ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης
Κελύη Εκ Περιστροής Μεµβρανική Θεωρία Τυχαία Φόρτιση Ανάπτυξη όρτισης σε σειρές Fourier: ( ) cos( θ) ( ) si( θ) (5.) q = q + q = 0 = ( ) si( θ) ( ) cos( θ) (5.) q = q + q θ θ θ = = 0 ( ) cos( θ) ( ) si( θ) (5.3) q= q + q = 0 = ( ) cos( θ) ( ) si( θ) (5.4) T = T + T = 0 = Τα εντατικά µεγέθη θα αναζητηθούν και αυτά µε τη µορή σειρών Fourier ως εξής: ( ) cos( θ) ( ) si( θ) (5.5) N = N + N = 0 = ( ) cos( θ) ( ) si( θ) (5.6) N = N + N θ θ θ = 0 = ( ) si( θ) ( ) cos( θ) (5.7) N = N + N θ θ θ = = 0 όπου οι πρώτοι όροι αντιστοιχούν στους συµµετρικούς όρους της λύσης και οι δεύτεροι στους αντισυµµετρικούς, όπως τους διαπλέκουν οι εξισώσεις. Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις ισορροπίας µετά τις παραγωγίσεις και την συλλογή των όρων cos(θ) και si(θ) προκύπτουν σχέσεις της παρακάτω µορής:
3 [ A ] cos( θ) + [ B ] si( θ) = 0 (5.8) = 0 = από τις οποίες λόγω της γραµµικής ανεξαρτησίας προκύπτει ότι: A = 0 και B = 0 (5.9) Έτσι λαµβάνουµε: dn r r N + + N cot θ + = r q + qcot d rθ rθ si ( ) dn θ r N q N cot θ r + + = qθ d rθ si + si (5.0) (5.) Από την επίλυση του συστήµατος για δεδοµένο κέλυος εκ περιστροής ( r, r ) όρτιση ( q, q, q) θ και θ προκύπτουν οι συµµετρικοί όροι της λύσης. Ισχύει επίσης από την αλγεβρική εξίσωση ισορροπίας: N θ Nrθ = qrθ (5.) r Αντίστοιχες σχέσεις ισχύουν και για τους αντισυµµετρικούς όρους.
Σαιρικό Κέλυος Μεµβρανική Θεωρία Τυχαία Φόρτιση Για ένα σαιρικό κέλυος ισχύει r = r = R. Έτσι οι εξισώσεις γίνονται: θ 4 dn d Nθ + Ncot + = R( q + qcot ) (5.3) si dn θ cot un N q θ R + + = qθ d si + si (5.4) οι οποίες είναι συζευγµένες µεταξύ τους. Εισάγοντας: S = N + N (5.5) θ T = N N (5.6) θ Προσθααιρώντας τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει: ds cos cot S R + + q qθ q d + si = + + si dt cos cot T R + q qθ q d si = + si (5.7) (5.8) οι οποίες είναι της µορής du p( ) u q( ) 0 d + + = (5.9) Πρόκειται δηλαδή για µία γραµµική εξίσωση, η λύση της οποίας είναι η ακόλουθη:
Οι λύσεις εκράζονται ως εξής: 5 ( ) exp( ) u = c qexp pd d pd (5.0) ( ) cot cos + S = A si ta R q + qθ + q d si si ( ) ta cos T = B si cot R q qθ + q d si si ( ) ( ) (5.) (5.) Έτσι τα εντατικά µεγέθη προκύπτουν ως: N = A cot ( ) + Bta ( ) si cot cos + R q si ta + qθ + q d si si ta cos R q si ta qθ + q d si si (5.3) Nθ = A cot ( ) Bta ( ) si ( ) cot cos + R q si ta + qθ + q d + si si ( ) ta cos + R q si ta qθ + q d si si (5.4)
6 r N = rq N (5.5) θ θ θ r Αντίστοιχες σχέσεις προκύπτουν και για τους αντισυµµετρικούς όρους.
7 Ηµισαιρικό Κέλυος Στηριζόµενο Περιµετρικά σε Υποστυλώµατα υπό το Ίδιο Βάρος β
8 Φόρτιση: q= pcos (5.6) q = psi (5.7) q θ = 0 (5.8) που είναι ανεξάρτητη του θ, δηλαδή =0. Έτσι η ειδική λύση γίνεται: N θο N ο pr = (5.9) + cos = pr cos + cos (5.30) N θο = 0 (5.3) Επίσης τίθεται A B 0 o = =, ώστε να εξαληθεί ο απειριζόµενος όρος ( si ) o στην κορυή =0. Για τους υπόλοιπους αρµονικούς όρους ισχύει: q = q = qθ = 0 για (5.3) οπότε: όπου οι όροι 0 ( ) B ta θ θ N = = N = N, (5.33) si οι A = για να εξαλείψουν τους όρους που περιέχουν cot ( ) οποίοι απειρίζονται στην κορυή (=0). Έτσι η γενική λύση γίνεται: N ( ) pr B ta cos ( θ ) (5.34) + = κ, κ,... = + cos si
N θ = κ, κ,... 9 ( ) B ta = si ( θ ) (5.35) si B ta ( ) cos( θ ) (5.36) Nθ = pr cos cos + si = κ, κ,... όπου οι συντελεστές B προκύπτουν από τις συνοριακές συνθήκες στην στήριξη = π, ενώ η N µηδενίζεται εκτός από τις θέσεις των υποστυλωµάτων, όπου ισούται µε το αντίστοιχο ποσοστό του συνολικού βάρους του κελύους. Συνοριακές Συνθήκες για κ Υποστυλώµατα ( ) ( ) ρ πr βr κ = ρπr βκ (5.37) = κ, κ,... N = ρπr βκ, 0 θ β ( π κ ) ( π ) = 0, β θ β = ρπr βκ, β θ π κ κ B cos θ =, 0 θ β ( ) pr π ( βκ ) ( ), ( β) ( π ) = pr, β θ β κ = pr π π θ π βκ κ κ (5.38) (5.39) από όπου, χρησιµοποιώντας τις σχέσεις των σειρών Fourier, λαµβάνουµε: B ρr = si( β ) (5.40) β οπότε η λύση δίνεται ως :
0 N βsi = κ, κ,... si( β ) ta cos( θ ) (5.4) ρr ρr = + cos ( θ ) si Nθ = ρr cos + ta cos( θ) + ρr cos βsi = κ, κ,... N θ (5.4) si( θ ) ta si( θ ) (5.43) ρr = βsi = κ, κ,... Προκύπτει ότι N θ 0 για = π. Παραµορώσεις - Μετακινήσεις Οι παραµορώσεις εκράζονται µε τη µορή σειρών Fourier ως εξής: ο = + = 0 = ( ) cos( ) ( ) si( ) (5.44) ε ε θ ε θ ο θ = θ + θ = 0 = ( ) cos( ) ( ) si( ) (5.45) ε ε θ ε θ ο θ = θ + θ = 0 = ( ) cos( ) ( ) si( ) (5.46) ε ε θ ε θ ο θ ( ) si( ) ( ) cos( ) (5.47) γ = γ θ + γ θ = = 0 Οι συντελεστές Fourier εκράζονται συναρτήσει των συντελεστών των εντατικών µεγεθών ως εξής:
ε = ( N vθnθ) + att (5.48) Eh ε θ = ( Nθ vθn) + atθt (5.49) Eh θ Nθ γ = (5.50) G h θ Αντίστοιχες εκράσεις ισχύουν και για τους αντισυµµετρικούς όρους ( ) cos( θ) ( ) si( θ) (5.5) u = u + u = 0 = ( ) si( θ) ( ) cos( θ) (5.5) u = u + u θ θ θ = = ( ) cos( θ) ( ) si( θ) (5.53) w= w + w = 0 = Κινηµατικές Σχέσεις Με βάση τις γενικές κινηµατικές σχέσεις ισχύει: r ε du = + w (5.54) d ε r si = u + u cos + w si (5.55) θ θ θ si r θ duθ γrθ = si uθcos u (5.56) r d Επιλύοντας τις δύο πρώτες λαµβάνουµε:
w du = rε (5.57) d du uθ = si u cos + ( εθrθ εr) si d (5.58) οι οποίες αντικαθίστανται στην τρίτη εξίσωση. d u du r θ d r θ si cos si + si + cos u = r d r r d = γ r r ε r ε + ( ) θ θ si si θ θ r d r θ + ( rθεθ rε) cossi r (5.59) η οποία είναι µία γραµµική διαορική εξίσωση, η γενική λύση της οποίας δίδεται από κλειστό τύπο.
3 ΚΕΛΥΦΗ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΤΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ Κ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΠΑΝΤΑ ΕΠΙ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ θ = β = 0 z θ r o dθ r o dθ r dβ Κ. Κ Κ. Κ Ισχύει: rdβ = rdθ (5.60) o ή r dθ = r (5.6) d β o Ισχύει επίσης:
4 θ β r o β = θsi (5.6) Εόσον =σταθερό, προκύπτει ότι: dβ = dθsi (5.63) από όπου dθ = (5.64) dβ si Αντικαθιστώντας την σχέση (5.64) στην (5.6) προκύπτει
5 r r o = (5.65) si που αποδεικνύει ότι το Κ.Κ βρίσκεται επί του άξονα περιστροής. Προσδιορισµός Ακτίνας Καµπυλότητας µε τη µορή r=r() y ds dy + d r S + x dx x r =± ( + y ) 3/ y (5.66) dx dx Ισχύει ότι ds = rd, καθώς επίσης ότι cos = =. Συνεπώς προκύπτει ότι: ds rd dx dx r = = sec (5.67) cos d d Επίσης:
6 dy ta = = y ( x) (5.68) dx Έτσι: ( ta ) ( ) x = f = x (5.69) και τέλος ( ) dx r = cos d (5.70) Παράδειγµα: Έλλειψη y b α x x a y + = (5.7) b ( ) y x x =± b a / (5.7)
7 / y ( x) =± b x x a a (5.73) / b x y = x ta = (5.74) a a ή ta b = a x x a 4 (5.75) από όπου: x 4 a ta a ta = ή x = (5.76) / b + a ta b + a ( ta ) καθώς επίσης x =± a si ( a si + b cos ) / (5.77) Έτσι: dx =± d r ( ) =± a b cos ( a si + b cos ) ab ( a si + b cos ) 3/ 3/ (5.78) (5.79)
8 Κελύη Εκ Περιστροής z S r o ds = r d -dz Κ. Κ -dr o d Κ. Κ Ισχύει: dr = ds cos = r dcos (5.80) o dz = ds si = r dsi (5.8) Επίσης: dr o r d cos = (5.8) οπότε dro r = sec (5.83) d
9 ( si ) d d dcos = cos = = (5.84) r dr dr dz o o dz d z d d = si = cos = cos (5.85) ds ds ds r d d z = (5.86) r cos ds Η σχέση αυτή χρησιµοποιείται για την ανάπτυξη της θεωρίας «χθαµαλών κελυών». S x Όταν η γωνία κυµαίνεται σε χαµηλές τιµές, τότε: Έτσι: cos (5.87) ds dx (5.88)
0 d z = (5.89) r cos ds r ή r d z ds d z dx (5.90) ΕΛΛΕΙΨΟΕΙ ΕΣ z α r o x b x = r o (5.9) ro z + = a b (5.9) ro =± a si ( a si + b cos ) / (5.93) Χρησιµοποιούµε το πρόσηµο + για 0 π.
dro d =± ab cos ( a si + b cos ) 3/ (5.94) ( ) dx r = cos d (5.95) Άρα: r r =± ab ( a si + b cos ) 3/ =± ( a si + b cos ) / a (5.96) (5.97)