ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [,β]. Αν η είνι συνεχής στο [,β] κι () (β), τότε ν ποδείξετε ότι γι κάθε ριθμό η μετξύ των () κι (β) υπάρχει ένς τουλάχιστον (,β), τέτοιος ώστε ( ) η. A. Έστω μι συνάρτηση κι έν σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θ λέμε ότι η είνι συνεχής στο ; Μονάδες A. Έστω μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο; Μονάδες A. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη. ) Αν γι δύο συνρτήσεις, g ορίζοντι οι συνρτήσεις og κι go, τότε ισχύει πάντοτε oggo. β) Η δινυσμτική κτίν της διφοράς των μιγδικών βi κι γδi είνι η διφορά των δινυσμτικών κτίνων τους. συν ημ γ) Γι κάθε R ισχύει ότι ( ) δ) Έστω μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [,β]. Αν ισχύει ότι () γι κάθε [,β] κι η συνάρτηση δεν είνι πντού μηδέν στο διάστημ υτό, τότε ()d > ε) Αν () o β κι () > κοντά στο, τότε o (). Μονάδες
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ΑΠΑΝΤΗΣΗ A. Θεωρί σχολικού βιβλίου σελ.9 A. Θεωρί σχολικού βιβλίου σελ. 88 A. Θεωρί σχολικού βιβλίου σελ. 59 A.. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς γι τους οποίους ισχύει: B. Ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων υτών των μιγδικών ριθμών είνι κύκλος με κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ρ. Β. Έστω w, όπου, μιγδικοί του ερωτήμτος Β. Ν ποδείξετε ότι: ) ο w είνι πργμτικός κι β) w (Μονάδες ) () Μονάδες Β. Αν w, όπου w είνι ο μιγδικός ριθμός του ερωτήμτος B, ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τους μιγδικούς ριθμούς, κι ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες Α(), Β(), Γ() των μιγδικών ριθμών, κι,, με i, είνι ισοσκελές. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β. ()( )()( ) 6 άρ τ Μ() νήκουν σε κύκλο κέντρου Ο(,) κι κτίνς ρ. Β. ( τρόπος) ) Έχουμε κι w ( ) R( ) R( ),άρ w R.
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 β) Έχουμε ότι w άρ w w άρ w w R (β τρόπος) Έχουμε: w Άρ ww w R Ομοίως w B. Έχουμε: w () (ΒΓ) i i 5 (ΑΓ) i i 5 (ΓΒ)(ΓΑ) 5 ΓΑΒ ισοσκελές με ΓΑΓΒ. ΘΕΜΑ Γ Δίνετι η συνάρτηση (), R. Γ. Ν μελετήσετε την ως προς τη μονοτονί κι ν ποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είνι το διάστημ (,). Μονάδες 6 Γ. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ( )) 5 έχει στο σύνολο των πργμτικών ριθμών κριβώς μι ρίζ. Γ. Ν ποδείξετε ότι (t)dt < () γι κάθε >. Μονάδες 8 Μονάδες Γ. Δίνετι η συνάρτηση g() (t) dt, >, Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι γνησίως ύξουσ στο [,).
ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ. ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 () η είνι πργωγίσιμη ως πηλίκο πργωγισίμων ( ) ( ) με () ( ) ( ) η () > γι κι () μόνο γι στο οποίο η είνι συνεχής άρ γνησίως ύξουσ στο R Τότε γι Δ(,) το (Δ) ( (), ()) Αφού () DLH ( ) ( ) (, ) DLH ( ) ( ) Οι συνρτήσεις,, πργωγίσιμες συνρτήσεις στο R. κι φού κι Γ. [ ( )] 5 Επειδή () κι γνησίως ύξουσ στο R κι άρ είνι 5 [ ( )] () ( ) () Επειδή (Δ) (, ) έπετι πως υπάρχει έν τουλάχιστον Δ με ( ) το οποίο είνι μονδικό λόγω μονοτονίς της στο R. Γ. (t)dt < () θεωρώ g () (t) dt, > η (t) είνι συνεχής στο R συνεπώς (t)dt πργωγίσιμη άρ κι συνεχής τότε στο διάστημ [, ] κι γι > η g είνι συνεχής, στο (, ) πργωγίσιμη άρ πό το Θεώρημ Μέσης Τιμής θ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) g() g() (t) dt (t) dt με g(ξ) (t) dt τότε < ξ < κι επειδή η g () () γνησίως ύξουσ άρ γι ξ < (t) dt g (ξ) < g () < () > (t) dt < (). 5
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Γ. g() (t)dt, >, H g() γι > είνι πργωγίσιμη φού η (t) είνι συνεχής στο R άρ κι στο (,) κι τότε η (t)dt (t)dt (t)dt, (,) είνι πργωγίσιμη κθώς πργωγίσιμη άρ (t)dtπργωγίσιμη ως σύνθεση πργωγισίμων κι ομοίως πργωγίσιμη άρ (t)dtπργωγίσιμη ως σύνθεση πργωγισίμων. Επίσης η είνι πργωγίσιμη στο (,) ως ρητή συνεπώς g() πργωγίσιμη ως πράξεις πργωγισίμων με g () (t)dt (t)dt '()' (t)dt [ () ()] (t)dt () () (t)dt () (t)dt [() ()] > Αφού () (t)dt > πό Γ ερώτημ κι > κι ()()> κθώς γι >> ()>() ()()> κι >. Άρ, g ()> γι > συνεπώς η g είνι γνησίως ύξουσ στο (,). Επειδή όμως (t)dt (t)dt (t)dt (t)dt (t)dt / g() DLH ()' συνεχής στο () () ()()() g(), άρ η g συνεχής στο κι οπότε η g είνι γνησίως ύξουσ στο [,). 6
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση : R R γι την οποί ισχύουν: () () ()[ ] γι κάθε R κι () Δ. Ν ποδείξετε ότι () l n( ), R Μονάδες 5 Δ. ) Ν βρείτε τ διστήμτ στ οποί η συνάρτηση είνι κυρτή ή κοίλη κι ν προσδιορίσετε το σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της. (Μονάδες ) β) Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης, την ευθεί y κι τις ευθείες κι. (Μονάδες ) Δ. Ν υπολογίσετε το όριο Δ. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση: (t)dt n () l. Μονάδες 6 (t )dt 8 (t)dt έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (,). ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ. ()[ () () ], R () () () () ( () () ) (), R () () c, R, c R γι () () c c c Άρ () (), R () () ( () ) () ( () ) () ( () ), R Θεωρώ g() (), R () Τότε g (), R. 7
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Έστω o R τέτοιο ώστε g(o) g (o) o άτοπο άρ g() γι R κι συνεχής στο R άρ η g() διτηρεί πρόσημο στο R κι φού g() () > έχουμε g()> γι R Άρ η () μς δίνει g(), R έχουμε > άρ >, R () (), R, R κι άρ ()ln( ), R Δ. ) ()ln( ) () () ( ) () ()> ( ) > ( ( ) > ) > < () Άρ η κυρτή στο (,], κοίλη στο [,) με σημείο κμπής το (, ()) δηλδή (,) β) (), () η εφπτομένη της C στο (,()) έχει εξίσωση y() ()() δηλδή y H είνι κοίλη στο [,) άρ η C βρίσκετι κάτω πό την εφπτομένη στο Ο(,)(εκτός του σημείου επφής) άρ (), (με το ίσον ν ισχύει μόνο γι ) 8
E(Ω) ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 () d ( () ) d ( )' () d () d [ () ] d '() d () d ln( ) d ln( ) ln( ) ln( )[ ] Δ. ( τρόπος) Κοντά στο γι > (t)dt Θεωρώ h() () ln () () η K() (t)dt είνι πργωγίσιμη στο R φού η R άρ γι R η Κ πργωγίσιμη με Κ() () άρ κι συνεχής άρ () () (t)dt () DLH [() ln() ] άρ Κ() Κ() (t)dt ( (t)dt) (t)dt u () () u γι > () > () () > () (t)dt () lnu ulnu ulnu u u u l n () είνι συνεχής στο R, () συνεχής () συνεχής () u ( u) u u u Δ. (β τρόπος) Από Δ () > άρ γνησίως ύξουσ γι > άρ () > () οπότε () > Ισχύει ότι (), l n(()) (t)dt (t)dt (t)dt () () ln () DLH () () ln() ln () () () ln() ln () () Έχουμε () ln () DLH () () 6 () () 9
6 ln() () () Τότε ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ln() () (t)dt ln() DLH () () () () () 9 9 6 () Δ. Θεωρώ μ()() (t ) dt () 8 (t)dt, [,] η μ είνι συνεχής στο [,] ως ποτέλεσμ πράξεων μετξύ συνεχών συνρτήσεων. μ() 8 (t)dt 8 (t)dt μ() (t ) dt Έχουμε <(t) t, t Άρ (t) t με την ισότητ ν ισχύει μόνο στο (t)dt < t dt t (t)dt < (t)dt < 8 (t)dt 8 < Γι t> έχουμε (t)>() άρ <(t) t, t Γι tt έχουμε <(t ) t με την ισότητ ν ισχύει μόνο στο άρ (t )dt < t dt t (t )dt < (t )dt < (t ) dt>. Επομένως μ()< κι μ()>, οπότε πό Θ. Bolano υπάρχει έν τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε μ().
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τ σημερινά θέμτ χρκτηρίζοντι γι τη σφήνει των ερωτημάτων κι κλύπτουν ευρύ φάσμ της ύλης. Ειδικότερ: Τ θέμτ Α, Β είνι προσπελάσιμ πό την πλειοψηφί των υποψηφίων. Το θέμ Γ είνι κλιμκούμενης δυσκολίς κι πιτούσε ρκετό χρόνο γι την πλήρη ιτιολόγηση των λεπτομερειών. Συνέπει υτού ήτν η συμπίεση του χρόνου ενσχόλησης με το θέμ Δ. Στο θέμ Δ τ δυο πρώτ ερωτήμτ ντιμετωπίζοντι πό τους κλά προετοιμσμένους υποψηφίους, ενώ τ ερωτήμτ Δ κι Δ πιτούσν ιδιίτερη ικνότητ, υτενέργει κι ευρημτικότητ. Συμπερσμτικά, η έκτση του Γ θέμτος κι η ιδιιτερότητ των ερωτημάτων Δ κι Δ θ οδηγήσουν στη συρρίκνωση των υψηλών βθμολογιών.