Μθηµτικά Ι Σείδ πό 7 Μάθηµ ο ΠΙΝΑΚΕΣ, ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Θεωρί : Γρµµική Άγερ : εδάφι κι, σε -7 Τ πρδείγµτ που τιστοιχού στη ύη έχου διδχθεί Ασκήσεις :, σε 3 ; 3, 4, 5, 6, 7, 8, σε 7 κι, σε 8 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση Ν ρείτε τις τιµές του, ώστε ο πίκς Α είι συµµετρικός Λύση : Γι είι ο πίκς Α συµµετρικός, πρέπει Α Α Τ 3 3 3 3 3 3 Εξισώοτς τ στοιχεί έχουµε 3 κι κι ± Άσκηση Α τ στοιχεί ii του πίκ Α έχου τη ιδιότητ, ij i - j, γι i, j,,3, δείξτε ότι ο πίκς Α είι συµµετρικός Λύση : Επειδή ij i - j, ο πίκς Α είι της µορφής
Μθηµτικά Ι Σείδ πό 7 Α Είι φερό ότι Α είι συµµετρικός Άσκηση 3 Όµοι γι το πίκ Α, ότ ij i + j γι i, j,,3,4 Λύση : Όµοι έχουµε 3 Α 3 4 3 4 5 Άσκηση 4 Σε κάθε ερµιτιό πίκ, ποιες χρκτηριστικές ιδιότητες έχου τ διγώι στοιχεί κι τ συµµετρικά στοιχεί ως προς τη κύρι διγώιο; Λύση : Από τη ισότητ Α ii ii ii A, γι τ διγώι στοιχεί έχουµε πργµτικός ριθµός Γι τ µη διγώι στοιχεί του πίκ θ είι ij συζυγή ji, δηδή τ συµµετρικά στοιχεί ως προς τη κύρι διγώιο είι Άσκηση 5 Α Α 3, Β 3 4 5 6 δείξτε ότι Α 3 Ο κι Β 4 Ο Γεικεύστε το συµπέρσµ Λύση : Α κάετε τις πράξεις θ ρείτε : Α 3 ΑΑΑ Ο κι Β 4 ΒΒΒΒ Ο Γείκευση, γι το πίκ
Μθηµτικά Ι Σείδ 3 πό 7 Η Ο 3 / έχουµε Η - Ο Άσκηση 6 Α οι πίκες Α κι Β είι της µορφής Α Ε µ κι Β Ε, δείξτε ότι οι πίκες Α, Β είι τιµετθετικοί Λύση : Επειδή Α Ε µ, Β Ε έχουµε ΑΒ Ε µ Ε Ε µ+ κι ΒΑ Ε Ε µ Ε µ+ Προφώς ΑΒ ΒΑ Άσκηση 7 Α γι το πίκ Α είι Α² Ι, δείξτε ότι γι το πίκ Β Α + Ι / θ είι Β² Β Λύση : Οι πίκες Α κι Ι είι τιµετθετικοί, τότε Β Α + Ι Α + Ι + Α Ι Ι + Ι + Α Α + Ι Β 4 4 4 4 Άσκηση 8 Α ο πίκς Α είι τιµετθετικός µε το διγώιο πίκ diag,,, όπου i j γι κάθε i, j, δείξτε ότι ο πίκς Α είι διγώιος Λύση : Α ij είι τ στοιχεί του πίκ Α πό τη ισότητ έχουµε : A diaga,, a n diaga,, a n A
Μθηµτικά Ι Σείδ 4 πό 7 Από τη ισότητ τω πιάκω συµπερίουµε γι τ στοιχεί i ij j ij γι κάθε i j, i, j,, i j ij ij, διότι i j Άσκηση 9 Α Α κι είι θµωτό πουώυµο δείξτε ότι: Α Λύση : Γι το πίκ Α, έχουµε Α κι γεικά Α Έτσι γι το πουώυµο - p p + p- p- + + + τικθιστώτς τις εκφράσεις τω δυάµεω του Α, θ είι A p A p + p- A p- + + A + I, όπου d d Άσκηση Βρείτε τ στοιχεί που είπου πό τους πίκες στη ισότητ 5 5 4
Μθηµτικά Ι Σείδ 5 πό 7 y y 4 Λύση : Έστω y x y3 4 5 x 5 Από το γιόµεο ης γρµµής επί η στήη συµπερίουµε y 4 y Από το γιόµεο ης γρµµής επί η στήη συµπερίουµε x y x Όµοι, πό το γιόµεο ης γρµµής επί η στήη, y y, ης γρµµής επί η στήη x y + y 3 5 y 3 4 y 3, 3 ης γρµµής επί η στήη x y 3 x κι ης γρµµής επί 3 η στήη, y 4 y 4 Άσκηση Ν δείξετε ότι ο πίκς Α, είι συµµετρικός κριώς ότ x Τ Ay y Τ Ax γι κάθε x, y τύπου Λύση : Το γιόµεο y Τ Ax είι ριθµός, οπότε y Τ Ax y T Ax T x T A T y Έτσι θ έχουµε x Τ Ay x T A T y, γι κάθε x, y Η εξίσωση υτή είι ισοδύµη µε τη εξίσωση x T A A T y ή x T By, όπου B A A T κι ρκεί ποδείξουµε ότι B O Σηµειώοτς µε ij τ στοιχεί του Β, γι x [ i-θέση ] T κι y [ j-θέση ] T, έχουµε ij x T By, γι κάθε i, j,,, Άσκηση Υποογίστε τη δύµη Α του πίκ Α
Μθηµτικά Ι Σείδ 6 πό 7 Λύση : Ο πίκς Α γράφετι Α Ι + Ε, όπου Ε Επειδή οι πίκες Ι κι Ε είι τιµετθετικοί κι Ε, Ε 3 Ε 4 Ο έχουµε Α Ι + Ε + E + + E - + E όπου p Έτσι, θ είι p p Α Ι + Ε + E Άσκηση 3 είξτε ότι κάθε πργµτικός τετργωικός πίκς Α γράφετι σ άθροισµ Α Χ + Υ, όπου Χ Χ Τ συµµετρικό µέρος του Α κι Υ Υ Τ τισυµµετρικό µέρος του Α Λύση : Θ πρέπει ρούµε τις εκφράσεις τω πιάκω Χ κι Υ Γι το πίκ Α Χ + Υ Α Τ Χ + Υ Τ Χ Τ + Υ Τ κι επειδή ο πίκς Χ πρέπει είι συµµετρικός, ο δε πίκς Υ τισυµµετρικός, Α Τ Χ Υ Προσθέτοτς τις ισότητες υτές, έχουµε κι φιρώτς A + A T X X A + A T A A T Y Y A A T
Μθηµτικά Ι Σείδ 7 πό 7 Άσκηση 4 Το άθροισµ τω στοιχείω,,, τετργωικού πίκ Α οοµάζετι ίχος κι συµοίζετι: της κυρίς διγωίου trα + + + είξτε τις κόουθες ιδιότητες: Ι trα + Β trα + trβ II trab trba III traa T tra T A a ij R ij Λύση : Ι Α ij κι ij είι τ στοιχεί τω πιάκω A, B τ διγώι στοιχεί του πίκ Α + Β είι ii + ii Συεπώς trα + Β + + + + + + + + + trα + trβ ΙΙ Τ διγώι στοιχεί τω πιάκω ΑΒ κι ΒΑ είι τίστοιχ i i + i i + + i i, i i + i i + + i i γι i,, Τότε : tr ΑΒ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + a n b n + a n b n + + a nn b nn trba ΙΙΙ Τ διγώι στοιχεί του πίκ ΑΑ Τ είι το γιόµεο της i-γρµµής του Α επί i-στήη του Α Τ, δηδή i i + + i i κι πό τη πρπάω ιδιότητ ΙΙ έχουµε : trαα Τ trα Τ Α + + + + + + ij