FUNGSI KERTAS 1 P = {1,, 3} Q = {, 4, 6, 8, 10} 1. Berdasarkan maklumat di atas, hubungan P kepada Q ditakrifkan oleh set pasangan bertertib {(1, ), (1, 4), (, 6), (, 8)}. Nyatakan (a) imej bagi 1, (b) objek bagi. [ markah]. Rajah 1 menunjukkan hubungan antara set P dan set Q. d e w x f y z RAJAH 1 Nyatakan (a) julat hubungan itu, (b) jenis hubungan itu. [ markah] 3. Dalam Rajah, fungsi h memetakan x kepada y dan fungsi g memetakan y kepada z. h g x y z 8 5 RAJAH Tentukan (a) h 1 (5), (b) gh(). [ markah] 1
4. Diberi g : x 3 4x. Carikan nilai g() 5. Diberi f : x 3x 1 dan g : x x 4. Carikan fg. 6. Diberi f : x 4x 3, carikan nilai f ( 1). 7. Diberi f (x) = 4 3x dan fg(x) = 10 5x. Carikan fungsi g. 8. Diberi g : x px + q, p 0 dan g : x 4x 15. Carikan nilai p dan nilai q. 9. Diberi f : x 4x 1 dan g : x x + 3, carikan (a) fg( 3), (b) nilai x apabila f (x) = 7. 5 10. Fungsi w ditakrifkan oleh w( x), x. x Tentukan (a) w 1 (x), (b) w 1 (4). 11. Maklumat berikut adalah berkaitan dengan fungsi h dan fungsi g. h : x x 3 g : x 4x 1 Carikan gh -1 (x). 1. Diberi g : x 5x 1 dan h : x x x 3, carikan (a) g 1 (3), (b) hg(x)
1 5 13. Diberi fungsi h : x 4x m dan h : x kx, dengan keadaan m dan k adalah 8 pemalar, carikan nilai m dan nilai k. 6 14. Diberi fungsi h( x), x 0 dan fungsi gubahan hg(x) = 3x, carikan x (a) g(x), (b) nilai x apabila gh(x) = 5. 15. Fungsi f dan g ditakrifkan seperti yang berikut : x 10 f : x ; x x g : x 5 x. Ungkapkan gf 1. 3
JAWAPAN 1. (a), 4 (b) 1. (a) Julat = {x, y} (b) 3. (a) 4. 5 (b) 8 5. 3x 4x + 49 6. 31 7. 5x 6 3 8. p =, q = 5 9. (a) 47 (b) 10. (a) (b) 11. x + 5 1. (a) 13. 14. (a) 15. Hubungan banyak dengan satu 3 x 4 w w 5 x 5 ( x) x 1 1 (4) (b) 5x + 1 k, 8 5 m g( x) x (b) x = 15 gf 1 x 5 x 1 3 4 4
PERSAMAAN KUADRATIK KERTAS 1 1. Ungkapkan x(3x ) = x + 5 dalam bentuk am persamaan kuadratik. [ markah]. Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca dan 3. [ markah] 1 3. Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 3 dan. Berikan jawapan anda dalam bentuk ax bx c 0, dengan keadaan a, b dan c adalah pemalar. [ markah] 4. Selesaikan persamaan kuadratik x(3x 1) + 9x = 5. 5. Selesaikan persamaan kuadratik h 3h + = (h 1). 6. Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, selesaikan persamaan kuadratik x + 6x + 3 = 0. 7. Selesaikan persamaan kuadratik x(x 4) = (1 x)(x + ). Tuliskan jawapan anda betul kepada empat angka bererti. 8. Selesaikan persamaan kuadratik x ( x 5) x 1. Berikan jawapan anda betul kepada tiga tempat perpuluhan. 9. Diberi satu daripada punca persamaan kuadratik x + kx +1 = 0 adalah empat kali ganda punca yang satu lagi, cari nilai k. 10. Satu daripada punca persamaan x + 8x = k + 1 ialah tiga kali punca yang satu lagi, dengan keadaan k adalah pemalar. Cari punca-punca tersebut dan nilai k. 11. Diberi m dan n adalah punca bagi persamaan kuadratik x + 3x 9 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca m dan n. 1. Diberi persamaan kuadratik 4x hx + 5 = 0 mempunyai dua punca yang sama. Cari nilai h. 5
13. Diberi x + (p )x + 10 p = 0 mempunyai dua punca yang sama, cari nilai p. 14. Carikan julai nilai h jika persamaan x + 10x + h = 0 mempunyai dua punca yang berbeza. 15. Tunjukkan bahawa persamaan mx 4mx + x = 1 4m tidak mempunyai punca jika m 4 1. JAWAPAN 1. x x 5 = 0. x + x 6 = 0 3. x + 5x 3 = 0 4. 5 x, 3 5. h = 1, h = 4 1 x 6. x = 0.6340, x =.366 7. x =.591, x = 0.573 8. x = 3.351, x = 0.149 9. 5 k 10. Punca = 1, 3, 11. 4x + 6x 9 = 0 1. h = ± 0 13. p = ± 6 14. h 5 7 k 6
FUNGSI KUADRATIK KERTAS 1 1. Diberi f ( x) 3( x 1) 5. Cari nilai minimum atau maksimum bagi f(x). [ markah]. Rajah 1 menunjukkan graf bagi fungsi y = (x k), dengan keadaan k adalah pemalar. y 0 x 3 (, 3) RAJAH 1 Carikan (a) nilai k, (b) persamaan paksi simetri, (c) koordinat titik maksimum. 3. Rajah menunjukkan graf kuadratik f ( x) 3( x p), dengan keadaan p ialah pemalar. y y = f(x) 0 (1, q) x RAJAH Lengkung y = f(x) mempunyai titik minimum (1, q), dengan keadaan q ialah pemalar. Nyatakan (a) nilai p, (b) nilai q, (c) persamaan paksi simetri. 7
4. Diberi graf fungsi kuadratik f ( x) x 8x k sahaja. Cari nilai k. menyentuh paksi-x pada satu titik 5. Diberi graf fungsi kuadratik f ( x) x 4x p tidak bersilang dengan paksi-x. Carikan julat nilai p. 6. Cari julat nilai p jika f ( x) x px 5p 1 menyilang paksi-x pada dua titik yang berlainan. 7. Garis lurus y = 5x 1 tidak bersilang dengan lengkung y = x + x + p. Carikan julat nilai p. 8. Persamaan kuadratik x(x + 1) = px 4 mempunyai dua punca berbeza. Carikan julat nilai p. 9. Cari julat nilai x jika x 4x 5 0. 10. Cari julat nilai x bagi x(x 4) 1. 11. Cari julat nilai x dengan keadaan (x + 3)(x 4) 6. 1. Cari julat nilai x jika (x 3)(x + 4) (x 3)(x + 3) 13. Diberi 3x + 4y = 1, cari julat nilai x apabila y 6. 14. Cari julat nilai x jika 6y 1 = 4x dan 3y + x. KERTAS 15. Fungsi f ( x) x 4kx 5k 1 mempunyai nilai minimum r + k, dengan keadaan r dan k adalah pemalar. (a) (b) Dengan menggunakan kaedah menyempurnakan kuasa dua, tunjukkan bahawa r = k 1. Seterusnya, atau dengan cara lain, carikan nilai k dan nilai r jika graf bagi fungsi itu bersimetri pada x = r 1. 8
JAWAPAN 1. Nilai minimum = 5. (a) k = 1 (b) x = 1 (c) Titik maksimum (1, ) 3. (a) p = 1 (b) q = (c) paksi simetri, x = 1 4. k = 16 5. p 6. p 4, p 6 7. p 1 8. p 3, p 5 9. x 1, x 5 10. x 6 11. x 3 1. x 1, x 3 13. x 4 14. 3 x 15. r = 3, k = 4 r = 1, k = 0 9
PERSAMAAN SERENTAK KERTAS 1. Selesaikan persamaan serentak x + y = x 3y + y = 4. [5 markah] y. Selesaikan persamaan serentak x + = 1 dan y 10 x [5 markah] 4 3 3. Selesaikan persamaan serentak y x = 1 dan 7 [6 markah] x y 4. Selesaikan persamaan serentak x + 3y + 1 = 0 dan y + 6xy + 6 = 0. Berikan jawapan anda betul hingga dua tempat perpuluhan. [5 markah] 5. Selesaikan persamaan serentak 4x + y + 8 = x + x y = [5 markah] x 6. Selesaikan persamaan serentak 4 dan x+ 6y = 3. [6 markah] 3 y 7. Selesaikan persamaan serentak x + 3y = 9 dan 6 y x 1 [6 markah] x y 8. Selesaikan persamaan serentak 3x y = 5 dan x y y 3 = 0 [5 markah] 9. Selesaikan persamaan serentak y y = 3(1 x ) dan 3 [5 markah] x 10. Selesaikan persamaan serentak x + y = 9 dan x(1 y) = 3x 1. Berikan jawapan anda betul sehingga dua tempat perpuluhan. [5 markah ] JAWAPAN 1. 1 4 x =, y = ; x = -, y = 3 5 5. 1 x = 3, y = -4 ; x =, y = 3 3. x = 1, y = 1 ; x = 4 3, y = 7 14 4. x = 1.105, y = 1.07 ; x = 1.55, y = 0.70 5. x = 1, y = ; x = 4, y = 10 6. x = 0, y = 1 ; x = 15, y = 7. x = 3, y =1; x = 18, y = 9 8. x = 5 9, y = 5 1 ; x = 3, y = 1 1 9. x =, y = 1; x =, y = 3 3 10. x = 7.87, y = 4.75 ; x = 0.13, y = 9.5 10
INDEKS DAN LOGARITMA KERTAS 1 1. Selesaikan 8 x+1 = 15. Selesaikan 4 x = 3. 3. Selesaikan persamaan 7 4x = 81 x-1 4. Selesaikan x 4 6 36 x 0 5. Selesaikan x 4 64 6 x =0 6. Selesaikan persamaan (5 x+1 ) = 1 15 7. Selesaikan 4 x+1 = 0.3 x 8. Ringkaskan log 6 3 + log 6 3 + log 6 4 9. Selesaikan log 10 x + log 10 (4x 1) = 1 10. Diberi persamaan log 10 (x +y) = 1 + log 10 (y 5), ungkapkan y dalam sebutan x. 11. Diberi log 4 T + log V = 1, ungkapkan T dalam sebutan V. 1. Selesaikan log y 34 = 6 13. Ringkaskan 1 log 5 5 + 3 log 5 15 14. Selesaikan persamaan log 10 ( x + 6 ) = 1 + log 10 ( x 5) 15. Selesaikan persamaan 4 log x 5 + log x 3 log x 375 = 4 dengan memberi jawapan betul sehingga empat angka bererti. 11
JAWAPAN 1. x = 0.30. x = 5 3. x = 1 4. x =, 4 5. x = 6, 3 6. 5 x = 7. x = 0.535 8. 3 9. x = 4 5, 1 10 y = 9 ( x + 5) 11. T = V 1. y = 1.8 13. 6 14. x = 7 15. x = 1.968 1
GEOMETRI KOORDINAT KERTAS 1 1. Diberi EF ialah garis lurus dengan E( 1, 4 ) dan F( 5, 1 ). Cari persamaan lokus bagi suatu titik yang bergerak supaya jaraknya sentiasa sama dari titik E dan titik F.. Carikan persamaan lokus bagi titik bergerak Q( x, y ) yang sentiasa berjarak sama dari titik A( 1, ) dan titik B( 0, 3 ) 3. Carikan persamaan garis lurus yang melalui titik P ( 4, 1) dan selari dengan garis x 5y 3 0 4. Diberikan P(h, 3),Q(, 1) dan R (8, 1) adalah segaris. Carikan nilai h. 5. Diberikan titik P bergerak supaya jaraknya dari A(,3) ialah 4 unit. Carikan persamaan lokus titik A. 6. Diberikan PQR ialah satu garis lurus. Diberi koordinat bagi titik P dan Q masingmasing ialah P( 1, ) dan Q( 3, 1 ). Jika PQ : QR = 1: 3, carikan koordinat titik R. 7. C ialah satu titik pada garis yang menyambungkan A( 3,6) dan B(7,1) supaya 3AC= CB, carikan koordinat titik C. 8. Koordinat bagi tiga bucu suatu segitiga ialah ( 1,5 ),( b, a) dan ( a,b).diberi a + b =0 dan luas segitiga ialah 18 unit.cari nilai-nilai a dan b. 9. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik ( 1, 5) dan serenjang dengan garis yang menyambungkan titik (, 6) dan titik ( 3, 8 ). 10. Titik-titik A ( h,h ), B ( p, t ) dan C ( p, 3t ) terletak pada suatu garis lurus. B membahagi dalam AC dengan nisbah : 3. Ungkapkan p dalam sebutan t. [4 markah ] 13
KERTAS 11. Dalam Rajah 1, sudut ABC =90 o dan persamaan garis lurus BC ialah y + x + 6 = 0. A( 4,9) y RAJAH 1 B y + x +6 =0 0 x C (a) Carikan (i) persamaan garis lurus AB. (ii) koordinat B. [5 markah] (b) Garis lurus AB dipanjangkan ke suatu titik D dengan keadaan AB : BD = : 3. Carikan koordinat D. [ markah] (c) Suatu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A adalah sentiasa 5 unit. Carikan persamaan lokus bagi P. 14
1. Penyelesaian secara lukisan jitu tidak dibenarkan untuk soalan ini. y B A RAJAH 0 C x D Rajah menunjukkan sebuah segiempat selari ABCD. Koordinat bagi titik A,B dan C masing-masing ialah( 4, 4 ),(, 9 ) dan ( 4, 1 ). Carikan (a) koodinat titik persilangan antara pepenjuru AC dan BD. (b) koordinat bagi titik D. (c) luas segiempat selari ABCD. (d) persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P, supaya 3AP = CP. [ markah] [ markah] 15
JAWAPAN 1. 4y + 3x = 38. y = x + 3. 5y = x + 13 4. h = 4 5. x + y + 4x 6y 3 = 0 6. R ( 9, 10 ) 7. C ( 1, 4 ) 8 a =, b = ; a =, b = 9. 14y + x = 69 10. p = t 11. (a) (i) y = x + 17 (ii) B ( 8, 1) (b) D ( 14, 11) (c) x + y + 8x 18y + 7 = 0 1. (a) (0, 5 ) (b) D (, 4 ) (c) 58 unit (d) 5x +5y +104x 64y + 0 = 0 16
STATISTIK KERTAS 1 1. Bagi set nombor 0, 19, 17, 19, 15, 16, 16, dan 19, carikan (a) min, (b) mod, (c) median. Tiga integer y, x dan x + 6 mempunyai min 9 dan median 8. Diberi x > y, carikan nilai x dan y. 3 Min dan varians bagi satu set nombor yang mengandungi enam nombor adalah 6 dan 8 masing-masing. Satu nombor, a, ditambah ke dalam set nombor itu dan minnya tidak berubah. Carikan (a) nilai a (b) sisihan piawai baru. 4 Min bagi empat nombor ialah m. Hasil tambah kuasa dua nombor-nombor itu ialah 100 dan sisihan piawainya ialah 3k. Ungkapkan m dalam bentuk k. 5 Markah sembilan orang pelajar dalam suatu ujian matematik tambahan ialah 30, 5, 33, 4, 7, 51, 65, 45, 57. Carikan (a) julat, (b) julat antara kuartil markah ujian itu. 6 Jadual 1 menunjukkan bilangan gol yang dijaringkan dalam satu pertandingan bola sepak. Bilangan Gol 1 3 4 5 Bilangan Pasukan 16 8 p 4 JADUAL 1 Carikan (a) nilai maksimum bagi p, jika mod ialah 1, (b) nilai minimum bagi p, jika min gol lebih daripada. 17
KERTAS 7 Min bagi set enam nombor 7,, 8, 3, 6 dan y ialah 6. (a) Carikan nilai y. [ markah] (b) Seterusnya, carikan sisihan piawai set nombor itu. 8 Jadual menunjukkan markah 80 orang pelajar dalam suatu ujian matematik. Markah Bilangan Pelajar 30 39 9 40 49 11 50 59 60 69 5 70 79 8 80 89 5 JADUAL Carikan (a) kelas mod, (b) min, (c) median markah matematik itu. [7 markah] 9 Hasil tambah satu set data yang mengandungi sepuluh nombor ialah 6 dan hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 438. (a) Carikan min dan sisihan piawai bagi sepuluh nombor itu. (b) Satu nombor 5, dikeluarkan dari set data itu, carikan min dan sisihan piawai bagi sembilan nombor itu. 10 Satu set data mengandungi 10 nombor. Hasil tambah nombor-nombor itu ialah 150 dan hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 47. (a) Carikan min dan varians bagi 10 nombor itu. (b) Satu nombor lain ditambah kepada set data itu dan min bertambah sebanyak 1. Carikan (i) nilai nombor itu, (ii) sisihan piawai bagi set 11 nombor itu. 18
11 Rajah 1 ialah histogram yang mewakili taburan markah bagi 40 orang murid dalam suatu ujian. Bilangan Murid 14 1 10 8 6 4 0 0.5 10.5 0.5 30.5 0.5 RAJAH 1 40.5 50.5 Markah (a) Tanpa menggunakan ogif, hitungkan markah median. (b) Hitungkan sisihan piawai bagi taburan markah itu. 1 Jadual 3 menunjukkan taburan jisim 100 orang murid di sebuah sekolah rendah. Jisim (kg) Kekerapan 0 4 1 5 9 14 30 34 30 35 39 7 40 44 17 JADUAL 3 (a) Lukiskan satu ogif untuk mewakili taburan jisim murid itu. (b) Daripada ogif yang dilukis, carikan (i) median, (ii) julat antara kuartil. 19
Jawapan 1. (a) 17.65 (b) 19 (c) 18 x = 8, y = 5 3 (a) 6 (b).619 4 m = 5 9k 5 (a) 40 (b) 5.5 6 (a) 15 (b) 3 7 (a) 10 (b).769 8 (a) 60 69 (b) 57.875 (c) 58.59 9 (a) 6.,.315 (b) 6.333,.404 10 (a) 15,. (b) (i) 6 (ii) 5.494 11 (a) 4.07 (b) 11.74 1 (b) (i) 34.0 (ii) 9.0 0
SUKATAN MEMBULAT KERTAS 1 1. Rajah 1 menunjukkan sektor ROS berpusat O. Panjang lengkok RS ialah 7.4 cm dan perimeter sektor ROS ialah 5 cm. Carikan nilai, dalam radian. R O RAJAH 1 S. Rajah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Diberi panjang lengkok major AB ialah 45.51 cm, carikan panjang, dalam cm, jejari bulatan itu. (Gunakan π = 3.14) A O 0.354 rad B RAJAH 3. Rajah 3 menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. Panjang lengkok major AB ialah 16 cm dan sudut sektor major AOB ialah 90º. Dengan menggunakan π = 3.14, carikan (a) nilai, dalam radian, (Berikan jawapan anda betul kepada empat angka bererti.) (b) panjang, dalam cm, jejari bulatan itu. A O B RAJAH 3 1
4. Rajah 4 menunjukkan sektor POQ berpusat O. Panjang lengkok PQ ialah 4 cm dan perimeter sektor POQ ialah 14 cm. Carikan nilai, dalam radian. P Q O RAJAH 4 5. Rajah 5 menunjukkan seutas dawai berbentuk sektor bulatan OAB, yang berpusat di O. Luas sektor OAB yang terbentuk ialah 100 cm. Diberi nisbah panjang lengkok AB kepada jejari ialah : 3. Cari sudut, dalam darjah dan minit dan panjang jejari sektor OAB. A O RAJAH 5 B 6. Rajah 6 di bawah menunjukkan sebuah sektor OAB berpusat O dan berjejari 4 cm. Diberi panjang lengkok AB ialah 5.16 cm, carikan AOB dalam radian. [ markah] O A B RAJAH 6
7. Rajah 7 menunjukkan suatu sektor bulatan berpusat O. Carikan luas sektor bulatan OPQ. P O 75 7 cm RAJAH 7 Q 8. Rajah 8 menunjukkan suatu sektor bulatan OPQ berpusat O dan berjejari 5 cm. Diberi luas sektor OPQ ialah 9.75 cm, carikan nilai dalam radian. P O 5 cm RAJAH 8 Q 9. Rajah 9 menunjukkan suatu bulatan OPQ. Jika panjang lengkok PQ ialah 13.96 cm. Carikan panjang OQ. P O 80 RAJAH 9 Q 10. Rajah 10 menunjukkan sektor bulatan LMN berpusat M. Diberi panjang lengkok LN ialah 5.5 cm dan perimeter sektor LMN ialah cm. Cari nilai dalam darjah dan minit. L M N 3
KERTAS RAJAH 10 11. Rajah 11 menunjukkan sebuah sektor POQ, pusat O dan berjejari 10 cm. Titik R terletak pada OP dengan keadaan OR : OP = 3 : 5. P R Q O RAJAH 11 Hitungkan (a) nilai, dalam radian, (b) luas kawasan berlorek, dalam cm 1. Rajah 1 menunjukkan sektor POQ bagi bulatan berpusat O. Titik A terletak pada OP, titik B terletak pada OQ dan AB berserenjang dengan OQ. Panjang OA = 8 cm dan POQ = 6 radian. Diberi bahawa OA : OP = 4 : 7 (Gunakan π = 3.14) Hitungkan (a) panjang, dalam cm, AP, (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek (c) luas, dalam cm, kawasan berlorek. [1 markah] [5 markah] P A O 8 cm 6 rad B RAJAH 1 Q 4
13. Dalam Rajah 13, AOB ialah diameter bagi sebuah bulatan berpusat O dengan jejari 1 cm. OB dipanjangkan ke P supaya BP = 3 cm. PT ialah tangen kepada bulatan di T. Hitungkan (a) TOP, dalam radian (b) luas sektor major BOT (c) perimeter rantau berlorek. [Ambil π = 3.14] T A 1 cm O B 3 cm P RAJAH 13 JAWAPAN 1. = 0.8153 rad. j = 7.675 cm 3. = 1. rad, j = 3.161 cm 4. = 0.8 rad ' 5 = 38 1, j = 60 cm 6. = 1.9 rad 7. luas = 3.07 cm 8. = 0.78 rad 9. OQ = 10 cm 10. = 38 1 ' 11. (a) = 0.973 rad, (b) luas =.365 cm 1. (a) AP = 6 cm (b) perimeter = 4.403 cm (c) luas = 37.46 cm 13. (a) 0.644 rad (b) 406.08 cm (c) 19.78 cm 5
PEMBEZAAN KERTAS 1 1. Diberi lengkung f ( x) x 8x 3. Cari titik maksimum lengkung itu.. Jejari sebuah sfera ialah r cm. Cari nilai hampir dalam perubahan isipadu sfera itu apabila jejarinya berubah daripada 8 cm kepada 8.00 cm. d 1 3. Cari. [ markah] dx 5x 3 4. Diberi 3 f ( x) 4( x ). Cari nilai bagi f (4). [ markah] 5. x 5 Diberi lengkung y, Cari x 3 (a) titik persilangan lengkung itu dengan paksi-y, (b) kecerunan tangen pada titik (1, 1). 6. Diberi y 5 4x. Cari perubahan hampir dalam y apabila x berkurang daripada 3 kepada.98. 7. Diberi 5 f ( x) (3x 1), Cari nilai f (-1). 8. Luas permukaan sebiji bebola yang berbentuk sfera bertambah dengan kadar 4. cm s -1 setelah dipanaskan. Cari (a) kadar perubahan jejari sfera apabila jejarinya 3 cm, (b) kadar perubahan isipadu yang sepadan. 9. Diberi x 4 dy k y dan x dx ( x ). Cari nilai k. 10. Diberi y 4x 5x 3, gunakan kaedah pembezaan untuk mencari perubahan hampir bagi y apabila x menyusut daripada kepada 1.98. 6
KERTAS a cm x cm RAJAH 1 11. Rajah 1 menunjukkan binaan yang terdiri daripada sebuah segi empat dengan lebar x cm, tinggi a cm, dan sebuah semibulatan terletak di atas segiempat tepat itu. Diberi perimeter binaan ini ialah 80 cm. x (a) Tunjukkan bahawa luas binaan, L, ialah L x 40 x. [ markah] 4 (b) Cari nilai x supaya L mempunyai nilai maksimum. Seterusnya, cari nilai L itu. [5 markah] (c) Diberi jejari semibulatan pada binaan itu berubah pada kadar 0.5 cms -1 apabila dipanaskan. Cari kadar perubahan luas binaan, L, pada ketika jejari semibulatan ialah 10 cm. [3 markah] 7
10x cm y cm 1. 1x cm RAJAH (a) Rajah menunjukkan sebuah poligon yang dibentuk dengan menggunakan dawai yang panjang 150 cm. (i) Tunjukkan bahawa luas poligon, L 900x 144x. (ii) Cari luas maksimum bagi poligon ini. [5 markah] (b) 3 dy 1 1 Diberi y 4x x 5, cari nilai pada titik, 5. Seterusnya, cari dx 4 (i) perubahan kecil dalam x, yang menyebabkan y menokok daripada 5.5 kepada 5.8. (ii) kadar perubahan dalam y, pada ketika ialah 0.8 unit sesaat. 1 x jika kadar perubahan dalam x [5 markah] 8
13. y P (1, 5) 0 RAJAH 3 y 5 3x x (a) Rajah 3 menunjukkan sebahagian daripada lengkung (b) 5 y yang 3x melalui P (1, 5). Cari persamaan normal kepada lengkung itu pada titik P. [5 markah] y cm x cm x cm RAJAH 4 Rajah 4 menunjukkan sebuah kuboid yang tapaknya berbentuk segiempat sama. Diberi jumlah luas permukaan kuboid itu ialah 100 cm. 1 3 (i) Tunjukkan bahawa isipadu kuboid itu ialah 50 x x cm 3. (ii) Seterusnya, cari panjang kuboid itu apabila isipadunya adalah maksimum. [5 markah] 9
Jawapan 1. ( 4, 19). 1.608 cm 3 3. 4. 48 5. (a) 5 5x 3 (b) 4 3 6. 0.48 7. 40 5 0, - 3, 8. (a) 0.175 cm s -1 9. k = 8 10. 0. (b) 6.3 cm 3 s -1 11. (b) x = 11.0 cm, L = 448.1 cm (c) kadar perubahan luas = 4.9 cm s -1 1. (a) (ii) 1406.5 cm dy (b) dx (i) 0.015 (ii) 1.6 unit sesaat 13. (a) 1 9 y x 4 30 30 (b) (ii) x = 4.08 cm, y = 4.083 cm 30
PENYELESAIAN SEGI TIGA KERTAS (Bahagian C) 1. Rajah 1 menunjukkan sebuah sisi empat ABCD dengan keadaan ABC adalah tirus. 9.8 cm D 1.3 cm 5. cm C 9.5 cm A 40.5 B RAJAH 1 (a) Hitungkan (i) ABC (ii) ADC (iii) luas, dalam cm, sisi empat ABCD. [8 markah] ' ' ' (b) Sebuah segi tiga A B C mempunyai ukuran-ukuran yang sama seperti diberi untuk segi tiga ABC, iaitu A ' C ' =1.3 cm, C ' B ' ' ' ' = 9.5 cm, dan B AC = 40.5, tetapi mempunyai bentuk yang berbeza daripada segi tiga ABC itu. ' ' ' (i) Lakarkan segi tiga A B C, ' ' ' (ii) Nyatakan saiz A B C [ markah]. Rajah menunjukkan sebuah segitiga ABC. A 0 cm B 65 15 cm RAJAH C 31
(a) Hitungkan panjang, dalam cm, AC. (b) Suatu sisi empat ABCD dibentuk dengan keadaan AC ialah pepenjuru, ACD = 40 dan AD = 16 cm. Hitungkan dua nilai yang mungkin bagi ADC. (c) Dengan menggunakan ADC yang tirus dari (b), hitungkan (i) panjang, dalam cm, CD (ii) luas, dalam cm, sisi empat ABCD itu. [ markah] [ markah] [6 markah] 3. S 7.0 cm R 5.5 cm P 50 48 Q RAJAH 3 Rajah 3 menunjukkan buah segi tiga SPR dan QPR dengan PR = 5.5 cm, SP = 7.0 cm, RPQ = 50 dan RQP = 48. Jika luas PQR adalah kali luas PSR, hitungkan (a) panjang PQ (b) luas PSR (c) panjang SR 3
4. Pada Rajah 4, AD = 8 cm, BD = 4 cm, BC = 7 cm dan ABD = 45. Hitungkan (a) panjang DC (b) DAB (c) luas segi tiga ACD. D 8 cm 4 cm A 45 B 7 cm C RAJAH 4 5. Rajah 5 menunjukkan titik-titik A, B dan C pada suatu satah mengufuk, dengan AB = 50 cm, AC = 30 m dan CAB 10 o. Pembahagi dua sama CAB bertemu BC pada titik P. C P 30 cm 60 60 A 50 cm B RAJAH 5 (a) Carikan (i) (ii) luas segitiga ABC, panjang BC. (iii) sudut APC [7 markah] (b) Sebatang tiang mencancang CV diletakkan pada titik C. Sudut dongakan V dari A ialah 30 o. Carikan sudut dongakan V dari B. 33
JAWAPAN 1. (a) (i) 57.3 ' atau 57 14 (ii) 106 7 ' (iii) 8.38 cm (b) (i) C ' A ' B ' (ii) 1.77 atau 1 B ' 46. (a) 19.7 cm (b) ' 50 73 ' atau 50 44, 19.7 atau 19 16 ' (c) (i) 4.89 cm (ii) 90.1 cm 3. (a) 7.39 cm (b) 7.7197 cm (c).95 cm 4. (a) 10.7 cm (b) ' 0 4 (c) 4.48 cm 5. (a) (i) 649.5 m (ii) 70 cm ' (iii) 81 47 atau 81.8 ' (b) 13 54 atau 13.9 34
Perbelanjaan Mingguan (RM) Modul Bimbingan Matematik Tambahan Tingkatan 4 KERTAS (Bahagian C) PENGGUNAAN NOMBOR INDEKS 1. Rajah 1 menunjukkan carta palang bagi perbelanjaan mingguan untuk barangan P, Q, R, S dan T pada tahun 1990. Jadual 1 menunjukkan harga dan indeks harga barangan tersebut. 35 30 5 30 4 33 0 15 10 5 15 1 0 P Q R S T Barangan RAJAH 1 (a) (b) (c) (d) Barangan Harga Pada Harga Pada Indeks Harga 1995 Dengan 1990 1995 1990 Sebagai Tahun Asas P x RM0.70 175 Q RM.00 RM.50 15 R RM4.00 RM5.50 y S RM6.00 RM9.00 150 T RM.50 z 10 JADUAL 1 Cari nilai (i) x, (ii) y, (iii) z. Kirakan nombor indeks gubahan bagi harga barangan itu pada tahun 1995 dengan tahun 1990 sebagai tahun asas. [ markah] Jumlah perbelanjaan bulanan bagi barangan itu pada tahun 1990 ialah RM456. Hitungkan jumlah perbelanjaan bulanan yang sepadan pada tahun 1995. [ markah] Kos barangan itu meningkat 0% dari tahun 1995 ke tahun 000. Carikan nombor indeks gubahan tahun 000 dengan tahun 1990 sebagai tahun asas. 35
Jadual menunjukkan indeks dan peratus penggunaan empat barangan, P, Q, R dan S, yang menjadi bahan utama dalam penghasilan sejenis biskut. (a) (b) Barangan Indeks Harga Tahun 1995 Peratus Penggunaan Berasaskan Tahun 1993 (%) P 135 40 Q x 30 R 105 10 S 130 0 JADUAL Hitungkan (i) harga S pada tahun 1993 jika harganya pada tahun 1995 ialah RM37.70. (ii) indeks harga P pada tahun 1995 berasaskan tahun 1991 jika indeks harganya pada tahun 1993 berasaskan tahun 1991 ialah 10. [5 markah] Nombor indeks gubahan kos penghasilan biskut itu pada tahun 1995 berasaskan tahun 1993 ialah 18. Hitungkan (i) nilai x, (ii) harga sekotak biskut itu pada tahun 1993 jika harga yang sepadan pada tahun 1995 ialah RM3. [5 markah] 3 Jadual 3 menunjukkan harga empat jenis barangan pada tahun 004 dan 005 bersama dengan indeks harga tahun 005 berasaskan tahun 004 dan pemberatnya. Barangan Harga (RM) Indeks Harga Tahun 005 Tahun 004 Tahun 005 Berasaskan Tahun 004 Pemberat A 45 54 10 4 B x 1 150 3 C 110 11 y 1 D 70 z 90 JADUAL 3 (a) (b) Hitungkan (i) nilai x, y dan z. (ii) indeks gubahan barangan itu pada tahun 005 berasaskan tahun 004. [6 markah] Harga barangan itu dijangka meningkat sebanyak 10% dari tahun 005 ke tahun 006. (i) Hitungkan indeks gubahan tahun 006 berasaskan tahun 004. (ii) Perbelanjaan untuk barangan tersebut pada tahun 005 adalah RM1350, anggarkan perbelanjaan pada tahun 006. 36
4 Jadual 4 menunjukkan harga dan indeks harga empat bahan, P, Q, R, dan S, yang digunakan untuk membuat sejenis biksut. Rajah ialah carta pai yang mewakili kuantiti relatif bagi penggunaan bahan-bahan P, Q, R, dan S itu. Bahan Harga se kg (RM) Indeks Harga Tahun 004 Tahun 001 Tahun 004 Berasaskan Tahun 001 P 0.80 1.00 x Q.00 y 140 R 0.40 0.60 150 S z 0.40 80 JADUAL 4 Q P 10 o 100 o S 60 o R RAJAH (a) Carikan nilai x, y dan z. (b) (i) Hitungkan nombor indeks gubahan bagi kos membuat biskut itu pada tahun 004 berasaskan tahun 001. (ii) Seterusnya, hitungkan kos membuat biskut itu yang sepadan bagi tahun 001 jika kos membuatnya pada tahun 004 ialah RM985. [5 markah] (c) Kos membuat biskut itu dijangka meningkat sebanyak 50% dari tahun 004 ke tahun 007. Carikan nombor indeks gubahan kos membuat biskut itu yang dijangkakan pada tahun 007 berasaskan tahun 001. [ markah] 37
5 Jadual 5 menunjukkan harga tiga jenis komponen yang digunakan untuk menghasilkan sesuatu alat elektronik dan indeks harganya. Komponen Harga (sen) Indeks Harga Tahun 001 Tahun 005 (Tahun asas 001) P 55 66 x Q 40 y 150 R z 100 15 JADUAL 5 (a) Hitungkan nilai x, y dan z. Jadual 6 menunjukkan bilangan komponen yang diperlukan untuk menghasilkan 1 alat elektronik itu. Bilangan Untuk Mengahasilkan Komponen 1 Alat Elektronik P 0 Q 50 R n JADUAL 6 (b) Jika indeks gubahan bagi tiga komponen itu pada tahun 005 dengan tahun 001 sebagai tahun asas ialah 136.5, carikan nilai n. (c) Kos penghasilan dijangka akan meningkat sebanyak 5% dari tahun 005 ke tahun 006. hitungkan kos penghasilan 1 alat elektronik pada tahun 006. 38
Jawapan 1 (a) (i) x = RM0.40, (ii) y = 137.5 (iii) z = RM3.00 (b) 140.9 (c) RM64.50 (d) 169.1 (a) (i) RM9.00 (ii) 16 (b) (i) 15 (ii) RM5.00 3 (a) (i) x = 14, y = 110, z = 63 (ii) 1 (b) (i) 134. (ii) RM1485 4 (a) x = 15, y =.80, z = 0.50 (b) (i) 19.4 (ii) RM306.80 (c) 194.1 5 (a) x = 10, y = 60, z = 80 (b) 30 (c) RM143.35 39
JANJANG KERTAS 1 1. Jika k, k 5, dan k 8 ialah sebutan ketujuh, kelapan, dan kesembilan bagi suatu janjang aritmetik, carikan sebutan pertama janjang aritmetik ini. Carikan hasil tambah bagi janjang aritmetik 1 1 1, 1, 1,... 4 hingga sebutan ke-11. 3. Sebutan kelapan dan sebutan ke-53 suatu janjang aritmetik masing-masing ialah 118 dan 6. Carikan (a) sebutan pertama, (b) beza sepunya 4. Carikan bilangan sebutan bagi janjang aritmetik 0, 17, 14,..., 3. 5. Dalam suatu janjang geometri, sebutan pertamanya adalah kelima. Hitungkan nisbah sepunya bagi janjang geometri itu jika r > 0. 1 16 daripada sebutan 6. Ungkapkan perpuluhan jadi semula 0.13131313...dalam bentuk pecahan yang termudah. 7. Diberi sebutan pertama dan sebutan kelima bagi suatu janjang geometri ialah 10 dan 5 8 dengan nisbah sepunya adalah positif. Carikan hasil tambah empat sebutan pertama. 8. Carikan hasil tambah semua gandaan 1 daripada 100 hingga 400. 9. Carikan hasil tambah janjang geometri 4, 8, 16,... hingga sebutan kedua belas. 10. Sebutan keempat dan ketujuh satu janjang geometri masing-masing 1 dan 96. Carikan nisbah sepunya janjang tersebut. 11. Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik 3n 5n. Carikan (a) sebutan pertama (b) beza sepunya 40
1. Maklumat berikut merupakan jujukan bagi satu janjang geometri. Diberi p 3 p q, q, p q,... q, ungkapkan q dalam sebutan p. 13 Carikan hasil tambah bagi janjang geometri 108, 7, 48, dengan n yang cukup besar sehingga ketakterhinggaan. KERTAS 14. Seutas dawai dipotong menjadi n bahagian. Setiap bahagian dibengkok menjadi satu sektor bulatan yang sudutnya rad. 4 Panjang lengkok sektor-sektor yang terbentuk dalam cm ialah 3, 9,3,...,6. 4 (a) Tunjukkan bahawa panjang lengkok sektor-sektor tersebut membentuk suatu janjang aritmetik dan nyatakan beza sepunya. (b) Carikan (i) panjang jejari sektor bulatan ke-n (ii) nilai n (iii) hasil tambah panjang lengkok n sektor bulatan yang pertama. [5 markah] 15. Dalam satu janjang geometri, hasil tambah bagi 3 sebutan pertama adalah 8 kali hasil tambah bagi 3 sebutan yang berikutnya. (a) Carikan nisbah sepunya bagi janjang geometri itu. (b) Carikan sebutan pertama janjang geometri itu serta hasil tambah sehingga ketakterhinggaan jika diberi bahawa hasil tambah bagi 3 sebutan pertama itu melebihi hasil tambah bagi 3 sebutan yang berikutnya sebanyak 98. 16. Seutas dawai yang panjangnya 6.5 cm dipotong kepada 30 keratan dengan beza panjang antara satu sama lain secara berturutan adalah tetap. Jika beza antara keratan terpanjang dengan keratan terpendek ialah 14.5 cm, hitungkan (a) ukuran bagi keratan terpendek, (b) beza panjang antara keratan kelima dengan keratan kesepuluh. 41
Jawapan 1. a 15. 11 3 atau 4 4 3. (a) 146 4. 8 5. (b) 4 6. 7. 71 333 75 3 atau 18 4 4 8. 6300 9. 5460 10. 11. (a) (b) 6 1. q 3 4 p 13. 34 14. (a) 3 d 4 (b) (i) 4 (ii) n = 7 (iii) 105 4 15. (a) 1 (b) a = 64, S n = 18 16. (a) 3 (b) 5 4
HUKUM LINEAR KERTAS 1 1. Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y ax bx dengan keadaan a dan b ialah pemalar. (a) Tukarkan persamaan tersebut kepada bentuk linear. (b) Nyatakan kecerunan dan pintasan- y bagi persamaan linear itu dalam sebutan a dan b.. Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan 4y ( x 1) 3k dengan keadaan k ialah pemalar. (a) Apabila diplotkan graf y melawan ( x 1), satu garis lurus diperoleh, yang memotong paksi- y pada titik (0, 6 ). Carikan nilai k. [ markah] (b) Seterusnya carikan kecerunan dan pintasan paksi- y bagi garis lurus yang diperoleh dengan memplotkan graf ( x y x) melawan. [ markah] 3. Dua kuantiti, x dan y, dihubungkan oleh persamaan Jika graf y melawan x dilukiskan, satu lengkung melalui px y, p dan q ialah pemalar. qx 1 1, 1 diperoleh. Jika graf 1 y melawan x 1 dilukiskan, satu garis lurus berkecerunan 4 1 diperoleh. Carikan nilai p dan nilai q. 4. Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan x y px q, dengan keadaan 1 p dan q ialah pemalar. Apabila graf y melawan x dilukis, satu garis lurus diperoleh. Diberi garis lurus itu melalui titik (4, 0) dan (, 6), cari nilai p dan nilai q. 5. x dan y dihubungkan oleh persamaan y px qx, dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Graf garis lurus diperoleh dengan y x memplot x x (, 9) ditunjukkan dalam Rajah 1. Hitungkan nilai p dan nilai q. (6, 1) O x RAJAH 1 43
6. Rajah menunjukkan graf garis lurus y melawan x. Diberi y 6x x, x hitungkan nilai k dan nilai h. y x (, k ) ( h, 1) O RAJAH x 7. Pembolehubah x dan y dihubungkan 4 oleh persamaan y kx, dengan keadaan k ialah pemalar. 4 (a) Tukarkan persamaan y kx kepada bentuk linear. (b) Rajah 3 menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot log10 y melawan log 10 x. Carikan nilai (i) log 10k (ii) h. log 10 ( 0, 3) O y RAJAH 3 (, h) log 10 x 8. Rajah 4 menunjukkan graf x y melawan x 1. Carikan hubungan antara y dan x. y x [ markah] (4, 13) ( 1, 3) O RAJAH 4 1 x 44
KERTAS 9. Jadual 1 menunjukkan nilai dua pembolehubah x dan persamaan x y ab 1, dengan keadaan a dan b ialah pemalar. y yang dihubungkan oleh x 3 4 5 6 8 y 1.1 6.46 3.47 1.89 0.5 JADUAL 1 (a) Dengan menggunakkan skala cm kepada 1 unit pada paksi-(x-1) dan cm kepada 0. unit pada paksi - log 10 y, lukiskan graf log10 y melawan ( x 1). (b) Daripada graf anda, carikan (i) nilai y apabila x 7 (ii) nilai a (iii) nilai b. [6 markah] 10. Dua orang pelajar telah menjalankan satu eksperimen unutk mengkaji sesaran satu objek, s cm dari satu titik pada masa t saat. Seorang daripada mereka menjaga masa dan seorang lagi merekodkan sesaran. Hasil daripada eksperimen itu direkodkan seperti dalam Jadual. Masa, t (saat) 30 60 90 10 150 180 Sesaran, s (cm) 10.5 30.5 58.5 95 19 198 JADUAL Adalah dikhuatiri bahawa sepasang daripada set data tersebut telah disalah rekod akibat daripada kesilapan sama ada penjaga masa atau pencatat sesaran. (a) Lukiskan graf t s melawan t. (b) (i) Tandakan pada graf anda bagi mewakili titik-titik sebenar yang mungkin bagi data yang telah tersalah rekod itu. (ii) Berdasarkan graf anda, cari nilai a dan nilai u jika s dan t dihubungkan oleh s ut at dengan keadaan a dan u adalah pemalar. [6 markah] 45
11. Jadual 3 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu ujikaji. Diketahui x dan y dihubungkan oleh persamaan keadaan p dan k adalah pemalar. y x pk, dengan x 1.5.0.5 3.0 3.5 4.0 y 1.59 1.86.40 3.17 4.36 6.76 JADUAL 3 (a) Plotkan graf log y melawan x. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik. (b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai (i) p (ii) k. [5 markah] [5 markah] 1. Jadual 4 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah x dan y, yang diperoleh r daripada satu ujikaji. Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y px, px dengan keadaan p dan r adalah pemalar. x 1.0.0 3.0 4.0 5.0 5.5 y 5.5 4.7 5.0 6.5 7.7 8.4 JADUAL 4 (a) Plotkan xy melawan x, dengan menggunakan skala cm kepada 5 unit pada kedua-dua paksi. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik. [5 markah] (b) Gunakan graf anda dari (a) untuk mencari nilai (i) p (ii) r. [5 markah] 46
Jawapan 1 y (a) ax b x (b) Kecerunan = a Pintasan- y b (a) k 8 1 (b) Kecerunan = 11 Pintasan- y 3 p 4, q 4 p 1, q 3 5 p, q 13 6 h 5, k 4 7 (a) log10 y 4log10 x log10k (b) (i) 3 (ii) 11 8 y 5x 9 (a) x -1 3 4 5 7 Log 10 y 1.08 0.81 0.54 0.8-0.8 47
10 (a) (b) (i) y = 1 (ii) a = 4.66 (iii) b = 0.5337 t 30 60 90 10 150 180 s 0.35 0.51 0.65 0.79 0.86 1.10 t 48
(b) (ii) a 0. 005 u 0. 11 (a) x.5 4.0 6.5 9.0 1.5 16.0 10 y log 0.0 0.7 0.38 0.50 0.64 0.83 49
(b) (i) p 1. 59 (ii) k 1. 109 1 (a) x 1 4 9 16 5 30.5 xy 5.5 9.4 15 6 38.5 46. (b) (i) p 1.37 (ii) r 5.48 50