ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για ποιο διάτηµα των τιµών της ενέργειας και της θέης έχουµε περατωµένη κίνηη; γ) Σχεδιάτε το φαικό διάγραµµα και ηµειώτε τις περιοχές που περιγράφουν διαφορετικές κινήεις ποιοτικά Λύη α) Τα ηµεία ιορροπίας αντιτοιχούν τα ακρότατα του δυναµικού, δηλαδή dv x = a = a ax x = dx x = a x x E V x Είναι dv a > για x= x = a x= dx a < για x = x E Άρα το x είναι ευταθές και το x αταθές β) Περατωµένες τροχιές έχουµε για ενέργειες το διάτηµα E < E < E, όπου E i οι τιµές του δυναµικού τα ακρότατα δηλαδή a 7a E = V( x) =, E = V( x) = 6 Οι περατωµένες τροχιές εκτείνονται το διάτηµα x < x< x, όπου τα x και x βρίκονται ως ρίζες της εξίωης x = a ax x 7a V( x) = E a x = 7a 6 x = (ηµείωη: γνωρίζουµε εκ των προτέρων ότι η παραπάνω εξίωη έχει µια διπλή ρίζα την x =a) B γ) Γύρω από το ευταθές ηµείο ιορροπίας το διάγραµµα µοιάζει µε αυτό του αρµονικού ταλαντωτή (περιοχή Α), ενώ γύρω από το αταθές ηµείο (όπου Ε=Ε ) έχουµε υπερβολές (απωτικές δυνάµεις) Για Ε>Ε έχουµε τις ανοιχτές φαικές καµπύλες της περιοχής Β και για Ε<Ε έχουµε τις ανοιχτές φαικές καµπύλες της περιοχής Γ A B G
ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο µάζας m= εκτελεί ταλαντώεις που περιγράφονται από την διαφορική εξίωη && x + x& + x= F cos( ωt) α) Έτω F = Προδιορίτε την περίοδο της ταλάντωης, δώτε την χέη x = xt που την περιγράφει (θεωρώντας αρχικό πλάτος D και αρχική φάη θ ) και χεδιάτε την πρόχειρα β) Για F Βρείτε τη υχνότητα και το πλάτος υντονιµού Σχεδιάτε την ταλάντωη κατά τον υντονιµό και αφού έχει περάει αρκετός χρόνος (t>>) Λύη Η λύη της Ε είναι η (δες τυπολόγιο) γ t xt = De cos( ω t θ ) + Acos( ωt δ), () όπου D, θ ταθερές που εξαρτώνται από τις αρχικές υνθήκες και Α, δ ταθερές που εξαρτώνται από τις παραµέτρους του ταλαντωτή (δες τυπολόγιο) b m=, b=, γ = =, F, ω m k α) Για F = θα έχουµε Α= και ω = γ = m t / Άρα xt = De cos( t θ) Έχουµε δηλαδή φθίνουες ταλαντώεις µε περίοδο π 4π T = = ω β) Για F έχουµε εξαναγκαµένες ταλαντώεις µε πλάτος (δες τυπολόγιο) A = F ω + ( ω ), Συχνότητα υντονιµού έχουµε για την τιµή ω=ω όπου το Α γίνεται µέγιτο, δηλαδή το q = ω + ( ω ) γίνεται ελάχιτο ή dq = + 4ω = ω = dω = ω ω Για ω=ω η µας δίνει το πλάτος του υντονιµού F A = Για t>> o πρώτος όρος της () γίνεται πολύ µικρός (τον θεωρούµε µηδέν) και για τον υντονιµό παίρνει τη µορφή F xt = cos( t δ ), δηλαδή έχουµε αρµονική ταλάντωη πλάτους Α και περιόδου T = π F T F -
ΘΕΜΑ α) Nα δείξετε ότι η διαφορική εξίωη της κίνηης ε πεδίο κεντρικών δυνάµεων F d m + = F L µπορεί να γραφτεί τη µορφή 4 d d m F = L β) Να βρεθεί το πεδίο κεντρικών δυνάµεων F το οποίο είναι δυνατή η ύπαρξη τροχιών της µορφής = asin( bθ ), µε ab>, Ποία υνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα C ab,, ώτε η δύναµη να είναι της µορφής F =, όπου C ταθερά διάφορη του n µηδενός και n φυικός; Λύη α) Έχουµε: d d d d = =, d d d d d d d = = = d d d d d d = = d d m Αντικαθιτώντας την παραπάνω χέη την εξίωη + = F, L παίρνουµε d d m + = F L Πολλαπλαιάζοντας και τα δύο µέλη της εξίωης µε, καταλήγουµε τελικά τη ζητούµενη χέη 4 d d m F = L β) Παραγωγίζοντας την εξίωη της τροχιάς δυο φορές παίρνουµε d d = abcos( bϑ) = a b cos ( bϑ) = a b sin ( bϑ) = b ( a ), d = ab sin( bϑ ) = b Αντικαθιτώντας τις δυο παραπάνω χέεις την διαφορική εξίωη που δείξαµε το ερώτηµα α) έχουµε 4 4 m a b m b b ( a ) = F b + b = F L L
( b ) L a b F = 5 m Από την έκφραη της δύναµης βλέπουµε ότι για b = και a > η δύναµη είναι της C a L µορφής F = µε C = και n = 5 n m ΘΕΜΑ 4 Υλικό ηµείο Σ είναι υποχρεωµένο να κινείται υπό την επίδραη του βάρους του πάνω ε λείο επίπεδο Π που περιτρέφεται µε ταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από τον οριζόντιο άξονα Ox Ορίτε κατάλληλο χετικό ύτηµα ως προς το επίπεδο (να γίνει το χήµα) και βρείτε τις διαφορικές εξιώεις της κίνηης και την αντίδραη του επιπέδου Λύη Έτω ΟXYZ αδρανειακό ύτηµα αξόνων, και Οxz περιτρεφόµενο (µη αδρανειακό) ύτηµα µε µοναδιαία διανύµατα, ˆj, kˆ όπως φαίνονται το χήµα Τα δύο υτήµατα υντεταγµένων ταυτίζονται για t = z Z Ο Σ ωt Y x, X B ωt Η διαφορική εξίωη της κίνηης του Σ είναι: mγ = F mγ mω ( ω ) m& ω mω u όπου ˆ ˆ = xi + j, u = x + j ˆ & &, γ x j ˆ = && + &&, ω = ωî Υπολογίζουµε τους όρους που εµφανίζονται την παραπάνω εξίωη Επειδή οι αρχές των δύο υτηµάτων υντεταγµένων ταυτίζονται έχουµε γ =
Επειδή η γωνιακή ταχύτητα είναι ταθερή έχουµε & ω = m & ω = Η δύναµη F είναι το άθροιµα του βάρους B = mg[cos( ωt) kˆ + sin( ωt) ˆj ] και της αντίδραης = kˆ Έχουµε ω = ω = ωkˆ οπότε ω ( ω ) = ω = ω j ˆ x Επίης ω u = ω = ω& kˆ x& & Αντικαθιτώντας όλες αυτές τις χέεις την αρχική διαφορική εξίωη και παίρνοντας τις υνιτώες των διανυµάτων τους άξονες x,, z, καταλήγουµε τις ακόλουθες εξιώεις mx && =, m && = mg ωt + mω sin( ), mz && = = mg cos( ωt) mω& + ω Οι δύο πρώτες διαφορικές εξιώεις περιγράφουν την κίνηη το επίπεδο Η τρίτη εξίωη µας δίνει την αντίδραη του επιπέδου = mg cos( ωt) + mω &