ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ: ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ.Π.Μ.Σ: «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ των ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ και των ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» Κατεύθυνση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ και ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ: ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γεωργία Καλαμβόκη Επιβλέπων: Γεώργιος Ανδρουλάκης Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Φεβρουάριος 2017 1

2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ.Π.Μ.Σ: «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ των ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ και των ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» Κατεύθυνση: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ και ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ: ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γεωργία Καλαμβόκη Τριμελής Επιτροπή: Γεώργιος Ανδρουλάκης Θεοδούλα Γράψα Φίλιππος Αλεβίζος Αναπληρωτής Καθηγητής Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πανεπιστημίου Πατρών Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Φεβρουάριος 2017 3

Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Copyright Γεωργία Καλαμβόκη, 2017 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος, All rights reserved Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τη συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τη συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσημες θέσεις του Διατμηματικού προγράμματος μεταπτυχιακών σπουδών. 4

ΠΕ Ρ Ι Λ ΗΨΗ Μία από τις χρήσιμες εφαρμογές της ανάλυσης χρονοσειρών είναι η παρατήρηση της εξέλιξης των μεγεθών που περιγράφουν και η εκτίμηση της μελλοντικής πορείας της ακολουθίας των παρατηρήσεων. Η διαδικασία αυτή έχει τυποποιηθεί με επιτυχία μέσω μαθηματικών μοντέλων, τα οποία είναι γνωστά ως μοντέλα πρόβλεψης. Χωρίς αμφιβολία, το ενδιαφέρον και η σημασία της πρόβλεψης έχει αυξηθεί ραγδαία τα τελευταία χρόνια. Η κύριος σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να περιγράψει τις σημαντικότερες κατηγορίες μαθηματικών μοντέλων, ώστε να μπορούμε να κάνουμε πρόβλεψη για το μέλλον. Έτσι, στα πρώτα κεφάλαια γίνεται μια εισαγωγή στις χρονοσειρές, ποια η χρησιμότητα τους και τι μπορούν αυτές να περιγράψουν. Έπειτα παρουσιάζονται διάφοροι μέθοδοι πρόβλεψης με την βοήθεια των χρονολογικών σειρών. Μέσω της αριθμητικής ανάλυσης θα αναφερθούμε στις διαδικασίες προσέγγισης της παρεμβολής και παρεκβολής, διότι αποτελούν και αυτές σημαντικό εργαλείο στον τομέα της πρόβλεψης. Τέλος, θα κάνουμε πρακτική εφαρμογή σε μερικές από τις μεθόδους των χρονοσειρών, μέσω στατιστικού πακέτου, χρησιμοποιώντας δεδομένα της Ελληνικής οικονομίας. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Χρονοσειρές, πρόβλεψη χρονοσειρών, παρεμβολή, παρεκβολή, αριθμοδείκτες 5

ABSTRACT One of the useful applications of time series analysis is the observation of the evolution of sizes which they describe, and the assessing of the future course of the observation sequence. This procedure has been successfully formulated by mathematical models, which are known as prediction models. Without doubt, the interest and importance of forecasting has been increased rapidly the recent years. The main purpose of this paper is to describe the most significant categories of mathematical models, so we can forecast for the future. Moreover, in the first chapters is given an introduction to time series, which is their usefulness and what they can describe. Furthermore, we present various methods forecasting using time series. Through the arithmetical analysis we are going to be inferred to the approach procedures of interpolation and extrapolation, because they constitute an important tool in the forecasting field. Finally, we are going to practice in some of the time series methods, using statistical package and data of Greek economy. Key words Time series, time series forecasting, interpolation, extrapolation, ratios 6

Ε Υ Χ Α Ρ Ι Σ Τ Ι Ε Σ Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κ. Ανδρουλάκη που με εμπιστεύτηκε για την εργασία και μου παρείχε τις πολύτιμες γνώσεις του και την βοήθειά του σε οποιοδήποτε πρόβλημα αντιμετώπισα. Η καθοδήγησή του υπήρξε καταπληκτική και η εν γένει συνεργασία μας καθ όλη την διάρκεια εκπόνησης της υπήρξε άψογη. Ευχαριστώ επίσης και τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς επιτροπής, κα. Θ. Γράψα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια και κ. Φ. Αλεβίζο Αναπληρωτή Καθηγητή. Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου και τα αδέρφια μου για την υποστήριξη και την εμψύχωση όλα αυτά τα χρόνια. Είναι βέβαιο ότι η συμπαράσταση τους υπήρξε πολύ σημαντική σ αυτό το κομμάτι των σπουδών μου. 7

8

Πε ρ ι ε χ ό μ ε ν α ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 5 ABSTRACT... 6 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ... 7 Εισαγωγή... 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ... 15 1.1 Χρονοσειρές... 15 1.2 Βασικά χαρακτηριστικά χρονοσειράς... 16 1.3 Ανάλυση χρονοσειρών... 19 1.4 Στατιστικά μεγέθη χρονοσειράς... 20 1.4.1 Μέση τιμή... 20 1.4.2 Αυτοσυνδιακύμανση... 21 1.4.3 Αυτοσυσχέτιση... 21 1.5 Στασιμότητα μη στασιμότητα... 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ... 24 2.1 Λευκός θόρυβος... 24 2.2 Τυχαίος περίπατος... 25 2.3 Απλή γραμμική παλινδρόμηση... 25 2.4 Αυτοπαλινδρούμενη Χρονοσειρά (AR)... 26 2.5 Χρονοσειρές Κινητού Μέσου (ΜΑ)... 27 2.6 Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα κινητού μέσου όρου ARMA... 28 2.7 Μικτό ολοκληρωμένο μοντέλο ARIMA... 29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗΣ ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ... 31 3.1 Μοντέλα Πρόβλεψης ARCH... 31 3.2 Μοντέλα πρόβλεψης GARCH... 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ... 34 4.1 Παρεμβολή και παρεκβολή... 34 4.2 Πεπερασμένες διαφορές... 35 4.2.1 Προς τα εμπρός διαφορές... 35 9

4.2.2 Προς τα πίσω διαφορές... 36 4.2.3 Κεντρικές διαφορές... 37 4.3 Προς τα εμπρός διαφορές Newton Gregory... 39 4.4 Προς τα πίσω διαφορές Newton Gregory... 41 4.5 Τύπος Παρεμβολής κεντρικών Διαφορών του Bessel... 41 4.6 Τύπος Παρεμβολής του Lagrange... 42 4.7 Άλλες μέθοδοι για ισαπέχοντα σημεία... 43 4.7.1 Τύπος του Hermite... 43 4.7.2 Τύπος του Taylor... 45 4.8 Παρεμβολή με τμηματικά πολυώνυμα Splines... 46 4.8.1 Τα γραμμικά Splines... 46 4.8.2 Τα κυβικά splines... 47 4.9 Παρεκβολή... 47 4.9.1 Παρεκβολή Richardson... 47 4.9.2 Προσέγγιση Padé... 49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΣΤΗΝ ΚΕΡΔΟΦΟΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ... 52 5.1 Ιστορικά δεδομένα... 52 5.2 Μαρξική θεωρία των κρίσεων... 53 5.3 Εφαρμογή... 54 5.3.1 Αριθμοδείκτες... 54 5.3.2 Αριθμοδείκτες αποδοτικότητας... 54 5.3.3 Αριθμοδείκτης καθαρού αποθέματος κεφαλαίου... 55 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 64 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 65 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ... 67 10

Εισαγωγή Στόχος των προβλέψεων είναι να είναι όσο το δυνατόν πιο εύστοχες και να ελαχιστοποιηθεί η απόκλισή τους από τις πραγματικές μελλοντικές τιμές που προσπαθούν να περιγράψουν. Έτσι, οι μέθοδοι πρόβλεψης συμβάλλουν στη σωστή και έγκαιρη λήψη αποφάσεων. Αν τα δεδομένα, που χρησιμοποιούμε στη διαδικασία της πρόβλεψης, είναι υψηλής ποιότητας μπορούμε να έχουμε ικανοποιητικά ακριβείς προβλέψεις. Στην πράξη όμως υπάρχουν παράγοντες που εισάγουν σφάλμα στις προβλέψεις. Ένας τέτοιος παράγοντας, είναι η αβεβαιότητα. Η αβεβαιότητα αναφέρεται σε απροσδόκητα γεγονότα που επηρέασαν την πραγματική μελλοντική πορεία της χρονοσειράς που εξετάζουμε και έχει ως αποτέλεσμα τα διάφορα μοντέλα να εμφανίζουν από μικρή απόκλιση, έως και ολική αστοχία στις εκτιμήσεις τους. Επίσης, ένας άλλος παράγοντας είναι ότι τα δεδομένα μπορεί να μην είναι αρκετά για τη διενέργεια μιας σωστής πρόβλεψης-εκτίμησης [12]. Μπορούμε να θεωρήσουμε δύο κύριες κατηγορίες μεθόδων πρόβλεψης [3]. Στην πρώτη κατηγορία έχουμε τις ποσοτικές οι οποίες χρησιμοποιούνται, όταν έχουμε διαθέσιμη πληροφορία για το παρελθόν (επαρκή δεδομένα), όταν μπορεί να γίνει ποσοτικοποίηση της πληροφορίας (αριθμητικά δεδομένα) και τέλος όταν θεωρούμε ότι το πρότυπο συμπεριφοράς θα διατηρηθεί και στο μέλλον. Στη δεύτερη κατηγορία έχουμε τις ποιοτικές μεθόδους οι οποίες χρησιμοποιούνται, όταν έχουμε διαθέσιμες λίγες ή καθόλου πληροφορίες για το παρελθόν. Σε αυτές τις περιπτώσεις απαιτείται εμπειρία, γνώση και κριτική ικανότητα. Χρησιμοποιούνται, κυρίως σε συνδυασμό με τις ποσοτικές μεθόδους, ενώ δεν απαντούν μόνες σε αριθμητικές προβλέψεις. Η διαμόρφωση των προβλέψεων στηρίζεται κατά κανόνα σε δύο βασικές προϋποθέσεις. Η πρώτη αφορά στη χρησιμοποιούμενη ποσοτική μέθοδο και η δεύτερη στον τρόπο συμπεριφοράς της μεταβλητής. Με άλλα λόγια, η επιλεγόμενη μέθοδος θα πρέπει να προσδιορίζει με τον καλύτερο τρόπο, με την στατιστική έννοια του όρου, τη συμπεριφορά των τιμών της μεταβλητής. Όσο καλύτερα αναγνωρίζεται ο τρόπος δημιουργίας των τιμών της μεταβλητής, τόσο καλύτερες προβλέψεις αναμένεται να διαμορφώνονται. Για να ισχύει, όμως κάτι τέτοιο θα πρέπει, επιπλέον η υπάρχουσα δομή του τρόπου συμπεριφοράς των τιμών της μεταβλητής να παραμένει σταθερή ή περίπου σταθερή και στο άμεσο μέλλον. Ωστόσο, η πρόβλεψη είναι ένα σημαντικό πρόβλημα που εκτείνεται σε πολλά πεδία, συμπεριλαμβανομένων των επιχειρήσεων και της βιομηχανίας, της οικονομίας, των περιβαλλοντικών επιστημών, της ιατρικής και των κοινωνικών επιστήμων. Τα προβλήματα της πρόβλεψης ταξινομούνται ως βραχυπρόθεσμα, μεσοπρόθεσμα και μακροπρόθεσμα. Τα βραχυπρόθεσμα προβλήματα πρόβλεψης περιλαμβάνουν πρόβλεψη των γεγονότων μόνο μικρών χρονικών περιόδων (ημέρες, εβδομάδες, μήνες) στο μέλλον. Τα μεσοπρόθεσμα προβλήματα εκτείνονται από ένα έως δύο χρόνια στο μέλλον και τα μακροπρόθεσμα μπορούν νε επεκταθούν σε περισσότερα από δύο χρόνια [3]. Τα βασικά στάδια σε μια διαδικασία πρόβλεψης είναι τα εξής [11]: 11

Ι. Καθορισμός Προβλήματος. Αυτό είναι το πιο δύσκολο και ταυτόχρονα το πιο σημαντικό μέρος στη διαδικασία της πρόβλεψης, διότι θα πρέπει να είναι κατανοητά και σαφή ορισμένα θέματα, όπως το πώς θα χρησιμοποιηθούν οι προβλέψεις και από ποιους. II. Συγκέντρωση Πληροφοριών. Σε αυτό το βήμα απαιτούνται δύο είδη πληροφοριών. Το πρώτο είναι τα αριθμητικά δεδομένα και το δεύτερο η κρίση, η πείρα και η εμπειρία του προσωπικού που ασχολούνταν με αυτή τη συλλογή για αυτό το χρονικό διάστημα. Επίσης, οι παραπάνω πληροφορίες πρέπει να συλλεχθούν πριν ξεκινήσει η διαδικασία της πρόβλεψης. IΙΙ. Προκαταρτική Ανάλυση. Στο βήμα αυτό μας απασχολεί το είδος της πληροφορίας που αποκομίζουμε από τα ακατέργαστα ιστορικά δεδομένα. Αρχικά, αναπαριστούμε γραφικά τα δεδομένα και στη συνέχεια, υπολογίζουμε κάποιους βασικούς στατιστικούς δείκτες, όπως η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση και η γραμμική τάση. Σκοπός μας είναι να αποκτήσουμε μία αίσθηση των δεδομένων, δίνοντας απαντήσεις σε ερωτήματα, όπως αν υπάρχουν λανθασμένα πρότυπα, αν υπάρχει σημαντική τάση ή εποχικότητα και τέλος αν υπάρχουν ασυνήθιστες τιμές. Η ανάλυση αυτή μας οδηγεί στην οικογένεια μοντέλων πρόβλεψης που λογικά αναμένεται να δώσει ικανοποιητικές προβλέψεις. ΙV. Επιλογή και Προσαρμογή Μοντέλου. Εδώ γίνεται η επιλογή και καθορισμός των παραμέτρων διάφορων ποσοτικών μοντέλων πρόβλεψης που έχουν επιλεγεί στο προηγούμενο βήμα. V. Χρήση και αποτίμηση του μοντέλου πρόβλεψης. Στο τελευταίο βήμα, αφού ένα μοντέλο έχει επιλεγεί υποκειμενικά και οι παράμετροι του έχουν προηγουμένως, καθοριστεί, χρησιμοποιείται ώστε να παραχθούν προβλέψεις. Κατά την εξέλιξη της διαδικασίας, γίνεται αποτίμηση των πλεονεκτημάτων και μειονεκτημάτων του μοντέλου και εφόσον κριθεί απαραίτητο, επαναλαμβάνονται κάποια βήματα στη διαδικασία. Έτσι, η παρούσα διπλωματική εργασία αποτελείται από πέντε κεφάλαια: Στο πρώτο κεφάλαιο δίνεται η έννοια της χρονοσειράς με μερικά παραδείγματα. Αναφέρονται τα βασικά χαρακτηριστικά της χρονοσειράς, όπως η τάση, η κυκλικότητα, η εποχικότητα και οι ακραίες τιμές και ακόμα, θα γίνει μία ανάλυση για τα στατιστικά μεγέθη της χρονοσειράς. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα παρουσιαστούν κάποιες στάσιμες χρονοσειρές, όπως ο λευκός θόρυβος, οι αυτοπαλινδρομικές χρονοσειρές AR, οι χρονοσειρές κινητού μέσου MA και τα αυτοπαλίνδρομα μοντέλα κινητού μέσου ARMA. Επιπροσθέτως, θα παρουσιαστούν και οι μη στάσιμες χρονοσειρές του τυχαίου περιπάτου και του μικτού ολοκληρωμένου μοντέλου ARIMA. Στο τρίτο κεφάλαιο της παρούσας διπλωματικής αναφέρονται τα αυτοπαλινδρομικά μοντέλα δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας ARCH και GARCH, τα οποία είναι δύο μοντέλα που κατασκευάστηκαν για την αντιμετώπιση της μεταβολής του μεγέθους της διακύμανσης μέσα στο χρόνο. Στη συνέχεια, στο τέταρτο κεφάλαιο περιγράφονται μέσω της αριθμητικής ανάλυσης οι έννοιες της παρεμβολής και παρεκβολής, οι οποίες είναι διαδικασίες προσέγγισης μιας συνάρτησης μέσω ενός πολυωνύμου. Και τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο αναφέρεται η σπουδαιότητα των αριθμοδεικτών και γίνεται πρακτική εφαρμογή σε πραγματικά δεδομένα που προκύπτουν από το Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν 12

της Ελλάδος, ώστε να βγάλουμε χρήσιμα συμπεράσματα για το σφάλμα της πρόβλεψης. Όλα αυτά θα αναλυθούν στη συνέχεια της εργασίας. 13

14

Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 1: Ε Ι Σ Α Γ ΩΓ Η Σ Τ Ι Σ Χ Ρ ΟΝΟΣ Ε Ι Ρ Ε Σ 1.1 Χρονοσειρές Το σύνολο των δεδομένων, τα οποία συλλέγονται διαχρονικά και εκφράζουν την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής κατά τη διάρκεια ίσων διαδοχικών χρονικών περιόδων ονομάζεται χρονοσειρά ( ή χρονολογική σειρά, time series). Ειδικότερα, η χρονοσειρά αποτελείται από ένα σύνολο παρατηρήσεων, οι τιμές της οποίας λαμβάνονται σε ίσες χρονικές στιγμές ή περιόδους, π.χ. έτος, τρίμηνο, μήνας κ.ά.[13]. Ουσιαστικά, πρόκειται για μια στοχαστική διαδικασία, αφού οι τιμές του μεγέθους επηρεάζονται από τυχαίους παράγοντες, ενώ η τιμή κάθε χρονικής στιγμής συνιστά και μια ξεχωριστή τυχαία μεταβλητή. Οι χρονοσειρές απαιτούν μόνο τις παρελθοντικές τιμές της μεταβλητής των διαδοχικών καταστάσεων στο χρόνο. Έτσι, μπορούν να αναλυθούν ώστε να εξάγουμε συμπεράσματα για την συμπεριφορά της μεταβλητής. Με βάση την πληροφορία από το παρελθόν, μας επιτρέπεται να προβλέψουμε τις τιμές της στο μέλλον. Μαθηματικά, χρονοσειρά είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων y 1, y 2,, y T όπου ο δείκτης Τ παριστάνει ισαπέχοντα χρονικά σημεία ή διαστήματα. Οι παρατηρήσεις y 1, y 2,, y T είναι συγκεκριμένες τιμές των τυχαίων μεταβλητών Y 1, Y 2,, Y T και είναι μέρος μόνο μιας άπειρης ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών και συμβολίζεται με {Υ Τ} [2]. Οι χρονοσειρές διακρίνονται σε συνεχείς χρονοσειρές και σε διακριτές. Συνεχείς χρονοσειρές είναι αυτές που η τιμή του φαινομένου παρατηρείται συνεχώς. Παράδειγμα συνεχών χρονοσειρών είναι η συνεχόμενη καταγραφή της θερμοκρασίας του αέρα ή η συνεχής παρακολούθηση των σεισμών. Διακριτές χρονοσειρές είναι αυτές όπου η τιμή του φαινομένου καταγράφεται σε ορισμένα χρονικά διαστήματα. Παράδειγμα διακριτών χρονοσειρών είναι η τιμή μιας μετοχής ανά ημέρα ή ο αριθμός των ηλιακών κηλίδων ανά έτος, όπου υπάρχουν τιμές σε συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα. Οι χρονοσειρές βρίσκουν εφαρμογές σε διάφορα πεδία, όπως στα Οικονομικά, την Ιατρική, την Περιβαλλοντολογία κ.ά.[4]. Παραδείγματα χρονοσειρών είναι η ημερήσια τιμή κλεισίματος μιας μετοχής στο Χρηματιστήριο, το ετήσιο ακαθάριστο εθνικό προϊόν μιας χώρας, οι μηνιαίες πωλήσεις ενός προϊόντος, οι ημερήσιες θερμοκρασίες μιας πόλης, η εγκεφαλική λειτουργία ανά δευτερόλεπτο και άλλα πολλά. Στο παράδειγμα που ακολουθεί, παρουσιάζεται μια χρονοσειρά που αναφέρεται στις μέσες τιμές σιταριού σε σχεδόν 50 μέρη σε διάφορες χώρες, για τα έτη 1500 έως 1869. Το γράφημα ελήφθη από το βιβλίο του C.Chatfield [2]. 15

Εικόνα 1.1: Γράφημα χρονοσειράς της τιμής του σιταριού στο Beveridge 1.2 Βασικά χαρακτηριστικά χρονοσειράς Για να γίνει η σωστή μελέτη μιας χρονοσειράς πρέπει κανείς να ξεκινήσει με την επισκόπηση του γραφήματός της στο πεδίο του χρόνου, από το οποίο μπορούν να ανιχνευθούν τα βασικά χαρακτηριστικά της: η τάση, η κυκλικότητα, η εποχικότητα και οι ακραίες τιμές [2], [3]. 1. Η τάση (trend) θα μπορούσε να ορισθεί ως μια μακροπρόθεσμη μεταβολή του μέσου επιπέδου των τιμών μιας χρονοσειράς. Έτσι, η τάση των τιμών μπορεί να είναι ανοδική, πτωτική ή σταθερή σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα [14]. Συχνά, μπορεί να εκτιμηθεί από διάφορες οικογένειες καμπυλών, όπως μια ευθεία γραμμή ή μια εκθετική καμπύλη. Για να είναι ασφαλή τα συμπεράσματα που θα εξαχθούν για το αν μια σειρά παρουσιάζει τάση ή όχι θα πρέπει να έχουμε ένα ικανό αριθμό παρατηρήσεων και να εκτιμηθεί ένα κατάλληλο χρονικό διάστημα. Στο παρακάτω γράφημα παρουσιάζεται η ετήσια παραγωγή των Η.Π.Α. για το μπλε και gorgonzola τυρί, όπου παρατηρείται ο τετραπλασιασμός της παραγωγής από το 1950 έως το 1997. Η γραμμική τάση σ αυτό το γράφημα απεικονίζεται με σταθερή θετική κλίση παρά την μεταβολή της παραγωγής χρόνο με το χρόνο [3]. 16

Εικόνα 1.2: Η ετήσια παραγωγή των Η.Π.Α. για το μπλε και gorgonzola τυρί 2. Η κυκλικότητα (cyclic) αντιπροσωπεύει μια μεταβολή που εμφανίζεται λόγω εξωγενών παραγόντων κατά μεγάλες περιόδους. Οι περίοδοι αυτοί είναι μεγαλύτερες του έτους και συνήθως της τάξεως της πενταετίας και δεκαετίας, χωρίς όμως αυτό να σημαίνει ότι είναι σταθερού μήκους [12]. Στις γραφικές παραστάσεις των χρονοσειρών παρουσιάζεται ως μια κυματοειδής γραμμή που κινείται ανάμεσα στην υψηλότερη και χαμηλότερη στάθμη. Η κυκλικότητα εμφανίζεται κυρίως σε οικονομικές χρονοσειρές, όπως το Ακαθάριστο Εθνικό Προϊόν, λόγω των ανόδων και των υφέσεων που παρουσιάζουν οι οικονομίες. Στη συγκεκριμένη γραφική παράσταση για την παραγωγή του ποτού παρατηρούμε ένα κυκλικό μοτίβο που επαναλαμβάνεται κάθε έτος [3]. Εικόνα 1.3: Κατασκευαστής ποτού στις ΗΠΑ-Μηνιαίες αποστολές προϊόντος. 17

3. Η εποχικότητα (seasonal) μπορεί να εκφραστεί σαν μια περιοδική διακύμανση η οποία έχει σταθερό και μικρότερο ή ίσο μήκος ενός έτους. Η διακύμανση αυτή είναι άμεσα κατανοητή και προβλέψιμη, διότι τα δεδομένα ορισμένων χρονοσειρών επαναλαμβάνονται με τον ίδιο περίπου τρόπο σε σχέση με το χρόνο. Συνίσταται σε χρονοσειρές, όπως η ποσότητα κατανάλωσης του πετρελαίου θέρμανσης, η οποία είναι μεγαλύτερη κατά τους χειμερινούς μήνες κάθε έτους και όπως η μηνιαία κατανάλωση παγωτού η οποία είναι μεγαλύτερη κατά την καλοκαιρινή περίοδο σε σχέση με την χειμερινή [12]. Εφόσον, η εποχική διακύμανση παρουσιάζεται με συστηματικό τρόπο, είναι ένα χαρακτηριστικό εύκολα οπτικά αναγνωρίσιμο που μπορεί να μετρηθεί και να απομονωθεί, ώστε να μην επηρεάζει τα δεδομένα μας. Η νέα χρονοσειρά που προκύπτει ονομάζεται αποεποχικοποιημένη χρονοσειρά. Στο επόμενο σχήμα, όπως λήφθηκε από το βιβλίο των Daniel Pena, George Tiao και Ruey Tsay [4], φαίνονται οι μέσες μηνιαίες τιμές του όζοντος στο κέντρο του Λος Άντζελες από το 1955 μέχρι το 1972. Παρατηρείται ότι, το ατμοσφαιρικό όζον που είναι ένας δείκτης της ατμοσφαιρικής ρύπανσης παρουσιάζει έντονη εποχικότητα, η οποία είναι υψηλή κατά τους καλοκαιρινούς μήνες και χαμηλή τον χειμώνα. Εικόνα 1.4: Μηνιαίες ενδείξεις όζοντος στο Λος Άντζελες 4. Οι ακραίες τιμές (outliers) είναι οι απομονωμένες παρατηρήσεις που εμφανίζονται στο γράφημα κάποιας χρονοσειράς ως απότομες αλλαγές στο πρότυπο συμπεριφοράς της. Οι ακραίες τιμές είναι μη προβλέψιμες και η επίδρασή τους στην χρονοσειρά έχει μικρή χρονική διάρκεια. Η ερμηνεία τέτοιων παρατηρήσεων χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή, διότι απαιτείται θεωρητική γνώση, κριτική ικανότητα και κοινή λογική. Ένα outlier μπορεί να αντιπροσωπεύει μια ασυνήθιστη παρατήρηση που οφείλεται σε κάποιο απρόβλεπτο γεγονός. Για παράδειγμα, μια απεργία μπορεί να προκαλέσει μεγάλη πτώση στην παραγωγή μιας βιοτεχνίας [3]. 18

Εικόνα 1.5: Γράφημα αναγνώσεων ιξώδους χημικής διεργασίας με αισθητήρα δυσλειτουργίας. 1.3 Ανάλυση χρονοσειρών Η ανάλυση χρονοσειρών αποσκοπεί στην ανεύρεση των χαρακτηριστικών εκείνων που συμβάλουν στην κατανόηση της ιστορικής συμπεριφοράς μιας μεταβλητής και επιτρέπουν την πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της. Σε μια συγκεκριμένη χρονοσειρά είναι δυνατόν να μην συνυπάρχουν και οι τέσσερις συνιστώσες, αλλά κάποιες από αυτές. Για την ανάλυση των χρονοσειρών χρησιμοποιούμε τους ακόλουθους συμβολισμούς: Y t = πραγματική τιμή της χρονοσειράς Τ t = Τάση S t = Εποχικότητα C t = Κυκλικότητα E t = Τυχαίο σφάλμα όπου t = 1,2,3,,n. Η εξέταση των στοιχείων αυτών γίνεται με κάποιο μαθηματικό υπόδειγμα, όπως είναι το προσθετικό μοντέλο (addictive model) [2] και το πολλαπλασιαστικό μοντέλο (multiplicative model) και 19

φανερώνει τον τρόπο με τον οποίο οι παρατηρήσεις της χρονοσειράς προσδιορίζονται από τις συνιστώσες της χρονοσειράς. Τα μοντέλα αυτά είναι αντίστοιχα: Y t = T t + S t + C t + E t (1. 1) Y t = T t S t C t E t (1. 2) Το κύριο χαρακτηριστικό του προσθετικού μοντέλου είναι ότι όλες οι συνιστώσες είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και εφαρμόζονται στην ίδια μονάδα μέτρησης με εκείνη των παρατηρήσεων της χρονοσειράς. Αντίθετα, στο πολλαπλασιαστικό μοντέλο, μόνο η τάση εκφράζεται στην ίδια μονάδα με εκείνη της χρονοσειράς Y t, ενώ τα υπόλοιπα στοιχεία S t, C t και T t είναι δείκτες ανεξάρτητοι από μονάδες μέτρησης. Από τα δύο παραπάνω μοντέλα το προσθετικό χρησιμοποιείται λιγότερο στην πράξη, διότι είναι δύσκολο στην ανάλυσή του για υπολογιστικούς κυρίως λόγους. Το γεγονός ότι οι συνιστώσες της χρονοσειράς είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους σημαίνει ότι για παράδειγμα, η τάση δεν επηρεάζει την εποχικότητα στον υπολογισμό των τιμών της χρονοσειράς. Αυτή η παραδοχή μπορεί να είναι σωστή κυρίως σε φυσικά φαινόμενα, όμως σπάνια ισχύει σε επιχειρησιακές και οικονομικές εφαρμογές στις οποίες, η τάση συνήθως επηρεάζει μεταξύ των άλλων και τις εποχικές διακυμάνσεις. 1.4 Στατιστικά μεγέθη χρονοσειράς Όπως ήδη έχει αναφερθεί, μια χρονοσειρά είναι μια στοχαστική διαδικασία, δηλαδή κάθε παρατήρησή της αποτελεί μια τυχαία μεταβλητή. Παρακάτω θα παρουσιαστούν τα κυριότερα στατιστικά μεγέθη μιας χρονοσειράς, όπως η μέση τιμή, η αυτοσυνδιακύμανση και η αυτοσυσχέτιση. Οι συμβολισμοί που θα χρησιμοποιηθούν βασίζονται κυρίως στο βιβλίο του J. Hamilton [1]. 1.4.1 Μέση τιμή Η μέση τιμή ή αναμενόμενη τιμή μιας χρονοσειράς Y δίνεται από την σχέση E( Y ) y f ( y ) dy (1.3) t t t Yt t t Η μέση τιμή t σχετίζεται άμεσα με την έννοια της τάσης της χρονοσειράς, εφόσον εκφράζεται ως συνάρτηση της χρονικής στιγμής t της παρατήρησης Y t. Συγκεκριμένα, αν μια χρονοσειρά παρουσιάζει αυξητική ή πτωτική τάση αντίστοιχα σε ένα χρονικό διάστημα, αυτό θα αποτυπώνεται και στη μέση τιμή ως συνάρτηση του χρόνου. 20

1.4.2 Αυτοσυνδιακύμανση Υποθέτουμε ότι έχουμε δύο τυχαίες μεταβλητές X και W. Η συνδιακύμασνη (covariance) των εν λόγω τυχαίων μεταβλητών δίνεται από την σχέση Cov( X, W) E( X )( W ) (1. 4) Ακόμα, για την χρονοσειρά Y που μελετάμε, ορίζεται η αυτοσυνδιακύμανση (autocovariance) j- οστής τάξης σχέση jt x της τυχαίας μεταβλητής Y t με μια καθυστερημένη εκδοχή της Y t-j σύμφωνα με την jt t t tj tj t t tj tj X fy, Y,..., Y ( yt, yt 1,..., yt j) dyt dyt 1... dy t j, (1. 5) E( Y )( Y )... ( y )( y ) X t t 1 t j όπου με f ( y, y,..., y ) συμβολίζεται η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των Y, Y,..., Y t t 1 t j t t 1 t j Y, Y,..., Y τυχαίων μεταβλητών 1 t t t j. w Στην περίπτωση που j = 0, προκύπτει η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Y t η οποία δίνεται από την σχέση 2 2 0 t E( Yt t ) ( yt t ) fy ( y ) t t dyt. (1. 6) 1.4.3 Αυτοσυσχέτιση Ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης είναι ένας στατιστικός δείκτης ο οποίος χρησιμοποιείται στην ανάλυση χρονοσειρών για τον καθορισμό της τυχαιότητας ή μη της χρονοσειράς. Η αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) j-οστής τάξης ρ jt της τυχαίας μεταβλητής Y t με μια καθυστερημένη εκδοχή της Y t-j ορίζεται ως εξής jt E( Y )( Y ) jt t t tj tj 2 0t EY ( t t) (1. 7) Για j = 0, η τιμή της αυτοσυσχέτισης είναι 1 για κάθε εξεταζόμενη χρονική στιγμή t, αφού 0t 0t 1, για κάθε t (1. 8) 0t 21

Επιπλέον, οι δυνατές τιμές της αυτοσυσχέτισης ρ jt βρίσκονται εντός του διαστήματος [ -1,1]. Η αυτοσυσχέτιση είναι ένα σημαντικό μέγεθος στη μελέτη χρονοσειρών, διότι μας δίνει ένα μέτρο για τον βαθμό της μεταξύ τους σχέσης δύο μεταβλητών. Φτιάχνοντας το γράφημα της αυτοσυσχέτισης συναρτήσει της καθυστέρησης j, το οποίο ονομάζεται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function ACF) μπορεί κανείς να βγάλει συμπεράσματα για τα χαρακτηριστικά της χρονοσειράς. Αν ρ jt 1, τότε οι παρατηρήσεις Y t και Y t-j είναι ισχυρά συσχετισμένες. Ενώ, αν ρ jt 0, τότε προκύπτει ότι οι παρατηρήσεις Y t και Y t-j είναι ασυσχέτιστες. Έτσι, με τη βοήθεια της αυτοσυσχέτισης μπορούν να μελετηθούν ποιοτικά χαρακτηριστικά, όπως η εποχικότητα και η στασιμότητα. Η έννοια της στασιμότητας ορίζεται στην επόμενη ενότητα. 1.5 Στασιμότητα μη στασιμότητα Μια χρονοσειρά είναι στάσιμη αν θεωρήσουμε ότι οι στατιστικές της ιδιότητες παραμένουν σταθερές στο χρόνο, δηλαδή όταν δεν υπάρχει συστηματική αλλαγή του μέσου όρου και της διασποράς της στο χρόνο [14]. Αυτή είναι μια υπόθεση που δύσκολα μπορεί να υιοθετηθεί σε πολλά πραγματικά προβλήματα, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως υπόθεση εργασίας για την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων. Μια χρονοσειρά λέγεται αυστηρώς στάσιμη (strictly stationary) αν για οποιεσδήποτε χρονικές τιμές μετατοπίσεων j 1, j 2,, j n η από κοινού κατανομή των τυχαίων μεταβλητών ( Y t, Y t+j1, Y t+j2,, Y t+jn) εξαρτάται μόνο από τις χρονικές μετατοπίσεις και όχι από τη χρονική στιγμή t. Υπάρχει και μια ασθενέστερη εκδοχή της στασιμότητας. Μια χρονοσειρά Υ ονομάζεται ασθενώς στάσιμη (weakly stationary), εάν η μέση τιμή μ t και η αυτοσυνδιακύμανση j-οστής τάξης γ jt των τυχαίων παρατηρήσεων Υ t και Y t-j δεν εξαρτώνται από τη χρονική στιγμή t. Δηλαδή, μ t = E(Y t) = μ, για κάθε t (1. 9) γ jt = E(Y t μ)(υ t-j μ) = γ j, για κάθε t και j. (1. 10) Από τον παραπάνω ορισμό είναι προφανές ότι για να είναι μια χρονοσειρά ασθενώς στάσιμη δεν μπορεί να έχει αυξητική ή πτωτική τάση, εφόσον η μέση τιμή μ t των παρατηρήσεών της πρέπει να είναι σταθερή. Ακόμη, η αυτοσυνδιακύμανση γ jt πρέπει να εξαρτάται μόνο από το χρονικό διάστημα μεταξύ των δύο παρατηρήσεων Y t και Y t-j και όχι από την ίδια τη χρονική στιγμή t. Χρησιμοποιώντας το τελευταίο συμπέρασμα, μπορεί κανείς να θέσει στον τύπο (1. 10) όπου t το (t +j), παίρνοντας E( Y )( Y ) j t t j 22

j j, για κάθε j (1. 11) Το τελευταίο αποτέλεσμα σημαίνει ότι σε μια ασθενώς χρονοσειρά η αυτοσυνδιακύμανση γ j είναι συμμετρική ως προς την τιμή της χρονικής μετατόπισης j, δηλαδή η αυτοσυνδιακύμανση για μια θετική χρονική μετατόπιση είναι ταυτόσημη με την αυτοσυνδιακύμανση για μια ίδια αρνητική χρονική μετατόπιση [3]. Επίσης, θέτοντας στον τύπο (1. 10) j = 0 προκύπτει ότι και η διασπορά των παρατηρήσεων Y t μιας ασθενώς στάσιμης χρονοσειράς είναι σταθερή ως προς το χρόνο t γ 0t = E(Y t - μ) 2 = γ 0, για κάθε t. (1. 12) Ακόμη, όσον αφορά την αυτοσυσχέτιση j-οστής τάξης ρ jt των τυχαίων μεταβλητών Υ t και Y t-j, ούτε αυτή εξαρτάται από τη χρονική στιγμή t παρά μόνο από το χρονικό διάστημα j μεταξύ των δύο παρατηρήσεων, αφού j j 0. (1.13) Όπως έχει αναφερθεί η αυτοσυσχέτιση μπορεί να βγάλει συμπεράσματα για τα χαρακτηριστικά μιας χρονοσειράς. Έτσι, χρησιμοποιώντας την διαγραμματική απεικόνιση της αυτοσυσχέτισης μπορεί να ανιχνευθεί αν μια χρονοσειρά είναι στάσιμη ή όχι. Συγκεκριμένα, η αυτοσυσχέτιση μειώνεται κατ απόλυτη τιμή προσεγγίζοντας το μηδέν, καθώς αυξάνεται η τιμή της χρονικής μετατόπισης j για μια ασθενώς στάσιμη χρονοσειρά. Ιδιαίτερα αξίζει να επισημανθεί ότι αν μια χρονοσειρά είναι αυστηρώς στάσιμη με πεπερασμένες ροπές μέχρι και δεύτερης τάξης (μέση τιμή, j-οστή αυτοσυνδιακύμανση) τότε θα είναι και ασθενώς στάσιμη [5]. Το αντίστροφο δεν ισχύει, διότι μπορεί να υπάρξει περίπτωση όπου για μια χρονοσειρά η μέση τιμή και η j-οστή αυτοσυνδιακύμανση μπορεί να είναι ανεξάρτητες της χρονικής στιγμής t, αλλά οι ροπές μεγαλύτερης της δεύτερης τάξης να μην είναι. Σε τέτοιες περιπτώσεις η χρονοσειρά είναι ασθενώς στάσιμη, αλλά όχι και αυστηρώς στάσιμη. Η ύπαρξη μη στασιμότητας είναι ένα από τα βασικά προβλήματα στην ανάλυση χρονοσειρών και το πρώτο που θα πρέπει να αντιμετωπιστεί. Οι περισσότερες χρονοσειρές είναι μη στάσιμες αφού περιέχουν τάση, εποχικότητα και κυκλικές κυμάνσεις. Η ανάλυση αυτών των μη στάσιμων χρονοσειρών είναι πολύ δύσκολη αλλά μπορούν με κατάλληλες τεχνικές να μετατραπούν σε στάσιμες. Μια τέτοια τεχνική είναι η εφαρμογή ενός κατάλληλου διαφορικού τελεστή Δ, όσες φορές χρειάζεται. Συγκεκριμένα, αν η Υ είναι μια μη στάσιμη χρονοσειρά, η νέα χρονοσειρά Χ x y y y (1.14) t t t1 t που προκύπτει μετά από εφαρμογή του διαφορικού τελεστή Δ μια φορά θα είναι στάσιμη [3]. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να μετατρέψουμε μια χρονοσειρά σε στάσιμη, προκειμένου να εφαρμοστούν τεχνικές ανάλυσης και πρόβλεψης. 23

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Ο κυριότερος στόχος στην ανάλυση χρονοσειρών είναι η επιλογή και προσαρμογή του κατάλληλου μοντέλου που να προσεγγίζει ικανοποιητικά τα δεδομένα και να περιγράφει το μηχανισμό της χρονοσειράς από την οποία προέκυψε η συγκεκριμένη σειρά, καθώς και η χρησιμοποίηση του μοντέλου για πρόβλεψη. Η μεγαλύτερη πρόκληση στην ανάλυση χρονοσειρών είναι η πρόβλεψη, δηλαδή πως η ακολουθία των παρατηρήσεων θα συνεχιστεί στο μέλλον. Το ζητούμενο είναι να ακολουθεί μια διαδικασία που θα εξασφαλίσει ότι θα παραχθούν όσο το δυνατόν πιο ακριβείς προβλέψεις, αξιοποιώντας στο έπακρο όλη την διαθέσιμη ιστορική πληροφορία [13]. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται και αναλύονται τα στοχαστικά μοντέλα του λευκού θορύβου, της αυτοπαλίνρομης διαδικασίας (AR), του κινητού μέσου (MA) και του αυτοπαλίνδρομου κινητού μέσου (ARMA) τα οποία αναφέρονται όλα σε στάσιμες διαδικασίες. Αυτό σημαίνει ότι ο μέσος όρος, η διακύμανση και οι αυτοσυνδιακυμάνσεις δεν εξαρτώνται από το χρόνο t. Υπάρχουν, όμως σειρές που δεν μπορούν να προσαρμοστούν σε κανένα από αυτά τα μοντέλα. Τέλος, θα αναλυθούν οι μηστάσιμες χρονοσειρές του τυχαίου περιπάτου και των ολοκληρωμένων αυτοπαλίνδρομων μοντέλων κινητού μέσου ARIMA. 2.1 Λευκός θόρυβος Η πιο απλή στάσιμη χρονοσειρά που θα εξετάσουμε ονομάζεται λευκός θόρυβος (white noise). Συνιστά δομική μονάδα για όλες τις υπόλοιπες χρονοσειρές που θα μελετηθούν στη συνέχεια [14] και ορίζεται από την σχέση Y t t Οι παρατηρήσεις μιας χρονοσειράς λευκού θορύβου ε t, έχουν μέση τιμή ίση με μηδέν και σταθερή διακύμανση όλες τις χρονικές στιγμές. Ακόμη, όλες οι παρατηρήσεις είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους, δηλαδή η αυτοσυνδιακύμανση της j-οστής τάξης γ jt είναι μηδενική για κάθε j 0. Οι τρεις βασικές συνθήκες είναι οι εξής: E( ) 0, για κάθε t (2.1) t t 2 2 2 0 t E( Yt t ) E( t ), για κάθε t (2.2) E( Y )( Y ) E( ) 0, για κάθε t, j 0. (2.3) jt t t t j t j t t j 24

Αν αντικατασταθεί η σχέση (2.3) με την ισχυρότερη υπόθεση της ανεξαρτησίας των παρατηρήσεων ε t, τότε προκύπτει η ανεξάρτητη (independent) χρονοσειρά λευκού θορύβου [1], [6]. Αν επιπλέον για τα στοιχεία της χρονοσειράς λευκού θορύβου ισχύει η συνθήκη t ~ N 2 (0, ) (2.4) δηλαδή ακολουθούν κανονική Γκαουσιανή κατανομή, τότε η χρονοσειρά καλείται Γκαουσιανός λευκός θόρυβος (Gaussian white noise). 2.2 Τυχαίος περίπατος Ο τυχαίος περίπατος (random walk) είναι μια μη-στάσιμη χρονοσειρά, όπου κάθε στοιχείο της y t προκύπτει όταν στο προηγούμενο στοιχείο της y t-1 προστεθεί μια τυχαία μεταβλητή ε t. Δηλαδή η χρονοσειρά είναι τυχαίος περίπατος [6] αν t t1 t όπου {ε t} είναι χρονοσειρά λευκού θορύβου. t y y y0 (2.5) Αν υποθέσουμε ότι η τιμή y 0 είναι μηδέν, τότε η χρονοσειρά του λευκού θορύβου είναι ανεξάρτητη από το y 0. Έτσι, είναι φανερό ότι η μέση τιμή του τυχαίου περιπάτου είναι ( ) 0 και η 2 2 διακύμανσή του είναι 0 t ( yt ) t. Προφανώς, ο τυχαίος περίπατος όπως προαναφέρθηκε είναι μια μη-στάσιμη χρονοσειρά, αφού η διακύμανση της μεγαλώνει με το χρόνο. s1 t y t 2.3 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Η απλή γραμμική παλινδρόμηση (simple linear regression) ορίζεται ως η συναρτησιακή σχέση ανάμεσα σε μια εξαρτημένη μεταβλητή Y (τη μεταβλητή πρόβλεψης) και σε μια ανεξάρτητη μεταβλητή X (τον χρόνο στην περίπτωση χρονοσειράς) [3]. Επιπλέον, υποτίθεται ότι η σχέση των δύο μεταβλητών είναι γραμμική, παρότι σε πολλές περιπτώσεις η υπόθεση αυτή δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Όμως και πάλι μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος της απλής γραμμικής παλινδρόμησης, αφού πρώτα γίνει μετασχηματισμός της σχέσης των δύο μεταβλητών σε γραμμική. Βασικός ρόλος της παλινδρόμησης είναι η ανάλυση και η κατανόηση των σχέσεων μεταξύ 25

ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών. Μας ενδιαφέρει δηλαδή ο έλεγχος του βαθμού συσχέτισής τους. Η πρόβλεψη με την μέθοδο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης δίνει μια καλή εικόνα της μέσης και μακροπρόθεσμης συμπεριφοράς του υπό μελέτη μεγέθους. Το μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης μαθηματικά ορίζεται από την σχέση: 0 1, όπου β 0, β 1 οι άγνωστοι συντελεστές του μοντέλου και ε το τυχαίο σφάλμα. Οι τιμές των συντελεστών β 0 και β 1 εκτιμώνται με τα b 0 και b 1 αντίστοιχα και υπολογίζονται με βάση την αρχή των ελαχίστων τετραγώνων. Επιλέγονται δηλαδή οι συντελεστές που ελαχιστοποιούν το άθροισμα των τετραγώνων των πραγματικών τιμών από τις προβλεπόμενες σε κάθε χρονική περίοδο. Οι συντελεστές b 0 και b 1 υπολογίζονται από τις σχέσεις: b0 Y b1x (2.6) b 1 n X i X Yi Y i1 n i1 X i X 2 (2.7) Συγκεκριμένα, με b 0 συμβολίζεται η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα των εξαρτημένων μεταβλητών και με b 1 η κλίση της ευθείας. Το πραγματικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης δοθέντος δείγματος n, δίνεται από την μαθηματική σχέση: Y b b X e, i=1,,n (2.8) i 0 1 i i όπου e i το τυχαίο σφάλμα της παλινδρόμησης. Το τυχαίο σφάλμα χρειάζεται διότι είναι βέβαιο ότι θα υπάρξει διακύμανση στην μεταβλητή Υ λόγω τυχαίων παραγόντων που δεν μπορούν να ερμηνευθούν ή να προβλεφθούν. 2.4 Αυτοπαλινδρούμενη Χρονοσειρά (AR) Μια χρονοσειρά λέγεται αυτοπαλινδρούμενη χρονοσειρά (autoregressive time series) τάξης p (AR(p)) όταν κάθε παρατήρηση y t εκφράζεται ως ένα σταθμισμένο άθροισμα μιας σταθεράς δ, μιας χρονοσειράς λευκού θορύβου και p καθυστερημένων εκδοχών της χρονοσειράς y και ορίζεται από την σχέση [3]: yt 1yt 1... p yt p t (2.9) όπου {ε t} είναι η χρονοσειρά του λευκού θορύβου, η παράμετρος δ σχετίζεται με τη μέση τιμή της χρονοσειράς και ( φ 1, φ 2,,φ p ) είναι αυτοπαλινδρούμενοι παράμετροι. Ο όρος αυτοπαλίνδρομο έχει 26

να κάνει στο ότι η σχέση αυτή είναι ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης, όπου η εξαρτημένη μεταβλητή y t παλινδρομείτε στις προηγούμενες τιμές της ίδιας της μεταβλητής y t. Το p υποδηλώνει την τάξη του αυτοπαλίνδρομου μοντέλου και αναφέρεται στο μήκος της υστερήσεως. Με χρήση του τελεστή υστέρησης Β το υπόδειγμα μπορεί να γραφεί: ή p (1 B... B ) y 1 p t t ( ) y t t (2.10) p όπου ( ) 1 1... p είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της AR(p). Η χρονοσειρά AR(p) είναι στάσιμη, όταν οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι εκτός του μοναδιαίου κύκλου. Εάν η τάξη του αυτοπαλίνδρομου μοντέλου είναι p=1, τότε συμβολίζεται με AR(1) (ή ARIMA(1,0,0)) και δίνεται από την σχέση: y y. (2.11) t 1 t1 t Ο συντελεστής φ 1 παίρνει τιμές ανάμεσα στο -1 και1. Για φ 1=0 το μοντέλο (2.9) είναι ισοδύναμο με ένα μοντέλο λευκού θορύβου, ενώ για φ 1=1 το μοντέλο είναι ισοδύναμο με ένα μοντέλο τυχαίου περιπάτου. Γενικά, χρησιμοποιούμε ένα AR(p) μοντέλο όταν οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης φθίνουν εκθετικά στο μηδέν και ταυτόχρονα υπάρχουν p στατιστικά σημαντικοί συντελεστές μερικής αυτοσυσχέτισης. 2.5 Χρονοσειρές Κινητού Μέσου (ΜΑ) Οι χρονοσειρές κινητού μέσου είναι χρήσιμες για περιγραφή φαινομένων στα οποία τα γεγονότα παράγουν ένα άμεσο αποτέλεσμα, η επίδραση του οποίου όμως δεν σταματά εκεί αλλά διαρκεί, αν και το ίδιο το γεγονός σταματάει να υφίσταται. Οι διαδικασίες κινητού μέσου έχουν χρησιμοποιηθεί σε πολλούς τομείς και ιδιαίτερα στην οικονομετρία. Για παράδειγμα, η οικονομία επηρεάζεται από μια απεργία όχι μόνο την στιγμή που πραγματοποιείται, αλλά και τους επόμενους μήνες αν και έχει λήξει [2]. Μια χρονοσειρά Υ λέγεται χρονοσειρά κινητού μέσου τάξης q (MA(q)), όταν κάθε παρατήρηση y t εκφράζεται ως ένα σταθμισμένο άθροισμα μιας σταθεράς μ, μιας χρονοσειράς λευκού θορύβου και q καθυστερημένων εκδοχών της χρονοσειράς λευκού θορύβου και ορίζεται από την σχέση [3]: yt t 1 t1... qtq (2.12) όπου {ε t} είναι η χρονοσειρά του λευκού θορύβου, q η υψηλότερη υστέρηση των διαταραχών που περιλαμβάνεται σε μία τέτοια διαδικασία και οι παράμετροι μ και (θ 1, θ 2,,θ q) μπορούν να είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί. 27

Με χρήση του τελεστή υστέρησης Β το υπόδειγμα μπορεί να γραφεί ως: y (1... B ) q t 1 q t ( ) t (2.13) q όπου ( ) 1 1... q είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της ΜΑ(q). H MA(q) είναι μια στάσιμη χρονοσειρά αφού δίνεται ως πεπερασμένο άθροισμα όρων λευκού θορύβου. Μια ΜΑ διαδικασία τάξης q είναι αντιστρέψιμη, όταν οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου Θ(Β) βρίσκονται εκτός του μοναδιαίου κύκλου. Με άλλα λόγια, η ΜΑ διαδικασία είναι αντιστρέψιμη αν μπορεί να διατυπωθεί ως μια αυτοπαλίνδρομη διαδικασία με άπειρους όρους. Εάν η τάξη του μοντέλου κινητού μέσου όρου είναι q=1, τότε συμβολίζεται με ΜΑ(1) (ή ARIMA(0,0,1)) και δίνεται από την σχέση: y (2.14) t t 1 t 1 Η παρατήρηση y t εξαρτάται από τον όρο του σφάλματος ε t και το προηγούμενο σφάλμα ε t-1, ενώ ο συντελεστής θ 1 παίρνει τιμές από -1 μέχρι 1. Γενικά χρησιμοποιούμε ένα ΜΑ(q) μοντέλο όταν οι συντελεστές μερικής αυτοσυσχέτισης φθίνουν εκθετικά στο μηδέν και συγχρόνως υπάρχουν q στατιστικά σημαντικοί συντελεστές αυτοσυσχέτισης. 2.6 Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα κινητού μέσου όρου ARMA Κάποιες στάσιμες χρονοσειρές δεν μπορούν να μοντελοποιηθούν αποκλειστικά ως AR ή MA χρονοσειρές, αφού μπορεί να παρουσιάζουν ιδιότητες και από τις δύο κατηγορίες. Έτσι ένα πιο γενικό μοντέλο είναι ο συνδυασμός ενός AR(p) μοντέλου και ενός MA(q) μοντέλου, το οποίο ονομάζεται αυτοπαλίνδρομο μοντέλο κινητού μέσου όρου τάξης (p, q). Κάθε παρατήρηση y t μιας ARMA(p,q) χρονοσειράς Υ εκφράζεται ως εξής [2], [3]: y y... y... (2.15) t 1 t1 p t p t 1 t1 q tq Οι παράμετροι φ, θ υπόκεινται στους περιορισμούς: -1<φ i<1, -1<θ i<1 Με την χρήση του τελεστή ολίσθησης Β το μοντέλο εκφράζεται ως εξής: (1... ) y (1... ) 2 p 2 q 1 2 p t 1 2 q t ή ( ) y ( ) (2.16) t t 28

Η στασιμότητα της χρονοσειράς ARMA ορίζεται από το AR μέρος, δηλαδή είναι στάσιμη αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο Φ(Β) έχει ρίζες εκτός του μοναδιαίου κύκλου. Αντίστοιχα η αντιστρεψιμότητα της χρονοσειράς ARMA ορίζεται από το MA μέρος, δηλαδή είναι αντιστρέψιμη αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο Θ(Β) έχει ρίζες εκτός του μοναδιαίου κύκλου. Είναι προφανές ότι η καθαρά αυτοπαλίνδρομη μορφή ή μια καθαρή μορφή κινητού μέσου μπορούν να θεωρηθούν ως ειδικές περιπτώσεις μιας ARMA διαδικασίας. Δηλαδή, AR( p) ARMA( p,0) (2.17) και MA( q) ARMA(0, q) (2.18) Ένα μοντέλο ARMA(1,1) (ή ARIMA(1,0,1)) γράφεται ως εξής: y y. (2.19) t 1 t1 t 1 t1 2.7 Μικτό ολοκληρωμένο μοντέλο ARIMA Οι περισσότερες χρονοσειρές δεν έχουν χαρακτηριστικά στάσιμων διαδικασιών. Οι χρονοσειρές είναι χρήσιμο να είναι στάσιμες διότι έτσι αποφεύγονται διάφορα προβλήματα. Όταν μια χρονοσειρά μετατρέπεται σε στάσιμη, παίρνοντας τις πρώτες διαφορές η σειρά ονομάζεται ολοκληρωμένη πρώτης τάξης και συμβολίζεται με I(1). Εάν η χρονοσειρά μετατρέπεται σε στάσιμη παίρνοντας τις δεύτερες διαφορές, είναι ολοκληρωμένη δεύτερης τάξης και συμβολίζεται με I(2). Γενικά, εάν d είναι ο αριθμός των διαφορών που μετατρέπει μια σειρά σε στάσιμη, η σειρά ονομάζεται ολοκληρωμένη d τάξεως και συμβολίζεται με I(d). Χρησιμοποιώντας τον τελεστή υστέρησης Β, οι πρώτες διαφορές ορίζονται ως y y 1 (1 B) y y. (2.20) t t t t Τα ARMA μοντέλα μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο για στάσιμες χρονοσειρές, αλλά μπορούν να επεκταθούν και σε μη στάσιμες χρονοσειρές με τη χρήση της μεθόδου της διαφόρισης. Τότε ονομάζονται ολοκληρωμένα αυτοπαλίνδρομα μοντέλα κινητού μέσου τάξεως (p, d, q) (Autoregressive Integrated Moving Average) και συμβολίζονται με ARIMA(p, d, q) [7]. Επομένως, η ARIMA(p, d, q) διαδικασία, είναι μια διαδικασία η οποία διαφορίζεται d φορές και παράγει ARMA(p, q) διαδικασία. Τα ARIMA μοντέλα είναι στοχαστικά μαθηματικά μοντέλα με τα οποία περιγράφουμε την εξέλιξη κάποιου φυσικού μεγέθους. Η έκφραση του ολοκληρωμένου μοντέλου κινητού μέσου ARIMA(p, d, q) μπορεί να γραφεί ως εξής [3]: 29

d ( )(1 ) y ( ) (2.21) t Για το μοντέλο ARIMA(p, d, q) έχουμε ότι p είναι η τάξη του αυτοπαλίνδρομου μοντέλο, d η τάξη της διαφόρισης για την επίτευξη της στασιμότητας και q η τάξη του κινητού μέσου όρου μοντέλου [8]. Το πολυώνυμο ( )(1 ) d έχει μια ρίζα ίση με την μονάδα, τάξης d, και όλες τις άλλες έξω από τον μοναδιαίο κύκλο. Το μοντέλο λευκού θορύβου ταξινομείται σαν ARIMA(0,0,0), ενώ το μοντέλο τυχαίου περιπάτου σαν ARIMA(0,1,0) [7]. t Μέθοδος Box-Jenkins Τα μοντέλα ARIMA έχουν μελετηθεί εκτεταμένα από τους Box και Jenkins, σε βαθμό που τα ονόματά τους να είναι σχεδόν συνώνυμα με τις ARIMA διαδικασίες και τις εφαρμογές τους στην ανάλυση και την πρόβλεψη χρονοσειρών. Η προσέγγιση των Box-Jenkins στην ανάλυση χρονοσειρών είναι μια μέθοδος εύρεσης ενός στατιστικού υποδείγματος ARIMA που να παριστάνει ικανοποιητικά τη στοχαστική διαδικασία από την οποία προήλθαν τα δεδομένα [2], [3]. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν η χρονοσειρά δεν είναι στάσιμη και περιλαμβάνει τα εξής τέσσερα στάδια: ΤΑΥΤΟΠΟΙΗΣΗ. Αυτό το στάδιο περιλαμβάνει τον καθορισμό των τιμών p, d και q. Αρχικά, καθορίζεται ο αριθμός d των διαφορών που χρησιμοποιούμε για να μετατραπεί μια χρονοσειρά σε στάσιμη, εφόσον δεν είναι. Έπειτα, καθορίζεται η τάξη p της αυτοπαλίνδρομης διαδικασίας και η τάξη q της διαδικασίας κινητού μέσου. ΕΚΤΙΜΗΣΗ. Το δεύτερο στάδιο της ανάλυσης στη μεθοδολογία Box-Jenkins είναι η εκτίμηση των συντελεστών του υποδείγματος. Δηλαδή, εξετάζουμε την εκτίμηση των p παραμέτρων της αυτοπαλίνδρομης διαδικασίας και των q παραμέτρων της διαδικασίας κινητού μέσου. ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Σ αυτό το στάδιο θα πρέπει να ελέγξουμε αν το συγκεκριμένο υπόδειγμα είναι ικανοποιητικό με την έννοια του κατά πόσο καλά προσαρμόζεται στα δεδομένα μας. Αν η διαδικασία που προέρχονται τα δεδομένα μας είναι ικανοποιητική, τότε δεν πρέπει να υπάρχει αυτοσυσχέτιση μεταξύ των καταλοίπων. Αυτός ο έλεγχος για κατάλοιπα γίνεται με τη στατιστική Q των Box-Pierce. ΠΡΟΒΛΕΨΗ. Στο τελευταίο στάδιο γίνεται ο έλεγχος με μια διαδικασία που ονομάζεται υπερπροσαρμογή. Με βάση αυτή τη διαδικασία ο έλεγχος της καταλληλότητας του εκτιμώμενου υποδείγματος γίνεται συγκρίνοντάς το με ένα άλλο μεγαλύτερης τάξης. Δηλαδή, το εκτιμώμενο υπόδειγμα ARMA(p, q), θα συγκριθεί με τα υποδείγματα ARIMA(p+1, q) και ARIMA(p, q+1) της αμέσως επόμενης τάξης. Αν τελικά, το εκτιμώμενο υπόδειγμα είναι το καταλληλότερο για τα δεδομένα μας, τότε θα πρέπει οι επιπλέον συντελεστές στα μεγαλύτερα υποδείγματα να μην είναι στατιστικά διαφορετικοί από το μηδέν. 30

Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 3: Α Υ Τ ΟΠΑ Λ Ι ΝΔ Ρ ΟΜΙ Κ Α ΜΟΝΤ Ε Λ Α Δ Ε Σ ΜΕ Υ ΜΕ ΝΗΣ Ε Τ Ε Ρ ΟΣ Κ Ε Δ Α Σ Τ Ι Κ ΟΤ ΗΤ Α Σ Στον παρών κεφάλαιο θα γίνει αναφορά σε δύο μοντέλα τα οποία κατασκευάστηκαν για να αντιμετωπίζουν την μεταβολή του μεγέθους της διακύμανσης μέσα στο χρόνο και έχουν γίνει ευρέως διαδεδομένα για την επεξεργασία και την ανάλυση ετεροσκεδαστικών χρονοσειρών. Το φαινόμενο της ετεροσκεδαστικότητας εμφανίζεται όταν οι τιμές των χρονοσειρών έχουν διαφορετική διακύμανση[8]. Στις χρηματοοικονομικές χρονοσειρές παρατηρήθηκε ότι οι αποκλίσεις των παρατηρήσεων εμφανίζονται ανά τακτά χρονικά διαστήματα, περιόδους όπου η μεταβλητότητα είναι μεγαλύτερη συγκριτικά με άλλες περιόδους (volatility clustering). Επιπλέον, οι χρηματοοικονομικές χρονοσειρές χαρακτηρίζονται από έντονη ασυμμετρία και κύρτωση. Αυτά τα χαρακτηριστικά απεικονίσθηκαν καλύτερα χρησιμοποιώντας τα υποδείγματα αυτοπαλινδρονικής δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας (ARCH/GARCH). 3.1 Μοντέλα Πρόβλεψης ARCH Στο παρελθόν είχαν γίνει πολλές προσπάθειες για την προσέγγιση της μέσης τιμής της απόδοσης, με σκοπό να προβλεφθούν οι μελλοντικές αποδόσεις. Καμία μέθοδος όμως δεν ήταν διαθέσιμη για την πρόβλεψη της διακύμανσης μέχρι την παρουσίαση των μοντέλων ARCH [10]. Τα μοντέλα ARCH λαμβάνουν υπόψη τους μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων, χρησιμοποιώντας όμως σταθμίσεις, που δίνουν μεγαλύτερη έμφαση στις πρόσφατες παρατηρήσεις και λιγότερη στις παλαιότερες. Επομένως, τα γεγονότα που συνέβησαν στο παρελθόν, έχουν μια στάθμιση, έστω και μικρή, με συνέπεια να επηρεάζουν τη μελλοντική μεταβλητότητα. Η τεράστια καινοτομία αυτών των μοντέλων είναι ότι οι σταθμίσεις δεν είναι δεδομένες, αλλά υπολογίζονται με βάση τα ιστορικά στοιχεία της κάθε χρονοσειράς, ώστε να ανταποκρίνονται καλύτερα στις ιδιαιτερότητες των παρατηρήσεων που εξετάζουμε κάθε φορά. Από την στιγμή που οι σταθμίσεις αυτές υπολογιστούν, τα μοντέλα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να προβλέψουν την μεταβλητότητα σε οποιαδήποτε μελλοντική χρονική στιγμή. Τα μοντέλα ARCH δεν χρησιμοποιούν τις δειγματικές τυπικές αποκλίσεις, αλλά σχηματίζουν την υπό συνθήκη διακύμανση, σ t, των αποδόσεων μέσω εκτίμησης μέγιστης πιθανοφάνειας. Επιπλέον, από τον τρόπο κατασκευής τους η διακύμανση σ t είναι γνωστή κατά τη χρονική περίοδο t -1. Έτσι, η πρόβλεψη μιας περιόδου μπροστά είναι άμεσα διαθέσιμη, το οποίο είναι μεγάλο πλεονέκτημα των μοντέλων αυτών. Ένα άλλο βασικό πλεονέκτημα των μοντέλων ARCH είναι ότι είναι σε θέση να αντιμετωπίσουν το φαινόμενο volatility clustering. Σύμφωνα με αυτό, οι υψηλές τιμές της μεταβλητότητας τείνουν να ακολουθούνται από υψηλές τιμές και οι χαμηλές τιμές τείνουν να ακολουθούνται από χαμηλές τιμές. Δηλαδή, μεγάλες και μικρές τιμές της μεταβλητότητας τείνουν να εμφανίζονται κατά ομάδες [4]. 31

Το 1982 παρουσιάστηκε από τον Engle το μοντέλο αυτοπαλίνρομης δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας p τάξεως [5] (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity, ARCH(p)) και ορίζεται από την σχέση: x t t t ( 3.1 ) όπου {ε t} είναι μια ακολουθία από ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή 0 και διακύμανση 1 και όπου α 0 > 0 και α i 0 για i > 0. x ( 3.2 ) 2 2 2 t 0 1 t1... pxt p Στο μοντέλο ARCH(p), μια μεγάλη διαταραχή αποτυπώνεται με μια μεγάλη απόκλιση της σ t και παράλληλα μια μεγάλη τιμή (θετική ή αρνητική) του σφάλματος ε t. Η διακύμανση του σφάλματος είναι μια αύξουσα συνάρτηση με χρονική υστέρηση (p) χωρίς να ενδιαφέρεται για το πρόσημο των σφαλμάτων, διότι είναι υψωμένα στο τετράγωνο. Η τάξη της χρονικής υστέρησης (p) είναι αυτή που καθορίζει το μήκος του χρόνου στο οποίο μια διαταραχή μπορεί να επηρεάσει την δεσμευμένη διακύμανση. Όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος της χρονικής υστέρησης p, τόσο μακρύτερο θα είναι το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο θα εκτείνονται οι επιδράσεις των διαταραχών. Συνοπτικά, θα λέγαμε ότι τα μοντέλα ARCH στηρίζονται στην ακόλουθη υπόθεση: «μεγάλες μεταβολές τείνουν να ακολουθούνται από μεγάλες μεταβολές, είτε θετικές είτε αρνητικές», ενώ «μικρές μεταβολές τείνουν να ακολουθούνται από μικρές μεταβολές, είτε θετικές είτε αρνητικές»[5]. 3.2 Μοντέλα πρόβλεψης GARCH Για ορισμένες χρονοσειρές που εξετάστηκαν με το οικονομετρικό μοντέλο που εισήγαγε ο Engle, παρατηρήθηκε ότι για την εξαγωγή ασφαλών συμπερασμάτων χρειαζόταν μεγάλη τάξη μεγέθους (p). Αυτό αυτόματα συνεπάγεται την εκτίμηση μεγάλου αριθμού παραμέτρων. Την επίλυση αυτού του προβλήματος έδωσε το γενικευμένο μοντέλο GARCH που εισήγαγε ο Bollerslev (1986) [9]. Συγκεκριμένα, ο Bollerslev προσέθεσε στο ARCH μοντέλο (q) αυτοπαλίνδρομους όρους κινητού μέσου των τετραγωνικών δεσμευμένων διακυμάνσεων. Ειδικότερα, συγκρινόμενο με το ARCH (p), το οποίο επιτρέπει στην υπό συνθήκη διακύμανση σ t να εξαρτάται αποκλειστικά από τις τετραγωνικές υπολειμματικές αποδόσεις του παρελθόντος, το GARCH(p, q) επιτρέπει επιπλέον την εξάρτηση της υπό συνθήκη διακύμανσης σ t από τις παρελθούσες τιμές της, για p χρονικά υστερήσεις. Δηλαδή, επιτρέπει στην σ t να εξαρτάται από τις p προηγούμενες τιμές της, σ t-1, σ t-2,, σ t-p. To γενικευμένο αυτοπαλίνδρομο μοντέλο δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας τάξεως (p, q) ή GARCH(p, q) ορίζεται ως εξής: xt t t ( 3.3 ) 32

όπου {ε t} είναι μια ακολουθία από ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή 0 και διακύμανση 1 x... x... ( 3.4 ) 2 2 2 2 2 t 0 1 t1 p t p 1 t1 q tq όπου οι συντελεστές α i (i=0,,p) και γ j ( j=0,,q) είναι θετικοί έτσι ώστε η διακύμανση σ t να είναι πάντα θετική. Ουσιαστικά, η εκτιμώμενη από το GARCH διακύμανση αποτελεί το σταθμισμένο μέσο όρο τριών διαφορετικών προβλέψεων. Πρώτον, της σταθερής διακύμανσης που υποδηλώνει το μακροχρόνιο μέσο όρο, δεύτερον, της πρόβλεψης που έχει γίνει την αμέσως προηγούμενη περίοδο και τρίτων των νέων πληροφοριών που δεν ήταν διαθέσιμες όταν έγινε η προηγούμενη πρόβλεψη. Η μεγαλύτερη βαρύτητα πέφτει στην πρόβλεψη της προηγούμενης περιόδου, με τις νέες πληροφορίες να έχουν μια σχετική βαρύτητα και το μακροχρόνιο μέσο όρο να έχει ένα φαινομενικά αμελητέο βάρος, με αποτέλεσμα να οδηγήσει σε ένα εσφαλμένο συμπέρασμα ότι θα μπορούσε να αγνοηθεί τελείως. Όμως, στην πραγματικότητα όταν κάνουμε μια πρόβλεψη για πολλές περιόδους στο μέλλον, ο μακροχρόνιος μέσος όρος τελικά επικρατεί, καθώς η σημασία των καινούργιων και πρόσφατων πληροφοριών εξασθενεί. Οι σταθμίσεις που θα χρησιμοποιηθούν είναι αυτές που καθορίζουν πόσο γρήγορα αλλάζει η πρόβλεψη της μεταβλητότητας με βάση τις νέες πληροφορίες και πόσο γρήγορα επανέρχεται στον μακροχρόνιο μέσο όρο [10]. Το πιο διαδεδομένο μοντέλο GARCH είναι αυτό με μια χρονική υστέρηση, δηλαδή το μοντέλο GARCH (1,1) το οποίο έχει την ακόλουθη μορφή: x ( 3.5 ) 2 2 2 t 0 1 t1 1 t1 Συνήθως στην πράξη χρησιμοποιείται η περίπτωση p=q=1, διότι για μεγάλες τιμές του p και q η εκτίμηση γίνεται δύσκολη. Τέλος, μερικές φορές αρκεί ένα GARCH (1,1) με μόνο τρεις παραμέτρους για να έχουμε ένα καλό μοντέλο για την χρονοσειρά που μελετάμε [5]. 33

Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 4: Α Ρ Ι ΘΜΗ Τ Ι Κ Η Α ΝΑ Λ Υ Σ Η 4.1 Παρεμβολή και παρεκβολή Μία από τις βασικότερες έννοιες της Αριθμητικής Ανάλυσης είναι η παρεμβολή και παρεκβολή οι οποίες θα εξηγηθούν αρχικά με ένα παράδειγμα [15]. Ας υποτεθεί ότι μετρήθηκε η θερμοκρασία ενός ασθενή σε βαθμούς Κελσίου σε χρονικά διαστήματα της μίας ώρας όπως δείχνει ο πίνακας: X 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 y=f(x) 38.5 38.7 40.4 39.2 38.3 37.6 38.5 39.2 38.9 Έστω ότι ζητείται να προσδιορίσουμε σύμφωνα με τα δεδομένα του ασθενή μια ενδιάμεση τιμή της θερμοκρασίας, όπως για παράδειγμα, τη θερμοκρασία του ασθενή στις 4:15 και μια θερμοκρασία εκτός του διαστήματος στο οποίο βρίσκονται οι μετρήσεις, για παράδειγμα τη θερμοκρασία του ασθενή στις 11:30. Για να απαντηθούν τέτοιου είδους προβλέψεις είναι απαραίτητο να υπάρξει κάποια συνάρτηση που να περιγράφει με επαρκή ακρίβεια τα δεδομένα. Ο προσδιορισμός μιας τέτοιας συνάρτησης ονομάζεται παρεμβολή όταν αναφερόμαστε σε σημεία μεταξύ των δεδομένων τιμών και παρεκβολή όταν τα ζητούμενα σημεία είναι εκτός του διαστήματος των τιμών. Έτσι, η απάντηση στο πρώτο ερώτημα θα βρεθεί με παρεμβολή, ενώ στο δεύτερο με παρεκβολή. Παρεμβολή (interpolation) είναι η διαδικασία προσέγγισης μιας συνάρτησης f( x ) μέσω ενός πολυωνύμου, με τη χρήση δεδομένων συναρτησιακών τιμών που αντιστοιχούν σε διάφορες τιμές x0, x1, x2,..., x n της ανεξάρτητης μεταβλητής x, όταν η τιμή αυτής της μεταβλητής βρίσκεται ενδιάμεσα στις δεδομένες τιμές x0, x1, x2,..., x n. [15] Παρεκβολή (extrapolation) είναι η διαδικασία προσέγγισης μιας συνάρτησης f( x ) μέσω ενός πολυωνύμου, με τη χρήση δεδομένων συναρτησιακών τιμών που αντιστοιχούν σε διάφορες x0, x1, x2,..., x n της ανεξάρτητης μεταβλητής x, όταν η τιμή αυτής της μεταβλητής βρίσκεται εκτός του διαστήματος των δεδομένων τιμών x0, x1, x2,..., x n. [15] Με άλλα λόγια η παρεμβολή και η παρεκβολή είναι και οι δύο διαδικασίες προσέγγισης μιας συνάρτησης μέσω ενός πολυωνύμου, με μόνη διαφορά την τιμή που παίρνει η ανεξάρτητη 34