Πγόσμι χωριό γνώσης ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 ΜΑΘΗΜΑ 2.9. ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 2.9.. Έννι τυ ρίυ Θεωρύμε τη συνάρτηση: x+, x 2 f ( x ) = x 2, x > 2 / [,4] () Έστω x 2. Η τιμή υτή πυ περιέχετι στ πεδί ρισμύ της συνάρτησης, μπρύμε ν πύμε ότι περιέχετι στ διάστημ: x x δ,x +δ όπυ δ έν θετιός πργμτιός ριθμός. Κάθε x ( x,x ) δ +δ είνι μιρότερ τυ x ή μεγλύτερ υτύ. Αυτό σημίνει ότι άθε x x δ,x +δ μπρεί ν πλησιάζει στ x πό τ ριστερά, μιρότερες τιμές ή πό τ δεξιά μεγλύτερες τιμές. Οι δυ υτές εφράσεις, συμβλίζντι με τν όλυθ τρόπ ντίστιχ: x x π τ μιρά ή x x π τ μεγάλ Στ σχήμ, έχυμε τη γρφιή πράστση της συνάρτησης () ι πρτηρύμε ότι όσ τ x πλησιάζει στ x = 2 πό τ μιρά ( x 2 ), η τιμή της συνάρτησης πλησιάζει στ 3. Τ πρπάνω γράφυμε συμβλιά: x 2 im f x = 3 + ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 2.38.22.57 495 39
Πγόσμι χωριό γνώσης ι λέμε ότι τ ριστερό πλευριό όρι της συνάρτησης είνι ίσ με 3. Στη συνέχει πρτηρύμε ότι όσ τ x πλησιάζει στ x = 2 πό τ μεγάλ ( x 2 + ), η τιμή της συνάρτησης πλησιάζει στ. Στην περίπτωση υτή συμβλιά γράφυμε: + x 2 im f x = ι λέμε ότι τ δεξιό πλευριό όρι της συνάρτησης είνι ίσ με. Στ σχήμ 2 έχυμε τη γρφιή πράστση μις άλλης συνάρτησης: f:α ι πρτηρύμε ότι: im f x = im f x = f x = + Δηλδή πρτηρύμε ότι τ πλευριά όρι ότν τ x πλησιάζει στ x, είνι ίσ με πργμτιό ριθμό. Σ υτή την περίπτωση λέμε ότι υπάρχει τ όρι της συνάρτησης ότν τ x τείνει στ x ι συμβλίζυμε: im f x = Σύμφων με τ πρπάνω, έχυμε τν ρισμό: Ορισμός: Αν f/a είνι μι συνάρτηση, θ λέμε: lim f ( χ ) =, x x Ότν υπά ρχει δ > : με < x x <δ f(x) <ε γι άθε ε >, x Α ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 2.38.22.57 495 4
Πγόσμι χωριό γνώσης Απλυστεύντς τ πρπάνω, μπρύμε ν πύμε ότι ν γι τη συνάρτηση f:α ισχύει: σημίνει ότι γι άθε περιχή ( x δ,x +δ) Α πυ περιέχει τ x, υπάρχει ντίστιχη περιχή ε, +ε πυ περιέχει την τιμή f ( x ), ώστε όσ μιρίνει τ δ δηλδή τ x πλησιάζει τ x, ντίστιχ μιρίνει τ ε, πυ σημίνει ότι η τιμή f ( x ), πλησιάζει στ.οι ριθμί δ, ε είνι θετιί πργμτιί. im f x = ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Αν 2 Αν lim f (x) lim f (x) lim f (x) = = ( ) x x = lim ( f (x)) = 3 Είνι 4 Είνι lim f (x) = c ν η f( x) lim f (x) = x ν η f ( x) = c είνι στθερή. = x είνι τυττιή. 5 Τ lim f (x) = είνι μνδιό, ν βέβι υπάρχει. Υπάρχει, ότν τ πλευριά όρι είνι ίσ ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 2.38.22.57 495 4
Πγόσμι χωριό γνώσης 2.9.2. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Αν f, g είνι δυ συνρτήσεις πυ έχυν όρι, 2, δηλδή lim f = ι lim g =, τότε ισχύυν: x x x x lim f ± g = lim f ± lim g = ± x x lim ( f g) = lim f lim g = 2 2 2 lim f = lim f =, = =, lim ( f ) ( lim f ) * lim = = f lim f, με f, x x lim g g x x 2 lim = = f lim f, με f, lim f = lim f =, f, * ι Οι ιδιότητες υτές ισχύυν, μόν ότν ι συνρτήσεις f,g έχυν όρι, 2 Δηλδή είνι συγλίνυσες στ lim f = lim f = x x Οι πρπάνω ιδιότητες επετείνντι ι γι περισσότερες πό δυ συνρτήσεις. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 2.38.22.57 495 42
Πγόσμι χωριό γνώσης 2.9.3. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν ισχύει f(x) g(x) x Α ι είνι τότε υπχρεωτιά ισχύει ι lim f (x) = x x lim g(x) =, 2 Αν είνι με τ όρι της. Δηλδή: lim f (x) =, τότε η συνάρτηση θ είνι μόσημη x x i. Αν > f(x) > ι ii. Αν < f (x) < ι Γενιά ισχύει: 3 < f(x) < 2 2 3 < f(x) < 2 2 3 < f(x) < 2 2 3 Αν είνι f(x) lim f (x) Γενιά: Αν είνι f(x) g(x) x Α lim f (x) lim g(x) 4 Κριτήρι πρεμβλής (ισσυγλίνυσες) lim g(x) lim f (x) = Αν γι άθε x Α ισχύει g(x) f(x) h(x) ι = lim h(x) =, όπυ Α ινό πεδί ρισμύ, τότε υπάρχει ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 2.38.22.57 495 43
Πγόσμι χωριό γνώσης 2.. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ισχύει lim f(x) = f(x ) γι τις τριγωνμετριές συνρτήσεις, μόν ότν x Α. Έτσι έχυμε: lim ημ x = ημ x x lim συν x = συν x x 2 π lim εφ x = εφ x x π+ 2 3 ΠΡΟΣΟΧΗ τ συνx x x ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ 4 lim ( σφ x) = σφ x { π} x 5 ημx = x x ι x = x ημx 6 εφx = x x ι x = x εφx 2.. ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (λλγή μετβλητής) lim f (y) = y ξ lim g(x) =ξ χ χ lim f ( g(x) ) όπυ g(x) = y ξ ότν x x. = lim f (y) = ψ ξ ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 2.38.22.57 495 44
Πγόσμι χωριό γνώσης 2.2. ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ ΟΡΙΟΥ Ορισμός: Θ λέμε ότι τ lim f (x) = + της f / A, ότν υπάρχει x x δ >, ώστε ότν < x x <δ, ν ισχύει f(x)>μ γι άθε Μ > ι γι άθε x Α. Ορισμός: Θ λέμε ότι τ lim f (x) = της f / A, ότν υπάρχει x x δ >, ώστε ότν < x x <δ, ν ισχύει f(x)< Μ γι άθε Μ > ι γι άθε x Α. ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ lim f (x) =± lim ( f (x)) x x = lim f (x) =± lim f (x) = +, lim f (x) =+ lim f (x) =± Αν lim g(x) = τότε lim = f(x) + ν g> lim = g(x) ν g < lim f (x) = > lim g(x) = x x f + ν g(x) > lim = g ν g(x) < lim f (x) = < lim g(x) = x x f + ν g(x) < lim = g ν g(x) > Αν g(x) f(x), τότε: i. ν lim g(x) = + lim f (x) = + ii. ν lim f (x) = lim g(x) = ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 2.38.22.57 495 45
Πγόσμι χωριό γνώσης ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ [ ] ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ = -, + ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛ/ΣΜΟΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΑΟΡΙΣΤΙΕΣ ( + ) + ( + ) = + ( ) + ( ) = ( + ) ± = + ( ) ± = ( + ) ( + ) = + ( + )(. ) = ( )(. ) = + ( + ). = +, > ( + ). =, < ( ). =, > ( ). = +, < + + =, = +, > =, < =, > = +, < =, ± ±. + + ΜΙΣΟΑΟΡΙΣΤΙΑ =±, ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 4 ΚΑΙ 5 ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 2.38.22.57 495 46