ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγμ. Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ΘΕΜΑ Β i. ii. ( + )d + d iii. ( )d iv. (συν ηµ ) d v. vi. vii. viii. ln d + συν 4 d d d i. 3 ( + )d = [ + ] = + =. 3 3 3 Μεθοδολογί f d,όου f συνεχής στο [, ] εργζόμστε ως εξής : Βρίσκουμε (ν είνι εύκολο) μι ράγουσ F της f κι εφρμόζοντς το θεμελιώδες Γι ν υολογίσουμε το ολοκλήρωμ θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού έχουμε f d = [F()] = F( ) F.
ii. + 5 d = ( + )d = [ ln ] = 4 ln ( ) = ln Μεθοδολογί Πολλές φορές γι τον υολογισμό του ολοκληρώμτος f ()d, όου f συνεχής συνάρτηση στο [, ], ου ο τύος της είνι κλσμτικής μορφής, εργζόμστε ως εξής : Μεττρέουμε την f σε άθροισμ συνρτήσεων, ο υολογισμός των ργουσών των οοίων είνι ευκολότερος κι υολογίζουμε το άθροισμ των ειμέρους ολοκληρωμάτων. iii. ( )d = 3 3 4 [ ] = [ ] = 4 8 ( ) =. 3 3 3 3 3 Μεθοδολογί Γι ν υολογίσουμε το ολοκλήρωμ εξής : f ()d,όου f συνεχής στο [, ] εργζόμστε ως Βρίσκουμε (ν είνι εύκολο) μι ράγουσ F της f κι εφρμόζοντς το θεμελιώδες f d = [F()] = F( ) F θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού έχουμε iv. ( συν ηµ ) d = ηµ ηµ [ + συν ] = + συν ( ηµ + συν ) = =. Μεθοδολογί Γι ν υολογίσουμε το ολοκλήρωμ f ()d, όου f συνεχής στο [, ] εργζόμστε ως εξής : Βρίσκουμε (ν είνι εύκολο) μι ράγουσ F της f κι εφρμόζοντς το θεμελιώδες f d = [F()] = F( ) F θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού έχουμε
v. ln d = ' ln d = [ ln ] - ( ln )d = [ ln ] ln d = [ ln ] [ ln ] = ln [( ln ) ( )] =. Μεθοδολογί Πολλές φορές γι τον υολογισμό ενός ολοκληρώμτος f d, όου f συνεχής στο [, ], εφ όσον δεν είνι δυντόν ν υολογιστεί με τους συνήθεις τρόους εύρεσης ολοκληρωμάτων, είνι χρήσιμο ν το μεττρέουμε στο ισοδύνμο εφρμόζουμε τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κτά ράγοντες. ()'f d κι ν vi. Γι ν υολογίσουμε το ολοκλήρωμ ντικτάστσης : d θ χρησιμοοιήσουμε τη μέθοδο + θέτουμε + = u () Τότε + = άρ d du d = du Τ νέ άκρ ολοκλήρωσης είνι : Γι = στην () έχουμε + =,άρ u = Γι = στην () έχουμε + = +,άρ u = + Τότε d = + + du = u + + [ln u] = ln( + ) ln = ln. Μεθοδολογί Γι ν υολογίσουμε ολοκληρώμτ ου έχουν ή μορούν ν άρουν τη μορφή ( ) f g g d εφρμόζουμε τη μέθοδο ντικτάστσης σύμφων με την οοί : 3
u f (g())g ()d = f (u)du, u όου f,g είνι συνεχείς συνρτήσεις, u = g(), du = g ()d κι u = g( ), u = g( ). vii. συν d = + συν d = d + συνd = ] + [ ημ ] [ = [ ] + 4 [ημ ] = 4 - + 4 ημ = 4. Μεθοδολογί Γι τον υολογισμό ολοκληρωμάτων ου εριέχουν τριγωνομετρικές συνρτήσεις είνι δυντόν ν χρησιμοοιήσουμε γνωστούς τύους ό την Τριγωνομετρί (όως γι ράδειγμ: ηµ + συν =, συν ηµ =, + συν συν =, ηµ = ηµ συν κ...) viii. Γι τον υολογισμό του ολοκληρώμτος d εργζόμστε ως εξής: 4 Η συνάρτηση f() =, έχει εδίο ορισμού το { } 4 ± κι γράφετι f() = ( + )( ) 4 = + ( ) Ανζητούμε A,B έτσι ώστε ν ισχύει 4 { ± } Α = + Β +, γι κάθε 4
Τότε 4 Α = + Β + = Α +Β ( + ) ( + )( ) = Α Α+Β + Β ( + )( ) = Α+Β + Β Α ( + )( ) Με λοιφή ρνομστών, έχουμε τελικά: (A + B) + (B A) =, γι κάθε { ± } Τότε θ ρέει A+ B= () κι B A = () Αό τη λύση του συστήμτος των (),() έχουμε A =, B = 4 4 Τότε 4 = 4( + ) + 4( ) Άρ d = 4 [ + ]d = 4( + ) 4( ) d + 4( + ) d = 4( ) [ ln + ] + [ ln ] = ln 3 + ln + ln = ln 3 4 4 4 4 4 4 Μεθοδολογί P() Γι την ολοκλήρωση ρητών συνρτήσεων, όου P() ολυώνυμο θμού ν κι Q() Q() ολυώνυμο θμού μ, με ν µ, εκτελούμε τη διίρεση κι ροκύτει: P() Y() =Π () +. Q() Q() Αν Y() Αν Y() = Q (), τότε Q () = (ln Q() ). Q() Q () κι το Q() έχει τόσες ργμτικές ρίζες, όσες κι ο θμός του μ, Q() = ρ ρ... ρ µ, τότε μορούμε ν υολογίσουμε δηλδή γράφετι: 5
ργμτικές στθερές A, A,..., A µ, έτσι ώστε, ν ισχύει: Y() A A A = + +... + Q() ( ρ) ( ρ) ( ρµ ) µ γι κάθε ρ {, ρ,..., ρ µ }. Οι στθερές υτές υολογίζοντι, ό την ισότητ των ολυωνύμων ου ροκύτει, φού ρώτ κάνουμε λοιφή ρνομστών. Πράδειγμ. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d. Έστω η συνάρτηση στο [, ]. f() = η οοί είνι συνεχής στο σύνολο, άρ συνεχής κι Έχουμε ότι f() = = ( ] +,,,, [, ) Τότε f ()d = d = ( ) d + 3 3 d [ ] [ ] 3 3 = + = 8 + + = 3 3 3 Μεθοδολογί Γι ν υολογίσουμε το ολοκλήρωμ f ()d μις συνάρτησης f ολλλού τύου (.χ f, γ [, ) f() = f, γ [, ] ) εργζόμστε ως εξής : Αοδεικνύουμε τη συνέχει της συνάρτησης f στο γ κι στο [, ] κι στη συνέχει έχουμε γ f ()d = f ()d + f ()d γ Αν ο τύος της συνάρτησης f έχει όλυτη τιμή,μετσχημτίζουμε τη συνάρτηση σε ολλλού τύου κι εργζόμστε με νάλογο τρόο. 6
Πράδειγμ 3. d. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( συν ηµ ) Έχουμε ( συν ηµ ) d = συν + ( συν) d = ( συν )d = συν = Μεθοδολογί Ανζητούμε μι ράγουσ της συνάρτησης f() ου είνι στο ολοκλήρωμ, δηλδή νζητούμε μι συνάρτηση F() ου ν την ργωγίσουμε θ ρούμε την f(). Οδηγός μς ρος τούτο σ υτή τη διδικσί είνι οι κνόνες ργώγισης. Πρέει ν δώσουμε στην f() τέτοι μορφή ώστε ν οκλυφθεί η ρχική της συνάρτηση. 7
Πράδειγμ 4. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + 3 d. Έχουμε 3 d 3 d ( + ) = ( + ) = + + ( 3) 3 d ( 3) d = + ( 3) = + = ( 4 3) ( ) = 3 Μεθοδολογί Εφρμόσμε τον τύο της ολοκλήρωσης κτά ράγοντες: [ ] f() g ()d = f() g() f () g()d Η ολοκλήρωση κτά ράγοντες είνι ιδιίτερ οτελεσμτική γι ολοκληρώμτ της k μορφής P() d, P() ηµ (k)d, k, P() (k)d συν, όου P() ολυώνυμο του κι. Στην ερίτωση υτή ειλέγουμε ως f() το P(), διότι η ράγωγος μις ολυωνυμικής συνάρτησης είνι ολυώνυμο μικρότερου θμού, ενώ η ράγωγος των εκθετικών κι των τριγωνομετρικών συνρτήσεων είνι σικά άλι συνρτήσεις της ίδις μορφής. Μετσχημτίζουμε έτσι το ολοκλήρωμ σε έν ολοκλήρωμ λούστερης μορφής. 8
Πράδειγμ 5. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ηµ d. Έστω I = ηµ d. Έχουμε: I = d ( ηµ = ηµ ) d d = ηµ ηµ = ηµ συν d ( ) d = συν d = συν + συν d = + ηµ I = + Εομένως I= + I I= +. Άρ I= +. Μεθοδολογί Σε ολοκληρώμτ της μορφής (τριγωνομετρική συνάρτηση) (εκθετική συνάρτηση) d εφρμόζουμε συνήθως τον τύο της ολοκλήρωσης κτά ράγοντες [ ] f() g ()d = f() g() f () g()d δυο φορές, ειλέγοντς γι το ρόλο της g() την ίδι συνάρτηση κι στις δυο φορές. Πρτηρούμε τότε ότι το ρχικό ολοκλήρωμ ξνεμφνίζετι κι ειλύουμε ως ρος υτό. 9
Πράδειγμ 6. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ln d. Έχουμε ln d = ln d [ ] = ln ln d = ( ln ln ) d = d = = Μεθοδολογί Σε ολοκληρώμτ της μορφής (ολυώνυμο) ln d εφρμόζουμε την ολοκλήρωση κτά ράγοντες f() g ()d = [ f() g() ] f () g()d, λλά γι το ρόλο της g χρησιμοοιούμε την ολυωνυμική συνάρτηση.
Πράδειγμ 7. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ + d. + Θέτουμε u = u() = +. Έχουμε u =, ενώ ότν = είνι u = 3. Εομένως u+ + u+ d = du = du + u u 3 3 u =, du = ( + ) d = d κι ότν = είνι 3 u 3 = du + 4 u 4 u 3 3 u du 4 4 u = + du du 3 3 = u du u du 4 + 4 3 3 3 = u + u 4 3 4 = 3 3 + 3 = 3. 6 3 Μεθοδολογί Χρησιμοοιήσμε την τεχνική της ολοκλήρωσης με ντικτάστση. Στην ολοκλήρωση με ντικτάστση: Ειλέγουμε μι συνάρτηση u = u(). Εκφράζουμε το με όρους του u κι το d με όρους του u κι του du, χρησιμοοιώντς τον τύο du = u () d. Βρίσκουμε τ νέ άκρ ολοκλήρωσης u( ) κι u( ). Υολογίζουμε το ολοκλήρωμ.
Πράδειγμ 8. Δίνετι η συνάρτηση, < f() =. + ηµ, i. Ν εξετάσετε την f ως ρος τη συνέχει. ii. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ f ()d. i. Γι < έχουμε f() = ου είνι συνεχής ως ολυωνυμική. Γι < έχουμε f() = + ηµ ου είνι συνεχής ως άθροισμ της στθερής συνάρτησης f () = κι της f () = ηµ ου είνι συνεχείς. Θ εξετάσουμε τη συνέχει της f στο σημείο. Έχουμε f () = + = κι lim f () = lim f () =, άρ η f είνι συνεχής κι στο. + ii. Έχουμε f ()d = f ()d + f ()d = d + + ηµ d 3 = + συν 3 [ ] 3 ( ) = + ( συν) ( συν) 3 8 =+ 3 [ ] Μεθοδολογί Ότν θέλουμε ν ρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης ου ορίζετι με δυο ή ερισσότερους κλάδους, τότε: Εξετάζουμε τη συνέχει της συνάρτησης. Εφόσον η συνάρτηση είνι συνεχής, ρίσκουμε το ολοκλήρωμ της συνάρτησης κτά κλάδο κι ροσθέτουμε τ ειμέρους ολοκληρώμτ.
Πράδειγμ 9. Ν οδείξετε ότι 4 3 4 ηµ d ηµ d. Έχουμε 3 ηµ ηµ = ηµ ( ηµ ). Εομένως: 4 ηµ ηµ 4 ( ) d 3 ηµ ηµ d 4 3 4 ηµ d ηµ d 4 3 4 ηµ d ηµ d Μεθοδολογί Η όδειξη νισοτικών σχέσεων στ ορισμέν ολοκληρώμτ στηρίζετι στην ιδιότητ: Αν f() γι κάθε [, ], τότε f ()d. Εομένως, ν f() g() γι κάθε [, ], τότε f() g(), οότε f() g() d f()d g()d f()d g()d. 3
ΘΕΜΑ Γ Πράδειγμ. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [,, ] ν οδείξετε ότι: f ()d = f ( + )d. Θέτουμε + = u () Τότε ( + ) d du = άρ d = du d = du Τ νέ άκρ ολοκλήρωσης είνι : Γι = στην () έχουμε + =, άρ u = Γι = στην () έχουμε + =, άρ u = Τότε f ( + )d = f (u)du = f ( u) du f d = Άρ f d +. Μεθοδολογί f d Γι ν οδείξουμε μι ισότητ της μορφής = εργζόμστε ως εξής : δ Ξεκινάμε ό το f ( g() ) d κι θέτουμε g()=u. γ δ f g() d, όου f συνεχής, Στη συνέχει με τη χρήση της μεθόδου ντικτάστσης κτά λήγουμε στο γ f d. 4
Πράδειγμ. Ν οδείξετε ότι + 4d 5. Έστω η συνάρτηση f() = + 4,. H συνάρτηση f είνι ργωγίσιμη στο με (,]. Ειλέον η f είνι συνεχής στο. + 4 + 4 f () = ( + 4) = > γι Άρ η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [,] Τότε γι f γν. υξ f() f() f() όου f () = κι f () = 5. Άρ f() 5 γι κάθε [,] Έχουμε f() f(). Εομένως (f () )d f ()d d f ()d d f ()d () Έχουμε f() 5 5 f(). Εομένως ( 5 f())d 5d f() f() 5d f() 5 () Αό () κι () έχουμε: + 4d 5 Μεθοδολογί Η όδειξη νισοτικών σχέσεων στ ορισμέν ολοκληρώμτ στηρίζετι στην ιδιότητ : Αν f συνεχής στο [, ] κι f() γι κάθε [, ] τότε f(). Εομένως, ν f() g() γι κάθε [,, ] τότε f() g(), οότε f() g() d f()d g()d f()d g()d 5
Πράδειγμ 3. Αν ν ν d Ι = με * ν ν οδείξετε ότι Ι ν = ν νι ν γι κάθε ν. ν ν ν ν ν Ι = d = d = [ ] ν d = ν ν ν ν d = νι ν. Μεθοδολογί Εκφράζουμε το I ν, χρησιμοοιώντς συνήθως την κτά ράγοντες ολοκλήρωση, με τη οήθει ενός ολοκληρώμτος ίδις μορφής, λλά με μειωμένο ή υξημένο ν. Η σχέση υτή λέγετι νδρομικός τύος. 6
Πράδειγμ 4. Α. Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση στο, ν δείξετε ότι f ()d = f ( + )d. Β. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ 3 I = d 5 +. A. Θ δείξουμε ότι το δεύτερο μέλος της ζητούμενης ισότητς είνι ίσο με το ρώτο. Θέτουμε u =+. Εομένως du = d κι ότν = τότε u =, ενώ ότν = τότε u =. Έτσι έχουμε: f( + )d = f(u) ( du) = f (u) du = f (u)du = f ()d Β. Αν f() = 5 +, τότε f (3 + ) = f (5 ) = 5 + 5 κι εφρμόζοντς το (Α) ερώτημ έχουμε 3 3 f ()d = f (5 )d, δηλδή: 3 3 5 I = d = d 5 + + 5. Εομένως 3 3 5 3 + 5 I = d + d = d 5 + + 5 + 5 3 3 [ ] = = = = d 3 Άρ I =. Μεθοδολογί Πολλές φορές η ισότητ ολοκληρωμάτων της μορφής του (Α) ερωτήμτος είνι ιδιίτερ χρήσιμη στον υολογισμό συγκεκριμμένων μορφών ολοκληρωμάτων. 7
Πράδειγμ 5. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d. 4 Εκτελώντς την διίρεση : ( 4) ρίσκουμε 4 = + 4 4. Εομένως 4 4 d = + d = d + d 4 4 4 4 = + d 4 Γι τον υολογισμό του ολοκληρώμτος 4 4 d, νζητούμε δυο ριθμούς Α κι Β 4 4 A B τέτοιους ώστε = = + 4 ( )( + ) +, γι κάθε ργμτικό με κι. Γι κι η ισότητ υτή είνι ισοδύνμη με την A+ B= A= A( + ) + B( ) = 4 ( A + B) + ( A B) = 4 κι κι ( A B) 4 = Β= Εομένως 4 d d = + = + d 4 4 + = + ln ln + = + ( ln ln) ( ln3 ln) = ln3 8
Μεθοδολογί Γι την ολοκλήρωση ρητών συνρτήσεων P(), όου P() ολυώνυμο θμού ν κι Q() Q() ολυώνυμο θμού μ, με ν µ, εκτελούμε την διίρεση κι ροκύτει: P() Y() =Π () +. Q() Q() Αν Y() = Q (), τότε Q () = (ln Q() ). Q() Αν Y() Q () κι το Q() έχει τόσες ργμτικές ρίζες, όσες κι ο θμός του μ, δηλδή γράφετι: Q() =( ρ)( ρ)...( ρ µ ), τότε μορούμε ν υολογίσουμε ργμτικές στθερές A,A,...,A µ, έτσι ώστε ν ισχύει: Y() A A A µ = + +... + γι κάθε { ρ, ρ,..., ρ }. µ Q() ρ ρ ρ ( µ ) 9
ΘΕΜΑ Δ Πράδειγμ. Έστω μι συνάρτηση f :[, ] με συνεχή δεύτερη ράγωγο στο [, ] κι f ()d = (), τότε: i. f () f () Ν οδείξετε ότι f () = ii. Ν οδείξετε ότι υάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε f( ξ ) = f(). i. Έχουμε f ()d = [f ()] d = [f ()] f ()d = [f ()] [f ()] = f () f () + f () () Τότε λόγω των σχέσεων (),()έχουμε: f () f () f () f () + f () = f () = ii. Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ],ργωγίσιμη στο (, ) οότε ισχύουν οι ροϋοθέσεις του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής άρ θ υάρχει τουλάχιστον έν f () f () ξ (, ) τέτοιο ώστε f( ξ ) =. Άρ λόγω της σχέσης ου οδείξμε στο () ερώτημ υάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε f( ξ ) = f().
Πράδειγμ. Δίνετι το ολοκλήρωμ I = ν ν ηµ d, ν (). ν i. Ν οδείξετε ότι I +ν( ν )I =, ν. ii. Ν υολογίσετε το I 4. ν ν i. Έχουμε I ν d ν d ν ν d ν = ηµ = συν = συν + ν συν d ν ν ν ν ν d = + ν ηµ = + ν ηµ ν ν ηµ ν = ν ν I ( I ) ν ν +ν ν I =. Άρ ν ν ii. Αό την ισότητ Γι ν= 4, I I ν ν +ν ν I = έχουμε: + 43I = 4 ν 4 Γι ν=, I + I = Εομένως I4 ( ) + Ι = 4. Όμως ό την () γι ν [ ] I = ηµ d = συν = = έχουμε: Άρ 4 I4 48 = +. Μεθοδολογί Σε εριτώσεις όως η ράνω, όου το ολοκλήρωμ εριέχει έν φυσικό ριθμό ν εργζόμστε ως εξής: Ονομάζουμε το ολοκλήρωμ με όρο μις κολουθίς, γι ράδειγμ I ν.
Εκφράζουμε το I ν, χρησιμοοιώντς συνήθως την ργοντική ολοκλήρωση, με τη οήθει ενός ολοκληρώμτος ίδις μορφής, λλά με τον ριθμό ν μικρότερο. Η σχέση υτή λέγετι νδρομικός τύος. Εφρμόζουμε διδοχικά τον νδρομικό τύο κι υολογίζουμε το ολοκλήρωμ γι συγκεκριμένη τιμή του ν. Ημερομηνί τροοοίησης: 6//