περίπτωση που γ >, οι η ± είναι πραγµατικές. Επιπρόσθετα, θα Ε πρέπει η ± να είναι µεταξύ µεταξύ - και, διότι σε αντίθετη περίπτωση το g( η ) θα είναι παντού αρνητικό, πράγµα που δεν µπορεί να ισχύσει. Για να είναι η + < και η > θα πρέπει γ < Ε µ.τότε, το g( η ) θα είναι θετικό σε δύο περιοχές, την [, η ] και την [ η +,] (σχήµα 9). Με παρόµοιο τρόπο µελετάται και το πολυώνυµο f ( ξ ). Οι ρίζες του είναι οι / γ ξ ± = ± + και οι ±. Για να ισχύει f ( ξ ) > θα πρέπει, αφενός ξ + R, E E E άρα Eγ < και αφετέρου θα πρέπει ξ + >, άρα E > ή E + γ >. Αν τώρα E + γ <, θα ισχύει ξ > και οι τιµές στο διάστηµα [ ξ, ξ+ ] θα είναι επιτρεπτές (σχήµα ). 9

f HξL f HξL 3 - - ξ - - - ξ - σχήµα -.5 µ = E =.5 γ =.9 σχήµα - µ =.5 E =.5 γ =.5-3 Σε περίπτωση που ισχύει < E + γ < τότε θα έχω < ξ < και οι επιτρεπτές τιµές για το ξ θα είναι µεταξύ και ξ + (σχήµα ). Οι καµπύλες που προέκυψαν από την παραπάνω ανάλυση και ορίζουν περιοχές του επιπέδου γ-ε µε διαφορετική συµπεριφορά των (ξ,η) (σχήµα ) είναι οι: µ + µ γ = Ε (3.7) γ = Ε µ (3.8) E + γ = (3.9) Eγ = (3.) σχήµα Οι τιµές που έχουν τα ολοκληρώµατα της κίνησης στην κάθε τροχιά καθορίζει τις επιτρεπτές τιµές που έχουν οι συντεταγµένες (ξ,η), άρα αντίστοιχα και οι συντεταγµένες στο (,y) επίπεδο µέσα από τους µετασχηµατισµούς (./.5). Οι περιοχές µε µη επιτρεπτές

µ + µ τιµές είναι σκιασµένες µε γκρι. Για τις τροχιές της περιοχής P3 ισχύει γ >, Ε οπότε είναι πάντα η. Επειδή όµως ισχύει = ξη και ξ >, θα είναι πάντα, οπότε η τροχιά θα είναι περιορισµένη είτε στα θετικά, είτε στα αρνητικά (σχήµα ). µ + µ Αν ισχύει γ <, τότε η τροχιά θα µπορεί να περνά από την περιοχή του Ε ενός ελκτικού κέντρου σε αυτήν του άλλου. Αυτό ισχύει για τις τροχιές τύπου P και P. Γενικά, όταν µια τροχιά τέµνει τον άξονα Ο, ισχύει y =, άρα από την (.3) θα ισχύει η =± ή ξ =. Για τις τροχιές τύπου P ισχύει E + γ <, οπότε είναι πάντα ξ >, άρα όταν τέµνουν τον άξονα Ο θα ισχύει η = ±. Όµως, επειδή = ξη, οι τροχιές αυτές θα τέµνουν τον O για > ή <, άρα εκτός της περιοχής ανάµεσα στα ελκτικά κέντρα (σχήµα ). Αντίστοιχα, για τις τροχιές τύπου P, (για τις οποίες ισχύει E + γ > ), όταν τέµνουν τον O, ισχύει ξ, οπότε η συντεταγµένη η µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή στο διάστηµα (-,), άρα ισχύει R.Οπότε, η τροχιά µπορεί να τµήσει τον Ο και εντός και εκτός της περιοχής ανάµεσα στα ελκτικά κέντρα (σχήµα 3). Για παράδειγµα, οι τροχιές του συστήµατος µε µ =.3 και Ε = -. για γ <-.8 είναι τύπου P, για -.8< γ<-.8 είναι τύπου P και για γ > -.8 είναι τύπου P3. Στα σχήµατα 3, και 5 βλέπουµε τις τροχιές που προκύπτουν για µ =.3, Ε = -. και γ = 3,,.7 8 6 5-5 5-8 -6 - - - - -5-6 σχήµα 3-τροχιά για µ =.3, Ε = -. γ = 3 σχήµα -τροχιά για µ =.3, Ε = -. γ =

- - - - γ = σχήµα 5-τροχιά για µ =.3, Ε = -..7 Στα σχήµατα 6 και 7 βλέπουµε τα φασικά πορτρέτα των επιπέδων ( η, p η ) και ( ξ, p ξ ) που προκύπτουν από τις σχέσεις (3.) και (3.). Για µ =.3, Ε = -. και γ = 3,,.7, έχουµε την από την παραπάνω ανάλυση προερχόµενη συµπεριφορά των (ξ,η). p ξ p η ξ σχήµα 6-φασικό πορτρέτο ( ξ, p ξ ) σχήµα 7-φασικό πορτρέτο ( η, p η ) Το κατά πόσο µια τροχιά είναι κανονική, και υπό ποιες αρχικές συνθήκες παρουσιάζει περιοδικότητα µπορούµε να το ελέγξουµε µελετώντας την τοµή Poincare της.

Στο σχήµα 8 έχουµε µια τροχιά τύπου P µε µ=.5, =., y = p = και p y = 3.. Στο σχήµα 9 τα µαύρα σηµεία είναι η τοµή Poincare στο επίπεδο (, p ) για y = και p y >. Με κόκκινο είναι η καµπύλη µηδενικής ταχύτητας p y = για το ίδιο σύστηµα. Από τη µορφή της τοµής συµπεραίνουµε ότι πρόκειται για ηµι-περιοδική τροχιά. p 3.5.5 -.5 - -.5.5.5 -.5 - - - -3 -.5 σχήµα 8-τροχιά P -3 - - 3 σχήµα 9-τοµή Poincare Αντίστοιχα έχουµε τα σχήµατα και για τροχιά τύπου P και,3 για τροχιά τύπου P3. p.6.. 7.5 5.5 - -.5.5 -. -. -.6 σχήµα -τροχιά P -.5-5 -7.5 - -.5.5 σχήµα -τοµή Poincare.75.5.5 8 6 p -.5 - -.5.5.5 -.5 -.5 -.75 - - -6 - σχήµα 3-τροχιά P3 - -.5.5.5 σχήµα -τοµή Poincare 3

Παρατηρούµε ότι η τοµές Poincare βρίσκονται πάνω σε οµαλές καµπύλες, πράγµα που σηµαίνει ότι παράγονται κανονικές τροχιές.. Τροχιές στο περιστρεφόµενο σύστηµα συντεταγµένων Έχοντας βρει το πώς συνδέονται οι αρχικές συνθήκες µε τα είδη των τροχιών στο αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων, περνάµε στη µελέτη του περιστρεφόµενου συστήµατος. Σκοπός µας είναι να µελετήσουµε το αν και το πώς διαφοροποιούνται οι οµαλές τροχιές του αδρανειακού όταν τα σταθερά κέντρα δεν είναι πλέον σταθερά, αλλά περιστρέφονται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Θεωρούµε κίνηση σώµατος στο πεδίο δύο ελκτικών κέντρων που κινούνται σε κυκλική τροχιά γύρω από την αρχή των αξόνων. Για να µελετήσουµε το πρόβληµα, θεωρούµε τα ελκτικά κέντρα στις θέσεις (-,) και (,) περιστρεφόµενου συστήµατος συντεταγµένων ( ', y '), µε γωνιακή ταχύτητα περιστροφής n (σχήµα 8). Όπως στην περίπτωση του αδρανειακού συστήµατος, αποστάσεις του κινούµενου υλικού σηµείου από τα δύο κέντρα θα είναι ( ) r = + + y και ( ) r y = +. y. n.5 r r α r α -. -.5.5. -.5 -. σχήµα 5-το πρόβληµα στο περιστρεφόµενο σύστηµα συντεταγµένων Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής υπολογίζεται, από τον νόµο της παγκόσµιας έλξης. Η σχετική κίνηση των δύο σωµάτων υπακούει στην εξίσωση: Gm ( + m) r = r (.) 3 r H γωνιακή ταχύτητα συνδέεται µε την επιτρόχια ταχύτητα και την ακτίνα της τροχιάς µε τη σχέση: υ n = (.) r

όπου rf( r) υ = (.3) m σωµατος Χρησιµοποιώντας τις σταθερές του συστήµατος Gm ( + m) = a+ a =, m σωµατος = και r = (η απόσταση ανάµεσα στα δύο κέντρα) καταλήγουµε ότι Οι συντεταγµένες ( ', ') συστήµατος µέσω του µετασχηµατισµού: n = (.) y συνδέονται µε τις συντεταγµένες (, ) y του αδρανειακού cos nt sin nt ' = y sin nt cos nt y' (.5) Παραγωγίζοντας δύο φορές την (.) έχουµε τις σχέσεις και cos nt sin nt ' ny ' = y sin nt cos nt y ' + n' (.6) cos nt sin nt ' ny ' n ' = y sin nt cos nt y' + n' n y' (.7) Αντικαθιστώντας στις σχέσεις (.3) και (.) παράγονται οι εξισώσεις κίνησης του περιστρεφόµενου συστήµατος: ( ) ( ) ' ny ' n ' cos nt y ' + n ' n y ' sinnt = α( ) α ( + ) α α 3/ 3/ cos nt + sin 3/ 3/ y nt (( ) + y ) (( + ) + y ) (( ) + y ) (( + ) + y ) (.8) ' ny ' n ' sin nt y' + n ' n y' cosnt = ( ) ( ) α( ) α ( + ) α α 3/ 3/ sin nt + cos 3/ 3/ y nt (( ) + y ) (( + ) + y ) (( ) + y ) (( + ) + y ) (.9) Πολλαπλασιάζοντας την (.) µε cos nt και την (.5) µε sin nt και προσθέτοντας τα αποτελέσµατα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας την (.) µε sin nt και την (.5) µε cos nt και προσθέτοντας τα αποτελέσµατα, οι εξισώσεις κίνησης στο περιστρεφόµενο σύστηµα συντεταγµένων γίνονται: 5

' ny ' n ' α ( ) (( ) ) α ( + ) (( ) ) = + 3/ 3/ + y + + y α α y ' + n ' n y' = + y 3/ 3/ ( ( ) + y ) (( + ) + y ) (.) (.) Για n =, προκύπτουν οι εξισώσεις του αδρανειακού συστήµατος. Παρατηρούµε ότι οι (.) και (.) µπορούν να γραφτούν στη µορφή: U ' ny ' = (.) U y' + n ' = (.3) y όπου: n U(, y) ( y ) a r a r = + + + (.) Πολλαπλασιάζοντας την (.) µε ' και την (.3) µε y ' και προσθέτοντας τα αποτελέσµατα, έχουµε την εξίσωση U U ' ' + y ' y' = ' + y ' (.5) ' y' που, αν ολοκληρωθεί, δίνει την Από τη στιγµή που ( ') ( ') ( ) ( ) ' + y ' = U Cj (.6) + y = υ, η (.) γράφεται: υ = U Cj (.7) Αν λύσουµε ως προς τη σταθερά ολοκλήρωσης a C j έχουµε: ( ) ( ) Cj = n ( + y ) + + ' y' r r a (.8) πράγµα που σηµαίνει ότι η ποσότητα C j = U υ αποτελεί το ολοκλήρωµα του Jacobi και είναι σταθερά της κίνησης. Με τη βοήθεια του ολοκληρώµατος του Jacobi µπορούµε 6

να βρούµε τα όρια της κίνησης στο περιστρεφόµενο σύστηµα, ορίζοντας τις καµπύλες µηδενικής ταχύτητας: a a Cj = n ( + y ) + + r r (.9) Οι αντίστοιχες καµπύλες µηδενικής ταχύτητας στο αδρανειακό σύστηµα προκύπτουν από το ολοκλήρωµα της ενέργειας (.), και είναι οι C a a = r + µηδταχ r (.) Ενδιαφέρον παρουσιάζει η σύγκριση τροχιών µε ίδιες αρχικές συνθήκες στο αδρανειακό και στο περιστρεφόµενο σύστηµα. Στα σχήµατα 9 και έχουµε τροχιές µε µ =.3, =., y =, υ =, υ.95 y =. Παρατηρούµε ότι η τροχιά στο αδρανειακό είναι περιορισµένη στο ένα σώµα, ενώ αυτή του περιστρεφόµενου περνά από το ένα στο άλλο. σχήµα 6 τροχιά στο αδρανειακό σύστηµα σχήµα 7 τροχιά στο περιστρεφόµενο σύστηµα Αντίστοιχα, για υ =.5 στο µεν αδρανειακό έχουµε τροχιά τύπου P (σχήµα ), y στο δε περιστρεφόµενο η τροχιά φεύγει στο άπειρο (σχήµα ). - - - - - - σχήµα 8 τροχιά στο αδρανειακό σύστηµα - - σχήµα 9 τροχιά στο περιστρεφόµενο σύστηµα 7

. Τοµές Poincare Περισσότερες πληροφορίες για το πώς συµπεριφέρονται οι τροχιές µπορούµε να αντλήσουµε από τις τοµές Poincare του συστήµατος. Από την (.8) για y = προκύπτει η p =± n + + p C ( ) ( + ) y j (.) από την οποία για p y > και µια σταθερή τιµή του ολοκληρώµατος Cj µπορούµε να g p (σχήµα 3). Η (.) για p y = µας δίνει τις καµπύλες µηδενικής κάθετης ταχύτητας που διαγράφονται µε κόκκινο και ορίζουν τις επιτρεπτές περιοχές για τα σηµεία των τοµών. Για τα σηµεία στα οποία =, όπου οι κατασκευάσουµε τις τοµές ως επιφάνειες ( ), καµπύλες µηδενικής ταχύτητας τέµνουν τον άξονα των, ισχύει p =. Πρόκειται εποµένως για σηµεία όπου η συνολική ταχύτητα είναι µηδέν, άρα τα σηµεία ( ορ, ) αποτελούν όρια των τροχιών πάνω στον άξονα των y. Αν οι καµπύλες µηδενικής κάθετης ταχύτητας είναι της µορφής του σχήµατος 3, τότε όλες οι τροχιές για αυτές τις τιµές του n και του Cj είναι περιορισµένες γύρω από το ένα σώµα. Αντίστοιχα, αν οι καµπύλες είναι της µορφής των σχηµάτων 3 και 3, τότε επιτρέπονται τροχιές τύπου P (δηλαδή τροχιές που περνούν από το ένα σώµα στο άλλο). p ορ - - -3 - - 3 σχήµα 3-τοµή Poincare για n =, και Cj = 6 8

p p - - - - -3 - - 3-3 - - 3 (3.α) n =, Cj = 3 (3.β) n =, Cj = 3. Για n =, επειδή το να ενωθούν οι χώροι της καµπύλης µηδενικής ταχύτητας είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για να έχουµε τροχιές τύπου P, καθώς µειώνουµε το Cj οι τροχιές τύπου P παρατηρούνται πρώτη φορά για Cj 3. (σχήµατα 3.α και 3.β). Αντίστοιχα για n =.5 προκύπτει ότι το όριο για τροχιές τύπου P είναι Cj 3.8 (σχήµατα 3.γ και 3.δ) και για n =.37, Cj 3.99 (σχήµατα 3.ε και 3.στ). p p - - - - -3 - - 3-3 - - 3 (3.γ) n =.5, Cj = 3.9 (3.δ) n =.5, Cj = 3.8 9

p p - - - - -3 - - 3-3 - - 3 (3.ε) n =.37, Cj = (3.στ) n =., Cj = 3.99 Με µια συνάρτηση παρεµβολής µπορούµε να φτιάξουµε το προσεγγιστικό διάγραµµα της σχέσης n Cj του σχήµατος (3). Cj crit.. 3.8 3.6 3. 3....3. n σχήµα 3, τιµές Cj για τις οποίες εµφανίζονται τροχιές τύπου P Παρατηρούµε ότι όσο αυξάνουν τα n τόσο η οριακή τιµή του Cj για την οποία εµφανίζονται τροχιές που µπορούν να διαφύγουν της περιοχής του ενός σώµατος τείνει στο. Θα εξετάσουµε αν είναι θεωρητικά δυνατό να έχουµε τέτοιες τροχιές για Cj >. Αν στην (.) θέσουµε p y = και λύσουµε ως προς p, θα έχουµε την

= ± + + ( ) ( + ) p n C j (.) Οπότε p R µόνο αν η υπόριζη ποσότητα είναι θετική. Άρα θα πρέπει + + ( ) ( + ) n C j (.3) Το κατά πόσο η επιτρεπτή περιοχή για τα σηµεία της τοµής είναι χωρισµένη όπως στο σχήµα 3 καθορίζεται από το αν ορίζεται πραγµατικό p για =. Για να βρούµε τη συνθήκη υπό την οποία ισχύει αυτό θέτουµε στην (.3) = από όπου προκύπτει ότι: C (.) j Οπότε αποδεικνύεται ότι δεν µπορούµε να έχουµε τροχιές από το ένα σώµα στο άλλο για. C >, ανεξαρτήτως της ταχύτητας περιστροφής. j Μη δεσµευµένες τροχιές στο περιστρεφόµενο σύστηµα Όπως είδαµε παραπάνω, η καµπύλη µηδενικής κάθετης ταχύτητας προκύπτει από την (.). Στο αδρανειακό σύστηµα ο όρος n µηδενίζεται, πράγµα που έχει σαν αποτέλεσµα η καµπύλη στο περιστρεφόµενο σύστηµα να διαφέρει από αυτήν του αδρανειακού λόγου της παρουσίας της περιοχής που σηµειώνεται ως «δευτερεύουσα» και οφείλεται σε αυτόν τον όρο (σχήµα 33). κύρια περιοχή 3 5 6 3 5 6 - - δευτερεύουσα περιοχή - - σχήµα 33- καµπύλη µηδενικής ταχύτητας για n = (αριστερά) και n =.5 (δεξιά)

Όσο αυξάνει το Cj η δευτερεύουσα περιοχή πλησιάζει την κύρια. Αν η καµπύλη συναντηθεί µε το κύριο µέρος της επιτρεπτής περιοχής, τότε αυτή παύει να είναι κλειστή. Μέγιστα όρια για το δεν υπάρχουν και δίνεται η δυνατότητα για τροχιές που θα βρίσκονται γύρω από το ένα σώµα να περάσουν στο άλλο εξωτερικά, ή ακόµα και να διαφύγουν από το σύστηµα (σχήµα 3). Αντίστοιχα δίνεται η δυνατότητα για τροχιές να φύγουν στο άπειρο, αφού πρώτα κινηθούν στο χώρο και των δύο σωµάτων (σχήµα 33). Αντίθετα, στο αδρανειακό σύστηµα οι τροχιές που δεν είναι περιορισµένες έχουν θετική ενέργεια και φεύγουν πάντα απευθείας στο άπειρο. p 6 - - 6 - - - - -6-8 -6 - - 6-8 Σχήµα 3 - Τοµή Poincare και ενδεικτική τροχιά για n = ¾ Cj =.5 p 6 - - - 6 - - -8-6 - - 6 Σχήµα 33 - Τοµή Poincare και ενδεικτική τροχιά για n =.5 και Cj = 3.6 - Έχει ενδιαφέρον να δούµε για ποια ταχύτητα περιστροφής εµφανίζονται τροχιές που διαφεύγουν από το σύστηµα καθώς µειώνουµε το Cj, χωρίς να έχουν εµφανιστεί τροχιές τύπου P. Για να έχουµε τροχιές που διαφεύγουν από το σύστηµα πρέπει να µην υπάρχουν όρια προς τα µεγάλα. Τα όρια της τροχιάς πάνω στον άξονα δίνονται από τη σχέση p =. Όπως δείξαµε παραπάνω, η αναγκαία συνθήκη για να υπάρχουν τροχιές τύπου P είναι Cj <. Οπότε, πρέπει να βρούµε για ποιες τιµές του n ισχύει p. Η λύση σε αυτό το πρόβληµα βρίσκεται γραφικά, από την παράσταση = gn ( ) που προκύπτει από την (.) για p =, Cj = στην περιοχή > (σχήµα 3).

n.6.5..3... 6 8 σχήµα 3-µέγιστη αποµάκρυνση του για διάφορες τιµές της ταχύτητας περιστροφής Η καµπύλη του σχήµατος 3 µας δείχνει ότι από την τιµή n.58 και πάνω δεν υπάρχουν πραγµατικές λύσεις για την p =, οπότε δεν υπάρχουν ούτε άνω όρια για τις τιµές του. Άρα, καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι για n >.58 και καθώς µειώνουµε το Cj εµφανίζονται τροχιές που φεύγουν στο άπειρο χωρίς να έχουν εµφανιστεί τροχιές τύπου P. Πρακτικά, τέτοιες τροχιές εµφανίζονται για n =.6 όπως βλέπουµε στο σχήµα 35. p p p - - - - - - -3 - - 3-3 - - 3-3 - - 3 Cj =, n =.5 Cj =, n =.6 Cj =, n =.6 σχήµα 35, οι πρώτες τροχιές που φεύγουν στο άπειρο αφού περάσουν από την περιοχή του δεύτερου σώµατος εµφανίζοµαι για n =.6 3

Τέλος, θα κάνουµε µια ανάλυση των ειδών των τροχιών που παρατηρούµε για διάφορες ταχύτητες περιστροφής. Στο σχήµα 36 έχουµε την τοµή Poincare για n =.5 και Cj =.5. Οι τροχιές είναι παγιδευµένες στην περιοχή του ενός κέντρου, και παρατηρούµε αναλλοίωτες οµόκεντρες καµπύλες που αντιστοιχούν σε ηµιπεριοδικές τροχιές. - -.8... σχήµα 36-τοµή Poinacare -p για n =.5, Cj =.5 Στο σχήµα 37 η τιµή του Cj είναι. Οι τροχιές εξακολουθούν να είναι περιορισµένες στο ένα κέντρο, αλλά οι οµόκεντρες αναλλοίωτες καµπύλες του προηγούµενου σχήµατος έχουν δώσει τη θέση τους σε µικρότερες κλειστές καµπύλες, και σε διάσπαρτα σηµεία στην κεντρική περιοχή που αντιστοιχούν σε χαοτικές τροχιές. 6 - - -6.6.8....6 σχήµα 37-τοµή Poinacare -p για n =.5, Cj =

p 6 - - -6 -. -.5..5..5 σχήµα 38-τοµή Poinacare -p για n =.5, Cj = 3.6 Στο σχήµα 38, Cj = 3.6 και είναι πλέον δυνατές τροχιές στην περιοχή και των δύο κέντρων. Κυριαρχούν οι χαοτικές τροχιές. Αυξάνοντας την ταχύτητα περιστροφής στο n =.5, για Cj =.5, παράγεται η τοµή του σχήµατος 39 και για Cj = παράγεται η τοµή του σχήµατος. - -..6.8....6 σχήµα 39-τοµή Poinacare -p για n =.5, Cj =.5 5

3 - - -3.6.8....6.8 σχήµα -τοµή Poinacare -p για n =.5, Cj = Παρατηρούµε ότι από την πλήρη κανονικότητα των τροχιών του σχήµατος 39 περνάµε σε κυριαρχία των χαοτικών τροχιών του σχήµατος. Στο σχήµα, Cj = 3.95, εµφανίζονται τροχιές τύπου P. Παρατηρούµε ότι η µορφή του σχήµατος στην περιοχή του ενός κέντρου διατηρείται. p - - -.5 -. -.5..5..5 σχήµα -τοµή Poinacare -p για n =.5, Cj = 3.95 6

Για n =.75 έχουµε τα σχήµατα και 3 έχουµε για Cj =.9 και.6 αντίστοιχα. Φαίνεται ότι τα σηµεία των τροχιών µετατοπίζονται προς τα µεγαλύτερα, και οι µη κανονικές τροχιές εµφανίζονται σε µεγαλύτερα Cj από ότι στις περιπτώσεις που είχαµε µικρότερη ταχύτητα περιστροφής. 5-5....3 σχήµα -τοµή Poinacare -p για n =.75, Cj =.9 5-5.9....3. σχήµα 3-τοµή Poinacare -p για n =.75, Cj =.6 7

Στο σχήµα, ισχύει Cj =.5. Εµφανίζονται τροχιές που διαφεύγουν του συστήµατος χωρίς να έχουµε τροχιές τύπου P. Αυτό, όπως είχαµε δει παραπάνω, ισχύει διότι n >.6. p - - - -3 - - σχήµα -τοµή Poinacare -p για n =.75, Cj =.5 8

Βιβλιογραφία: Varvoglis, H., Vozikis Ch., Wodnar: The two fied centers: An eceptional integrable system, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 89: 33-356, Michael P. Strand and William Reinhardt: Semiclassical quantization of the low lying electronic states of H +, J. Chem. Phys. 7(8) April 979 Holger Waalkens, Holger R. Dullin, and Peter H. Richter: The problem of Two Fied Centers: Bifurcations, Actions, Monodromy, preprint Βουγιατζής Γ., Μελετλίδου Ε.: Σηµειώσεις «Εισαγωγή στην Υπολογιστική των υναµικών Συστηµάτων». Θεσσαλονίκη. εκδ. ΑΠΘ. Αντωνιάδης Παναγιώτης ηµήτριος: Το Περιορισµένο Πρόβληµα Των Τριών Σωµάτων Στο Σύστηµα Γη Σελήνη 6, διπλωµατική εργασία, τµήµα Φυσικής ΑΠΘ C.D. Murray and S.F. Dermott: Solar System Dynamics, Cambridge University Press 999 Ιωάννης. Χατζηδηµητρίου: Θεωρητική Μηχανική τόµος Β, εκδόσεις Γιαχούδη 9